內(nèi)部收益率解的問題

1、投資內(nèi)部收益率法1 內(nèi)部收益率的定義及其定義式：內(nèi)部收益率（internal rate of return,簡稱IRR ）又稱內(nèi)部（含）報酬率。在所有的經(jīng)濟(jì)評價指標(biāo)中，內(nèi)部收益率是最重要的評價指標(biāo)之一，它是對項(xiàng)目進(jìn)行盈利能力分析時采用的主要方法。進(jìn)行財務(wù)評價，分析項(xiàng)目的財務(wù)盈利能力時，主要計算和考察項(xiàng)目財務(wù)內(nèi)部收益率；進(jìn)行國民經(jīng)濟(jì)評價，分析項(xiàng)目的國民經(jīng)濟(jì)盈利能力時，主要計算和考察項(xiàng)目經(jīng)濟(jì)內(nèi)部收益率。什么是內(nèi)部收益率?簡單說，就是凈現(xiàn)值為零時的折現(xiàn)率。定義：內(nèi)部收益率IRR是指項(xiàng)目在整個計算期內(nèi)各年凈現(xiàn)金流量的現(xiàn)值累計等于零(或凈年值等于零)時的折現(xiàn)率。內(nèi)部收益率是效率型指標(biāo)，它反映項(xiàng)目所占用資

2、金的盈利率，是考察項(xiàng)目資金使用效率的重要指標(biāo)。其定義式為:式中：IRR內(nèi)部收益率，或內(nèi)部報酬率 。由上述概念及計算式可以看出，內(nèi)部收益率法實(shí)質(zhì)上也是基于現(xiàn)值計算方法的。2 內(nèi)部收益率的計算：除通過公式(4-21)求得外，還可根據(jù)現(xiàn)金流量表中的累積凈現(xiàn)值，用線性內(nèi)插法計算求得。從經(jīng)濟(jì)意義上講，內(nèi)部收益率IRR的取值范圍應(yīng)是：1IRR，大多數(shù)情況下的取值范圍是0IRR。3 內(nèi)部收益率法的判別準(zhǔn)則：如果IRR i0,則項(xiàng)目在經(jīng)濟(jì)效果上可以接受；如果IRR i0,則項(xiàng)目在經(jīng)濟(jì)效果上不可接受。上面的公式是一個高次方程，不能直接解出，通常使用計算內(nèi)插法求其近似解。4 求解方法為：先給出一個折現(xiàn)率i1,計算

3、相應(yīng)的NPV(i1),如果NPV(i1) 0，說明要求的IRRi1 ，如果，說明要求的IRRi1 ，根據(jù)這個信息，將折現(xiàn)率修正為i2 ，求NPV(i2)的值，反復(fù)計算，逐步逼近。最終得到兩個比較接近的折現(xiàn)率im與in(imin )，使得NPV(im)0, NPV(in)0,最后用插值的方法確定IRR 的近似值。計算公式為:例4-7：擬建一容器廠，初始投資為5000萬元，預(yù)計在10年壽命期中每年可得凈收益800萬元，第十年末殘值2000萬元，若基準(zhǔn)收益率為10%，試用方法IRR評價該項(xiàng)目。解：令凈現(xiàn)值=0，即NPV=-5000+800(P/A,I*,10)+200(P/F,I*,10)=0首先進(jìn)

4、行試算：設(shè)i=10% 則-5000+800（P/A,10%,10）+2000（P/F,10%,10） =686.2萬元設(shè)i=i1=12% 則-5000+800（P/A,12%,10）+2000（P/F,12%,10） =164.2萬元設(shè)i=i2=13% 則-5000+800（P/A,13%,10）+2000（P/F,13%,10） =-69.8萬元由內(nèi)插法計算得：164.2*(13%-12%)/164.2+-69.8即該項(xiàng)目IRR為12.7%，大于基準(zhǔn)收益率，因而項(xiàng)目經(jīng)濟(jì)上可行。5 內(nèi)部收益率的優(yōu)缺點(diǎn)（1）內(nèi)部收益率指標(biāo)優(yōu)點(diǎn)：內(nèi)部收益率法比較直觀，概念清晰、明確，并可直接表明項(xiàng)目投資的盈利能力

