2019年高考北京卷理科數(shù)學真題(含答案)(真題及答案)

1、絕密啟用前2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（理）（北京卷）本試卷共5頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選 出符合題目要求的一項。1 .已知復數(shù)z=2+i ,則z ZA. 3B.、,5C. 3D. 5【答案】D【解析】【分析】題先求得Z,然后根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則即得 .【詳解】z 2 i,z z （2 i）（2 i） 5 故選 d.【點睛】本容易題，注重了基礎知識、基本計算能力的考查2 .執(zhí)行如圖所示的程序框

2、圖，輸出的s值為A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖中的條件逐次運算即可.2 12【詳解】運行第一次， k=1 , s 2 ,3 1 2一2 22c運行第二次，k 2 , s 2 ,3 2 2一2 22c運行第三次，k 3 , s 2 ,3 2 2結束循環(huán)，輸出s=2 ,故選B.【點睛】本題考查程序框圖，屬于容易題，注重基礎知識、基本運算能力的考查x 1 3t,3.已知直線l的參數(shù)方程為y 24t 4為參數(shù)），則點（1Q）到直線l的距離是A.2 B.54 C.D.【答案】D【解析】【分析】首先將參數(shù)方程化為直角坐標方程，然后利用點到直線距離公式求解距離即可【詳

3、解】直線l的普通方程為4x1 3y 2 0,即4x 3y 2 0,點1,0到直線l的距14 0 2| 6離d =22，故選D.,42 325【點睛】本題考查直線參數(shù)方程與普通方程轉化點到直線的距離，屬于容易題，注重基礎知識？基本運算能力的考查.4.已知橢圓x22ab2A. a2=2 b2由題意利用離心率的定義和【詳解】橢圓的離心率 e故選B.2的 a,b,c的關系可得滿足題意式.b2,a4bI '，屬于容易題，注重基礎知識？基本運算能力的手1 (a>b>0)的離心率為B. 3a2=4 b2【點睛】本題考查橢圓的標準方程與幾何性質查.5.若x, y滿足| x | 1 y ,且

4、y 1,則3x+y的最大值為A. - 7B. 1C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】 首先畫出可行域，然后結合目標函數(shù)的幾何意義確定其最值即可1 y【詳解】由題意，作出可行域如圖陰影部分所示y 1 x 1 y4設 z 3x y, y z 3x,當直線lo：y z 3x經(jīng)過點2, 1時，取最大值5.故選c.【點睛】本題是簡單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)“畫 ？移？解”等步驟可得岫目難度不大題，注重了基礎知識？基本技能的考查6.在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m2 -m151 E121g E2,其中星等為m1的星的亮度為E (k=1,2 ).已知太陽的

5、星等是26.7 ,天狼星的星等是-1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為A. 10 10.1B. 10.1C. lg10.1D. 10 -10.1【答案】D【解析】【分析】,E1E1E1先求出lg ,然后將對數(shù)式換為指數(shù)式求h 再求 有E2E2E251 E1【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足m2 mi -lg,2E2令 m21.45 , m126.7 ,-E122,/“、1g m2 ml-( 1.45 26.7) 10.1E2 55，且 1010.1 巨 1010.1E2E1'故選D.【點睛】考查考生的數(shù)學應用意識、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算uuv uuuvuuu uuu

6、uuu7.設點A, B, C不共線，則“ AB與AC的夾角為銳角”是“ | AB AC| | BC| "的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由題意結合向量的減法公式和向量的運算法則考查充分性和必要性是否成立即可【詳解】: A?B?C三點不共線uuv uuuv uuir I AB + AC I>I BCuuv uuuv uuuv uuuv I I AB + AC l>l AB - ACuuuv uuuv .| AB + AC |2>|uuuv uuuv _uuir uuuvAB - AC |2AB

