初二數(shù)學(xué)矩形菱形正方形歸類復(fù)習(xí)

1、初二數(shù)學(xué)矩形菱形正方形握岫知識(shí)基本技能-地1三#事工出在0F匚HrZ"fnFJJhk飛JINf：1.矩形的定義和性質(zhì)(1)矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.矩形的定義有兩個(gè)要素：是平行四邊形；有一個(gè)角是直角.兩者缺一不可.(2)矩形的性質(zhì)：矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì).矩形的四個(gè)角都是直角.如圖，在矩形ABCD中，/ABC=90°,又由鄰角互補(bǔ)、對(duì)角相等可得/BAD=ZADC=ZDCB=ZABC=90°ADC推理形式為：.四邊形ABCD是矩形，BAD=ZABC=ZBCD=ZCDA=90°.矩形的對(duì)角線相等.如上圖，在矩形ABCD中，AB=D

2、C,/ABC=/BCD=90°,BC為公共邊，可得ABCADCB.從而證得AC=BD.其推理形式為：.四邊形ABCD是矩形，AC=BD.矩形既是中心對(duì)稱圖形(對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn))(20.4節(jié)講到)，又是軸對(duì)稱圖形(有兩條對(duì)稱軸).規(guī)瓊“矩形的四個(gè)角都是直角”這一性質(zhì)可用來(lái)證明兩條線段互相垂直或角相等，“矩形的對(duì)角線相等”這一性質(zhì)可用來(lái)證明線段相等.矩形的兩條對(duì)角線分矩形為面積相等的四個(gè)等腰三角形.【例1】如圖所示，在矩形ABCD中，/CAD=30°,CD=5cm,求矩形ABCD的周長(zhǎng)(精確到0.1).4D0、工、BC解：連接BD交AC于點(diǎn)Q.在矩形ABCD中，AB=CD

3、,AD=BC./ADC=90°,/CAD=30°,AC=2CD=10(cm).在RtADC中，AD=4AC2CD2=寸10252=標(biāo)8.66(cm).AB+BC+CD+DA=2(AD+DC)=2X(8.66+5)=27.3(cm).矩形ABCD的周長(zhǎng)約為27.3cm.2.直角三角形的一個(gè)性質(zhì)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.如圖所示，由矩形的對(duì)角線相等可知，AC=BD.ADO-C又因?yàn)榫匦蔚膶?duì)角線互相平分，i1所以O(shè)A=OC=qAC,OB=OD=2BD.所以O(shè)A=OB=OC=OD.1所以在RtABC中，斜邊上的中線OB=1AC.步點(diǎn)直角三角形的這一性質(zhì)與兩銳角互余、勾股

4、定理、30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半都是直角三角形的重要性質(zhì).這一性質(zhì)常常用來(lái)證明線段的倍分關(guān)系.【例2】如圖，BD,CE是4ABC的兩條高，G,F分別是BC,DE的中點(diǎn)，求證:FGXDE.AE/'pDBrC0r分析：有三角形的高就會(huì)出現(xiàn)直角三角形，有中點(diǎn)就可以聯(lián)想到直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì).證明：連接EG,DG.因?yàn)锽D,CE是ABC的兩條高，所以BDC和BEC都是直角三角形.又因?yàn)镚是BC的中點(diǎn)，所以DG=1bc=EG,即GDE是等腰三角形.因?yàn)镕是DE的中點(diǎn)，所以GF是等腰三角形GDE的底邊DE上的中線.所以GF是底邊DE上的高.所以FGXDE.3.矩形的

5、判定(1)定義法：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.(2)方法一：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.(3)方法二：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.矩形的定義也是矩形判定方法中的一個(gè)矩形的判定可用下圖表示：褪咸用定義判定一個(gè)四邊形是矩形必須具備兩個(gè)條件：一是有一個(gè)角是直角;二是平行四邊形.也就是說(shuō)有一個(gè)角是直角的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個(gè)條件，它才是矩形.用方法一判定一個(gè)四邊形是矩形，也必須滿足兩個(gè)條件：一是對(duì)角線相等；二是平行四邊形.也就是說(shuō)，兩條對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個(gè)條件，它才是矩形.【例3】如圖所示，在四邊形ABCD中，BE=DF,AC與E

6、F互相平分于點(diǎn)O,/B=90°.求證：四邊形ABCD是矩形.B分析：此題要證四邊形ABCD是矩形，要先證它是平行四邊形，而要證明它是平行四邊形，應(yīng)結(jié)合條件確定合適的判定方法，即具體情況具體分析.證明：連接AF,CE.EF和AC互相平分，四邊形AECF是平行四邊形.AB/CD,CF=AE.又,.DF=BE,.1.AB=CD.四邊形ABCD是平行四邊形.一/B=90°,二.四邊形ABCD是矩形.4.菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.如圖，當(dāng)把平行四邊形的一條邊平移后，使鄰邊相等，平行四邊形就變成了菱形./7鄰邊相等7平行四邊形菱形菱形是特殊的平行四邊形，但平行四邊形不