5、和反映投資使用效率的水平。內(nèi)部收益率是內(nèi)生決定的，即由項(xiàng)目的現(xiàn)金流量系統(tǒng)特征決定的，不是事先外生給定的。這與凈現(xiàn)值法和凈年值法等都需要事先設(shè)定一個基準(zhǔn)折現(xiàn)率才能進(jìn)行計算和比較來說，操作起來困難小，容易決策，而基準(zhǔn)收益率的確定則是十分困難的。目前國家已編制和確定了一些行業(yè)的基準(zhǔn)收益率可參照使用外，但還有大量的行業(yè)和部門至今未制定出可以參照的基準(zhǔn)收益率。（2）內(nèi)部收益率指標(biāo)缺點(diǎn)：內(nèi)部收益率指標(biāo)計算繁瑣，對于非常規(guī)項(xiàng)目有多解和無解問題，分析、檢驗(yàn)和判別比較復(fù)雜。內(nèi)部收益率指標(biāo)雖然能明確表示出項(xiàng)目投資的盈利能力，但實(shí)際上當(dāng)項(xiàng)目的內(nèi)部收益率過高或過低時，往往失去實(shí)際意義。內(nèi)部收益率法適用于獨(dú)立方案的經(jīng)濟(jì)

6、評價和可行性判斷，但多方案分析時，一般不能直接用于比較和選優(yōu)。6 內(nèi)部收益率方程多解的討論內(nèi)部收益率方程式是一元高次(n次)方程。若令:；令，則內(nèi)部收益率方程式可改寫為如下形式：這是一個一元n次多項(xiàng)式，是n次方程。n次方程應(yīng)該有n個解(其中包括復(fù)數(shù)根和重根)，明顯，負(fù)根無經(jīng)濟(jì)意義。只有正實(shí)數(shù)根才可能是項(xiàng)目的內(nèi)部收益率，而方程的正實(shí)根可能不止一個。n次方程式的正實(shí)數(shù)根的數(shù)目可用笛卡爾符號規(guī)則進(jìn)行判斷，即正實(shí)數(shù)根的個數(shù)不會超過項(xiàng)目凈現(xiàn)金流量序列(多項(xiàng)式系數(shù)序列) a0, a1, a2, an的正負(fù)號變化的次數(shù)p(如遇有系數(shù)為零，可視為無符號)。如果p=0（正負(fù)號變化零數(shù)），則方程無根；如果p=1（

7、正負(fù)號變化一數(shù)），則方程有唯一根。也就是說，在-1IRR的域內(nèi)，若項(xiàng)目凈現(xiàn)金流序列(CI-CO)t(t=0，1，2，n)的正負(fù)號僅變化一次，內(nèi)部收益率方程肯定有唯一解，而當(dāng)凈現(xiàn)金流序列的正負(fù)號有多次變化（兩次或兩次以上），內(nèi)部收益率方程可能有多解。例4-8：表4-8給出了幾種典型的NCF序列，試分析其IRR。 表4-8 幾種典型的NCF序列 單位：千元分析：上述習(xí)題IRR的計算涉及一元多項(xiàng)式的計算，根據(jù)數(shù)學(xué)中的狄思卡滋符號法則，一個具有實(shí)數(shù)系數(shù)的n階多項(xiàng)式，其正實(shí)根的數(shù)目不會多于其系數(shù)序列列中符號變動的次數(shù)（0系數(shù)視為無符號） 因此，可根據(jù)NCF系數(shù)符號變動的情況，來判斷IRR的解的個數(shù)。1、

