大學(xué)物理教案(第一章質(zhì)點運動學(xué))

1、第一章 質(zhì)點運動學(xué)物理學(xué)是研究物質(zhì)最普遍、最基本的運動形式的基本規(guī)律的一門學(xué)科,這些運動形式包括機械運動、分子熱運動、電磁運動、原子和原子核運動以及其它微觀粒子運動等。機械運動是這些運動中最簡單、最常見的運動形式 ,其基本形式有平動和轉(zhuǎn)動。在平動過程中,若物體內(nèi)各點的位置沒有相對變化,那么各點所移動的路徑完全相同,可用物體上任一點的運動來代表整個物體的運動,從而可研究物體的位置隨時間而改變的情況。在力學(xué)中,這部分內(nèi)容稱為質(zhì)點運動學(xué)。11參考系 時間和空間的測量11.1參考系 坐標系一、參考系在自然界中所有的物體都在不停地運動,絕對靜止不動的物體是沒有的。在觀察一個物體的位置及位置的變化時,總要

2、選取其他物體作為標準,選取的標準物不同,對物體運動情況的描述也就不同，這就是運動描述的相對性。為描述物體的運動而選的標準物叫做參考系。不同的參考系對同一物體運動情況的描述是不同的。因此,在講述物體的運動情況時,必須指明是對什么參考系而言的。參考系的選擇是任意的。在討論地面上物體的運動時,通常選地球作為參考系 。二、坐標系：建立在參照系上的計算系統(tǒng)確定好參照系后，只能定性地描述物體的運動情況，為了定量地描述運動規(guī)律，即為了能給出物體運動的數(shù)學(xué)表達式，則需在參照系中建立坐標系。常用的坐標系是直角坐標系，另外還有極坐標系、球面坐標系和柱面坐標系。1.1.2時間和空間1、時間：時間反映物理事件的先后順

3、序和持續(xù)性。2、空間反映物體位置的變化和物體的大小。1.1.3長度的測量1.2 質(zhì)點運動的矢量描述1.2.1質(zhì)點物體都有大小和形狀,運動方式又都各不相同。例如,太陽系中,行星除繞自身的軸線自轉(zhuǎn)外, 還繞太陽公轉(zhuǎn)；從槍口射出的子彈,它在空中向前飛行的同時,還繞自身的軸轉(zhuǎn)動；有些雙原子分子,除了分子的平動、轉(zhuǎn)動外,分子內(nèi)各個原子還在振動。這些事實都說明,物體的運動情況是十分復(fù)雜的。物體的大小、形狀、質(zhì)量也都是千差萬別的。如果我們研究某一物體的運動,可以忽略其大小和形狀,或者可以只考慮其平動,那么, 我們就可把物體當作是一個有一定質(zhì)量的點,這樣的點通常叫做質(zhì)點。質(zhì)點是經(jīng)過科學(xué)抽象而形成的物理模型。把

4、物體當作質(zhì)點是有條件的、相對的,而不是無條件的、絕對的,因而對具體情況要作具體分析。例如研究地球繞太陽公轉(zhuǎn)時，由于地球至太陽的平均距離約為地球半徑的 104 倍, 故地球上各點相對于太陽的運動可以看作是相同的,所以在研究地球公轉(zhuǎn)時可以把地球當作質(zhì)點。但是,在研究地球上物體的運動情況時,就不能再把地球當作質(zhì)點處理了。應(yīng)當指出, 把物體視為質(zhì)點這種抽象的研究方法,在實踐上和理論上都有重要意義的。當我們所研究的運動物體不能視為質(zhì)點時,可把整個物體看成是由許多質(zhì)點組成的,弄清這些質(zhì)點的運動,可以弄清楚整個物體的運動。所以,研究質(zhì)點的運動是研究物體運動的基礎(chǔ)。1.2.2 位置矢量 運動方程和軌跡方程一位

5、置矢量描述質(zhì)點在空間所處位置的矢量稱為位置矢量，一般為坐標系的原點指向質(zhì)點所在位置的矢量，位置矢量也稱為位矢或矢徑。在如右圖所示的直角坐標系中，在時間，質(zhì)點在坐標系里的位置可用位置矢量來表示。位置矢量簡稱位矢，它是一個有向線段，其始端位于坐標系的原點，末端則與質(zhì)點在時刻的位置重合。從圖中可以看出，位矢在ox軸、oy軸和oz軸上的投影(即質(zhì)點的坐標)分別為、和。所以，質(zhì)點在直角坐標系中的位置，既可以用位矢來表示，也可以用坐標、和來表示。那么位矢亦可寫成其值為位矢的方向余弦由下式確定二、運動方程當質(zhì)點運動時，它相對坐標原點的位矢是隨時間而變化的。因此，是時間的函數(shù)，即上式叫做質(zhì)點的運動方程；而、和

