有理數(shù)的概念-教案例題習(xí)題

1、有理數(shù)的概念一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)： 了解正數(shù)、負(fù)數(shù)、有理數(shù)的概念，會用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示相反意義的量。掌握一個數(shù)的相反數(shù)的求法和性質(zhì)，學(xué)習(xí)使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解相反數(shù)的幾何意義，會借助數(shù)軸比較有理數(shù)的大小。掌握一個數(shù)的絕對值的求法和性質(zhì)，進(jìn)一步學(xué)習(xí)使用數(shù)軸，借助數(shù)軸理解絕對值的幾何意義。重點： 有理數(shù)的概念及其分類，相反數(shù)的概念及求法，絕對值的概念及求法，數(shù)軸的概念及應(yīng)用；有理數(shù)比較大小難點： 絕對值的概念及求法，尤其是用字母表示的時候的意義。運用數(shù)軸理解絕對值的幾何意義。有理數(shù)比較大小的方法的掌握。二、知識要點梳理知識點一：負(fù)數(shù)的引入要點詮釋： 正數(shù)和負(fù)數(shù)是根據(jù)實際需要而產(chǎn)生的，隨著社會的發(fā)展，

2、小學(xué)學(xué)過的自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)已不能滿足實際的需要，比如一些有相反意義的量：收入200元和支出100元、零上6和零下6等等，它們不但意義相反，而且表示一定的數(shù)量，怎樣表示它們呢？我們把一種意義的量規(guī)定為正的，把另一種和它意義相反的的量規(guī)定為負(fù)的，這樣就產(chǎn)生了正數(shù)和負(fù)數(shù)。用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時，哪種意義為正，是可以任意選擇的，但習(xí)慣把“前進(jìn)、上升、收入、零上溫度”等規(guī)定為正，而把“后退、下降、支出、零下溫度”等規(guī)定為負(fù)。知識點二：正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念要點詮釋： （1） 像3、1.5、584等大于0的數(shù)，叫做正數(shù)，在小學(xué)學(xué)過的數(shù)，除0以外都是正數(shù)，正數(shù)比0大。（2） 像3、1.5、584等在

3、正數(shù)前面加“”(讀作負(fù))號的數(shù)，叫做負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)比0小。（3） 零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，零是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界。注意：（1）為了強(qiáng)調(diào)，正數(shù)前面有時也可以加上“”（讀作正）號，例如：3、1.5、也可以寫作3、1.5、。（2）對于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡單理解為：帶“”號的數(shù)是正數(shù)，帶“”號的數(shù)是負(fù)數(shù)。例如：a一定是負(fù)數(shù)嗎？答案是不一定。因為字母a可以表示任意的數(shù)，若a表示的是正數(shù)，則a是負(fù)數(shù)；若a表示的是0，則a仍是0；當(dāng)a表示負(fù)數(shù)時，a就不是負(fù)數(shù)了（此時a是正數(shù)）。知識點三： 有理數(shù)的有關(guān)概念要點詮釋： 1、 有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。注：（1）有時為了研究的需要，整數(shù)也可以看作是分母為1的

4、數(shù)，這時的分?jǐn)?shù)包括整數(shù)。但是本節(jié)中的分?jǐn)?shù)不包括分母是1的分?jǐn)?shù)。（2）因為分?jǐn)?shù)與有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以互化，上述小數(shù)都可以用分?jǐn)?shù)來表示，所以我們把有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都看作分?jǐn)?shù)。（3）“0”即不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，但“0”是整數(shù)。2、整數(shù)包括正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)。例如：1、2、3、0、1、2、3等等。3、分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，例如：、0.6、0.6等等。知識點四：有理數(shù)的分類要點詮釋： 1、 按整數(shù)、分?jǐn)?shù)的關(guān)系分類： 2、 按正數(shù)、負(fù)數(shù)與0的關(guān)系分類： 注： 通常把正數(shù)和0統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和0稱為非負(fù)整數(shù)（也叫做自然數(shù)），負(fù)整數(shù)和0統(tǒng)稱為非正整數(shù)。如果用字母表示數(shù)

