第五節(jié)無窮小的比較ppt課件

1、1.5 無窮小的比較無窮小的比較,00 本節(jié)我們對(duì)一些尚未解決的極限問題做一點(diǎn)本節(jié)我們對(duì)一些尚未解決的極限問題做一點(diǎn)初步的討論初步的討論. .因?yàn)闊o窮大的倒數(shù)為無窮小因?yàn)闊o窮大的倒數(shù)為無窮小, , 我們用我們用“ “ 0 ”0 ”和和“ ”“ ”分別表示無窮小和無窮分別表示無窮小和無窮大大, , 則下列形式的極限都不能用極限運(yùn)算法則求解則下列形式的極限都不能用極限運(yùn)算法則求解: :, ,0 所以所以, , 和和 0都可以看做都可以看做 的變形的變形. .00由由,)()(1)(1)(1)()(xgxfxfxgxgxf 也是也是 的變形的變形. .00 原因是這些形式的極限值可能是任意的實(shí)數(shù)原因

2、是這些形式的極限值可能是任意的實(shí)數(shù), , 也可能不存在也可能不存在. .我們稱上述四種形式的極限為未定式的極限我們稱上述四種形式的極限為未定式的極限, ,例如例如, ,lim0CxCxx ， 20limxxxxxxx1sinlim0不存在不存在. .另外另外, , 對(duì)冪指函數(shù)對(duì)冪指函數(shù) ( ( 且且不恒等于不恒等于1), 1), 由由,)()(ln)()(xfxgxgexf )()(xgxf0)( xf及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性及指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性, , 有有)(ln)(lim)()(limxfxgxgxxexf ,1 假如假如 為未定式的極限為未定式的極限, ,)(ln)(limx

3、fxgax00為為 型未定式型未定式, ,)(ln)(xfxg即即那么那么 也是未定式也是未定式, ,)()(limxgaxxf且有以下三種形式且有以下三種形式: :,0 .0000而且這三種形式經(jīng)過函數(shù)的恒等變形都可以化為而且這三種形式經(jīng)過函數(shù)的恒等變形都可以化為的形式的形式. . 綜上所述綜上所述, , 兩個(gè)無窮小之商的極限兩個(gè)無窮小之商的極限, , 在極限在極限的的討論中具有特別的地位討論中具有特別的地位. . 實(shí)際上實(shí)際上, , 這樣的極限是對(duì)兩個(gè)無窮小趨于零的這樣的極限是對(duì)兩個(gè)無窮小趨于零的速度進(jìn)行比較速度進(jìn)行比較, , 簡稱無窮小的比較簡稱無窮小的比較. . 例如例如, , 當(dāng)當(dāng)x

4、xx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都都是是無無窮窮小小時(shí)時(shí)xxxxxx ;32要要快快得得多多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx不可比不可比. ., 0 , 1 xx1sinlim0 下面我們對(duì)無窮小趨于零的速度進(jìn)行量化比較下面我們對(duì)無窮小趨于零的速度進(jìn)行量化比較. .觀察各極限觀察各極限極限不同極限不同, , 反映了趨向于零的反映了趨向于零的“快慢程度不快慢程度不同同. .不存在不存在, , 0lim)3(高高階階的的無無窮窮小小是是比比則則稱稱如如果果 x定義定義1.11 (1.11 (無窮小量階的比較無窮小量階的比較) )

5、 . 0, 且且都都是是無無窮窮小小時(shí)時(shí)設(shè)設(shè) x;, 0lim)2(是是同同階階的的無無窮窮小小與與則則稱稱如如果果 Cx;, 1lim)1(是是等等價(jià)價(jià)無無窮窮小小與與則則稱稱如如果果 x).( o ; 記作記作記作記作注注: : 在不太關(guān)心無窮小具體表示時(shí)在不太關(guān)心無窮小具體表示時(shí), , 也把無窮小也把無窮小 記作記作).1(o例例1 1 證明當(dāng)證明當(dāng) 0,1)1()3( xx,0時(shí)時(shí)x證證 (1) (2) 令令1 故故 (2) 成立成立. )0( ,)1ln( xxx故故xx )1ln()1( axaxln1)2( xxx)1ln(lim0 xxx10)1ln(lim ,1tax eln

6、 aatttlnln)1ln(lim0 .ln)1ln(atx 則則axaxxln1lim0 1 (3) 1)1( x1)1ln( xe 由由(1)有有 ,)1ln(xx 再由再由(2)有有 )1ln(1)1ln(xex ).0( ,1)1( xxx 故故, 0, 0)(lim0 kCxxfkx如如果果特別地特別地, , 如果當(dāng)如果當(dāng) 時(shí)時(shí), , 是無窮是無窮小小, ,0 x)(xf習(xí)慣將習(xí)慣將 同冪函數(shù)進(jìn)行比較同冪函數(shù)進(jìn)行比較. . )(xf例例2 2 當(dāng)當(dāng).sintan,0的階數(shù)的階數(shù)求求時(shí)時(shí)xxx 解解kxxxxsintanlim0 10cos1tanlimkxxxxx.3sintan階

7、階無無窮窮小小的的為為 xxx .3, 21時(shí)時(shí)即即當(dāng)當(dāng) kk021sintanlim0 kxxxx.)(階無窮小階無窮小是是則稱則稱kxf常用等價(jià)無窮小常用等價(jià)無窮小: :,sinxxxx tan,arctanxx,)1ln(xx ,ln1axax ,21cos12xx ,arcsinxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0 x,)(之之和和與與它它的的高高階階無無窮窮小小 o.)( o 即即xx 2sinxx 一個(gè)無窮小一個(gè)無窮小,xx,等等價(jià)價(jià)仍仍與與原原無無窮窮小小 0,1)1( xx性質(zhì)性質(zhì): :,0時(shí)時(shí)x例如例如, , 當(dāng)當(dāng), 時(shí)時(shí)設(shè)設(shè) x證證 xlim xlim xlim),(lim 或或且且Ax xli

8、m則則 xlim xlim).(lim 或或Ax 定理定理1.22 (1.22 (無窮小的等價(jià)代換無窮小的等價(jià)代換) ).(lim 或或Ax 意義意義: : 利用等價(jià)無窮小代換利用等價(jià)無窮小代換, , 可以簡化極限的計(jì)算可以簡化極限的計(jì)算. . .cos12tanlim20 xxx 解解,21cos1,02xxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx 原式原式. 8 注意注意: 無窮小替換定理適用于乘、除情形無窮小替換定理適用于乘、除情形,無窮小代數(shù)和的情形需慎用無窮小代數(shù)和的情形需慎用. .例例3 3 求求.22tanxx.2sinsintanlim30 xxxx 解解.sin,tan,0 xxxxx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)30)2(limxxxx 原原式式. 0 解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)x)cos1(tansintanxxxx 321x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 錯(cuò)錯(cuò) 例例4 4 求求解解 xxx2sin2arcsin9lim0 原式原式. 9 .)2sin1ln(1)2sinarc1(lim90 xxx ,91)1(9xx ,)1ln(xx xxx22lim90 ,0時(shí)時(shí)因因xx