高等代數(shù)與解析幾何課程教學(xué)大綱上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系

1、高等代數(shù)與空間解析幾何課程教學(xué)大綱課程名稱(chēng)：高等代數(shù)與空間解析幾何課程代碼：學(xué) 分 / 學(xué) 時(shí)：10學(xué)分 / 160學(xué)時(shí)適用專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)先修課程：開(kāi)課單位：理學(xué)院數(shù)學(xué)系一、課程性質(zhì)和教學(xué)目標(biāo)（需明確各教學(xué)環(huán)節(jié)對(duì)人才培養(yǎng)目標(biāo)的貢獻(xiàn)）（一）本課程的性質(zhì)、地位和作用高等代數(shù)與空間解析幾何是數(shù)學(xué)系兩門(mén)最重要的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課之一，其主要內(nèi)容有多項(xiàng)式理論與線(xiàn)性代數(shù)兩部分。本課程的教學(xué)目的是使學(xué)生初步掌握基本的、系統(tǒng)的代數(shù)知識(shí)和抽象的嚴(yán)格的代數(shù)方法，為后繼課程如近世代數(shù)、常微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何、計(jì)算方法等提供必須具備的代數(shù)知識(shí)，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的各門(mén)課程所需要的抽象思維能力

2、提供一定的訓(xùn)練。高等代數(shù)與空間解析幾何課程是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和提高。通過(guò)本課程的教學(xué)，要使學(xué)生對(duì)中學(xué)代數(shù)的理解得到實(shí)質(zhì)性的提高和升華。本課程在教學(xué)中要求學(xué)生確切理解高等代數(shù)與空間解析幾何中的基本概念，不僅要正確掌握這些概念的內(nèi)涵，還要了解這些概念的實(shí)際背景與對(duì)將來(lái)各課程的應(yīng)用前景和對(duì)人類(lèi)文明的推動(dòng)作用。對(duì)于一些基本的重要概念，還要求了解它們產(chǎn)生與發(fā)展的過(guò)程及概念推廣的原則；與中學(xué)代數(shù)有直接聯(lián)系或者平行的概念，要求學(xué)生能與中學(xué)數(shù)學(xué)中相應(yīng)概念加以比較，并以新的高級(jí)觀點(diǎn)理解、認(rèn)識(shí)已有的概念和知識(shí)體系。對(duì)于高等代數(shù)與空間解析幾何的基本理論，要求學(xué)生理解基本理論的結(jié)果，掌握典型定理的論證方法或思想，同時(shí)要

3、求學(xué)生能了解嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚擉w系，體會(huì)建立這種體系的抽象的代數(shù)方法。通過(guò)本課程的教學(xué)，要求學(xué)生能顯著地提高應(yīng)用基本概念、基本理論作抽象論證的能力；熟練地掌握基本的論證方法與基本的計(jì)算方法，特別要掌握基本的線(xiàn)性代數(shù)計(jì)算法。（二）本大綱制訂的依據(jù)根據(jù)我校建設(shè)世界一流大學(xué)的宏偉藍(lán)圖，數(shù)學(xué)系的目標(biāo)應(yīng)當(dāng)是培養(yǎng)“科學(xué)大師”。本大綱即是以此標(biāo)準(zhǔn)而制定，較原有大綱在教學(xué)內(nèi)容上有了大幅度擴(kuò)充和加深，對(duì)學(xué)生的能力要求也有較大提高。（三）大綱內(nèi)容選編原則與要求1鑒于我校尚無(wú)符合要求的自己的教材，以往的大綱往往以與北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組編高等代數(shù)（高等教育出版社第三版）為藍(lán)本制定，授課教師爺往往以自己的偏好

