數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽講座 01奇數(shù)和偶數(shù)

1、競(jìng)賽講座01 奇數(shù)和偶數(shù)整數(shù)中，能被2整除的數(shù)是偶數(shù)，反之是奇數(shù)，偶數(shù)可用2k表示 ，奇數(shù)可用2k+1表示，這里k是整數(shù).關(guān)于奇數(shù)和偶數(shù)，有下面的性質(zhì)：（1）奇數(shù)不會(huì)同時(shí)是偶數(shù)；兩個(gè)連續(xù)整數(shù)中必是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)；（2）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)和是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶數(shù)；任意多個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)；（3）兩個(gè)奇（偶）數(shù)的差是偶數(shù)；一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)的差是奇數(shù)；（4）若a、b為整數(shù)，則a+b與a-b有相同的奇數(shù)偶；（5）n個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，n個(gè)偶數(shù)的乘積是2n的倍數(shù)；順式中有一個(gè)是偶數(shù)，則乘積是偶數(shù).以上性質(zhì)簡(jiǎn)單明了，解題時(shí)如果能巧妙應(yīng)用，常?？梢猿銎嬷苿?1.代數(shù)式中的奇偶問(wèn)題例1（第2屆“華羅庚金杯”決

2、賽題）下列每個(gè)算式中，最少有一個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，那么這12個(gè)整數(shù)中，至少有幾個(gè)偶數(shù)？+=，   -=， ×      ÷.解 因?yàn)榧臃ê蜏p法算式中至少各有一個(gè)偶數(shù)，乘法和除法算式中至少各有二個(gè)偶數(shù)，故這12個(gè)整數(shù)中至少有六個(gè)偶數(shù).例2  （第1屆“祖沖之杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽）已知n是偶數(shù)，m是奇數(shù)，方程組是整數(shù)，那么（A）p、q都是偶數(shù).            &

3、#160;  （B）p、q都是奇數(shù).（C）p是偶數(shù)，q是奇數(shù)           （D）p是奇數(shù)，q是偶數(shù)  分析   由于1988y是偶數(shù)，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶數(shù)，將其代入第二方程中，于是11x也為偶數(shù)，從而27y=m-11x為奇數(shù)，所以是y=q奇數(shù)，應(yīng)選（C）例3  在1，2，3，1992前面任意添上一個(gè)正號(hào)和負(fù)號(hào)，它們的代數(shù)和是奇數(shù)還是偶數(shù).分析  因?yàn)閮蓚€(gè)整數(shù)之和與這兩個(gè)整數(shù)之差的奇偶性相同，所以在題設(shè)

4、數(shù)字前面都添上正號(hào)和負(fù)號(hào)不改變其奇偶性，而1+2+3+1992=996×1993為偶數(shù)  于是題設(shè)的代數(shù)和應(yīng)為偶數(shù).2.與整除有關(guān)的問(wèn)題例4（首屆“華羅庚金杯”決賽題）70個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)數(shù)以外，每個(gè)數(shù)的3倍都恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)的和，這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的：0，1，3，8，21，.問(wèn)最右邊的一個(gè)數(shù)被6除余幾？解  設(shè)70個(gè)數(shù)依次為a1,a2,a3據(jù)題意有a1=0,             偶a2=1  &#

5、160;           奇a3=3a2-a1,          奇a4=3a3-a2,          偶a5=3a4-a3,          奇a6=3a5-a4,    &#

6、160;      奇 由此可知：當(dāng)n被3除余1時(shí)，an是偶數(shù)；當(dāng)n被3除余0時(shí)，或余2時(shí)，an是奇數(shù)，顯然a70是3k+1型偶數(shù)，所以k必須是奇數(shù)，令k=2n+1，則a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.解   設(shè)十位數(shù)，五個(gè)奇數(shù)位數(shù)字之和為a，五個(gè)偶數(shù)位之和為b(10a35,10b35)，則a+b=45，又十位數(shù)能被11整除，則a-b應(yīng)為0，11，22（為什么？）.由于a+b與a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.要排最大的十位數(shù)，妨先排出前四位數(shù)9876，由于偶數(shù)位五個(gè)數(shù)字之和

7、是17，現(xiàn)在8+6=14，偶數(shù)位其它三個(gè)數(shù)字之和只能是17-14=3，這三個(gè)數(shù)字只能是2，1，0.故所求的十位數(shù)是9876524130.例6（1990年日本高考數(shù)學(xué)試題）設(shè)a、b是自然數(shù)，且有關(guān)系式123456789=（11111+a）（11111-b），               證明a-b是4的倍數(shù).證明  由式可知11111（a-b）=ab+4×617      

8、60;              a0,b0,a-b0首先，易知a-b是偶數(shù)，否則11111(a-b)是奇數(shù)，從而知ab是奇數(shù)，進(jìn)而知a、b都是奇數(shù)，可知(11111+a)及(11111-b)都為偶數(shù)，這與式矛盾其次，從a-b是偶數(shù)，根據(jù)可知ab是偶數(shù)，進(jìn)而易知a、b皆為偶數(shù)，從而ab+4×617是4的倍數(shù)，由知a-b是4的倍數(shù).3.圖表中奇與偶例7（第10屆全俄中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）在3×3的正方格（a）和（b）中，每格填“+”或“-”的符號(hào)，然

