五節(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)公式ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式一、一個(gè)方程的情形二、方程組的情形一、隱函數(shù)存在定理簡(jiǎn)介隱函數(shù)：由方程所確定的函數(shù).隱函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù)F(x,y)在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 那么方程 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能獨(dú)一確定一個(gè)延續(xù)且具有延續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x)，它滿足條件 ，并有 ),(00yxP, 0),(00yxF)(00 xfy , 0),(00yxFy0),(yxF),(00yx）（ 1 ddyxFFxy 1.一個(gè)方程的情形例 驗(yàn)證方程在點(diǎn)能確定一個(gè)有延續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)0122 yx)1 ,0(0 x1 y時(shí)的隱函數(shù). )(xfy 解設(shè) ),(yxF122 yx那么

2、xFx2 yFy2 )1 , 0(F0 )1 , 0(yF20 由定理1得：方程在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)能確定一個(gè)有延續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)0122 yx)1 , 0(0 x1 y時(shí)的隱函數(shù). )(xfy 的某鄰域內(nèi)隱函數(shù)存在定理2 設(shè)函數(shù)的某一鄰域內(nèi)具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ，那么方程F(x,y,z)=0在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)恒能獨(dú)一確定一個(gè)延續(xù)且具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) z=f(x,y)，它滿足條件 并有),(),(000zyxPzyxF在點(diǎn)0),(000zyxFz, 0),(000zyxF),(000zyx),(000yxfz zxFFxz zyFFyz(2)2、方程組的情形vuvuGGFFvuGFJ),(),(隱函數(shù)存在

3、定理3 設(shè)F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v) 在 點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式或稱雅可比(Jacobi)式：),(0000vuyxP, 0),(0000vuyxF, 0),(0000vuyxG在點(diǎn) 不等于零，),(0000vuyxP那么0),(0),(vuyxGvuyxF),(0000vuyx在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能獨(dú)一確定一組延續(xù)且具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) u=u(x,y)，v=v(x,y)，它們滿足條件),(000yxuu ),(000yxvv 并有vvuuvvxxGFGFGFGFvxGFJxu ),(),(1方程組vvuuxxuuGFGFGF

4、GFxuGFJxv ),(),(1vvuuvvyyGFGFGFGFvyGFJyu ),(),(1vvuuyyuuGFGFGFGFyuGFJyv ),(),(1(3)下面，總假設(shè)隱函數(shù)存在且可導(dǎo)， 在此前提下來(lái)討論求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的方法。1、一個(gè)方程的情形(1)0),( yxF設(shè)該方程確定了函數(shù):)(xyy 即0)(, xyxF等式兩端同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo), 得xF1 +yFdxdy = 0解解得得的的條條件件下下在在,0 yF dxdyyxFF 二、隱函數(shù)的求導(dǎo)法(2)0),( zyxF設(shè)該方程確定了函數(shù):),(yxzz 即0),(, yxzyxF等式兩端同時(shí)對(duì) x 求偏導(dǎo), 得xF 1 +

5、yF0 = 0解得的條件下在,0zF xzzxFF zFxz +等式兩端同時(shí)對(duì) y 求偏導(dǎo), 得xF0 +yF1 = 0解得的條件下在,0zF yzzyFF zFyz +(3)0),( uzyxF設(shè)該方程確定了函數(shù):),(zyxuu 即0),(, zyxuzyxF等式兩端同時(shí)對(duì) x 求偏導(dǎo), 得xF 1 +yF0 = 0解解得得的的條條件件下下在在,0 uF xuuxFF zF0 +類似可得uFxu + yuuyFF zuuzFF xF xydd23),( xyeyxFxy 設(shè)設(shè)解 yF23yyexy xyxexy6 xyxeyyexyxy632 yxFF =dxdyxyyxyexy求求確定了

6、函數(shù)確定了函數(shù)由方程由方程設(shè)設(shè)例例),( 3 1 2 =xyxeyeyxyxy632 例2 22)2( ,)1( ),(0 xzyzxzyxzzxyzez 求求確確定定了了函函數(shù)數(shù)由由方方程程設(shè)設(shè)解 1設(shè)xyzezyxFz ),( xF, yz yF, xz zFxyez xzzxFF =xyeyzz =xyeyzz yzzyFF =xyexzz =xyexzz 2)(xzx )(xyeyzz 22xz =x=2)( xyez xzy )(xyez yzxzez ()y =2)( xyez yxyeyzz )(xyez yz ze(xyeyzz )y =32232)(22xyeezyzxyze