4、選擇講授內(nèi)容，具有較大隨意性。2為了避免教學(xué)上的難點(diǎn)過(guò)于集中，個(gè)別定理(如Jordan標(biāo)準(zhǔn)型)的掌握可以側(cè)重于定理的結(jié)果和證明定理的方法，以達(dá)到掌握基本的代數(shù)方法的目的。3每一章的重點(diǎn)內(nèi)容要重點(diǎn)講解，在講清概念的基礎(chǔ)上，通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)（課堂討論、作業(yè)、習(xí)題課、自學(xué)課外資料、大作業(yè)、問(wèn)題探討）以達(dá)到掌握高等代數(shù)中常用的計(jì)算方法、基本運(yùn)算中的技能和技巧以及提高綜合計(jì)算和解決問(wèn)題的能力的目的。難點(diǎn)要逐步引入，分散講解。4本大綱列入部分帶“ ”的內(nèi)容，供選用，不計(jì)算入總課時(shí)。本課程各教學(xué)環(huán)節(jié)對(duì)人才培養(yǎng)目標(biāo)的貢獻(xiàn)見(jiàn)下表。知識(shí)能力素質(zhì)要求各教學(xué)環(huán)節(jié)的貢獻(xiàn)度課堂講授課堂討論自學(xué)小組大作業(yè) 作業(yè)考試課堂整體貢

5、獻(xiàn)度知識(shí)知識(shí)體系理解一元多項(xiàng)式,掌握矩陣與線(xiàn)性方程組、線(xiàn)性空間與內(nèi)積空間、矩陣與線(xiàn)性變換的基本理論能力清晰思考和用語(yǔ)言文字準(zhǔn)確表達(dá)的能力 發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的能力批判性思考和創(chuàng)造性工作的能力與不同類(lèi)型的人合作共事的能力至少一種外語(yǔ)的應(yīng)用能力終生學(xué)習(xí)的能力組織管理能力獲取整理信息的能力*素質(zhì)志存高遠(yuǎn)、意志堅(jiān)強(qiáng)刻苦務(wù)實(shí)、精勤進(jìn)取身心和諧、視野開(kāi)闊思維敏捷、樂(lè)于創(chuàng)新二、課程教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配（含習(xí)題課、作業(yè)、討論等的內(nèi)容及要求）教學(xué)內(nèi)容學(xué)時(shí)課堂教學(xué)討論作業(yè)及要求自學(xué)及要求團(tuán)組大作業(yè)及要求第一章 多項(xiàng)式數(shù)域、一元多項(xiàng)式、帶余除法、最大公因式、多項(xiàng)式的根、代數(shù)基本定理、實(shí)數(shù)域和有理數(shù)域上的多項(xiàng)式、多元

6、多項(xiàng)式24學(xué)時(shí)18學(xué)時(shí)一元多項(xiàng)式與整數(shù)的關(guān)系每堂課均布置課后作業(yè)或自學(xué)內(nèi)容；一周后請(qǐng)若干完成作業(yè)優(yōu)秀的同學(xué)上臺(tái)講解，師生共同點(diǎn)評(píng)將一元多項(xiàng)式的除法推廣到二元多項(xiàng)式(查閱相關(guān)文獻(xiàn))并總結(jié)研究一元多項(xiàng)式的除法如何推廣到多元多項(xiàng)式(查閱相關(guān)文獻(xiàn))并總結(jié)第二章 行列式矩陣、行列式及性質(zhì)、Cramer法則10學(xué)時(shí)8學(xué)時(shí)行列式不同定義之比較布置課后作業(yè)查閱資料，了解排列、置換與置換群等第三章 矩陣矩陣的運(yùn)算、可逆矩陣、矩陣的秩、矩陣的初等變換與初等矩陣、分塊矩陣、矩陣與線(xiàn)性方程組16學(xué)時(shí)12學(xué)時(shí)運(yùn)算的本質(zhì)是什么？布置課后作業(yè)第四章 線(xiàn)性空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算、線(xiàn)性空間的定義、線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)、秩、維數(shù)與基

