金融數學習題(共13頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第一章 簡單市場模型考慮單時段情形。假設股票、債券在期初的價格分別為S(0)和A(0)，在期末的價格分別為S(1)和A(1)，資產組合在期初和期末的價值分別為V(0)和V(1)。1.股票在該時段的收益率為= ，債券在該時段的收益率為= ，若采用對數收益率表示，則相應的股票和債券的對數收益率分別為= 和= 。（列式即可）2. 設資產組合在該時段的股數和債券份數分別為x,y，則V(0)= ，V(1)= ，組合的收益率為= 。（列式即可）3假設A(0)=90元，A(1)=100元，S(0)=25元，且假設，式中0<p<1。資產組合有x=10股股票，y=15份債券

2、構成，計算V(0),V(1)和。4. 2009年7月19日，紐約的交易商A和倫敦的交易商B利用如下匯率交易歐元、英鎊和美元： 交易商A 買入 賣出1.0000歐元 1.0202美元 1.0284美元 1.0000英鎊 1.5718美元 1.5844美元 交易商B 買入 賣出1.0000歐元 0.6324英鎊 0.6401英鎊 1.0000美元 0.6299英鎊 0.6375英鎊 試給出一個沒有任何初始投資的投資者獲取無風險利潤的機會。第二章 無風險資產2.1.某人在未來15 年中每年年初存入銀行20 000 元。前 5 年的年利率為5.2%，中間5 年的年利率下調至3.3%，后 5 年由于通貨

3、膨脹率的提高，年 利率上調至8.3%。則 第15 年年末時這筆存款的積累值為（ ）元。(A) 496 786 (B) 497 923 (C) 500 010 (D) 501 036 (E) 502 1092.2已知在未來三年中，銀 行第一年按計息兩次的名義年利率10%計息，第 二年按計息四次的名義年利率12%計息，第 三年的實際年利率為6.5%。某 人為了在第三年末得到一筆10 000元的款項，第 一年年初需要存入銀行（ ）元。(A) 7 356 (B) 7 367 (C) 7 567 (D) 7 576 (E) 7 6572.3.將9000元存入銀行賬戶2個月(61天)，按單利計算，期 末終

4、值9020元。計 算利率r和這個投資的收益率。2.4.如果存款按年復合計息，10年以后可以翻翻，則 利率是多少？2.5.假設存在一個承諾一年以后支付110元的憑證，現 在可以買入或賣出該憑證，也可以在本年期間任意時間以100元買賣，在按年復合之下，與 常數利率10%一致。如 果一個投資者決定買入該憑證，半年以后賣出，賣出的合理價格是多少？2.6.投資者支付95元買入面值100元、6個月到期的債券，如 果利率保持不變，問何時債券的價值達到99元？2.7.假設債券的面值F=100元，年 息票C=8元，期 限T=4年，按面值交易，計 算隱含連續(xù)復合利率。2.8.已知0時刻在基金A中投資1元到2t時的

5、積累值為(3t+1)元，在 基金B(yǎng)中投資1元到3t時的積累值為( )元。假 設在T時基金B(yǎng)的利息強度為基金A的利息強度的兩倍，則 0時刻在基金B(yǎng)中投資1000元在5T時的積累值達到多少？第三章 風險資產1.考慮以下資產的期望收益率和標準差：市場條件收益%概率好161/4一般121/2差81/42.假設時段取值為3個月，即 收益率K(1), K(2), K(3), K(4)獨立同分布。當 前3個季度的期望收益率E(K(0,3)為12%時，計 算季度期望收益率E(K(1)和年期望收益率E(K(0,4)。3假設在連續(xù)復合之下，無 風險年收益率為14%,時段 為一個月，S(0)=22元，d=-0.01

6、,如無風險單期收益率r滿足d<r<u,計算S(2)的取值或取值范圍。4.假設r=0.05,給定S(2)=110元，則 S(3)的風險中性條件期望是多少？5.下表是A、B兩個公司7個月的實際股價和股價數據，單 位為元。證券A證券B時間價格股利價格股利1333236831.35453866590.7251.3573921）計算每個公司每月的收益率。2）計算每個公司的平均收益率。3）計算每個公司收益率的標準差。4）計算兩證券之間的相關系數。第四章 離散時間市場模型4.1.考慮一種具有無風險資產和一種風險資產的市場， 無風險資產的價格為A(0)=100元，A(1)=110元，A(2)=12