7、 ? AC >0uuu uuuvAB 與 AC的夾角為銳角.故“uuuv uuuvAB與AC的夾角為銳角”是uuv uuuv| AB + AC |>|uuirBC |”的充分必要條件故選C.【點睛】本題考查充要條件的概念與判斷?平面向量的?；瘹w數(shù)學思想. 22.8.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線 c： x y 1|x| y就是其中之一（如圖）.給出下列三個結論：曲線C恰好經(jīng)過6個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）曲線C上任意一點到原點的距離都不超過J2;曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結論的序號是D.ASB.C.將所給方程進行等價變形確定 x的范圍可

8、得整點坐標和個數(shù)，結合均值不等式可得曲線上的點到坐標原點距離的最值和范圍，利用圖形的對稱性和整點的坐標可確定圖形面積的范圍,2= 2= 2詳解】由X2 y2 1 xy得，y2 x y 1 x2|x|3x3x _ 2 41 ,1 屋0,x,24432所以x可為的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線C :xy2 1 x y恰好經(jīng)過（0,1）,（0,-1）,（1,o）,（1,1）,（-1,o）,（-1,1）六個整點，結論正確y2 1 x* * J x2 y2 HMF原點的距離都不超過.如圖所示，易知A 01C 1,1,D四邊形ABCD的面1111 即“心形”區(qū)域的面法錯誤.22，解得x y 2 ,所以曲線C

9、上任意一點到0,1，3,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于2Sabcd,故選C.【點睛】本題考查曲線與方程？曲線的幾何性璜本不等式及其應用屬于難題，注重基礎知識？基本運算能力及分析問題解決問題的能力考查，滲透“美育思想”.第二部分（非選擇題共110分）、填空題共6小題，每小題5分，共30分9.函數(shù)f(x)=sin 22x的最小正周期是 【答案】萬 .【解析】【分析】將所給的函數(shù)利用降哥公式進行恒等變形，然后求解其最小正周期即可21 cos 4 x【詳解】函數(shù)f x Sin 2x cos，周期為- 22【點睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式？三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎題10.設等差數(shù)列an的

10、前n項和為Sn,若a2=- 3, S5=- 10,則a5=2 Sn的最小值為【答案】(1). 0.(2).-10.【解析】【分析】首先確定公差，然后由通項公式可得 a5的值，進一步研究數(shù)列中正項？負項的變化規(guī)律得到和的最小值.【詳解】等差數(shù)列an中，S55a310 ,得出 2,比 3 ,公差d a3 a2 1,%氏 2d 0,由等差數(shù)列an的性質得n 5時，an 0,n 6時，斗大于0,所以Sn的最小值為 4或S5,即為10.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式？求和公式 ？等差數(shù)癱蜀械質，注重重要知識？基礎知識？基本運算能力的考查11.某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示

11、.如果網(wǎng)格紙上小正【答案】40.【解析】【分析】【點睛】易錯點有二，一是不能正確還原幾何體；二是計算體積有誤.為避免出錯，應注重多觀察、細心算方形的邊長為1 ,那么該幾何體的體積為畫出三視圖對應的幾何體，應用割補法求幾何體的體積【詳解】在正方體中還原該幾何體，如圖所示幾何體的體積 V=4 3- 2 (2+4 ) X 2X4=401/>T12. 已知 l ， m 是平面 外的兩條不同直線給出下列三個論斷：l，m； m/;l，.以其中的兩個論斷作為條件， 余下的一個論斷作為結論， 寫出一個正確的命題： 【答案】如果l X a , m / a ,則U m.【解析】【分析】將所給論斷，分別作為條

12、件、結論加以分析.【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結論，得到如下三個命題：(1 )如果 U a , m / a ,則l,m.正確；(2 )如果l，a , Um,則m / a1不正確，有可能m在平面a內(nèi)；(3)如果l,m , m / a ,則l, a.不正確，有可能l與a斜交、l/ a【點睛】本題主要考查空間線面的位置關系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力 .13.設函數(shù)f (x) =ex+ae-x (a為常數(shù)).若f (x)為奇函數(shù)，則 a=;若f (x)是R 上的增函數(shù)，則 a 的取值范圍是_【答案】 (1). -1;(2).,0 .【解析】【分析】首先由奇函數(shù)的定義得到關于的恒等式，據(jù)此