8、若方案的NCF00，此時為常規(guī)現(xiàn)金流量，則方案必有唯一的IRR解。2、若方案的NCF00，NCFt序列僅改變一次符號，且 NCFt 0，此時為常規(guī)現(xiàn)金流量，則方案必有唯一的負(fù)IRR解。此方案經(jīng)濟(jì)不可行。3、若方案的NCFt序列不改變符號，則方案的IRR不存在，不能用IRR來評價此方案。4、若方案的NCF00，NCFt序列符號變化多次，則方案的IRR的個數(shù)不超過NCFt序列符號變化的次數(shù)。在這種情況下，也可能有唯一的IRR解。因此，習(xí)題的IRR解的情況如下 ：A方案：有唯一的IRR解，計算得出IRRA=20.3%B方案：有唯一的-IRR解，計算得出IRRB=20.3%。C方案：IRR解不存在。D

9、方案：NCFt序列符號變化2次，計算得出IRR1=9.8%,IRR2=11.5%. E方案：NCFt序列符號變化3次，計算得出IRR1=20%,IRR2=50%, IRR3=100%, IRR1=9.8%, F方案：NCFt序列符號變化2次，但計算得出有唯一的IRR=10.3%七 追加投資內(nèi)部收益率（IRR）法1.概念：指兩個方案凈現(xiàn)值相等時的收益率，表示一方案相對于另一方案的多投資部分的平均盈利能力 2.計算：用內(nèi)插法或試算法求出 (CI2t-CI1t)-(CO2t-CO1t)(P/F,i*,t)=0或 (NCF2t-NCF1t)(P/F,i*,t)=03.評價： IRRI0，追加投資不合理

10、，投資小方案較優(yōu)；IRRI0追加投資合理，投資大的方案較優(yōu) 例4-9：用追加投資內(nèi)部收益率法評價例5-1中的兩方案解：將已知量代入公式-（7000-4000）+（1000-1000）（P/F,i*,1）+（2000-1000）（P/F,i*,2）+（6000-3000）（P/F,i*,3）+(4000-3000)(P/F,i*,4)=0令上式左邊為NPV，即NPV=-3000+1000(P/F,i*,2)+3000(P/F,i*,3)+1000(P/F,i*,4)=0 經(jīng)試算，當(dāng)i1=18%時， NPV1=59.86萬元；當(dāng)i2=19%時， NPV2=-14.92萬元；內(nèi)插法計算得：59.86

11、*(19%-18%)/59.86+-14.92說明投資大者為優(yōu)，即A方案較優(yōu) 八 外部收益率（補(bǔ)充知識）外部收益率實(shí)際上是對內(nèi)部收益率的一種修正，計算外部收益率時也假定項(xiàng)目壽命期內(nèi)所獲得的凈收益全部可用于再投資，所不同的是假定再投資的收益等于基準(zhǔn)折現(xiàn)率。求解外部收益率的方程如下： 式中：ERR外部收益率； Kt第t年的凈投資； NBt第t年的凈收益； i0基準(zhǔn)折現(xiàn)率；上式不會出現(xiàn)多個正數(shù)解得情況，而且通常可以用代數(shù)方法直接求解。ERR指標(biāo)用于評價投資方案經(jīng)濟(jì)效果時，需要與基準(zhǔn)折現(xiàn)率i0相比較，判別準(zhǔn)則是： 若ERRi0,則項(xiàng)目可以被接受；若ERR i0,則項(xiàng)目不可以被接受。例4-9 ：某重型機(jī)

12、械公司為一項(xiàng)工程提供一套大型設(shè)備，合同簽訂后，買方要分兩年先預(yù)付一部分款項(xiàng)，待設(shè)備交貨后再分兩年支付設(shè)備價款的其余部分。重型機(jī)械公司承接該項(xiàng)目預(yù)計各年的凈現(xiàn)金流量如表所示。 基準(zhǔn)折現(xiàn)率i0為10%，試用收益率指標(biāo)評價該項(xiàng)目是否可行。 某大型設(shè)備項(xiàng)目的凈現(xiàn)金流量表 單位：萬元年份012345凈現(xiàn)金流19001000-5000-500020006000解：該項(xiàng)目是一個非常規(guī)項(xiàng)目，其IRR方程有兩個解：i1=10.2%,i2=47.3%,不能用IRR指標(biāo)評價，可計算其ERR。據(jù)外部收益率的方程式列出如下方程： 1900（1+10%）5+1000（1+10%）4 +2000（1+10%）+6000=5