6、則是運動方程的分量式，從中消去參數(shù)便得到了質(zhì)點運動的軌跡方程, 所以它們也是軌跡的參數(shù)方程。應(yīng)當指出, 運動學(xué)的重要任務(wù)之一就是找出各種具體運動所遵循的運動方程。1.2.3速度和加速度一、位移在如圖平面直角坐標系中，有一質(zhì)點沿曲線從時刻的點運動到時刻的點，質(zhì)點相對原點的位矢由變化到。顯然，在時間間隔內(nèi)，位矢的長度和方向都發(fā)生了變化。我們將由起始點指向終點的有向線段稱為點到點的位移矢量，簡稱位移。位移反映了質(zhì)點位矢的變化。如把寫作，則質(zhì)點從點到點的位移為 亦可寫成 上式表明，當質(zhì)點在平面上運動時，它的位移等于在軸和軸上的位移矢量和。若質(zhì)點在三維空間運動，則在直角坐標系Oxyz中其位移為 應(yīng)當注意

7、,位移是描述質(zhì)點位置變化的物理量, 它只表示位置變化的實際效果,并非質(zhì)點所經(jīng)歷的路程。如在上圖中,曲線所示的路徑是質(zhì)點實際運動的軌跡,軌跡的長度為質(zhì)點所經(jīng)歷的路程, 而位移則是。當質(zhì)點經(jīng)一閉合路徑回到原來的起始位置時,其位移為零,而路程則不為零。所以,質(zhì)點的位移和路程是兩個完全不同的概念。只有在t 取得很小的極限情況下,位移的大小|才可視為與路程 AB 沒有區(qū)別。二、速度在力學(xué)中,若僅知道質(zhì)點在某時刻的位矢,而不能同時知道該質(zhì)點是靜還是動,是動又動到什么程度,就不能確定質(zhì)點的運動狀態(tài)。所以，還應(yīng)引入一物理量來描述位置矢量隨時間的變化程度，這就是速度。1、平均速度和平均速率如圖所示，一個質(zhì)點在平

8、面上沿軌跡曲線運動。在時刻，它處于點，其位矢為。在時刻，它處于點，其位矢為。在時間內(nèi)，質(zhì)點的位移為。在時間間隔內(nèi)的平均速度為平均速度可寫成 其中 是平均速度在軸和軸上的分量。 說明：與時間間隔相對應(yīng)。平均速率：2、 瞬時速度和瞬時速率當時，平均速度的極限值叫做瞬時速度(簡稱速度)，用表示，有 結(jié)論：質(zhì)點的速度等于位矢對時間的一階導(dǎo)數(shù)?；?其中是速度在Ox軸和Oy軸上的分量，又稱為速度分量。顯然，如以分別表示速度在軸和上的分速度(注意:它們是分矢量!)，那么有上式亦可以寫成 速度的方向與時的極限方向一致。當時，趨于和軌道相切，即與點的切線重合。所以當質(zhì)點作曲線運動時，質(zhì)點在某一點的速度方向就是沿

9、該點曲線的切線方向。 只有當質(zhì)點的位矢和速度同時被確定時，其運動狀態(tài)才被確知。所以位矢和速度是描述質(zhì)點運動狀態(tài)的兩個物理量。這兩個物理量可以從運動方程求出，所以知道了運動方程可以確定質(zhì)點在任意時刻的運動狀態(tài)。因此，概括說來，運動學(xué)問題有兩類:一是由已知運動方程求解運動狀態(tài)；另一是由已知運動狀態(tài)求解運動方程。 瞬時速率：例： 設(shè)質(zhì)點的運動方程為其中，求時的速度。 (2)作出質(zhì)點的運動軌跡圖。解 這是已知運動方程求運動狀態(tài)的一類運動學(xué)問題，可以通過求導(dǎo)數(shù)的方法求出。(1)由題意可得速度分量分別為故時的速度分量為于是時，質(zhì)點的速度為速度的值為，速度與之間的夾角為(2)由已知運動方程消去可得軌跡方程并