5、，則a0表明a是正數(shù)；a0表明a是負(fù)數(shù)；a0表明a是非負(fù)數(shù)；a0表明a是非正數(shù)。知識點五：數(shù)軸的概念要點詮釋： 規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸數(shù)軸的定義包含三層含義：（1）數(shù)軸是一條直線，可以向兩端無限延伸；（2）數(shù)軸有三要素原點、正方向、單位長度，三者缺一不可；（3）原點的選定、正方向的取向、單位長度大小的確定，都是根據(jù)實際需要“規(guī)定”的（通常取向右為正方向）。 知識點六：數(shù)軸的畫法要點詮釋： 1、畫一條直線（一般畫成水平的直線）。2、在直線上選取一點為原點，并用這點表示零（在原點下面標(biāo)上“0”）。3、確定正方向（一般規(guī)定向右為正），用箭頭表示出來。4、選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度

6、，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1，2，3；從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示為1，2，3注：（1）原點的位置、單位長度的大小可根據(jù)實際情況適當(dāng)選??；（2）確定單位長度時，根據(jù)實際情況，有時也可以每隔兩個(或更多的)單位長度取一點，從原點向右，依次表示為2，4，6，；從原點向左，依次表示為2，4，6，；知識點七：數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，反過來，不能說數(shù)軸上所有的點都表示有理數(shù)。要點詮釋： 正有理數(shù)可以用原點右邊的點表示，負(fù)有理數(shù)可以用原點左邊的點表示，零用原點表示。知識點八：利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小要點詮釋： 在數(shù)軸上表示的兩個

7、數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。正數(shù)都大于0；負(fù)數(shù)都小于0；正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。知識點九：相反數(shù)的概念1、相反數(shù)的幾何定義：在數(shù)軸上原點的兩旁，到原點距離相等的兩個點所表示的數(shù)，叫做互為相反數(shù)。2、相反數(shù)的代數(shù)定義：只有符號不同的兩個數(shù)（除了符號不同以外完全相同），我們說其中一個是另一個的相反數(shù)，0的相反數(shù)是0。要點詮釋： （1）“只”字是說僅僅是符號不同，其它部分完全相同；（2）相反數(shù)是數(shù)，不是量；（3）相反數(shù)是成對出現(xiàn)的。知識點十：相反數(shù)的表示方法要點詮釋：一般地，數(shù)a的相反數(shù)是a。這里a表示任意的一個數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)、或者0。知識點十一：多重符號的化簡把多重符號化成單一符號，如果是正號，則

8、可以省略不寫，實際上，多重符號的化簡是由“-”的個數(shù)來定，若“-”個數(shù)為偶數(shù)個時，化簡結(jié)果為正，如-(-4)=4 ；若“-”個數(shù)為奇數(shù)個時，化簡結(jié)果為負(fù)，如-+-(-4)=-4 。要點詮釋： 1、在一個數(shù)的前面添上一個“”號，仍然與原數(shù)相同，如55，（5）5。2、在一個數(shù)的前面添上一個“”號，就成為原數(shù)的相反數(shù)。如(3)就是3的相反數(shù)，因此，(3)3。知識點十二：絕對值的概念要點詮釋： 1、絕對值的幾何定義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，數(shù)a的絕對值記作“”2、絕對值的代數(shù)定義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。即知識點十三：兩個負(fù)數(shù)

9、大小的比較要點詮釋： 因為兩個負(fù)數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系是：絕對值較大的負(fù)數(shù)一定在絕對值較小的負(fù)數(shù)的左邊，所以，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。比較兩個負(fù)數(shù)大小的方法是：一、先分別求出這兩個負(fù)數(shù)的絕對值；二、比較這兩個絕對值的大?。蝗?、根據(jù)“兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小”做出正確的判斷。知識點十四：有理數(shù)大小的比較法則要點詮釋： 正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小。三、規(guī)律方法指導(dǎo)有理數(shù)與小學(xué)所學(xué)的數(shù)，主要區(qū)別在于負(fù)數(shù)。有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點來表示，任何一個有理數(shù)都能在數(shù)軸上找到表示它的位置，而是唯一確定的點。數(shù)軸上的點可以表示三類數(shù)。在數(shù)軸上表示零的點稱做原點，以

10、這個點為界，正有理數(shù)（正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)）用原點右邊的點來表示；負(fù)有理數(shù)（負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)）用原點左邊的點來表示，這就說明，數(shù)軸是有方向的。由于數(shù)軸規(guī)定了方向，因而在數(shù)軸上排列著的數(shù)就是有順序的。從左到右一個數(shù)比一個數(shù)大。即數(shù)軸上表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大。在數(shù)軸上，原點左、右兩邊距離原點等遠(yuǎn)的點所表示的有理數(shù)，它們只有符號不同，這樣的一對數(shù)稱為互為相反數(shù)。如果數(shù)軸上的點只考慮它到原點的距離，而不考慮它的正、負(fù)方向的數(shù)，則表示這個有理數(shù)的絕對值。經(jīng)典例題透析類型一：有理數(shù)分類的問題例1：請把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號里。1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.141592

