機(jī)械振動(dòng)習(xí)題思考題

1、習(xí)題7-1.7-1.原長(zhǎng)為0.5m的彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為0.1kg的物體，當(dāng)物體靜止時(shí)，彈簧長(zhǎng)為0.6m現(xiàn)將物體上推，使彈簧縮回到原長(zhǎng)，然后放手，以放手時(shí)開始計(jì)時(shí)，取豎直向下為正向，寫出振動(dòng)式。（g g 取 9.89.8）解：振動(dòng)方程：x二Acos（，t ），在本題中，kx二mg，所以k =9.8；振幅是物體離開平衡位置的最大距離，當(dāng)彈簧升長(zhǎng)為0.1m0.1m 時(shí)為物體的平衡位置，以向下為正方向。所以如果使彈簧的初狀態(tài)為原長(zhǎng)，那么：A=0.1A=0.1 ,當(dāng) t=0t=0 時(shí)，x=-Ax=-A，那么就可以知道物體的初相位為n。所以：x=0.1cos(., 98t：H)即x =0.1c

2、os( ., 98t)7-2.7-2.有一單擺，擺長(zhǎng)I = 1.0m，小球質(zhì)量m =10g. .t =0時(shí)，小球正好經(jīng)過二二-0.06rad處，并以角速度二-0.2rad/s向平衡位置運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球的運(yùn)動(dòng)可看 作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，試求：（g g 取 9.89.8）（1 1）角頻率、頻率、周期；（2 2）用余弦函數(shù)形式寫出小球的振動(dòng)式。解：振動(dòng)方程：x二Acos（，t）我們只要按照題意找到對(duì)應(yīng)的各項(xiàng)就行e（2 2）根據(jù)初始條件：cos0=:Ai si譏一9皿2象限：0（3,4象限）可解得：A = 0.088,= -2.32所以得到振動(dòng)方程：v -0.088cos(3.13t -2.32)x 3cos0*5

3、7-4.7-4. 一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)， 振幅為12cm,周期為2s。 當(dāng)t=0時(shí)， 位移 為6cm，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)。求：（1 1）振動(dòng)表達(dá)式；（2 2）t = 0.5s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的 位置、速度和加速度；（3 3）如果在某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x 6cm，且向x軸負(fù)方向7-3.7-3. 一豎直懸掛的彈簧下端掛一物體，最初用手將物體在彈簧原長(zhǎng)處托住， 然后放手，此系統(tǒng)便上下振動(dòng)起來， 已知物體最低位置是初始位置下方10.0cm處, ,求： 解：(1)(1)已知物體最低位置是初始位置下方振動(dòng)頻率；（2 2）物體在初始位置下方8.0cm處的速度大小。由題知2A=10cm2A=10cm，所以 A=5cmA=

4、5cm = 196510又3= = * * = =196 =14, ,即V m（2）物體在初始位置下方8.0cm處，對(duì)應(yīng)著是 x=3cmx=3cm 的位置，所以：那么此時(shí)的sin=45那么速度的大小為二0.56運(yùn)動(dòng)，求從該位置回到平衡位置所需要的時(shí)間。_ 2解：由題已知 A=12A=12xio-m m T=2.0T=2.0 s s-13=2=2n/T=/T=nradrads sJT又，t=ot=o 時(shí)，x0=6cm,v0- 0由旋轉(zhuǎn)矢量圖，可知：- -0 0: :3故振動(dòng)方程為x = 0.12 cos(二t 3(2)(2) 將 t=0.5t=0.5 s s 代入得x=0.12cos(二 t -

5、 -)0.12cos0.104m36, n、Kv = -0.12 sin(二 t - )0.12cos0.188m/ s362兀2兀2a = -0.12 二 cos( t ) - -0.12 二 cos 1.03m/s36方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿 x x 軸負(fù)向.(3)(3) 由題知，某時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位于x - -6cm，且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)即 x xo=-A/2=-A/2，且 v vV0 0,故-t=2=2n/3/3，它回到平衡位置需要走n/3/3，所以:t=t=/ /3=(=(n/3)/3)/( (n) ) =1/3s=1/3s7-5.7-5.兩質(zhì)點(diǎn)作同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點(diǎn) 1

6、1 在x1= A/2處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一個(gè)質(zhì)點(diǎn) 2 2 在X2- -A/2處，且向右運(yùn)動(dòng)。求這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位相差。解：由旋轉(zhuǎn)矢量圖可知：當(dāng)質(zhì)點(diǎn) 1 1 在 禺=A/2處，且向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，相位為n/3/3,而質(zhì)點(diǎn) 2 2 在x2- -A/2處，且向右運(yùn)動(dòng),相位為 4 4n/3/3。所以它們的相位差為7-6.7-6.質(zhì)量為m的密度計(jì)，放在密度為T的液體中。已知密度計(jì)圓管的直徑為d。試證明，密度計(jì)推動(dòng)后，在豎直方向的振動(dòng) 為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。并計(jì)算周期。解：平衡位置：當(dāng) F F 浮=6=6 時(shí)，平衡點(diǎn)為 C C 處。設(shè)此時(shí)進(jìn)入水中的深度為 a a：gSa = mg可知浸入水中為 a a 處為平衡位置。以水面作

