第六章 二次型ppt課件

1、二次型及其標準形二次型及其標準形正定二次型與正定矩陣正定二次型與正定矩陣 二次型，作為矩陣的四大名標四大矩陣標量函二次型，作為矩陣的四大名標四大矩陣標量函數(shù)之一，經(jīng)常出現(xiàn)在物理、力學等學科中。對它數(shù)之一，經(jīng)常出現(xiàn)在物理、力學等學科中。對它的研究最早發(fā)軔于高斯的的研究最早發(fā)軔于高斯的 數(shù)論研究，該書第數(shù)論研究，該書第5 5章章討論了二次型的理論，目的旨在確定一個給定整數(shù)討論了二次型的理論，目的旨在確定一個給定整數(shù)能否表示為特殊的形式。之后柯西在進行二次曲面能否表示為特殊的形式。之后柯西在進行二次曲面的研究時發(fā)現(xiàn)需要尋找一個坐標變換將二次型變成的研究時發(fā)現(xiàn)需要尋找一個坐標變換將二次型變成只含平方項

2、的形式，即二次型的標準形。只含平方項的形式，即二次型的標準形。1、二次型及其標準形、二次型及其標準形一、二次型的定義一、二次型的定義(,)( , ),kf t x t yt f x ytR 在高中數(shù)學課程中我們就學習過圓錐曲線，比如橢圓、在高中數(shù)學課程中我們就學習過圓錐曲線，比如橢圓、雙曲線、拋物線等，從代數(shù)上看，它們的方程分別為雙曲線、拋物線等，從代數(shù)上看，它們的方程分別為2222( , )1,( , )1,yxabf x yf x yxy 實際上，它們是高等數(shù)學課程中學習過的實際上，它們是高等數(shù)學課程中學習過的 的的二元二元 次齊次函數(shù)，即有次齊次函數(shù)，即有k2k 12(,)nff x x

3、x n為為 元二次型，簡稱為二次型。我們只學習系數(shù)元二次型，簡稱為二次型。我們只學習系數(shù)和未知數(shù)全為實數(shù)的所謂實二次型。和未知數(shù)全為實數(shù)的所謂實二次型。n,1()ni jiii jj ijja xaxa 2111121211nnfa xa x xa x x 21122nnnnnnna x xa x xa x 22121222232322nna x xa xa x xax x 11111221()nnx a xa xa x 1122()nnnnnnxa xaxax 22112222332()nnx a xa xa xa x11112212112222121122,nnnnnnnnnnaxaxax

4、axaxaxxxxaxaxax 1112112122221212,nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax 所以，所以， 元的二次型與對稱矩陣元的二次型與對稱矩陣 一一 一對應，一對應，因因 此稱此稱 為二次型為二次型 的矩陣，稱的矩陣，稱 為對稱矩為對稱矩陣陣 的二次型。二次型的秩就是對應矩陣的秩。的二次型。二次型的秩就是對應矩陣的秩。所以，所以，“實二次型就是實對稱矩陣實二次型就是實對稱矩陣”。nAfAAf,Tfx Ax 如果令如果令12, ,Tni jn nxxxxAa 那那么么這里這里.TAA 112312323123(,)(,) 456.789xf x xxx xxxx 112

5、312323123(,)(,) 456.789xf x xxx xxxx 112312312323(47,258,369)xxxxxxxxxxxx22212312132359(24)(37)(68)xxxx xx xx x 所求矩陣為所求矩陣為112323551(,)5.37379xx xxxx 155337579 Tfx Ax A1().2TAA 因為因為(,)TTTTTx Axx Axx A x 所以所以1().22TTTTTTA Afx Axx Ax x A xxx 并且易知并且易知 是對稱矩陣。是對稱矩陣。2TA A 對應只含有平方項的二次型對應只含有平方項的二次型(即標準形即標準形)

6、顯然，作為特殊的矩陣，對角矩陣顯然，作為特殊的矩陣，對角矩陣12(,)nDdiag d dd 2221122.nnfd yd yd y 假如假如 ，則標準形中非零系數(shù)的個數(shù)為，則標準形中非零系數(shù)的個數(shù)為 反之亦然。反之亦然。()r Dr . r顯然有了標準形，好多問題一目了然。顯然有了標準形，好多問題一目了然。聯(lián)想到實對稱矩陣必可對角化，所以對給定二次聯(lián)想到實對稱矩陣必可對角化，所以對給定二次型型 ，我們的中心問題就是確定一個滿秩矩陣，我們的中心問題就是確定一個滿秩矩陣 使得通過保秩的線性變換使得通過保秩的線性變換 fPxPy 2221122nTny D yfd yd yd y 將二次型將二次