7、1元,風險資產的價格有以下三種可能的狀況：下述情況是否存在套利機會？(a) 不存在賣空限制；(b) 風險資產不允許賣空。4.2.假設股票和債券的價格與練習4.1相同，允許賣空，但 組合中每種資產的數量必須是整數，是否存在套利策略？4.3. 假設股票和債券的價格與練習4.1相同，允許賣空，但 在交易時交易成本是交易額的5%,是否存在套利策略？4.4 解釋股票的買空賣空含義，并 簡單解釋其原理。4.5 證明下面結論：當 且僅當d<r<u時，二 叉樹模型沒有套利機會。其中d,r分別表示股票單期的漲跌幅度。R表示單期無風險收益率。第五章 資產組合管理5.1.假設給定的資產組合的收益率 和市

8、場資產組合的收益率 在不同狀況下的取值如下：計算回歸線(特征線)的斜率 和截距 。5.2. 證明權重為 的n個證券構成的資產組合的貝塔因子為 ，其中 為n個證券的貝塔因子。5.3. 資本市場線和證券市場線的方程分別是什么？體 在坐標平面上的意義如何？兩者的區(qū)別有哪些？5.4. 證明在資本資產定價模型中，所 有證券的特征線交予一個公共點。并求出改點的坐標。5.5. 一投資者擁有資金10萬元。(1) 用4萬元購買A股票，5萬元買B股票，其余全部購買C股票，求在切點 處的投資組合。(2) 如果該投資者抽取5萬元作無風險投資，其余仍用于購買A、B、C股票，求此時購買A、B、C股票的資金。5.6. 設風

9、險證券A的期望收益為0.12，方差為10，風險證券B的期望收益為0.08，方差為4，A、B之間的協(xié)方差為2。又假設無風險利率為0.06。求切點投資組合權重。5.7.已知：(1) 市場期望收益率為6%，市 場無風險收益率為4%；(2) 某投資組合期望收益率為10%，收 益率標準差為市場收益率標準差的4倍。求該投資組合中非系統(tǒng)風險占總風險的比重。5.8. 甲公司持有A、B、C三種股票，在 由上述股票組成的證券投資組合中，各股票所占的比重分別為50%、30%和20%，其 系數分別為2.0、1.0、0.5。市 場收益率為15%，無 風險收益率為10%。（1）計算以下指標： 甲公司證券組合的系數；甲公司

10、證券組合的風險收益率（ RP）；甲公司證券組合的必要投資收益率（ K）；投資A股票的必要投資收益率。 （2）甲 公司仍投資A、B、C三種股票，B股票投資比例不變，如 果希望該證券組合風險收益率為8%，計算： 該證券組合的系數； 該證券組合中A、C的投資比率分別是多少？5.9.在馬克維茨組合理論中，用 方差(或標準差)來度量風險，它的優(yōu)點是什么？; 不足之處體現在哪里？是否組合的風險總不會超過單個風險里面的最大值？分散化投資能降低組合的風險，具體而言，是 降低哪塊風險(系統(tǒng)風險還是非系統(tǒng)風險)？如何降低的？第六章 遠期與期貨6.1.假設S(0)元，K=18元，r=8%,賣空需交30%的保證金，保

11、證金按4%產生利息。存套利機會嗎？如何套利？計算不存在套利機會的最高利率d。（按連續(xù)復合）6.2.美國的德國汽車進口商想簽訂半年的遠期合約買入歐元，N 投資美元和歐元的利率分別為 和 ，現在匯率的價格是0.9834歐元兌換1美元。用 美元表示的歐元遠期價格(即遠期匯率)是多少？6.3. 2009年9月1日大豆加工商A跟農場主B簽訂了一份價格為3500元/噸，交易數量為100噸，2010年9月1日交割的遠期合約，簽 訂時大豆的市場價格為3300元/噸.(1)多頭、空頭分別是誰？交 割價是多少？(2)若市場無風險利率為5%，按連續(xù)復合。則對多頭而言，遠期合約的價值為是多少？。對空頭而言呢？(3)這