9、后每次將表中任一行或一列的各格全部變化試問(wèn)重復(fù)若干次這樣的“變號(hào)”程序后，能否從一張表變化為另一張表.解   按題設(shè)程序，這是不可能做到的，考察下面填法：在黑板所示的2×2的正方形表格中，按題設(shè)程序“變號(hào)”，“+”號(hào)或者不變，或者變成兩個(gè). 表(a)中小正方形有四個(gè)“+”號(hào)，實(shí)施變號(hào)步驟后，“+”的個(gè)數(shù)仍是偶數(shù)；但表(b)中小正方形“+”號(hào)的個(gè)數(shù)仍是奇數(shù)，故它不能從一個(gè)變化到另一個(gè).顯然，小正方形互變無(wú)法實(shí)現(xiàn)，3×3的大正方形的互變，更無(wú)法實(shí)現(xiàn).例8（第36屆美國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）將奇正數(shù)1，3，5，7排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，

10、從左數(shù)起是第幾列？（此處無(wú)表）解   由表格可知，每行有四個(gè)正奇數(shù)，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一個(gè)數(shù)，又奇數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第二列，偶數(shù)行的第一個(gè)數(shù)位于第四列，所以從左數(shù)起，1985在第二列.例9 如圖3-1，設(shè)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中，一個(gè)是紅點(diǎn)，一個(gè)是綠點(diǎn)，在線段中插入n個(gè)分點(diǎn)，把AB分成n+1個(gè)不重疊的小線段，如果這些小線段的兩個(gè)端點(diǎn)一個(gè)為紅點(diǎn)而另一個(gè)為綠點(diǎn)的話，則稱(chēng)它為標(biāo)準(zhǔn)線段.證明  不論分點(diǎn)如何選取，標(biāo)準(zhǔn)線段的條路總是奇數(shù).分析  n個(gè)分點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)緊要，感興趣的只是紅點(diǎn)還是綠點(diǎn)，現(xiàn)用A、B分別表示紅、綠點(diǎn)

11、；不難看出：分點(diǎn)每改變一次字母就得到一條標(biāo)準(zhǔn)線段，并且從A點(diǎn)開(kāi)始，每連續(xù)改變兩次又回到A，現(xiàn)在最后一個(gè)字母是B，故共改變了奇數(shù)次，所以標(biāo)準(zhǔn)線段的條數(shù)必為奇數(shù). 4.有趣的應(yīng)用題例  10（第2屆“從小愛(ài)數(shù)學(xué)”賽題）圖3-2是某一個(gè)淺湖泊的平面圖，圖中所有曲線都是湖岸.（1）如果P點(diǎn)在岸上，那么A點(diǎn)在岸上還是在水中？（2）某人過(guò)這湖泊，他下水時(shí)脫鞋，上岸時(shí)穿鞋.如果有一點(diǎn)B，他脫鞋垢次數(shù)與穿鞋的次數(shù)和是個(gè)奇數(shù)，那么B點(diǎn)是在岸上還是在水中？說(shuō)明理由.解  （1）連結(jié)AP，顯然與曲線的交點(diǎn)數(shù)是個(gè)奇數(shù)，因而A點(diǎn)必在水中.（2）從水中經(jīng)過(guò)一次陸地到水中，脫鞋與穿鞋的次數(shù)和為2，由于

12、A點(diǎn)在水中，氫不管怎樣走，走在水中時(shí)，脫鞋、穿鞋的次數(shù)的和總是偶數(shù)，可見(jiàn)B點(diǎn)必在岸上.例11   書(shū)店有單價(jià)為10分，15分，25分，40分的四種賀年片，小華花了幾張一元錢(qián)，正好買(mǎi)了30張，其中某兩種各5張，另兩種各10張，問(wèn)小華買(mǎi)賀年片花去多少錢(qián)？分析   設(shè)買(mǎi)的賀年片分別為a、b、c、d（張），用去k張1元的人民幣，依題意有10a+15b+25c+40d=100k,(k為正整數(shù))即       2a+3b+5c+8d=20k顯然b、c有相同的奇偶性.若同為偶數(shù)，b-c=10 和a=b=5，不

13、是整數(shù)；若同為奇數(shù)，b=c=5和a=d=10,k=7.例12  一個(gè)矩形展覽廳被縱橫垂直相交的墻壁隔成若干行、若干列的小矩形展覽室，每相鄰兩室間都有若干方形門(mén)或圓形門(mén)相通，僅在進(jìn)出展覽廳的出入口處有若干門(mén)與廳外相通，試證明：任何一個(gè)參觀者選擇任何路線任意參觀若干個(gè)展覽室（可重復(fù)）之后回到廳外，他經(jīng)過(guò)的方形門(mén)的次數(shù)與圓形門(mén)的次數(shù)（重復(fù)經(jīng)過(guò)的重復(fù)計(jì)算）之差總是偶數(shù).證明  給出入口處展覽室記“+”號(hào)，凡與“+”相鄰的展覽室記“-”號(hào)，凡與“-”號(hào)相鄰的展覽室都記“+”號(hào)，如此則相鄰兩室的“+”、“-”號(hào)都不同.一參觀者從出入口處的“+”號(hào)室進(jìn)入廳內(nèi)，走過(guò)若干個(gè)展覽室又回到入口處

