初二數(shù)學(xué)矩形菱形正方形歸類復(fù)習(xí)

1、初二數(shù)學(xué)矩形菱形正方形握岫知識基本技能-地1三#事工出在0F匚HrZ"fnFJJhk飛JINf：1.矩形的定義和性質(zhì)(1)矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形的定義有兩個要素：是平行四邊形；有一個角是直角.兩者缺一不可.(2)矩形的性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì).矩形的四個角都是直角.如圖，在矩形ABCD中，/ABC=90°,又由鄰角互補、對角相等可得/BAD=ZADC=ZDCB=ZABC=90°ADC推理形式為：.四邊形ABCD是矩形，BAD=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°.矩形的對角線相等.如上圖，在矩形ABCD中，AB=D

2、C,/ABC=/BCD=90°,BC為公共邊，可得ABCADCB.從而證得AC=BD.其推理形式為：.四邊形ABCD是矩形，AC=BD.矩形既是中心對稱圖形(對稱中心是對角線的交點)(20.4節(jié)講到)，又是軸對稱圖形(有兩條對稱軸).規(guī)瓊“矩形的四個角都是直角”這一性質(zhì)可用來證明兩條線段互相垂直或角相等，“矩形的對角線相等”這一性質(zhì)可用來證明線段相等.矩形的兩條對角線分矩形為面積相等的四個等腰三角形.【例1】如圖所示，在矩形ABCD中，/CAD=30°,CD=5cm,求矩形ABCD的周長(精確到0.1).4D0、工、BC解：連接BD交AC于點Q.在矩形ABCD中，AB=CD

3、,AD=BC./ADC=90°,/CAD=30°,AC=2CD=10(cm).在RtADC中，AD=4AC2CD2=寸10252=標(biāo)8.66(cm).AB+BC+CD+DA=2(AD+DC)=2X(8.66+5)=27.3(cm).矩形ABCD的周長約為27.3cm.2.直角三角形的一個性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.如圖所示，由矩形的對角線相等可知，AC=BD.ADO-C又因為矩形的對角線互相平分，i1所以O(shè)A=OC=qAC,OB=OD=2BD.所以O(shè)A=OB=OC=OD.1所以在RtABC中，斜邊上的中線OB=1AC.步點直角三角形的這一性質(zhì)與兩銳角互余、勾股

4、定理、30。角所對的直角邊等于斜邊的一半都是直角三角形的重要性質(zhì).這一性質(zhì)常常用來證明線段的倍分關(guān)系.【例2】如圖，BD,CE是4ABC的兩條高，G,F分別是BC,DE的中點，求證:FGXDE.AE/'pDBrC0r分析：有三角形的高就會出現(xiàn)直角三角形，有中點就可以聯(lián)想到直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì).證明：連接EG,DG.因為BD,CE是ABC的兩條高，所以BDC和BEC都是直角三角形.又因為G是BC的中點，所以DG=1bc=EG,即GDE是等腰三角形.因為F是DE的中點，所以GF是等腰三角形GDE的底邊DE上的中線.所以GF是底邊DE上的高.所以FGXDE.3.矩形的

5、判定(1)定義法：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.(2)方法一：對角線相等的平行四邊形是矩形.(3)方法二：有三個角是直角的四邊形是矩形.矩形的定義也是矩形判定方法中的一個矩形的判定可用下圖表示：褪咸用定義判定一個四邊形是矩形必須具備兩個條件：一是有一個角是直角;二是平行四邊形.也就是說有一個角是直角的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個條件，它才是矩形.用方法一判定一個四邊形是矩形，也必須滿足兩個條件：一是對角線相等；二是平行四邊形.也就是說，兩條對角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個條件，它才是矩形.【例3】如圖所示，在四邊形ABCD中，BE=DF,AC與E

6、F互相平分于點O,/B=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.B分析：此題要證四邊形ABCD是矩形，要先證它是平行四邊形，而要證明它是平行四邊形，應(yīng)結(jié)合條件確定合適的判定方法，即具體情況具體分析.證明：連接AF,CE.EF和AC互相平分，四邊形AECF是平行四邊形.AB/CD,CF=AE.又,.DF=BE,.1.AB=CD.四邊形ABCD是平行四邊形.一/B=90°,二.四邊形ABCD是矩形.4.菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.如圖，當(dāng)把平行四邊形的一條邊平移后，使鄰邊相等，平行四邊形就變成了菱形./7鄰邊相等7平行四邊形菱形菱形是特殊的平行四邊形，但平行四邊形不

