第六節(jié)柯西中值定理與洛必達(dá)法則ppt課件

1、定理定理3.10 (柯西中值定理柯西中值定理) ,),( 內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點點則則在在開開區(qū)區(qū)間間ba使得使得, 0)( xF)()()()()()( FfaFbFafbf 3.6 柯西中值定理與洛必達(dá)法則柯西中值定理與洛必達(dá)法則(1) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間a, b上連續(xù)上連續(xù);(2) 在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且3.6.1 柯西中值定理柯西中值定理若函數(shù)若函數(shù) f (x)及及 F (x)滿足滿足:例例1 1 設(shè)設(shè)證證明明內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在,),(,)(babaxf證證,)(),()(xxFxxfxg 設(shè)設(shè))()()()( ffabaafbbf ),(ba

2、 使得使得即即).()()()( ffabaafbbf ),()()(xfxxfxg 則則,)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在因因baxFxg,)()()()( Fgabaafbbf ,),( 內(nèi)至少存在一點內(nèi)至少存在一點在在ba使得使得)()()(lim)3( 或或Axgxfx ; 0)(,)(),()2( xgxgxf并并且且可可導(dǎo)導(dǎo)0)(lim, 0)(lim)1( xgxfxx )()(limxgxfx ).()()(lim 或或Axgxfx 3.6.2 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則定理定理3.11 ( 型的洛必達(dá)法則型的洛必達(dá)法則)00那那么么設(shè)設(shè) 在在 的某空心

3、鄰域內(nèi)滿足下列條件的某空心鄰域內(nèi)滿足下列條件: )(),(xgxf )(),(,00)()(xgxfxgxf 且且型型仍仍屬屬 )()(lim)()(lim)()(limxgxfxgxfxgxfxxx 定理的條件定理的條件, , 可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則. . 假如假如滿足滿足即即)()()(lim)3( 或或Axgxfx ; 0)(,)(),()2( xgxgxf并并且且可可導(dǎo)導(dǎo) )(lim,)(lim)1(xgxfxx )()(limxgxfx ).()()(lim 或或Axgxfx 定理定理3.12 ( 型的洛必達(dá)法則型的洛必達(dá)法則) 那那么么設(shè)設(shè) 在在 的某空心鄰域內(nèi)滿

4、足下列條件：的某空心鄰域內(nèi)滿足下列條件： )(),(xgxf 例例2 2 求求解解.2coslim2 xxx)2()(coslim2 xxx原式原式1sinlim2xx )00(. 12sin 例例3 3 求求解解.123lim2331 xxxxxx12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00(例例4 4 求求解解.tantanlim20 xxxxx 30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 31 )00(200lims1tamcn3elixxxxx 注意注意: : 洛必達(dá)法則是

5、求未定式的一種有效方法洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法, ,與其它求極限方法結(jié)合使用與其它求極限方法結(jié)合使用, , 效果更好效果更好. .例例5 5 求求解解0()0.)1(132lim220 xxxxxeexee28lim20 xxxee xeexxx234lim20 2200132lim1limxxeeexxxxx 原式原式27 例例6 6 求求解解注意洛必達(dá)法則的使用條件注意洛必達(dá)法則的使用條件!0()0極限不存在極限不存在此時不能使用洛必達(dá)法則此時不能使用洛必達(dá)法則. .sin1sinlim20 xxxx0 xxxxxcos1cos1sin2lim0 原式原式xxxxxxxx1sin

6、limsin1sinlim2020 xxx1sinlim0 例例7 7 求求解解)( 例例8 8 求求解解)( ).0,(lim Nnexxnx).0(lnlim nxxnx11lim nxnxx原式原式nxnx1lim . 0 xnxenx 1lim 原式原式xnxexnn 22)1(lim xnxen !lim 0 例例9 9 求求解解.3tantanlim2xxx xxxxx3sincos3cossinlim2 原原式式xxxsin3sin3lim2 3 )( )00( xxxcos3coslim2 其它五類未定型可化為其它五類未定型可化為 ,00 0. 1方法方法:,)(1)()()(

7、xfxgxgxf 例例10 10 求求解解)0( .limxxxe.)(1)()()(xgxfxgxf 或或. 0 xxex lim原式原式xxe 1lim型型例例11 11 求求解解)( .00 . 2.111lim0 xexx)1(1lim0 xxxexex原式原式201limxexxx xexx21lim0 21 )()(1)(1)(1)()(xgxfxfxgxgxf 方法方法:型型00,1 ,0. 3 00)(10,)(xgxf.0 例例12 12 求求解解.lim0 xxx )0(0 xxxeln0lim 原原式式xxxelnlim0 2011limxxxe 10 exxxe1lnlim0 )(ln)(xfxg取取對對數(shù)數(shù)方法方法:型型例例13 13 求求解解.lim111xxx )1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例14 14 求求解解.)(cotli