7、yzzz 留意., ,不能看作常數(shù)的函數(shù)看作仍要將的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)對(duì)求yxzxxz2.方程組的情形0),(0),( ) 1 (zyxGzyxF設(shè)該方程組確定了)( )( xzzxyy方程組兩端同時(shí)對(duì) x 求導(dǎo)，得1 xF+dxdyFy +dxdzFz01 xG+dxdyGy +dxdzGz 0 即xF +dxdyFy dxdzFz xG +dxdyGy dxdzGz 解解得得的的條條件件下下在在,0 zyzyGGFF dxdyzyzyzxzxGGFFGGFF dxdzzyzyxyxyGGFFGGFF zyzyzxzxGGFFGGFF =zyzyxyxyGGFFGGFF 0),(0),( )2(vuy

8、xGvuyxF設(shè)該方程組確定了:),( yxuu 方程組兩端同時(shí)對(duì) x 求偏導(dǎo)，得1 xF+xuFu +xvFv 0 1 xG+xuGu +xvGv 0 即xF +xuFu xvFv xG +xuGu xvGv +0 yF+0 yG),( yxvv 解得的條件下在,0 vuvuGGFF xuvuvuvxvxGGFFGGFF xvvuvuxuxuGGFFGGFF vuvuvxvxGGFFGGFF =vuvuxuxuGGFFGGFF 同理, 方程組兩邊同時(shí)對(duì) y 求偏導(dǎo),可得0 xF+yuFu +yvFv 0 0 xG+yuGu +yvGv 0即yF +yuFu yvFv yG +yuGu yvG

9、v +1 yF+1 yG解得解得的條件下的條件下在在,0 vuvuGGFF yuvuvuvyvyGGFFGGFF yvvuvuxuxuGGFFGGFF vuvuvyvyGGFFGGFF =vuvuyuyuGGFFGGFF 例3 dxdzdxdyzzyxzzyx, 00322，求，求設(shè)設(shè) 解),(),( xzzxyy 設(shè)設(shè)求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得方程組兩端同時(shí)對(duì)方程組兩端同時(shí)對(duì) x1+dxdy+dxdz+z2dxdz=01+dxdy+dxdz+y2dxdz=023z 即 dxdy+dxdzz)21( =1 dxdyy2+dxdzz )31(2 =1 dxdy的的條條件件下下，在在031 221 12 z

10、yz解得= 31 221 1 31 121 1 22zyzzz = 4231 32 22yzyzzz dxdz= 31 221 1 1 21 1 2zyzy = 4231 21 2yzyzy 例4 xvxuvuxyuvyx , 002222，求求設(shè)設(shè)解).,(),( yxvvyxuu 設(shè)設(shè)求偏導(dǎo)，得求偏導(dǎo)，得方程組兩端同時(shí)對(duì)方程組兩端同時(shí)對(duì) xx2+ (xu v= 0yxu +u2xv = 0v2 即 xuv +xvu =x2xuu 2+xvv 2=y 0uxv +) xu 的的條條件件下下，在在02 2 vuuv解得= 2 2 2 2 vuuvvyux = 22 4 22uvuyxv xv

11、= 2 2 2 2 vuuvyuxv = 22 4 22uvxuvy ? ,),( ),(),(),(yzxzyxzzvuzvuyvux 怎樣求怎樣求確定了函數(shù)確定了函數(shù)若若 方法： 由 ),(),( vuyvux 可確定 ),(),(yxvvyxuu (*)式兩邊同時(shí)對(duì) x 求偏導(dǎo)，可求得xvxu , (*)式兩邊同時(shí)對(duì) y 求偏導(dǎo)，可求得yvyu , (*),(vuz 又 ),(),(yxvvyxuu xzxvvxuu yzyvvyuu =，例5在點(diǎn)(x ,y ,u, v)的某一鄰域內(nèi)能獨(dú)一確定一組延續(xù)且具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù) u=u (x , y )，v=v (x ,y)；例6 設(shè)函數(shù)x

12、=x (u, v), y=y (u, v)在點(diǎn)(u,v)的某一鄰域內(nèi)延續(xù)且有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又0),(),( vuyx)(# ),(),( )1( vuyyvuxx證明方程組證明方程組(2)求反函數(shù)u=u (x ,y) ，v=v( x, y)對(duì)x , y的偏導(dǎo)數(shù).可改寫(xiě)為方程組)(#由隱函數(shù)存在定理3，得 ),(),(vuGFJ0),( vuxx(1)證vuyxG ),( ),(vuyxFvuyy0),( 在點(diǎn)(x ,y ,u, v)的某一鄰域內(nèi)能獨(dú)一確定一組延續(xù)且具有延續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) u=u (x , y )，v=v (x ,y) .vuvuGGFF vyuyvxux vyuyvxux ),(),(vuyx 0 它們是 x = x (u, v), y = y (u, v) 的反函數(shù)。設(shè)方程組(#):(2) 解等式兩邊同時(shí)對(duì) x