13、可得的值，然后利用導函數(shù)的解析式可得a的取值范圍 .【詳解】若函數(shù)f xexae x 為奇函數(shù) ,則 f x f x ,e xaexexae x ，a 1 ex ex 0對任意的X恒成立.x xx x2x若函數(shù) f x e ae 是 R 上的增函數(shù),則 f ' x e ae 0 恒成立 , ae2x,a0 .即實數(shù)的取值范圍是,0【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性?單調性 ?利用單調性確定參數(shù)的范圍.解答過程中,需利用轉化與化歸思想,轉化成恒成立問題.注重重點知識?基礎知識 ?基本運算能力的考查.14 . 李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為

14、60 元/盒、 65 元/盒、 80 元/ 盒、 90 元/盒為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到 120 元，顧客就少付 x 元每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的 80% 當 x=10 時，顧客一次購買草莓和西瓜各 1 盒，需要支付元；在促銷活動中， 為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折， 則 x 的最大值為 _【答案】（1）. 130.（2）. 15.【解析】【分析】（ 1 ）將購買的草莓和西瓜加錢與 120 進行比較，再根據(jù)促銷規(guī)則可的結果；（2）根據(jù)yv 120、y 120分別探究.【詳解】 （1 ） x=10 ，顧客一次購買草莓和西

15、瓜各一盒，需要支付（ 60+80 ） -10=130 元 .（ 2 ）設顧客一次購買水果的促銷前總價為 y 元，yv 120元時，李明得到的金額為 yX80%,符合要求y 120元時，有(y-x) X80% 列X70% 成立，即 8 (y-x) >7y, x< ,即 xw y ) min=15 元. 88所以x的最大值為15.【點睛】本題主要考查不等式的概念與性質、數(shù)學的應用意識、數(shù)學式子變形與運算求解能力，有一定難度.三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15 .在AABC 中，a=3 , b- c=2 , cos B=；.(n)求 sin (B-

16、C)的值.a 3【答案】(i ) b 7 ； c 5(n)773.【解析】【分析】(I )由題意列出關于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值;(n)由題意結合正弦定理和兩角和差正余弦公式可得 22. 2a c bcosB 2ac【詳解】(I)由題意可得：b c 2a 3sin B C的值.12a 3,解得：b 7.c 5(n)由同角三角函數(shù)基本關系可得:sin B . 1 cos2 B結合正弦定理bsin Bcsin C可得:sinCcsin B 5 3b 14很明顯角C為銳角，故cosC故 sin B C sin B cosC1 sin 2 C衛(wèi)14 ' cos B si

17、n C2 s/3.【點睛】本題主要考查余弦定理、正弦定理的應用，兩角和差正余弦公式的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力16.如圖,在四棱錐PABCD 中，PA，平面 ABCD,ADXCD, AD /BC, PA=AD=CD=2 ,BC=3 . E為PD的中點，點F在PC上，且PFPC(I)求證：CD，平面PAD;(n )求二面角 F KE -P的余弦值；PG 2(出)設點G在PB上，且- -.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由.PB 3【答案】(I)見解析;(出)見解析.【解析】【分析】(I )由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結論;F-AE-P的余弦值;(n)建立

18、空間直角坐標系，結合兩個半平面的法向量即可求得二面角(出)首先求得點G的坐標，然后結合平面 AEF的法向量和直線 AG的方向向量可判斷直線 是否在平面內(nèi).【詳解】(I )由于PA，平面ABCD, CD 平面ABCD,則PAXCD,由題意可知 AD ± CD ,且PAPAD=A, 由線面垂直的判定定理可得 CD,平面PAD.(n)以點A為坐標原點，平面 ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向為y軸，z 軸建立如圖所示的空間直角坐標系A xyz,易知：A 0,0,0 ,P 0,0,2 ,C 2,2,0 ,D 0,2,0 ,uuir i uuir2 2 4由PF二PC可得點F的坐