7、型 化為新變量化為新變量 的標準形的標準形12,nyyyf因此問題變成能否找到滿秩矩陣因此問題變成能否找到滿秩矩陣 ，使得，使得PTP APD 也就是所謂相合對角化的問題。也就是所謂相合對角化的問題。()()TTTTfx AxPyA PyyP AP y 注意到注意到TBP AP ABP則稱矩陣則稱矩陣 和和 是相合矩陣或合同矩陣，也稱是相合矩陣或合同矩陣，也稱矩陣矩陣 和和 相合或合同。按變換的觀點，稱矩相合或合同。按變換的觀點，稱矩陣陣 相合變換或合同變換成相合變換或合同變換成 ， 稱為相合變稱為相合變換矩陣或合同變換矩陣。換矩陣或合同變換矩陣。ABBBAAP顯然，當顯然，當 為對角陣為對角

8、陣 時，就是將時，就是將 相合對角化相合對角化成了標準相合矩陣成了標準相合矩陣 。此時有相合標準形。此時有相合標準形BDAD11()TTAPDPC DC 由于對正交矩陣由于對正交矩陣 ，有，有 , 而且總可以通過而且總可以通過正交變換矩陣正交變換矩陣 將實對稱矩陣將實對稱矩陣 正交對角化為對角正交對角化為對角陣陣 。因此正交變換既是特殊的相似變換，也是特。因此正交變換既是特殊的相似變換，也是特殊的相合變換，是這兩種變換集的交集。殊的相合變換，是這兩種變換集的交集。1TQQ QQA 根據(jù)前面的分析，我們可有下面的定理。根據(jù)前面的分析，我們可有下面的定理。Tfx Ax xQ y AQ12(,)nd

9、iag Tfyy2,x xQ y Qxy 值得說明的是，正交變換值得說明的是，正交變換 不僅是保秩變換，而不僅是保秩變換，而且是保范變換且是保范變換(保持向量的范數(shù)或長度不變保持向量的范數(shù)或長度不變)，因為，因為xQ y 而且二次型而且二次型 通過正交變換后得到的標準通過正交變換后得到的標準形的系數(shù)一定是矩陣形的系數(shù)一定是矩陣 的特征值的特征值 。ATfx Ax () ()TTTQ yQ yy Q Q y 2,Tyyy yy 22112254548xx xx 化成標準形式。化成標準形式。二次型的矩陣為二次型的矩陣為52.25A 121122,1122pp 可求得特征值為可求得特征值為 3 和和

10、 7 ，相應的單位特征向量分別為，相應的單位特征向量分別為令令 121122,1122Ppp 則通過變換則通過變換 ，有，有 xPy 22123748yy 因此得到橢圓的標準形因此得到橢圓的標準形 48()()()TTTTx AxPyA PyyP AP y3007Tyy % ex6105.mh=ezplot(5*x12-4*x1*x2+5*x22-48),hold on% 繪出二次型的幾何圖形，這里為橢圓繪出二次型的幾何圖形，這里為橢圓set(h,Color,r); %顏色為紅色顏色為紅色set(h,LineWidth,2);%線寬為線寬為2axis square; grid on; %產(chǎn)生正

11、方形坐標軸，加上網(wǎng)格產(chǎn)生正方形坐標軸，加上網(wǎng)格% ex6105.m續(xù)）續(xù)）A=5 -2;-2 5; V,D=eig(A) %計算特征值和特征向量計算特征值和特征向量h=ezplot(x1+x2),hold on %在同一張圖上繪制對稱軸在同一張圖上繪制對稱軸set(h,Color,g); %顏色為綠色顏色為綠色h=ezplot(x1-x2),hold on %另一條對稱軸另一條對稱軸set(h,Color,g);% ex6105.m續(xù)）續(xù)）h=ezplot(3*x12+7*x22-48),hold on%繪制規(guī)范二次型的幾何圖形繪制規(guī)范二次型的幾何圖形set(h,Color,b);set(h,