7、、線(xiàn)性方程組的解、坐標(biāo)與基變換、子空間與商空間、子空間的和與直和、線(xiàn)性空間的同同態(tài)與同構(gòu)28學(xué)時(shí)22學(xué)時(shí)線(xiàn)性空間的定義的若干問(wèn)題；數(shù)學(xué)的抽象性布置課后作業(yè)線(xiàn)性空間在現(xiàn)代科技的例子是否有必要拓展線(xiàn)性空間的定義？如何拓展？第五章 線(xiàn)性變換線(xiàn)性變換的定義、線(xiàn)性變換的運(yùn)算、線(xiàn)性變換的矩陣、線(xiàn)性變換的和核與像、特征值與特征向量、特征子空間、特征多項(xiàng)式與最小多項(xiàng)式、可對(duì)角化的線(xiàn)性變換、不變子空間。30學(xué)時(shí)24學(xué)時(shí)線(xiàn)性變換在現(xiàn)代科技中的例子布置課后作業(yè)利用特征值與特征向量的理論，研究整數(shù)矩陣方程X2=I等；有何啟發(fā)？線(xiàn)性變換的微分學(xué)、Jacobi猜想第六章多項(xiàng)式矩陣多項(xiàng)式矩陣及標(biāo)準(zhǔn)型、矩陣相似的條件、復(fù)方陣

8、的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形12學(xué)時(shí)10學(xué)時(shí)布置課后作業(yè)第七章 歐氏空間歐式空間的定義、標(biāo)準(zhǔn)正交基、歐氏空間的同構(gòu)、共軛變換、實(shí)正規(guī)變換、正交變換、對(duì)稱(chēng)變換、酉空間、復(fù)正規(guī)變換、酉變換及Hermite變換、向量積與混合積28學(xué)時(shí)22學(xué)時(shí)布置課后作業(yè)第八章 雙線(xiàn)性函數(shù)與實(shí)二次型對(duì)偶空間、雙線(xiàn)性函數(shù)、實(shí)二次型及標(biāo)準(zhǔn)形、正定二次型、二次型在分析中的應(yīng)用、二次型在解析幾何中的應(yīng)用。26學(xué)時(shí)20學(xué)時(shí)布置課后作業(yè)利用矩陣及整系數(shù)二次型的理論，研究四平方數(shù)定理及CS的15定理.第九章 仿射幾何與射影幾何仿射幾何、基本仿射性質(zhì)、仿射同構(gòu)、仿射幾何基本定理、射影幾何、射影幾何的基本關(guān)聯(lián)定理、射影同構(gòu)、對(duì)偶、對(duì)偶幾何、射

9、影二次型30學(xué)時(shí)24學(xué)時(shí)幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的關(guān)系布置課后作業(yè)仿射幾何與射影幾何的歷史三、教學(xué)方法以課堂教學(xué)為主，結(jié)合試題課、自學(xué)、數(shù)學(xué)作業(yè)。四、考核及成績(jī)?cè)u(píng)定方式建議最終成績(jī)由平時(shí)作業(yè)與課堂參與度、期中考試、考試成績(jī)等部分組合而成。各部分所占比例建議如下：平時(shí)作業(yè)和上課參與程度：30%。期中考試：30%期末考試 40%五、教材及參考書(shū)目教材：1. 藍(lán)以中，高等代數(shù)簡(jiǎn)明教程（上、下），第二版，北京大學(xué)出版社，2010 參考書(shū)目：1. 姚慕生、吳泉水，高等代數(shù)學(xué)，復(fù)旦大學(xué)出版社；2. 張賢科、許莆華，高等代數(shù)學(xué)，清華大學(xué)出版社，2004；3. 許以超，線(xiàn)性代數(shù)與矩陣論，高等教育出版社，2008；4.

10、龔升，線(xiàn)性代數(shù)五講，科學(xué)出版社，2005；5. 孟道驥，高等代數(shù)與空間解析幾何(第二版)，科學(xué)出版社，2007。6. 蘇步青，高等幾何講義， 上?？萍汲霭嫔?，1964；7. 方德植、陳奕培， 射影幾何，高等教育出版社，1983；8. A N. 柯斯特利金，代數(shù)學(xué)引論（第二版），高等教育出版社，2010；9 S K. Berberian, Linear algebra. Oxford, USA:Oxford Univ. Press,1992.10. W C. Bwown, A second course in linear algebra, New York: J. Wiley & Sons, 198811. K W. Gruenberg, A J. Weir, Linear geometry (2nd Edition). New York: Springer-Verlag, 1997.12. D H. Griffel, Linear algebra and its applications, New York: Marcei Dekker, 1985.13. P.Lax, Linear algebra and its applications,2ndEdition, New York: J. Wiley &am