19、標為F 一，一，一33 3 3uuu i uuir由 PE 2PD 可得 E 0,1,1 ,ir設平面AEF的法向量為：m x,y,z ,則23y3z 0v uuv2 2 4m AF x, y,z ,3 3 3v uuvm AE x,y,z 0,1,1ur據(jù)此可得平面 AEF的一個法向量為： m 1,1,1,r很明顯平面AEP的一個法向量為n 1,0,0ir rir r cos m,n_i_蟲、3 13面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為2332 uuu4PB可得G -, 33uuir(出)易知 P 0,0,2 ,B 2, 1,0 ,由 PGunr 則AGIT 注意到

20、平面AEF的一個法向量為：m 1,1, 1 ,ur uuir其m AG 0且點A在平面AEF內(nèi)，故直線 AG在平面AEF內(nèi).17 .改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變.近年來，移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學生上個月A, B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了 100人，發(fā)現(xiàn)樣本中 A, B兩種支付方式都不使用的有 5人，樣本中僅使用 A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：交付金額(元)支付方式(0,1000(1000,2000大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人(I)從全校學生中隨機抽取 1人，估計該學生上個月 A, B兩種支付方式

21、都使用的概率;(n)從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求 X的分布列和數(shù)學期望;(出)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于 2000元的人數(shù)有變化？說明理由.【答案】(I) 2； 5(n)見解析;(出)見解析.【解析】【分析】(I)由題意利用古典概型計算公式可得滿足題意的概率值；(n)首先確定X可能的取值，然后求得相應的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學期望即可(出)由題意結合概率的定義給

22、出結論即可.【詳解】(I)由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為:100 30 25 540人,則:該學生上個月A, B兩種支付方式都使用的概率40 p 100(n)由題意可知,僅使用A支付方法的學生中,金額不大于1000的人數(shù)占僅使用B支付方法的學生中,金額不大于1000的人數(shù)占3525金額大于1000金額大于1000的人數(shù)占的人數(shù)占25，35 '且X可能的取值為0,1,2.3 26p X 0-，5 525 '13252_6525X分布列為:X012p X6251325625，6136其數(shù)學期望：E X 01 21.252525（出）我們不認為樣本僅使用 A的學生中本月支付金

23、額大于 2000元的人數(shù)有變化.理由如下： 隨機事件在一次隨機實驗中是否發(fā)生是隨機的，是不能預知的，隨著試驗次數(shù)的增多， 頻率越來越穩(wěn)定于概率。學校是一個相對消費穩(wěn)定的地方，每個學生根據(jù)自己的實際情況每個月的消費應該相對固定，出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了 “小概率事件”【點睛】本題以支付方式相關調查來設置問題，考查概率統(tǒng)計在生活中的應用，考查概率的定義和分布列的應用，使學生體會到數(shù)學與現(xiàn)實生活息息相關18 .已知拋物線 C： x2= - 2py經(jīng)過點（2 , - 1）.（I）求拋物線 C的方程及其準線方程；（n ）設O為原點，過拋物線 C的焦點作斜率不為 0的直線l交拋物線C于兩點M , N

24、, 直線y=- 1分別交直線 OM , ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過 y軸上的兩 個定點.2【答案】（I）x 4y, y 1 ；（n）見解析.【解析】【分析】（I）由題意結合點的坐標可得拋物線方程，進一步可得準線方程；從而確定圓的方(n)聯(lián)立準線方程和拋物線方程，結合韋達定理可得圓心坐標和圓的半徑,程，最后令x=0即可證得題中的結論.2【詳解】(i)將點2, 1代入拋物線方程：22p 1可得:P 2,2故拋物線方程：x 4y,其準線方程為:(n)很明顯直線1的斜率存在，焦點坐標為0,設直線方程為y kx 1,與拋物線方程4 y聯(lián)立可得:4kx 4 0.故：K x24Kxix24