12、LineWidth,2);plot(-2*pi,2*pi,0,0,Color,k)hold onplot(0,0,-2*pi,2*pi,Color,k)hold on%在同一張圖上繪制水平和在同一張圖上繪制水平和%垂直坐標軸垂直坐標軸22123121223(,)244.f xxxxxx xx x 解法一：解法一： （正交變換法）（正交變換法）二次型二次型 的矩陣為的矩陣為f220212020A 由由220212020AI (1)(4)(2)0 得得 的特征值為的特征值為A1234,1,2. 對于對于 ，解，解 ， 有有1()0AI x 14 2201104232012024000AI 可得特征

13、向量可得特征向量122 .1 對于對于 ，解，解 ， 有有2()0AI x 21 120120202021021000AI 可得特征向量可得特征向量221.2 對于對于 ，解，解 ， 有有3()0AI x 32 4202102232201022000AI 可得特征向量可得特征向量312 .2 1232211112 ,1,2 .333122 由于三個特征值都是單根，不需要施密特正交化，因由于三個特征值都是單根，不需要施密特正交化，因此分別將此分別將 單位化，得單位化，得123, 令令1232211,2123122Q 那那么么41.2TQ AQ 化成了標準形化成了標準形這時二次型這時二次型2221

14、23123(,)412g yyyyyy 22123121223(,)244.f xxxxxx xx x 從幾何上看，從幾何上看， 顯然是高等數(shù)學顯然是高等數(shù)學中學過的單葉雙曲面！這說明二次型理論可以從中學過的單葉雙曲面！這說明二次型理論可以從代數(shù)上化簡二次曲面的方程，進而確定其形狀。代數(shù)上化簡二次曲面的方程，進而確定其形狀。123(,)1g yyy 2212232()24xxxxx212222332)(2)4(xxxxx22123121223(,)244f xxxxxx xx x 2223122342()(2)xxxxx),(2)yxyxxyxx 令令即即112321

15、331122222,xyyyxyyxy 寫成矩陣形式，即寫成矩陣形式，即1122331222202100 xyxxyPyxy 因而，經(jīng)過滿秩變換因而，經(jīng)過滿秩變換xPy 123(,)f x xx123(,)g yyy 222123412yyy 顯然，配方法的優(yōu)點是計算簡單，但缺點難以得到顯然，配方法的優(yōu)點是計算簡單，但缺點難以得到保范的正交變換。保范的正交變換。經(jīng)正交變換經(jīng)正交變換 化成標準形化成標準形xQ y 222123123122313(,)222f x x xxxxax xbx xx x 求參數(shù)求參數(shù), .a b由于采用的正交變換是特殊的相似變換，所以特征由于采用的正交變換是特殊的相似

16、變換，所以特征值不變，特征多項式也不變。值不變，特征多項式也不變。本題是二次型標準形的逆問題。本題是二次型標準形的逆問題。22232fyy 變換前后二次型變換前后二次型 的矩陣分別為的矩陣分別為f111,11aAabb 000010 .002 由于采用的正交變換是特殊的相似變換，所以矩陣由于采用的正交變換是特殊的相似變換，所以矩陣 與與 類似，因而類似，因而 的特征值也為的特征值也為0，1，2。從而。從而A A0,00112.AIA 011100,101011aaababbb 即即也就是也就是220,()0.abab 所以所以0.ab211121112A ，100010 .000B AB211

17、121112AI 2(3)0 得得 的特征值為的特征值為A1233,3,0. 111121112 因為因為 和和 的特征值不全相等，所以的特征值不全相等，所以 和和 不相似。不相似。ABAB(3,3,0)TQ AQdiag 由于由于 是實對稱矩陣，因而存在正交矩陣是實對稱矩陣，因而存在正交矩陣 ，使，使QA即即1133()()(1,1,0)TQAQBdiag 顯然顯然 是可逆矩陣，并且是可逆矩陣，并且13PQ TP APB 所以所以 和和 是合同的。是合同的。AB2、正定二次型與正定矩陣、正定二次型與正定矩陣在將可對角矩陣相似對角化為對角陣在將可對角矩陣相似對角化為對角陣 時，并沒有規(guī)定時，并