7、為坐標(biāo)原點(diǎn) 0,0,以向上為 x x 軸，質(zhì)心的位置為 x x，則：分析受力：不管它 處在什么位置，其浸沒水中的部分都可以用a-xa-x 來表示，所以力F =;?g (a _x)S _：gaS _ _gSx _ _kxFa =gSx d2x令 2=TgS Jg二d2mmdt2m4m可得到：d2x dt22x =0可見它是-個(gè)間諧振動(dòng)。周期為：T =2二/=4,和d :?g證明：兩根彈簧的串聯(lián)之后等效于一根彈簧，所以仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)（證明略），其勁 度系數(shù)滿足：=K2x2二 Kx 和 x1x x7-7.7-7.證明圖示系統(tǒng)的振動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。其頻率為:2 兀 (k k2)m7-8.7-8.當(dāng)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的

8、位移為振幅的一半時(shí)，其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的多少? 物體在什么位置時(shí)其動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半？1 ,21/ 1八213LEP=kx2k(2 A)= 4EM，EK- EM當(dāng)物體的動(dòng)能和勢(shì)能各占總能量的一半：-kx-（kA2） =2 2 2 2所以：x需A507A。27-9.7-9.兩個(gè)同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線 （如圖所示）（1 1）求合振動(dòng)的振幅。（2 2）求合振動(dòng)的振動(dòng)表達(dá)式。解：通過旋轉(zhuǎn)矢量圖做最為簡(jiǎn)單。先分析兩個(gè)振動(dòng)的狀態(tài)：JTJIA:A :-AI 1A2:22 2所以合成結(jié)果：振幅A= - A振動(dòng)相位判斷：當(dāng)A A：,= 1；當(dāng)A：A：二十曰111可得：K K,K2代入頻率計(jì)算式，可得:

9、所以:KIK2KIK2(k,k2)m兩者處于反相狀態(tài)，（反相二2 - S-(2k 1)二，k二0,1,2,)k,k?JI所以本題中，二2：2,、/ 2兀兀、振動(dòng)方程：x（人-A）cos t-T 27-10.7-10.兩個(gè)同方向，同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合振動(dòng)的振幅為20cm，與第一TT個(gè)振動(dòng)的位相差為一。若第一個(gè)振動(dòng)的振幅為10.、3cm。則（1 1）第二個(gè)振動(dòng)的6振幅為多少？ （ 2 2）兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位相差為多少？ 解：由題意可做出旋轉(zhuǎn)矢量圖如下.由圖知A2=A2A2-2AACOS30=(0.173)=(0.173)2+(0.2)+(0.2)2-2-2X0.1730.173XO. .2X, ,

10、3 3/2=0.01=0.01/ A2=0.1=0.1 m m設(shè)角 AAiAAi O O 為B,貝 U U A A2=A=A2i+A+A22-2A-2A1A A2COSCOS0即 coscos0= =A2A；-A2= (.173)2(“)2-02)2=0=02AA22乂0.1730.1即0= =n/2/2，這說明Ai與 A A?間夾角為n/2/2，即二振動(dòng)的位相差為n/2/27-11.7-11. 一擺在空中作阻尼振動(dòng)，某時(shí)刻振幅為A。=3cm，經(jīng)過t10s后，振幅變?yōu)锳1cm。問：由振幅為A時(shí)起，經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間其振幅減為A2 0.3cm?解：根據(jù)阻尼振動(dòng)的特征，x=人代宀cos（t 0）振幅為A二

11、人代一(2)(3)若已知A。= 3cm，經(jīng)過ti=10s后，振幅變?yōu)锳 =1cm，可得：1 =3e0:那么當(dāng)振幅減為A2= 0.3cm0.3=3eS可求得 t=21st=21s。7-12.7-12.某彈簧振子在真空中自由振動(dòng)的周期為T。 ， 現(xiàn)將該彈簧振子浸入水中,由于水的阻尼作用，經(jīng)過每個(gè)周期振幅降為原來的(1 1)求振子在水中的振動(dòng)周期T90%90%，求：(2(2)如果開始時(shí)振幅Ao=10厘米，阻尼振動(dòng)從開始到振子靜止求振子經(jīng)過的路程為多少?T導(dǎo),4：2(ln0.9)2-1.00014T02心(2)7-13.7-13.試畫出x = Acos(2 t )和y = Bcos t的李薩如圖形。略

12、，可參考書上的圖形。7-14.7-14.質(zhì)點(diǎn)分別參與下列三組互相垂直的諧振動(dòng):x = 4 c o S8兀t + I6丿I y = 4 c o s8兀t -I f 6丿r 沖x = 4 c o s8兀t + I匸匸6丿5“ I y = 4c o at -I V 6 )x = 4 cos 8兀t十 一II 6丿+ 2“I y = 4cos 8珥十II 3丿試判別質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。解：(1 1)有阻尼時(shí)2nw0A0.9A0= A0e_fTln0.9T(1)解：質(zhì)點(diǎn)參與的運(yùn)動(dòng)是頻率相同，振幅相同的垂直運(yùn)動(dòng)的疊加。2 2A 十-#cos(2 - 1)= sin2(2 - 1)(1)(1)厶二- -; ;：