7、一定是菱形/五菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等.菱形的定義既是菱形的基本性質(zhì)，也是菱形的判定方法.【例4】如圖，在ABC中，CD是/ACB的平分線，DE/AC,DF/BC,四邊形DECF是菱形嗎？試說明理由.CFV23E分析：由菱形的定義去判定，由DE/AC,DF/BC可得四邊形DECF是平行四邊形，再由/1=/2,證得鄰邊相等即可.解：四邊形DECF是菱形.理由：DE/AC,DF/BC,四邊形DECF是平行四邊形.CD平分/ACB,.1=72.DF/BC,.2=Z3./1=/3,.-.CF=DF.四邊形DECF是菱形.5 .菱形的性質(zhì)菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，除此之

8、外它也具有自己特殊的性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都相等；(2)菱形的兩條對角線互相r垂直，并且每條對角線平分一組對角；(3)菱形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸即每條對角線所在的直線；(4)菱形的面積等于對角線乘積的一半.視爵由于菱形對角線互相垂直平分，故菱形可被兩條對角線分成四個全等的直角三角形，這樣容易與勾股定理聯(lián)系起來；菱形的面積除了用對角線計算之外，也可以用底乘以高來計算.即菱形的面積有兩種求法.【例5】如圖所示，在菱形ABCD中，兩條對角線AC=6,BD=8,則此菱形的邊長為CA.5B.6C.8D.10解析：設(shè)AC,BD相交于點O,因為菱形的對角線互相垂直且平分，所以AO=3,BO=4,根據(jù)勾

9、股定理，AB=5.答案：A6 .菱形的判定(1)定義法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.(2)方法一：四邊都相等的四邊形是菱形.(3)方法二：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.菱形的判定方法可用下圖表示：四邊膨平行四邊形一組鄰邊相等對用線百相垂在菱形能株判定一個四邊形是菱形時，一定要注意判定前提，即在什么條件下判定.若在四邊形的條件下判定，則可證其四邊相等，也可先判定其是平行四邊形，再證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；若在平行四邊形的條件下判定，則證其一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直即可.【例6】如圖所示，二ABCD的對角線AC的垂直平分線與邊AD,BC分別相交于點巳F.求證：四邊形AFCE是菱形.

10、B證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD/BC.所以/EAO=/FCO,/AEO=/CFO.又EF是AC的垂直平分線，所以O(shè)A=OC.所以AOEACOF.所以O(shè)E=OF.所以AC與EF互相垂直平分.所以四邊形AFCE是菱形.7 .正方形的定義有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形.正方形與矩形、菱形的關(guān)系可用下圖表示：矩形正方形菱形既是/苴正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個角是直角的菱形;矩形又是菱形的四邊形是正方形；正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是特殊的矩形，還是特殊的菱形.【例7】如圖所示，ABC中，ZABC=90°,BD平分/ABC,DE&#

11、177;BC,DF±AB,求證：四邊形BEDF是正方形.證明：./ABC=90°,DEXBC,DE/AB.同理可得DF/BC.四邊形BEDF是平行四邊形.BD平分/ABC,DEXBC,DFXAB,.DE=DF.四邊形BEDF是菱形.又/ABC=90°,四邊形BEDF是正方形.8 .正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的所有的性質(zhì).(1)邊的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，對邊平行，鄰邊垂直；(2)角的性質(zhì)：正方形的四個角都是直角；(3)對角線的性質(zhì)：正方形的對角線互相垂直平分且相等，并且每條對角線平分一組對正方形還有特殊性質(zhì)：正方形的一條對角線把正方形

12、分成兩個全等的等腰直角三角形；兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；正方形是軸對稱圖形，有四條對稱軸.【例8】如圖所示，A,B,C三點在同一條直線上，AB=2BC,分別以AB,BC為邊作正方形ABEF和正方形BCMN,連接FN,EC.求證：FN=EC.證明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB=BE=EF,BC=BN,/FEN=/EBC=90°.因為AB=2BC,所以EN=BC.所以FNEAECB.所以FN=EC.9 .正方形的判定(1) 一組鄰邊相等的矩形是正方形；(2)有一個角是直角的菱形是正方形；(3)有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形；(4)既