12、是一份公平的合約嗎？如 不是，請給出合理的交割價。6.4.假設某股票在年初的價格是45元，市場無風險利率為6%，按連續(xù)復合。p 半年后，支付2美元紅利。對于一年交割的合約多頭，計算在9個月后股價為49元時該合約的價值。6.5.假設利率r為常數，按連續(xù)復合。給定S(0),計算一天后的股票價格S(1)，使 得3個月交割的期貨在改天的盯市為0。6.6.假設某股票交易所的股票指數為13500點，在9個月后交割的期貨價格是14100點，利 率是8%，計算紅利收益率。6.7. 某年5月3日,A公司股票的市場價格為每股25美元。于是，該 公司決定于一周后以這一價格增發(fā)20萬股股票，以籌措500萬美元的資本，

13、用于擴充生產規(guī)模。然而，若一周后股市下跌，則該公司發(fā)行同樣多的股票，只 能籌到較少的資本。因此，該公司決定用同年6月份到期的標準普爾500指數期貨作套期保值。已知標準普爾500指數期貨合約價值為標普500指數乘以500美元。5月3日，標普指數為458點，一周后，5月10日，標普指數為443，A公司股票也跌落到每股24.25美元。請問操作策略和盈虧情況。6.8.某機構投資者想持有一證券組合，L 其貝塔系數為1.2，但是現金要到一個月后才能得到。3月10日時，日經225指數為36000，該證券組合的總值為50億日元。為避免股市上升帶來的影響，該投資者決定用日經225指數期貨套期保值。已知：日經22

14、5指數期貨每份合約價值為日經225指數乘以1000日元，4月10日，證券組合價值上升5%，達到52.5億日元。日經225指數38000。請問操作策略及盈虧。6.9.假設股票指數M(0)=890點，一個時段后，股票指數增加到M(1)=920點，單時段無風險利率為1%。一 投資者手中持有價值10萬的股票組合，該組合的貝塔系數為1.5.該投資者打算用3個月后交割的股指期貨為其股票組合套期保值，請為該投資者設計具體的套期保值策略，并計算套期保值效果。（ 設合約乘數為100元/點）第七章 期權：一般性質7.1當兩個期權的施權價 和到期時間 相同時，不 支付紅利的股票的歐式看漲期權（Pe）和美式看漲期權（

15、Pa）的價格關系為（ ）APa> Pe B. Pa< Pe CPa= Pe D.不能確定7.2. 某投資者對未來市場看漲，那 么對于市場指數期權，對投資人最有利的投資策略應是（ ）。(A) 買入一個歐式看漲期權，賣 出一個同期限但執(zhí)行價更高的歐式看漲期權(B) 買入一個歐式看漲期權，賣 出一個同期限但執(zhí)行價更低的歐式看漲期權(C) 買入一個歐式看漲期權，賣 出一個同期限同執(zhí)行價的歐式看跌期權(D) 買入一個歐式看漲期權，買 入一個同期限同執(zhí)行價的歐式看跌期權(E) 以上均不正確7.3.假設歐式看漲期權的施權價為90元，6個月后施權，施 權日的股票價格可能為87元、92元或者97元，

16、概率各為1/3.如果期權利用9%的連續(xù)復合貸款融資，以 8元的價格購買，計算這個看漲期權的持有者的期望收益(或損失)。7.4.假設股票不支付紅利，以 每股15.6元交易，在3個月以后施權的施權價為15元的歐式看漲期權價格為2.83元。按r=6.72%利率連續(xù)復合。計算具有相同施權價和施權日的歐式看跌期權價格。7.5. 施權價為90元，6個月后施權的歐式看漲期權和看跌期權分別以5.09元和7.78元交易；標的股票價格為20.37元，連續(xù)復合利率為7.48%，計 算套利機會。7.6. 美國的德國汽車進口商想簽訂半年的遠期合約買入歐元，: 投資美元和歐元的利率分別為 和 ，現在匯率的價格是0.9834歐元兌換1美元。計算6個月后施權的歐式看漲期權和看跌期權的施權價，使得 。第八章 期權定價8.1 假設賣出股票需要支付一定金額的交易成本，% 買入則不需要交易成本。設S(0)=100元，在二叉樹模型中，u=0.1，d=-0.1，r=0.05，交 易成本c=2%，計 算買入歐式看漲期權的期權價格。8.2設S(0)=75元，u=0.1，d=-0.1，假 設借款利率是12%，存 款利率是8%，在二叉樹模型中，分 別計算買入歐式看漲