18、沒有規(guī)定對角陣中對角元的順序和取值約定，所以對角陣是不對角陣中對角元的順序和取值約定，所以對角陣是不唯一的，相應的相似變換也不是唯一的。類似地，對唯一的，相應的相似變換也不是唯一的。類似地，對實對稱矩陣正交對角化或相合對角化后得到的對角陣實對稱矩陣正交對角化或相合對角化后得到的對角陣也不是唯一的，相應的正交變換或相合變換也不是唯也不是唯一的，相應的正交變換或相合變換也不是唯一的。所以化二次型為標準形時，采用的可逆變換一的。所以化二次型為標準形時，采用的可逆變換滿秩變換不是唯一的，得到的標準形自然也不是滿秩變換不是唯一的，得到的標準形自然也不是唯一的。唯一的。雖然雖然“滄海桑田滄海桑田”，仍有能

19、夠，仍有能夠“永久之物，即永久之物，即兩個對角陣中非零元個數(shù)、正元個數(shù)、負元個數(shù)兩個對角陣中非零元個數(shù)、正元個數(shù)、負元個數(shù)都是相同的，此即西爾維斯特都是相同的，此即西爾維斯特(Sylvester)慣性定慣性定理。理。1133()()(1,1,0)TTQAQP APBdiag (3,3,0)TQ AQdiag 上節(jié)例上節(jié)例9 9中，對同一個實對稱矩陣中，對同一個實對稱矩陣 ，通過正交矩，通過正交矩陣陣 將將 變換成了對角矩陣變換成了對角矩陣 ，即，即QAA 通過可逆矩陣通過可逆矩陣 ，則變換成了對角矩陣，則變換成了對角矩陣 ，即，即B13PQ rTfx Ax 2221122rrfyyy xQz

20、xP y 2221 122,rrfzzz22222121()fyyyyry 根據(jù)慣性定理，規(guī)定二次型根據(jù)慣性定理，規(guī)定二次型 的規(guī)范形為的規(guī)范形為f顯然，規(guī)范形是唯一的。顯然，規(guī)范形是唯一的。222123123122313(,)222f x x xxaxxx xx xax x 的正、負慣性指數(shù)都是的正、負慣性指數(shù)都是1。求參數(shù)。求參數(shù) 。a二次型的秩就是正、負慣性指數(shù)之和。二次型的秩就是正、負慣性指數(shù)之和。所以二次型所以二次型 的秩為的秩為 2 ，即其對應矩陣，即其對應矩陣 的秩為的秩為2。fA111111aAaa 211011011aaaaa 211011002aaaaa 111000000

21、 A因此當因此當 且且 ，即，即 時時 10a 220aa 1a ()12,r A 所以所以1.a 從而求得從而求得2.a 當當 且且 ，即，即 時時 10a 220aa 2a ()2,r A 根據(jù)二次型的標準形中系數(shù)的符號，我們有：根據(jù)二次型的標準形中系數(shù)的符號，我們有：；（3 3可正、可負，則稱可正、可負，則稱為不定二次型。為不定二次型。f(0)Tfx Axx 0(0)fffA0(0)AA f0(0)ffA0(0)AA 從定義看，當二次型是標準形時，顯然確定其定性從定義看，當二次型是標準形時，顯然確定其定性(definitiveness)(definitiveness)極其簡單。對于一般二

22、次型，化成極其簡單。對于一般二次型，化成標準形后，根據(jù)慣性定理，顯然有下面的充要條件。標準形后，根據(jù)慣性定理，顯然有下面的充要條件。 Tfx Ax nn21.niiifd y 從而對從而對 任一任一 ，必有，必有 0 x 10,yPx 又由又由 ， n xP y 因為存在滿秩線性變換因為存在滿秩線性變換12,0.nd dd 故有故有將二次型將二次型 化成標準形化成標準形f否則否則 ，出現(xiàn)矛盾。，出現(xiàn)矛盾。00 x = P yP 210.niiifd y 所以所以21.niiifd y 取取 ，則有，則有 00,0,1Tnye 00.nxP yP e 假設假設 ， n xP y 則存在滿秩線性變