13、i i =-=-3則方程化為：2 2xy - xy =12，軌跡為一般的橢圓。21二二x y2則方程化為：（）=0AA27=27-15.7-15.在示波器的水平和垂直輸入端分別加上 余弦式交變電壓，熒光屏上出現(xiàn)如圖所示的李薩如 圖形。已知水平方向振動(dòng)頻率為2.7 104Hz，求垂直方向的振動(dòng)頻率。解：通過和書上的李薩如圖形想比較，可發(fā)現(xiàn) 它滿足兩方向的振動(dòng)頻率比3 3： 2 2。由水平方向振動(dòng)頻率為2.7 104Hz，可得垂直方向的振動(dòng)頻率為1.8 104H軌跡為一直線(3)則方程化為:軌跡為一圓。2X2Qx思考題7-1.7-1.試說明下列運(yùn)動(dòng)是不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)：(1) 小球在地面上作完全彈性的上

14、下跳動(dòng)；(2) 小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅度的擺動(dòng)。答：要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一，描述系統(tǒng)的各種 參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長(zhǎng)等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量；二，系統(tǒng)是在自 己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；三，在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用或者說，若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用匚 + +3?三=0=0 描述時(shí)，其所dt2作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng).(1)(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)不是諧振動(dòng)第一，球的運(yùn)動(dòng)軌道中并不存在一個(gè)穩(wěn) 定的平衡位置；第二，球在運(yùn)動(dòng)中所受的三個(gè)力：重力，地面給予的彈力，擊球 者給予的拍擊力，都不是線性回復(fù)力.(2)(2)小球在圖所示的情況中所作的小弧

15、度的運(yùn)動(dòng)，是諧振動(dòng)顯然，小球在運(yùn)動(dòng) 過程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng)( (指小球凹槽、地球系統(tǒng)) )的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點(diǎn)，即系統(tǒng)勢(shì)能最小值位置點(diǎn)0;0;而小球在運(yùn)動(dòng)中的回復(fù)力為-mgsin-mgsin0,如題 4-14-1 圖(b)(b)所示.題中所述， SRSR 故0= = S/RT0 0,所以回復(fù)力為-mg-mg0.式 中負(fù)號(hào)，表示回復(fù)力的方向始終與角位移的方向相反即小球在O O 點(diǎn)附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)中所受回復(fù)力為線性的.若以小球?yàn)閷?duì)象，則小球在以O(shè)O為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，在凹槽切線方向上有7-2.7-2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度和加速度在什么情況下是同號(hào)的？在什么情況下是

16、異號(hào)的？加速度為正值時(shí)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速率是否一定在增加？反之，加速度為負(fù)值時(shí)， 速率是否一定在減??？答：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度：v= -A3sinsin(3t+ );加速度：a=-a=- A A3coscos (3 t+);要使它們同號(hào)， 必須使質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)相位在第一象限。 其他象限的相位兩者就 是異號(hào)的。加速度為正值時(shí)，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的速率不一定在增加，反之，加速度為負(fù)值時(shí)， 速率也不一定在減小。只有當(dāng)速度和加速度是同號(hào)時(shí)，加速度才能使速率增加；反之，兩者異號(hào)時(shí),加速度使速率減小。7-3.7-3.分析下列表述是否正確，為什么 ？(1) 若物體受到一個(gè)總是指向平衡位置的合力，則物體必然作振動(dòng)，但不 一定是簡(jiǎn)諧振

17、動(dòng)(2) 簡(jiǎn)諧振動(dòng)過程是能量守恒的過程，凡是能量守恒的過程就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。答：(1 1)的表述是正確的，原因參考7-17-1;(2 2)的表述不正確，比如自由落體運(yùn)動(dòng)中能量守恒，但不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。7-4.7-4.用兩種方法使某一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。方法 1 1 :使其從平衡位置壓縮l，由靜止開始釋放。方法 2 2 :使其從平衡位置壓縮 2 2 厶|，由靜止開始釋放。若兩次振動(dòng)的周期和總能量分別用T2和E2表示，則它們滿足下面那個(gè)關(guān)系？令32=g/R,=g/R,則有dt2(A)(A) 訂2E E2(B)(B)T1 =T2E1 -E2答：根據(jù)題意，這兩次彈簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。選 擇 B B。A7-5.7-5. 質(zhì)點(diǎn)沿 x x 軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為 T T，振幅為 A A，質(zhì)點(diǎn)從x1運(yùn)動(dòng)到2x2= =A A 處所需要的最短時(shí)間為多少？A兀答：質(zhì)點(diǎn)從x A運(yùn)動(dòng)到x2二A