14、的“+”號(hào)室，他的路線是+-+-+-+-，即從“+”號(hào)室起到“+”號(hào)室止，中間“-”、“+”號(hào)室為n+1（重復(fù)經(jīng)過(guò)的重復(fù)計(jì)算），即共走了2n+1室，于是參觀者從廳外進(jìn)去參觀后又回到廳外共走過(guò)了2n+2個(gè)門(mén)（包括進(jìn)出出入口門(mén)各1次）.設(shè)其經(jīng)過(guò)的方形門(mén)的次數(shù)是r次，經(jīng)過(guò)圓形門(mén)的次數(shù)是s，則s+r=2n+2為偶數(shù)，故r-s也為偶數(shù)，所以命題結(jié)論成立.例13   有一無(wú)窮小數(shù)A=0.a1a2a3anan+1an+2其中ai(i=1,2)是數(shù)字，并且a1是奇數(shù)，a2是偶數(shù)，a3等于a1+a2的個(gè)位數(shù)，an+2是an+an+1(n=1,2,)的個(gè)位數(shù)，證明A是有理數(shù).證明 

15、 為證明A是有理數(shù)，只要證明A是循環(huán)小數(shù)即可，由題意知無(wú)窮小數(shù)A的每一個(gè)數(shù)字是由這個(gè)數(shù)字的前面的兩位數(shù)字決定的，若某兩個(gè)數(shù)字ab重復(fù)出現(xiàn)了，即0.abab此小數(shù)就開(kāi)始循環(huán).而無(wú)窮小數(shù)A的各位數(shù)字有如下的奇偶性規(guī)律：A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇又a是奇數(shù)可取1，3，5，7，9；b是偶數(shù)可取0，2，4，6，8.所以非負(fù)有序?qū)崝?shù)對(duì)一共只有25個(gè)是不相同的，在構(gòu)成A的前25個(gè)奇偶數(shù)組中，至少出現(xiàn)兩組是完全相同的，這就證得A是一循環(huán)小數(shù)，即A是有理數(shù).            &

16、#160;     練  習(xí) 1.填空題（1）有四個(gè)互不相等的自然數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)的差等于4，最大數(shù)與最小數(shù)的積是一個(gè)奇數(shù)，而這四個(gè)數(shù)的和是最小的兩位奇數(shù)，那么這四個(gè)數(shù)的乘積是_（2）有五個(gè)連續(xù)偶數(shù)，已知第三個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)與第五個(gè)數(shù)和的多18，這五個(gè)偶數(shù)之和是_.（3）能否把1993部電話中的每一部與其它5部電話相連結(jié)？答_.2.選擇題（1）設(shè)a、b都是整數(shù)，下列命題正確的個(gè)數(shù)是（  ）若a+5b是偶數(shù)，則a-3b是偶數(shù)；若a+5b是偶數(shù)，則a-3b是奇數(shù)；若a+5b是奇數(shù)，則a-3b是奇數(shù)；若a+5b是奇數(shù)，則a-3b是偶數(shù).（A

17、）1      （B）2      （C）3       （D）4（2）若n是大于1的整數(shù)，則的值（  ）.（A）一定是偶數(shù)        （B）必然是非零偶數(shù)（C）是偶數(shù)但不是2    （D）可以是偶數(shù)，也可以是奇數(shù)（3）已知關(guān)于x的二次三項(xiàng)式ax2+bx+c（a、b、c為整數(shù)），如果當(dāng)x=0與x=1時(shí)，二次三項(xiàng)式的值都是奇數(shù)

18、，那么a（  ）（A）不能確定奇數(shù)還是偶數(shù)       （B）必然是非零偶數(shù)（C）必然是奇數(shù)                 （D）必然是零3.（1986年宿州競(jìng)賽題）試證明11986+91986+81986+61986是一個(gè)偶數(shù).4.請(qǐng)用0到9十個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)能被11整除的最小十位數(shù).5.有n 個(gè)整數(shù)，共積為n，和為零，求證：數(shù)n能被4整除6.在一個(gè)凸n邊形內(nèi)，任意給出有限個(gè)點(diǎn)，在這些點(diǎn)之間以及這些點(diǎn)與凸n邊形頂點(diǎn)之間，用線段連續(xù)起來(lái)，要使這些線段互不相交，而且把原凸n邊形分為只朋角形的小塊，試證這種小三我有形的個(gè)數(shù)與n有相同的奇偶性.7.（1983年福建競(jìng)賽題）一個(gè)四位數(shù)是奇數(shù)