13、000（1+ERR）3+5000（1+ERR）2 可解得： ERR=10.1%，ERRi0，項(xiàng)目可接受。 ERR指標(biāo)的使用并不普遍，但是對于非常規(guī)項(xiàng)目的評價，ERR有其優(yōu)越之處。 凈現(xiàn)值、內(nèi)部收益率指標(biāo)的比較內(nèi)部收益率是進(jìn)行盈利能力分析時采用的主要方法一。從經(jīng)濟(jì)意義上，內(nèi)部收益率IRR的取值范圍應(yīng)是：1IRR，大多數(shù)情況下的取值范圍是0IRR。求得的內(nèi)部收益率IRR要與項(xiàng)目的設(shè)定基準(zhǔn)收益率i0相比較。當(dāng)IRRi0時，則表明項(xiàng)目的收益率已達(dá)到或超過設(shè)定折現(xiàn)率水平，項(xiàng)目可行，可以考慮接受。內(nèi)部收益率可通過方程求得,但該式是一個高次方程，通常采用“試算內(nèi)插法”求IRR的近似解。內(nèi)部收益率被普遍認(rèn)為是

14、項(xiàng)目投資的盈利率，反映了投資的使用效率，概念清晰明確。比起凈現(xiàn)值與凈年值來，各行各業(yè)的實(shí)際經(jīng)濟(jì)工作者更喜歡采用內(nèi)部收益率。內(nèi)部收益率指標(biāo)的突出優(yōu)點(diǎn)就是在計算時不需事先給定基準(zhǔn)折現(xiàn)率，避開了這一既困難又易引起爭論的問題。內(nèi)部收益率不是事先外生給定的，是內(nèi)生決定的，即由項(xiàng)目現(xiàn)金流計算出來的，當(dāng)基準(zhǔn)折現(xiàn)率入不易確定其準(zhǔn)確取值，而只知其大致的取值區(qū)間時，則使用內(nèi)部收益率指標(biāo)就較容易判斷項(xiàng)目的取舍，IRR優(yōu)越性是顯而易見的。但是，內(nèi)部收益率也有諸多缺陷和問題，如多解和無解問題、與凈現(xiàn)值指標(biāo)的沖突問題等，給我們帶來了諸多不便和困惑。1 對凈現(xiàn)值和內(nèi)部收益率指標(biāo)的關(guān)系和沖突問題的討論凈現(xiàn)值（Net pres

15、ent value）是一個價值型指標(biāo)，其經(jīng)濟(jì)涵義是投資項(xiàng)目在整個壽命期內(nèi)獲得的超過最低期望收益水平的超額凈收益現(xiàn)值總和。凈現(xiàn)值的含義較為明確，也易于理解，凈現(xiàn)值是基準(zhǔn)折現(xiàn)率i0的函數(shù)，并且隨著i0的增大而減小。內(nèi)部收益率是一個效率型指標(biāo)，其經(jīng)濟(jì)涵義的表述方式較多，常見的表述是投資項(xiàng)目壽命期內(nèi)尚未收回投資余額的盈利率，反映了投資額的回收能力，內(nèi)部收益率與基準(zhǔn)折現(xiàn)率i0的大小無關(guān)。但是采用兩個指標(biāo)對投資方案進(jìn)行評價時，它們的評價結(jié)論均受基準(zhǔn)折現(xiàn)率i0大小的影響，其中內(nèi)部收益率方法是以基準(zhǔn)折現(xiàn)率i0為判別標(biāo)準(zhǔn)的。凈現(xiàn)值和內(nèi)部收益率指標(biāo)都隱含了投資項(xiàng)目的各年凈現(xiàn)金流量全部用于再投資的假說。但凈現(xiàn)值指標(biāo)

