基于GED-GARCH模型的滬深基金收益率波動性研究

1、王吉培， 張哲（西南財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院，四川成都 610074） 摘 要 ：本文對不同分布假定的ARCH族模型進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)基于GED的 GARCH類模型較好地解釋了收益率分布的尖峰性和厚尾性,并在此基礎(chǔ)上選取我國基金市場的日收益率觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證分析，對收益率的波動性進(jìn)行研究，試圖找出我國基金市場價格分布的合理解釋。 關(guān)鍵詞: 波動性； GED ；GARCH；杠桿效應(yīng) Abstract: This paper compares the assumption that the distribution of different ethnic ARCH models and finds that

2、 the GARCH model based on the distribution of GDE can be used to explain better the peak and thick tail feature of the yield series distribution . On the basis ,it analyses the daily yield series of China's fund market,and does some research on the volatility of the yield series,trying to presen

3、t a reasonable explanation on the distribution of the fund market price. Key words: Volatility；GED；GARCH； Leverage 中圖分類號 F064.1 文獻(xiàn)標(biāo)識碼 A 一 、 引言 關(guān)于收益率尾部的刻畫一般假設(shè)一種理想情況，即服從正態(tài)分布，但這種完美的情況一般是不成立的，為了更好的去描述日收益率的厚尾性，一些學(xué)者提出了另外一些分布的模型。Bollerslev提出了一個未知自由度 的t分布的GARCH模型，自由度 可以從數(shù)據(jù)中估計。當(dāng)4< <時，收益的峰度大于正態(tài)分布，當(dāng) ，分布收

4、斂于正態(tài)。另一個刻畫收益厚尾性的分布是Nelson提出的廣義誤差分布(GED)。分布密度用形狀參數(shù) 來刻畫，當(dāng) =2時，分布為正態(tài)； <2時，分布高峰厚尾； >2時，分布的尾部比正態(tài)薄。 為了更好的解釋基金收益率分布中觀測到的尖峰和偏度，我們并沒有按照一般建模的思路，把擾動項簡單的假設(shè)為正態(tài)分布，而是建立基于GED的ARCH族模型進(jìn)行波動性研究，針對上述模型我們選取了我國基金市場的日收益率觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證分析，找出我國基金市場價格分布的合理解釋。 二 、 GARCH族模型及其擾動項分布假定 由于金融類時間序列，如收益率時間序列，往往具有時變性特點(diǎn)，其方差會隨著時間變化而變化，呈現(xiàn)

5、出異方差特征,對金融類時間序列的刻畫，主流的研究方法都是建立在ARCH類模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。 （一）GARCH模型。波動率實(shí)際上也是一個隨時間變動的趨勢，因此，要探討波動率的穩(wěn)定性和可預(yù)測性，我們可以引入GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型來對波動率進(jìn)行建模。GARCH模型是ARCH模型族中的一種帶異方差的時間序列建模的方法1。一般的GARCH（1，1）模型可以表示為：GARCH模型一般由兩個方程組成，一個是條件均值方程，另一個是條件方差方程。模型的一般表達(dá)式可寫成： （1）其中 為條件方差， 為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量， 與 互相獨(dú)立，參數(shù)滿足條件 ,一般常假定 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,另外,以上模型

6、中 <1，蘊(yùn)涵GARCH過程為寬平穩(wěn)。如果將此限制放寬即是積分型GARCH模型，即IGARCH模型。對于IGARCH模型而言，無條件方差并不存在。（二）關(guān)于GARCH模型的擾動項的分布的假設(shè)。關(guān)于GARH模型的擾動項的分布，一般會有3個假設(shè)：Normal（Gaussian）（正態(tài)高斯）分布，Student-t（t）分布，Generalized Error Distribution(GED)(廣義誤差分布)。在給定分布假設(shè)下，GARCH模型常用極大似然估計法進(jìn)行估計，似然函數(shù)可通過對偶牛頓算法或信賴域算法極大化得到1。下面介紹這三種分布的對數(shù)似然函數(shù)。1、對于擾動項服從Normal（Gau

7、ssian）分布的GARCH(1，1)模型，它的對數(shù)似然函數(shù)為： （2）這里的 是 的條件方差。2、對于擾動項服從Student-t分布的GARCH(1，1)模型，它的對數(shù)似然函數(shù)為： （3） 參數(shù)的估計變成了在自由度 的約束下是對數(shù)似然函數(shù)最大化的問題。當(dāng) 時，Student-t分布接近于正態(tài)分布。3、對于擾動項服從Generalized Error Distribution (GED)分布的GARCH(1，1)模型，它的對數(shù)似然函數(shù)為： （4）這里的 。 為GED參數(shù)，或自由度,它控制著分布尾部的薄厚程度， 表示尾部比正態(tài)分布更厚， 表示GED分布退化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布； 則說明尾部比正態(tài)分布