23、換則存在滿秩線性變換0.nd 其中必有某個系數(shù)不大于零。不妨設其中必有某個系數(shù)不大于零。不妨設將二次型將二次型 化成標準形化成標準形f此時此時0TTTTnnnnnfx Axe P AP ee D ed 與與 正定相矛盾。正定相矛盾。Tfx Ax 用反證法。用反證法。所以必有所以必有 .n 定理定理4 4應用到二次型的矩陣上，即得下面的推論。應用到二次型的矩陣上，即得下面的推論。AnnA為正定二次型。為正定二次型。22222211221332312342428()fxx xxx xxx xt xxx t的實對稱矩陣為的實對稱矩陣為22211221332342428qxx xxx xxx x 二次

24、型二次型122224242A 1232,7. 的特征值為的特征值為A222123227.qyyy 故必有正交變換故必有正交變換 化二次型化二次型 為標準形為標準形xQ y q同時，由于正交變換是保范變換，即同時，由于正交變換是保范變換，即,xQ yy也就是也就是222222123123.xxxyyy 222222123123227()fyyyt yyy 所以正交變換所以正交變換 化二次型化二次型 為標準形為標準形xQ y f222123(2)(2)(7)t yt yty 解此不等式組，得解此不等式組，得7.t 20, 20,70.ttt 要使二次型要使二次型 正定，正慣性總數(shù)必須為正定，正慣性

25、總數(shù)必須為 3，即，即f第一章曾提到方陣的第一章曾提到方陣的 分解。對于實對稱正定分解。對于實對稱正定矩陣矩陣 ，我們則有比較一般的滿秩分解。，我們則有比較一般的滿秩分解。LUAAPnTAPP A充分性充分性從而對任一從而對任一 ，必有，必有 0 x 0,Ty = P x 定理定理 6的證明：的證明：TAPP 所以所以 可逆?？赡妗P否則否則 ， 矛盾。矛盾。00-T-Tx = PyP () ()TTTTTTfx Axx PP xP xP x 再根據(jù)再根據(jù)因為因為 是滿秩陣，即可逆陣，是滿秩陣，即可逆陣，P,0.TTTP x P xP x 所以二次型所以二次型因此實對稱矩陣因此實對稱矩陣 是

26、正定的。是正定的。A必要性必要性TAQQ 那那么么TTAQ QQQ 12,.n= diag 其中其中又由又由 正定，故正定，故A令令顯然顯然 是滿秩的，并且有分解是滿秩的，并且有分解P因為因為 是實對稱矩陣，所以存在正交矩陣是實對稱矩陣，所以存在正交矩陣 ，使，使AQ0 .i 12,.n= diag ()()TQQ 令令.PQ.TAPP A顯然推論顯然推論3 3可以用來判斷實對稱矩陣不為正定矩陣。可以用來判斷實對稱矩陣不為正定矩陣。A20.TTAPPPPP 因為因為 ，且，且 ，所以，所以TAPP 0P 遺憾的是，定理遺憾的是，定理6 6的推論的推論2 2僅僅是正定的必要條件，不僅僅是正定的必

27、要條件，不是充分條件。因為矩陣的行列式為正，只能說明該矩是充分條件。因為矩陣的行列式為正，只能說明該矩陣所有特征值的乘積為正，但顯然不能保證所有的特陣所有特征值的乘積為正，但顯然不能保證所有的特征值都是正數(shù)。征值都是正數(shù)。TAGG AGnA結合滿秩分解和結合滿秩分解和LULU分解，對于實對稱矩陣，我們有矩分解，對于實對稱矩陣，我們有矩陣計算中非常重要的楚列斯基分解。陣計算中非常重要的楚列斯基分解。因而因而A1*AA、 因為因為 是正定的，所以存在可逆陣是正定的，所以存在可逆陣 ，使，使PA顯然顯然 也是實對稱矩陣。也是實對稱矩陣。1*,AA TAPP 11111TTTAPPPPQQ 這里這里

28、是可逆陣，所以是可逆陣，所以 是正定的。是正定的。1A 1TQP 同理同理*1TAA AAQQ 這里這里 是可逆陣，所以是可逆陣，所以 也正定。也正定。*ARA Q ()()TTAQAQRR 若實對稱矩陣若實對稱矩陣 是正定的，那么是正定的，那么A0.i ia 因為因為 是正定的，所以存在可逆陣是正定的，所以存在可逆陣 ，使，使PATAPP 11,nppp都是非零向量。因而都是非零向量。因而20Ti iiiiap pp 由于由于 是可逆的，所以是可逆的，所以 的每個列向量的每個列向量PP同理，若實對稱矩陣同理，若實對稱矩陣 是負定的，那么是負定的，那么A0.i ia 例例8 8也僅僅是正定的必