25、.2x1設 Mx1 , N x2 ,42x2,則 kOM4x27，直線OM的方程為yx1與y1聯(lián)立可得:A3Kr 4,同理可得B , 1又2易知以AB為直徑的圓的圓心坐標為:Xi2, 1X2,圓的半徑為:XiX22且：一x12 x1 x22kx2x1x2xix22 ,x1 x24x1x2xx22，k2 1，則圓的方程為:x 2k. 2令x 0整理可得：y2y 30,解得：y13,y21,即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點0,3 , 0,1 .直線與拋物線的位置關系，圓【點睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準線方程的確定, 的方程的求解及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力13

26、219.已知函數(shù)f(x) x x x4(I)求曲線y f(x)的斜率為1的切線方程;(n)當 x 2,4時，求證：x 6 f (x) x；(出)設F(x) | f(x) (x a)|(a R),記F(x)在區(qū)間2,4上的最大值為 M(a),當M (a)最小時，求a的值.【答案】(I) x y 0 和 27x 27 y 64 0.(n)見解析；(出)a 3.【解析】(I)首先求解導函數(shù)，然后利用導函數(shù)求得切點的橫坐標，據(jù)此求得切點坐標即可確定切線方程;(n)由題意分別證得f x x 60和f x x 0即可證得題中的結論;(出)由題意結合(n)中的結論分類討論即可求得a的值.一.，、3 2-，.

27、，、3 2-.【詳解】(I) f(x)4x2x1,令 f(x)4x2x1 1#x?；蛘選當x 0時，f (0) 0,此時切線方程為y x,即x y 0；88864當x二時，f (-) 二，此時切線方程為y x gp 27x 27y 64 0； 332727綜上可得所求切線方程為xy0和27x27 y640.132.、32一.、32(n)設 g(x) f (x) x 4x x g(x) -x 2x,令 g (x) -x 2x 0得x 0一 88、或者x 大所以當x 2,0時，g (x) 0, g(x)為增函數(shù)；當x (0,0)時，g (x) 0, 338 .g(x)為減函數(shù)；當x 二，4時，g

28、(x) 0, g(x)為增函數(shù)； 3而 g(0)g(4)0,所以 g(x) 0,即 f(x) x；6 ,可求其最小值為h( 2)h(x) 0 ,132同理令 h(x) f (x) x 6 x x 4即f(x) x 6,綜上可得x 6 f (x) x.(出)由(n)知 6 f(x) x 0所以M (a)是a, a 6中的較大者，若 aa 6,即 a03時，M(a)a a 3；若 aa 6 ,即 a3時，M(a)a6 a 63；所以當M (a)最小時，M (a)3 ,此時3 .【點睛】本題主要考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導函數(shù)證明不等式的方法，分類討論的數(shù)學思想等知識，意在考查學生的轉化

29、能力和計算求解能力20.已知數(shù)列an,從中選取第ii項、第i2項、第im項(ii<i2<-yim),若21 1”，則稱新數(shù)列 可，ai2， ，aim為an的長度為m的遞增子列.規(guī)定：數(shù)列an的任意一項都 是an的長度為1的遞增子列.(I)寫出數(shù)列1, 8, 3, 7, 5, 6, 9的一個長度為4的遞增子列；(n)已知數(shù)列an的長度為p的遞增子列的末項的最小值為am,長度為q的遞增子列的末項的最小值為 a0 .若p< q ,求證：amo < a-0;(出)設無窮數(shù)列an的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等 .若an的長度為s的遞增子 列末項的最小值為 2s T,且長度為s末項為2s T的遞增子列恰有2s-1個(s=1 , 2 ,)， 求數(shù)列an的通項公式.【答案】(1)135,6.(n)見解析;(出)見解析.【解析】【分析】(I)由題意結合新定義的知識給出一個滿足題意的遞增子列即可；（n）利用數(shù)列的性質和遞增子列的定義證明題中的結論即可;（山