16、假設(shè)投資項(xiàng)目各年（各期）凈現(xiàn)金流量（投資凈收益）均按基準(zhǔn)折現(xiàn)率i0再投資。而內(nèi)部收益率則假設(shè)投資項(xiàng)目各年（各期）凈現(xiàn)金流量（投資凈收益）均按內(nèi)部收益率再投資，將的定義式進(jìn)行簡單的變換即可。明顯，一般情況下投資項(xiàng)目各年投資凈收益是很難再按該項(xiàng)目的內(nèi)部收益率再投資的，故內(nèi)部收益率的再投資假設(shè)是不合理的，而前者凈現(xiàn)值指標(biāo)的按投資者期望達(dá)到的最低貼現(xiàn)率水平i0再投資的假設(shè)要更為合理。一般情況下，凈現(xiàn)值和內(nèi)部收益率指標(biāo)對投資方案的采納與否的結(jié)論是一致的，即當(dāng)方案的時，i0。但是，當(dāng)對互斥方案組進(jìn)行評價排序時，凈現(xiàn)值和內(nèi)部收益率指標(biāo)可能產(chǎn)生不一致的結(jié)論（產(chǎn)生沖突）。究其原因，正是兩種方法再投資假設(shè)的不同所

17、致。近年來，有不少學(xué)者對于凈現(xiàn)值和內(nèi)部收益率的沖突問題及解決方法進(jìn)行了深入研究，并就IRR指標(biāo)的改進(jìn)和修正方法等問題發(fā)表了諸多文章。但影響技術(shù)方案評價決策問題的因素繁多，單靠一個指標(biāo)的能力和作用是有限的，需要諸多指標(biāo)相互配合綜合分析。問題的關(guān)鍵是讓決策者充分了解各個評價指標(biāo)的經(jīng)濟(jì)涵義并能認(rèn)識到它們固有的缺陷，以恰當(dāng)運(yùn)用和防止決策失誤。如果一味地對指標(biāo)進(jìn)行修正完善，反而會給原指標(biāo)的經(jīng)濟(jì)涵義帶來混亂，計算也越來越煩瑣而不實(shí)用，更給決策者帶來困惑，因而不易提倡。且有些修正方法與已有指標(biāo)如外部收益率ERR等基本趨同，缺乏新意。因此應(yīng)將研究的重點(diǎn)放在技術(shù)方案之間相互關(guān)系和評價指標(biāo)體系優(yōu)化的問題上來，實(shí)踐

18、中應(yīng)強(qiáng)調(diào)各個指標(biāo)（如凈現(xiàn)值、凈現(xiàn)值率、內(nèi)部收益率、差額凈現(xiàn)值、差額內(nèi)部收益率、投資回收期等）的靈活選用，取長補(bǔ)短、相互補(bǔ)充、綜合評價、科學(xué)決策。 2舉例分析例題4-10：有A、B、C、D、E、F、G七個方案, 現(xiàn)金流量情況如表4-9。表中對各個方案的NPV和IRR等指標(biāo)進(jìn)行了計算。其中：A、B、C三方案的投資額相同，D、E、F、G的投資額相同。G方案的IRR無解。 對A、B、C三個投資額相同方案的分析累計凈現(xiàn)金流量NCFt 對比：A方案B方案C方案；凈現(xiàn)值NPV對比：A方案B方案C方案；內(nèi)部收益率IRR對比：B方案A方案C方案。由C、B兩方案可以看出，C方案NCFt 和NPV較高，但B方案的I

19、RR較高，所以IRR有利于前期收益高的方案；D、E方案也同樣具有此種現(xiàn)象。表4-9 七個方案的現(xiàn)金流量及有關(guān)指標(biāo)分析年份技術(shù)方案及其現(xiàn)金流量NCFt=（CI-CO）t （單位：萬元）ABCDEFG01234-250015001000700500-25001300130013000-2500050015002800-1200500500500500-120090090000-12006006006000-12003200-210000NCFt120014002300800600600-100NPV(i0=10%)556.7733.1951.9385.0362.4292.2-25.8IRR(%)2