13、是矩形又是菱形的四邊形是正方形.視野判定一個四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證明它是矩形，再證它有一組鄰邊相等；先證明它是菱形，再證它有一個角是直角.【例9】如圖所示，已知二ABCD中，對角線AC,BD交于點O,E是BD延長線上的點，且ACE是等邊三角形.若/AED=2ZEAD.求證：四邊形ABCD是正方形./4D0A/證明：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AO=CO.又因為4ACE是等邊三角形，所以EOXAC,即DB±AC.所以平行四邊形ABCD是菱形.因為4ACE是等邊三角形，所以ZAEC=60°.所以/AEO=1/AEC=30°.2因為/A

14、ED=2/EAD,所以/EAD=15°.所以r/ADO=ZEAD+ZAED=45°.因為四邊形ABCD是菱形，所以/ADC=2/ADO=90°.所以四邊形ABCD是正方形.幣基本方法B基本餐力絲.10 .矩形、菱形、正方形性質(zhì)的綜合運用矩形、菱形、正方形都工是特殊的平行四邊形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì).應(yīng)從邊、角、對角線三個方面區(qū)分它們的性質(zhì)：(1)從邊的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對邊平行且相等的性質(zhì)，而菱形和正方形還具有四條邊相等的性質(zhì)；(2)從角的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對角相等且鄰角互補的性質(zhì)，而矩形和

15、正方形還具有四個角都等于90。的性質(zhì)；(3)從對角線的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對角線互相平分的性質(zhì)，而矩形和正方形的對角線還具有相等的性質(zhì)，菱形和正方形的對角線還具有互相垂直的性質(zhì).【例10如圖，在正方形ABCD中，E為對角線AC上一點，連接EB,ED.CB(1)求證：BECADEC;(2)延長BE交AD于點F,若/DEB=140°.求/AFE的度數(shù).證明：四邊形ABCD是正方形，.CD=CB,/DCA=/BCA.CE=CE,BECADEC.(2)解:./DEB=140°,ABECADEC,./DEC=/BEC=70°,./AEF=/BEC=70

16、°./DAB=90°,./DAC=ZBAC=45°,/AFE=180-70°45°=65°.11 .矩形、菱形、正方形判定的綜合運用幾種特殊平行四邊形的判定方法可用下圖表示：一個犯姑克筲 對角線相夠一組錨邊相等口福設(shè)互相'ill菱形曲然邊相若受苴正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的一個內(nèi)角變?yōu)橹苯菚r（角特殊化了），平行四邊形變成矩形；當(dāng)平行四邊形的鄰邊變?yōu)橄嗟葧r（邊特殊化了），平行四邊形變成菱形；當(dāng)平行四邊形的一個內(nèi)角變?yōu)橹苯?，一組鄰邊變?yōu)橄嗟葧r（角、邊均特殊化了），平行四邊形變?yōu)檎叫?【例11】已知如圖，

17、在正方形ABCD中，點E,F分別在BC和CD上，AE=AF.BECM(1)試說明BE=DF的理由；(2)連接AC交EF于點O,延長OC至點M,使OM=OA,連接EM,FM.判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并說明你的理由.解：(1)因為四邊形ABCD是正方形，所以AB=AD,/B=/D=90°.因為AE=AF,所以RtAABERtAADF.所以BE=DF.(2)四邊形AEMF是菱形.因為四邊形ABCD是正方形，所以/BCA=/DCA=45°,BC=DC.因為BE=DF,所以BCBE=DCDF.即CE=CF.又OC為公共邊，.EOCAFOC.所以O(shè)E=OF.因為OM=OA,

18、所以四邊形AEMF是平行四邊形.因為AE=AF,所以平行四邊形AEMF是菱形.思維拓展創(chuàng)新應(yīng)用爐7-12 .特殊四邊形的探究題平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定的綜合探究題在中考中常出現(xiàn).它還能與其他知識綜合考查，如等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)等知識點，綜合運用性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此類題的關(guān)鍵.矩形、菱形、正方形問題在中考中的比重近年來有加大的趨勢，不但有選擇題、填空題、解答題，也有探究型、開放型試題.解答此類問題，要在牢記矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定、弄清它們的特性和共性的基礎(chǔ)上，分析圖形特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?譬如解答正方形問題時，由于正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，所以當(dāng)證明一些與線段有關(guān)的問題時，可以借助旋轉(zhuǎn)或平移實現(xiàn)線段的移位，在正方形中這種移位非常地巧妙、自然，比作其他類型的輔助線.要來的簡捷、順暢.我的筆記【例12】以四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點分別為E,F,G,H,順次連接這四個點，得四邊形EFGH.如圖，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖,當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，請判斷四邊形E