29、要條件，不是充分條件。例如也僅僅是正定的必要條件，不是充分條件。例如1111B 由于由于 的特征值為的特征值為 ，出現(xiàn)零特征值，出現(xiàn)零特征值，根據(jù)定理根據(jù)定理4 4的推論的推論1 1，實對稱矩陣，實對稱矩陣 不是正定的。但不是正定的。但是矩陣是矩陣 的對角元都是正數(shù)。的對角元都是正數(shù)。120,2 BBB但是直接通過矩陣的元素值，或者通過對元素值進但是直接通過矩陣的元素值，或者通過對元素值進行簡單加工得到的信息來判斷實對稱矩陣的定性，行簡單加工得到的信息來判斷實對稱矩陣的定性，比之于繁瑣的計算出所有特征值定理比之于繁瑣的計算出所有特征值定理2 2的推論或的推論或把實對稱矩陣正交對角化定理把實對稱

30、矩陣正交對角化定理1 1進而得出矩陣的進而得出矩陣的定性，要顯得更加定性，要顯得更加“誘人誘人”，更具，更具“古典美古典美”。由于正定矩陣的行列式為正，而且對角元都是正數(shù)，由于正定矩陣的行列式為正，而且對角元都是正數(shù)，遺憾的是，這些僅僅是正定的必要條件，不是充分條遺憾的是，這些僅僅是正定的必要條件，不是充分條件。因此我們自然想到如何加強條件，從行列式角度，件。因此我們自然想到如何加強條件，從行列式角度，得到判定正定的充分條件。得到判定正定的充分條件。注意到注意到 是矩陣左上角的一階行列式，是矩陣左上角的一階行列式，而而 則可以看成矩陣左上角的則可以看成矩陣左上角的 階行列式，階行列式，再考慮到

31、其他對角元，因此我們可以猜想從矩陣再考慮到其他對角元，因此我們可以猜想從矩陣左上角的各階行列式來考慮。左上角的各階行列式來考慮。1111|aa |AnkAAkkAkAkkD111212122212.kkkkkkkkaaaaaaDAaaa (1,2, )kn An120,0,0.nDDD AAn120,0,0.nDDD A有意思的是，命題有意思的是，命題1 1居然是錯誤的！居然是錯誤的！對定理對定理1010稍加修改，我們可得到下面的命題稍加修改，我們可得到下面的命題1 1。事實上，事實上， 負定即負定即 正定，故由定理正定，故由定理1010，有：，有：AA An( 1)0kkkDA 1,2,kn

32、 高階行列式難以計算，更何況要計算出所有前主高階行列式難以計算，更何況要計算出所有前主子式。因此定理子式。因此定理 10 10 作為判定矩陣正定的方法，作為判定矩陣正定的方法，對低階尚可考慮，至于高階，顯然僅具理論價值。對低階尚可考慮，至于高階，顯然僅具理論價值。這樣一來，判定高階矩陣是否正定，還是需要從這樣一來，判定高階矩陣是否正定，還是需要從標準形或特征值入手，而要得到高階矩陣的標準標準形或特征值入手，而要得到高階矩陣的標準形或特征值，變換是首選方法，這更加凸顯出矩形或特征值，變換是首選方法，這更加凸顯出矩陣計算中變換的陣計算中變換的“現(xiàn)代性與行列式的現(xiàn)代性與行列式的“古典古典性性”。 22212312313,2454.fx xxxxxx x 二次型的矩陣為二次型的矩陣為202040,205A （特征值判別法）（特征值判別法）.所以所以 是正定矩陣，此二次型為正定二次型是正定矩陣，此二次型為正定二次型.A其特征值為其特征值為 ，均為正數(shù)，均為正數(shù)，1231,4,6 二次型的矩陣為二次型的矩陣為202040,205A （前主子式判別法）（前主子式判別法）.2020,80,04 它的各階前主子式它的各階前主子式202040240205 所以所以 是正定矩陣，此二次型為正定二次型是正定矩陣，此二次型為正定二次型.A為正定二次