11、65, , .正整數(shù)集合: 負(fù)整數(shù)集合: 整數(shù)集合: 正分?jǐn)?shù)集合: 負(fù)分?jǐn)?shù)集合: 分?jǐn)?shù)集合: 思路點撥:這種關(guān)于有理數(shù)的分類問題，關(guān)鍵是要掌握各種數(shù)的概念。小學(xué)時所學(xué)的自然數(shù)就是正整數(shù)和零，進(jìn)入中學(xué)，出現(xiàn)了負(fù)整數(shù)，而整數(shù)的范圍就擴(kuò)大到了正整數(shù)、零和負(fù)整數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，因此，它們都是分?jǐn)?shù)。解析：正整數(shù)：1；負(fù)整數(shù)：-700；整數(shù)：1，0，-700；正分?jǐn)?shù)：0.0708，3.14159265，；負(fù)分?jǐn)?shù)：-3.88，；分?jǐn)?shù)：0.0708，3.14159265，-3.88，總結(jié)升華：有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)包含有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，但須注意的是，不是所有的小數(shù)都是分

12、數(shù)，比如等。所以，我們也不能說小學(xué)學(xué)過的所有數(shù)都是有理數(shù)，還有一部分?jǐn)?shù)不是有理數(shù)，那么這部分?jǐn)?shù)我們將在今后學(xué)習(xí)研究。舉一反三：【變式1】在數(shù)-100, 70.8, -7, , -3.8, 0, , , 中,不是分?jǐn)?shù)的是_;不是小數(shù)的是_;不是有理數(shù)的是_?！咀兪健肯铝兴姆N說法，正確的是( ).(A)所有的正數(shù)都是整數(shù) (B)不是正數(shù)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)(C)正有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù) (D)0不是最小的有理數(shù)類型二：正負(fù)數(shù)的概念例2：若把向北走7km記為7km，則10km表示的含義是（ ）A.向北走10km B.向西走10km C.向東走10km D.向南走10km思路點撥：“正”和“負(fù)”相對，7km表

13、示向北走7km，則10km表示向南走10 km.答案：D總結(jié)升華：在一對具有相反意義的量中，若先規(guī)定一個為正，則另一個就用負(fù)表示；若先規(guī)定一個為負(fù)，則另一個就用正表示。舉一反三：【變式】(1)如果收入300元記作+300元，那么支出500元用_ 表示，0元表示_ .(2)若購進(jìn)50本書，用-50本表示，則盈利30元如何表示？類型三：與數(shù)軸相關(guān)的問題例3: 數(shù)軸上有一點到原點的距離是5.5，那么這個點表示的數(shù)是 _.思路點撥:到原點的距離等于5.5 的點既可以在原點左邊，也可以在原點右邊，因此這樣的點有兩個。解析：5.5或-5.5 總結(jié)升華：與數(shù)軸相關(guān)的問題還有數(shù)軸的畫法以及借助數(shù)軸來比較有理數(shù)

14、的大小。例4：如右圖所示，數(shù)軸的一部分被墨水污染了，被污染的部分內(nèi)含有的整數(shù)為 _.思路點撥:數(shù)軸上的點表示的數(shù)右邊的比左邊的大。因此，被污染的部分的數(shù)大于-1.3，小于2.6，再考慮這一范圍內(nèi)的整數(shù)即可。解析：-1,0,1,2總結(jié)升華：利用數(shù)軸解決問題是數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的的一個重要應(yīng)用，要能由 “形”看出“量”的一些關(guān)系。舉一反三：【變式1】實數(shù)在數(shù)軸上表示如圖所示，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）A. B. C. D.【變式2】一個點從數(shù)軸的原點開始,先向右移動3個單位長度,再向左移動5個單位長度,則終點表示的數(shù)是_.【變式3】數(shù)軸上點A對應(yīng)的數(shù)為-3,那么與A相距1個長度的點B所對應(yīng)的數(shù)是_.類