10、可作如圖所示的質(zhì)點運動軌跡圖 三、加速度上面已經(jīng)指出，作為描述質(zhì)點狀態(tài)的一個物理量，速度是一個矢量，所以，無論是速度的數(shù)值發(fā)生改變，還是其方向發(fā)生改變，都表示速度發(fā)生了變化。為衡量速度的變化，我們將從曲線運動出發(fā)引出加速度的概念。1、平均加速度如圖所示，設(shè)在時刻，質(zhì)點位于點，其速度為，在時刻，質(zhì)點位于點，其速度為，則在時間間隔內(nèi)，質(zhì)點的速度增量為，它在單位時間內(nèi)的速度增量即平均加速度為 2、瞬時加速度 當時，平均加速度的極限值叫做瞬時加速度，用表示，有，的方向是時的極限方向，而的數(shù)值是的極限值。 應(yīng)當注意，加速度既反映了速度方向的變化，也反映了速度數(shù)值的變化。所以質(zhì)點作曲線運動時，任一時刻質(zhì)點

11、的加速度方向并不與速度方向相同，即加速度方向不沿著曲線的切線方向。在曲線運動中，加速度的方向指向曲線的凹側(cè)。加速度公式可以寫成即 其中 例 有一個球體在某液體中垂直下落，球體的初速度為，它在液體中的加速度為。問:(1)任一時刻的球體的速度。(2)時刻球體經(jīng)歷的路程有多長？解：由題意知，球體作變速直線運動，加速度的方向與球體的速度的方向相反，由加速度的定義，有得有上式表明，球體的速率隨時間的增長而減小。又由速度的定義，有得 四、 運動學(xué)的基本問題運動學(xué)的問題一般分為兩大類 :第一類問題是已知質(zhì)點的位置矢量 r=r(t),而求質(zhì)點的速度和加速度,這類問題可以通過矢徑對時間的逐級微商得到。例 如圖2

12、-13,長為l的細棒,在豎直平面內(nèi)沿墻角下滑,上端A下滑速度為勻速v。當下端B離墻角距離為x (xl)時, B端水平速度和加速度多大?解：建立如圖所示的坐標系 設(shè)A端離地高度為y方程兩邊對t求導(dǎo) 圖2-13 加速度:例 質(zhì)點作半徑為R的圓周運動，其速率 ,求：質(zhì)點任意時刻的加速度 ？解： 第二類問題是已知質(zhì)點的加速度或速度,而反過來求質(zhì)點的速度、位置及運動方程。第二類問題則是通過對加速度或速度積分而得到結(jié)果, 積分常數(shù)要由問題給定的初始條件,如初始位置和初始速度來決定。例1-5. 設(shè)某一質(zhì)點以初速度作直線運動,其加速度為 . 問：質(zhì)點在停止前運動的路程有多長？解：質(zhì)點作直線運動1.2.4 自然

13、坐標系 圓周運動一、自然坐標系在右圖中，BAC為質(zhì)點軌跡，時刻質(zhì)點P位于A點，、分別為A點切向及法向的單位矢量，以A為原點，切向和法向為坐標軸，由此構(gòu)成的參照系為自然坐標系（可推廣到三維）二、圓周運動的切向加速度及法向加速度1、切向加速度如圖，質(zhì)點做半徑為的圓周運動，時刻，質(zhì)點速度 （1）上式中，為速率。加速度為 （2）上式中，第一項是由質(zhì)點運動速率變化引起的，方向與共線，稱該項為切向加速度，記為 （3）其中， （4）為加速度的切向分量。結(jié)論：切向加速度分量等于速率對時間的一階導(dǎo)數(shù) 。 2、法向加速度式2中，第二項是由質(zhì)點運動方向改變引起的。如圖，質(zhì)點由A點運動到B點，有因為，所以、夾角為。當

14、時，有。因為，所以由A點指向圓心O，可有式2中第二項為：該項為矢量，其方向沿半徑指向圓心。稱此項為法向加速度，記為 大小為 ， 是加速度的法向分量。結(jié)論：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半徑 。3、總加速度 大小： （2-8）方向：與夾角滿足1.43 相對運動質(zhì)點的運動軌跡依賴于觀察者( 即參考系 )的例子是很多的。例如一個人站在作勻速直線運動的車上,豎直向上拋出一塊石子,車上的觀察者看到石子豎直上升并豎直下落。但是,站在地面上的另一人卻看到石子的運動軌跡為一拋物線。從這個例子可以看出,石子的運動情況依賴于參考系。在描述物體的運動時，總是相對選定的參考系而言的。通常，我們選地面（或相對于地面靜止的物體作為參考系,但是有時為了方便起見，往往也改選相對于地面運動的物體作為參考系。由于參考系的變換，就要考慮物體相對于不同參考系的運動及其相互關(guān)系，這就是相對運動問題。如圖所示，先選定一個基本參考系K（地面 ），如果另一個參考系（車）相對于基本參考系K在運動，則稱為運動參考系K。設(shè)一運動物體（球）P在某一時刻相對于參考系K和K 的位置，可分別用位矢和表