8、更薄。 三 、 實(shí)證研究 1、指標(biāo)選擇。本文選取滬市基金指數(shù)和深市基金指數(shù)來代表兩個基金市場，采用的樣本區(qū)間為2003年2月10日到2007年11月15日(數(shù)據(jù)來自大智慧軟件),從時間跨度上較大限度地反映了從公布指數(shù)以來基金的表現(xiàn)全貌。我們選取兩市基金指數(shù)每日收盤價，得到1158個配對數(shù)據(jù)。文中我們主要對兩市的收益率序列展開分析，用 表示t日基金指數(shù)收盤價，收益率一般表示為： = ，為了凸顯研究對象的數(shù)字特征,不妨做個單調(diào)變換，把收益率定義為 100（ ）。 2、平穩(wěn)性檢驗和基本統(tǒng)計描述。采用ADF(Dickey and Fuller，1981)和PP(Phillips and Perron，

9、1988)法進(jìn)行單位根檢驗，由于序列圍繞零均值上下波動，故檢驗選擇無常數(shù)項和趨勢項類型，單位根檢驗結(jié)果見表1。兩市收益率序列的基本統(tǒng)計描述見表2。 表1 單位根檢驗 基金指數(shù)收益率 ADF檢驗值 ADF臨界值 PP檢驗值 PP臨界值 滬市（SH） -14.12750 -3.4388 -32.84852 -3.4388 深市 (SZ) -14.17313 -3.4388 -32.30940 -3.4388 注：臨界值都是取顯著水平1%表2 兩市收益率序列基本統(tǒng)計描述基金指數(shù)收益率 均值 標(biāo)準(zhǔn)差 偏度 峰度 J-B P 滬市（SH） 0.1359 1.4691 0.1933 9.2297 1878

10、.163 0.0000 深市 (SZ) 0.1407 1.5044116 0.2958 9.596920 2114.870 0.0000 注：P為檢驗分布是否為正態(tài)的Jarque-Beta值的顯著度 3、三種不同分布下AIC、SC和H-QC值的比較。在檢驗出滬、深兩市基金收益序列存在較明顯的ARCH效應(yīng)之后，先后建立了 GARCH(1，1)，GARCH(1，2)，GARCH(2，1)，GARCH(2，2)模型，根據(jù)GARCH模型系數(shù)要求和赤池信息最小準(zhǔn)則，初步選擇GARCH(1，1)模型建模，并由GARCH(1，1)族的三種不同模型計算出了GED參數(shù)，即為我們前面提到的 值，見表3。由于GED

11、參數(shù)都是顯著小于2的，故把擾動項分布假設(shè)為GED更為合理。表3 三種不同模型下SH和SZ的 參數(shù) GARCH(1,1) GARCH(1,1)-M EGARCH(1,1)-M SH 參數(shù) 1.0779 (0.0000) 1.0536 (0.0000) 1.0504 (0.0000) SZ 參數(shù) 1.1150 (0.0000) 1.0839 (0.0000) 1.0735 (0.0000) 為了說明這種合理性，下面我們對GARCH(1，1)，GARCH(1，1)-M 和EGARCH(1，1)-M模型在Normal（Gaussian），Student-t和GED擾動項的三種不同分布假定之下，分別比較

12、AIC、SC和H-QC值，我們發(fā)現(xiàn)在三種不同的分布假定情況之下，基于GED分布的GARCH模型其AIC、SC和H-QC值基本上是最小的，見表4。 表4 三種模型在三種不同分布下AIC、SC和H-QC值的比較模型 分布 AIC SC H-QC GARCH(1，1) Normal（Gaussian） 3.159219 3.176727 3.165827 Student-t 3.053157 3.075041 3.061416 GED 3.043058 3.064943 3.051318 GARCH(1，1)-M Normal（Gaussian） 3.158240 3.180125 3.166500

13、 Student-t 3.042727 3.068989 3.052639 GED 3.030753* 3.057015* 3.040665* EGARCH(1，1)-M Normal（Gaussian） 3.164720 3.186605 3.172980 Student-t 3.041721 3.067983 3.051633 GED 3.046856 3.073117 3.056767 注：*表示最小的AIC、SC和H-QC值 4、GED-GARCH(1,1)-M模型的建立。建立滬、深兩市基金指數(shù)收益率的GED-GARCH(1,1)-M模型,并對建模結(jié)果進(jìn)行ARCH-LM檢驗，得到的殘差