15、型四：與相反數(shù)相關(guān)的問題例5：（1）的相反數(shù)是_，3與_互為相反數(shù)（2）的相反數(shù)是_，的相反數(shù)是_，的相反數(shù)是_.（3）0的相反數(shù)是_.（4）已知那么的相反數(shù)是_.已知，則a的相反數(shù)是_.思路點撥:(1)代數(shù)意義：只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，特別地，O的相反數(shù)是0相反數(shù)必須成對出現(xiàn)，不能單獨存在例如+5和5互為相反數(shù)，或者說+5是5的相反數(shù)，5是+5的相反數(shù)，而單獨的一個數(shù)不能說是相反數(shù)另外，定義中的“只有”指除符號以外，兩個數(shù)完全相同，注意應(yīng)與“只要符號不同”區(qū)分開例如+3與3互為相反數(shù)，而+3與2雖然符號不同，但它們不是相反數(shù)(2)幾何意義：一對相反數(shù)在數(shù)軸上應(yīng)分別位于原點兩側(cè)，并且到

16、原點的距離相等這兩點是關(guān)于原點對稱的(3)求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“一”號即可一般地，數(shù)a的相反數(shù)是a；這里以a表示任意一個數(shù)，可以為正數(shù)、0、負(fù)數(shù)，也可以是任意一個代數(shù)式注意a不一定是負(fù)數(shù)注意： 當(dāng)aO時，a0(正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù))；當(dāng)a=O時，a=O(0的相反數(shù)是0)；當(dāng)a0時，aO (負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù))(4)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的和為零，即若a與b互為相反數(shù)，則a+b=0，反之，若a+b=O，則a與b互為相反數(shù)(5)多重符號的化簡：一個正數(shù)前面不管有多少個“”號，都可以全部去掉；一個正數(shù)前面有偶數(shù)個“”號，也可以把“”號全部去掉；一個正數(shù)前面有奇數(shù)個“”號，則化簡后只

17、保留一個“”號，既“奇負(fù)偶正”（其中“奇偶”是指正數(shù)前面的“”號的個數(shù)的奇偶數(shù)，“負(fù)正”是指化簡的最后結(jié)果的符號）.解析：（1），3； （2）m,-(-m+1),-(m+1); (3) 0 (4) -9, 9總結(jié)升華：求相反數(shù)時，要緊緊抓住“只有符號不同”這一條件，即“符號不同而數(shù)字相同”的兩個數(shù)。舉一反三： 【變式1】(1) 一個數(shù)的相反數(shù)的倒數(shù)是-4,這個數(shù)是_.(2) 如果與-3互為相反數(shù),那么等于( ) A. 3 B. -3 C. D. 類型五：與絕對值相關(guān)的問題例6：的絕對值是_.思路點撥:（1）取絕對值也是一種運算，這個運算符號是“”，求一個數(shù)的絕對值， 就是根據(jù)性質(zhì)去掉絕對值符號

18、.（2）絕對值具有非負(fù)性，取絕對值的結(jié)果總是正數(shù)或0.（3）任何一個有理數(shù)都是由兩部分組成：符號和它的絕對值，如：5，符號是負(fù)號，絕對值是5.解析：總結(jié)升華：絕對值符號具有括號的功能，根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號即可舉一反三：【變式1】（1）已知x=4，y=6，求代數(shù)式x+y的值.（2）已知有理數(shù)的概念課后練習(xí)一、填空題（每空2分，共48分）1-2.5的相反數(shù)是_，絕對值是_。2最小的正整數(shù)是_，最大的負(fù)整數(shù)是_，絕對值最小的數(shù)是_。3在有理數(shù)-3，0，3.1416，-（-7），中，屬于負(fù)數(shù)集的是_， 屬于正分?jǐn)?shù)集的是_，屬于整數(shù)集的是_。4|-7|=_， | |=。5化簡-（-2002）= _，-（-3.14）=_，_。6a的相反數(shù)是-11，那么_。若3是x的相反數(shù)，那么x=_， 3×（-x）=_。7相反數(shù)大于-4的正整數(shù)是_，絕對值不大于2的整數(shù)是_。8一個數(shù)的絕對值與它的相反數(shù)相等，這個數(shù)為_，一個數(shù)的相反數(shù)大于它的本身， 這個數(shù)為_。9若兩個數(shù)的絕對值相等，這兩個數(shù)可能是_。10若一個數(shù)的相反數(shù)不小于零，那么這個數(shù)為_。11若|-m|=-（-0