20、2.4126.0721.1924.1931.9423.3816.67；50.00 無解NPVI0.220.290.380.320.300.24-0.02按NPVI排序6412357按IRR排序526314/ 不同投資規(guī)模的方案的比較， NPVI排序（如表）較合理。但是，就A、C兩方案而言，C方案的風(fēng)險較大，保守者將傾向于A，冒險者將傾向于C。 若結(jié)合凈現(xiàn)值函數(shù)曲線分析各個方案有關(guān)指標(biāo)的變化情況，特征更為明顯。內(nèi)部收益率解的問題由內(nèi)部收益率的定義式知，它對應(yīng)于一個一元高次多項(xiàng)式（IRR的定義式）的根。該一元高次多項(xiàng)式的根的問題，也就是內(nèi)部收益率的多解或無解問題，是內(nèi)部收益率指標(biāo)一個突出的缺陷。利

21、用笛斯卡爾（Desdartes）判別準(zhǔn)則可以判斷一元高次多項(xiàng)式實(shí)根的個數(shù)。對于內(nèi)部收益率的多解或無解問題，目前學(xué)術(shù)界說法不一，但其中有些說法是欠妥的，諸如“內(nèi)部收益率的不存在是由于項(xiàng)目再投資造成的”，“當(dāng)一元高次多項(xiàng)式多解，但存在唯一正根時，這一正根就是項(xiàng)目的內(nèi)部收益率”等等。 這里就一元高次多項(xiàng)式出現(xiàn)多根問題后，內(nèi)部收益率的存在性及判斷問題進(jìn)行重點(diǎn)討論。容易證明，常規(guī)投資項(xiàng)目必定存在內(nèi)部收益率，而非常規(guī)投資項(xiàng)目無論一元高次多項(xiàng)式的解有多少，其內(nèi)部收益率則有可能不存在。究其原因，顯然是與項(xiàng)目的投資結(jié)構(gòu)和全部現(xiàn)金流量緊密相關(guān)，是由于項(xiàng)目投資的不連續(xù)（出現(xiàn)了追加投資）而造成的。 如前所述，根據(jù)內(nèi)部

22、收益率的定義，可以得出它的經(jīng)濟(jì)涵義和再投資假設(shè)。進(jìn)一步地，通過驗(yàn)證其投資回收過程也不難發(fā)現(xiàn)如下結(jié)論：內(nèi)部收益率經(jīng)濟(jì)涵義的進(jìn)一步解釋“即按內(nèi)部收益率換算，投資項(xiàng)目在整個壽命期內(nèi)始終處于投資回收狀態(tài)，壽命期內(nèi)各年始終存在未回收的投資”，由于各年始終存在未回收的投資，所以根本就不需要考慮項(xiàng)目收益的再投資問題。這樣也進(jìn)一步驗(yàn)證了再投資假說。內(nèi)部收益率解的判別等問題必須基于這一結(jié)論。 如前面所述，大多數(shù)項(xiàng)目都是在建設(shè)期集中投資，直到投產(chǎn)初期可能還出現(xiàn)入不付出，凈現(xiàn)金流量為負(fù)值，但進(jìn)入正常生產(chǎn)或達(dá)產(chǎn)后就能收入大于支出，凈現(xiàn)金流量為正值。因而，在整個計算期內(nèi)凈現(xiàn)金流量序列的符號從負(fù)值到正值只改變一次，我們把