14、序列在多項滯后時的統(tǒng)計結(jié)果都接受原假設(shè)。說明GARCH（1，1）模型能夠很好的消除原序列的異方差，另外 和 的 和 系數(shù)之和 刻畫了波動沖擊的衰減速度，其值小于1，就滿足了平穩(wěn)性條件，并且越靠近于1，衰減速度越慢。 基于GED-GARCH(1,1)-M的 （滬市基金指數(shù)收益率）的刻畫：均值方程： （5）方差方程： （6）基于GED-GARCH(1,1)-M 的 （深市基金指數(shù)收益率）的刻畫：均值方程： （7）方差方程： （8） 5、二階矩意義上的“溢出效應(yīng)”模型。對于開放的資本市場，不同資本市場之間在信息傳播、資金流動、市場運(yùn)作等方面的聯(lián)系不斷加強(qiáng)，使得各市場之間的關(guān)系日益緊密，不同市場之間的

15、收益越來越具有同向運(yùn)動的特征，存在不斷整合的趨勢。一個資本市場上的波動不僅受自身過去波動的影響，往往也會受其它市場波動的影響，這種市場間波動的傳導(dǎo)關(guān)系為波動“溢出效應(yīng)”。Hamao(1990)提出“溢出效應(yīng)”模型，分析了不同市場之間的短期互動性。 用上文基于GED-GARCH(1,1)-M的深、滬兩市基金指數(shù)收益率的刻畫模型的殘差項的條件方差來描述基金市場的波動性（如圖1所示）。從兩市波動走勢圖上可以看出，兩市的波動存在顯著相關(guān)關(guān)系。 圖1 滬、深兩市波動走勢圖反映兩市場的整合的特性應(yīng)該在收益的二階矩上有所體現(xiàn)，對波動的溢出效應(yīng)在二階矩意義上進(jìn)行Granger因果檢驗，記 、 分別為上海和深證

16、的基金收益率的方差序列，定義如下方程： ， ， （9） Granger因果關(guān)系的原假設(shè)（ ）為市場j對市場i不存在Granger因果關(guān)系。如果 成立，則方程（9）中的系數(shù) 都應(yīng)為零。檢驗結(jié)果見表5。表5 Granger（格蘭杰）因果關(guān)系檢驗結(jié)果F統(tǒng)計量 滯 后 階 數(shù) 1 2 3 4 10 30 60 384.14* 289.05* 222.83* 166.64* 69.50* 21.78* 11.03* 0.52 0.80 1.72 3.21* 4.22* 3.88* 4.17* 注：*表示在5%的水平上顯著，*表示在1%的水平上顯著?！?”表示不能Granger（格蘭杰）因果。檢驗結(jié)果表明

17、，在二階矩意義上，從滯后1階開始，我們都可以在1%的顯著性水平上拒絕深市基金市場的收益不影響滬市基金收益的原假設(shè)，即我們接受這樣的認(rèn)識：深市基金市場會影響到上海基金市場，且其影響在滯后到60階時都還是極其顯著的；同時滬市基金市場的收益率對于深市基金市場的收益率的影響在滯后的三階是不顯著的，而從滯后四階，其后直到60階在5%的水平上都是顯著的。四、 結(jié)論與思考1、對滬、深兩市的基金指數(shù)收益率ADF檢驗表明樣本序列具有平穩(wěn)性，對兩序列PP平穩(wěn)性檢驗也得出相同的結(jié)論?；鹬笖?shù)收益率均值為正，表明基金投資收益較好，基金整體業(yè)績上升。我們采用峰度(K)、偏度(S)以及JB檢驗聯(lián)合判斷樣本序列的正態(tài)性(見

18、表2)，結(jié)果表明樣本序列顯著異于正態(tài)分布，從取值的分布看表現(xiàn)的則是尖峰厚尾(leptokurtosis and fat-tail)特征。深市上的偏度更大，峰也更高，因此，和滬市相比，深市的基金交易更具有不確定性。2、在討論了關(guān)于GARCH模型擾動項的分布假設(shè)之后，對不同分布假定的GARCH族模型進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)基于廣義誤差分布的GARCH類模型較好地解釋了收益率分布的尖峰性和厚尾性，并且我們引入GED-GARCH-M模型后，發(fā)現(xiàn)滬、深兩市基金市場上風(fēng)險和收益的依存關(guān)系。滬深兩市的EGARCH(1，1)-M模型的估計結(jié)果表明，杠桿效應(yīng)的系數(shù)分是顯著存在的，即存在較為明顯的杠桿效應(yīng)。3、為了研究溢出效應(yīng)，我們在二階矩意義上對波動進(jìn)行Granger因果檢驗，在前三天，深、滬之間信息的傳導(dǎo)機(jī)制在收益率的二階