23、在計算期內(nèi)，凈現(xiàn)金流量序列的符號只變化一次的項(xiàng)目稱為常規(guī)項(xiàng)目。對于常規(guī)項(xiàng)目，若累計凈現(xiàn)金流量大于零，一般會有一個正實(shí)數(shù)根，則其應(yīng)當(dāng)是該項(xiàng)目的內(nèi)部收益率。 在計算期內(nèi)，如果項(xiàng)目的凈現(xiàn)金流量序列的符號正負(fù)變化多次時，則稱此類項(xiàng)目為非常規(guī)項(xiàng)目。一般地講，如果在生產(chǎn)期大量追加投資，或在某些年份集中償還債務(wù)，或經(jīng)營費(fèi)用支出過多等，都有可能導(dǎo)致凈現(xiàn)金流量序列的符號正負(fù)多次變化，構(gòu)成非常規(guī)項(xiàng)目。非常規(guī)投資項(xiàng)目內(nèi)部收益率方程的解顯然不止一個。這些解中是否有真正的內(nèi)部收益率呢?這需要按照內(nèi)部收益率的經(jīng)濟(jì)涵義進(jìn)行檢驗(yàn)：即以這些根作為盈利率，看在項(xiàng)目壽命期內(nèi)是否始終存在未被回收的投資。首先看一元高次多項(xiàng)式是否有正實(shí)

24、數(shù)根，如果有多個正實(shí)數(shù)根，則須經(jīng)過檢驗(yàn)，符合內(nèi)部收益率經(jīng)濟(jì)涵義的根才是項(xiàng)目的內(nèi)部收益率；如果只有一個正實(shí)數(shù)根，則可能是該項(xiàng)目的內(nèi)部收益率，也可能不是，同樣需要檢驗(yàn)。如果無正實(shí)數(shù)根，或所有實(shí)數(shù)根都不能滿足內(nèi)部收益率的經(jīng)濟(jì)涵義的要求，則該項(xiàng)目無解。對這類投資項(xiàng)目，一般地講，內(nèi)部收益率法已失效，不能用它來進(jìn)行項(xiàng)目的評價和選擇。目前，對于非常規(guī)投資項(xiàng)目內(nèi)部收益率方程多根時，這些根中是否有真正的內(nèi)部收益率解的問題，即解的存在性問題，還沒有一個判別定理。下面，就此問題深入討論。 對于非常規(guī)投資項(xiàng)目（或技術(shù)方案），若在其整個壽命期內(nèi)除初始投資之外，還存在多次追加投資或凈現(xiàn)金流量為負(fù)（設(shè)有次，）,則一元高次多

25、項(xiàng)式會產(chǎn)生多個實(shí)根。為了表述方便，這里引入兩個概念：追加投資維持期。所謂追加投資維持期是指從該次（第k次，k=1,2,3,K）追加投資發(fā)生時點(diǎn)起直至整個投資項(xiàng)目壽命期末的時間。特別地，k=K時，指最后一次追加投資維持期；k=時，指整個投資項(xiàng)目壽命期；追加投資凈現(xiàn)值。是指在第k次追加投資維持期內(nèi)全部現(xiàn)金流量的貼現(xiàn)之和（貼現(xiàn)至第k次追加投資發(fā)生初時點(diǎn)），且記為：k（i）。 【IRR存在性判別定理】：當(dāng)一元高次多項(xiàng)式（IRR定義式）多根(設(shè)有M個正實(shí)根，分別是IRR1、IRR2、IRR3、IRRM)，其中，若有某一正實(shí)根m(m=1,2,3,M)能使所有的追加投資凈現(xiàn)值大于等于零，即： k（m） 0 k = 0,1,2,3,K則這一正實(shí)根m就是整個投資項(xiàng)目的內(nèi)部收益率。 明顯，當(dāng)k = 0時, k（m） 0。 定理證明：若m使某一次（第k次）追加投資凈現(xiàn)值k（m） 0（k不為零時）。則表明第k次追加投資在其維持期內(nèi)收益過低，按m貼現(xiàn)計算的凈現(xiàn)值為負(fù)值，不能彌補(bǔ)本次追加投資。對于其產(chǎn)生的虧空，必然需要前期投資全部回收并有盈余來予以彌補(bǔ)。這樣若對整個投資回收過程進(jìn)行驗(yàn)證，就會在此次追加投資時點(diǎn)之前出現(xiàn)盈余資金，以彌補(bǔ)后期追加投資的虧空。投資項(xiàng)目在整個壽命期內(nèi)就不會始終處于投資回收狀態(tài)，而是出現(xiàn)了局部的盈余，也就不可能始終