7、一定是菱形/五菱形必須滿足兩個(gè)條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等.菱形的定義既是菱形的基本性質(zhì)，也是菱形的判定方法.【例4】如圖，在ABC中，CD是/ACB的平分線，DE/AC,DF/BC,四邊形DECF是菱形嗎？試說(shuō)明理由.CFV23E分析：由菱形的定義去判定，由DE/AC,DF/BC可得四邊形DECF是平行四邊形，再由/1=/2,證得鄰邊相等即可.解：四邊形DECF是菱形.理由：DE/AC,DF/BC,四邊形DECF是平行四邊形.CD平分/ACB,.1=72.DF/BC,.2=Z3./1=/3,.-.CF=DF.四邊形DECF是菱形.5 .菱形的性質(zhì)菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，除此之

8、外它也具有自己特殊的性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都相等；(2)菱形的兩條對(duì)角線互相r垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；(3)菱形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸即每條對(duì)角線所在的直線；(4)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半.視爵由于菱形對(duì)角線互相垂直平分，故菱形可被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，這樣容易與勾股定理聯(lián)系起來(lái)；菱形的面積除了用對(duì)角線計(jì)算之外，也可以用底乘以高來(lái)計(jì)算.即菱形的面積有兩種求法.【例5】如圖所示，在菱形ABCD中，兩條對(duì)角線AC=6,BD=8,則此菱形的邊長(zhǎng)為CA.5B.6C.8D.10解析：設(shè)AC,BD相交于點(diǎn)O,因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直且平分，所以AO=3,BO=4,根據(jù)勾

9、股定理，AB=5.答案：A6 .菱形的判定(1)定義法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.(2)方法一：四邊都相等的四邊形是菱形.(3)方法二：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.菱形的判定方法可用下圖表示：四邊膨平行四邊形一組鄰邊相等對(duì)用線百相垂在菱形能株判定一個(gè)四邊形是菱形時(shí)，一定要注意判定前提，即在什么條件下判定.若在四邊形的條件下判定，則可證其四邊相等，也可先判定其是平行四邊形，再證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；若在平行四邊形的條件下判定，則證其一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直即可.【例6】如圖所示，二ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD,BC分別相交于點(diǎn)巳F.求證：四邊形AFCE是菱形.

10、B證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AD/BC.所以/EAO=/FCO,/AEO=/CFO.又EF是AC的垂直平分線，所以O(shè)A=OC.所以AOEACOF.所以O(shè)E=OF.所以AC與EF互相垂直平分.所以四邊形AFCE是菱形.7 .正方形的定義有一個(gè)角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形.正方形與矩形、菱形的關(guān)系可用下圖表示：矩形正方形菱形既是/苴正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個(gè)角是直角的菱形;矩形又是菱形的四邊形是正方形；正方形不僅是特殊的平行四邊形，而且是特殊的矩形，還是特殊的菱形.【例7】如圖所示，ABC中，ZABC=90°,BD平分/ABC,DE&#

11、177;BC,DF±AB,求證：四邊形BEDF是正方形.證明：./ABC=90°,DEXBC,DE/AB.同理可得DF/BC.四邊形BEDF是平行四邊形.BD平分/ABC,DEXBC,DFXAB,.DE=DF.四邊形BEDF是菱形.又/ABC=90°,四邊形BEDF是正方形.8 .正方形的性質(zhì)正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的所有的性質(zhì).(1)邊的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，對(duì)邊平行，鄰邊垂直；(2)角的性質(zhì)：正方形的四個(gè)角都是直角；(3)對(duì)角線的性質(zhì)：正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)正方形還有特殊性質(zhì)：正方形的一條對(duì)角線把正方形

12、分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸.【例8】如圖所示，A,B,C三點(diǎn)在同一條直線上，AB=2BC,分別以AB,BC為邊作正方形ABEF和正方形BCMN,連接FN,EC.求證：FN=EC.證明：在正方形ABEF中和正方形BCMN中，AB=BE=EF,BC=BN,/FEN=/EBC=90°.因?yàn)锳B=2BC,所以EN=BC.所以FNEAECB.所以FN=EC.9 .正方形的判定(1) 一組鄰邊相等的矩形是正方形；(2)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；(3)有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形；(4)既

13、是矩形又是菱形的四邊形是正方形.視野判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證明它是矩形，再證它有一組鄰邊相等；先證明它是菱形，再證它有一個(gè)角是直角.【例9】如圖所示，已知二ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,E是BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且ACE是等邊三角形.若/AED=2ZEAD.求證：四邊形ABCD是正方形./4D0A/證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AO=CO.又因?yàn)?ACE是等邊三角形，所以EOXAC,即DB±AC.所以平行四邊形ABCD是菱形.因?yàn)?ACE是等邊三角形，所以ZAEC=60°.所以/AEO=1/AEC=30°.2因?yàn)?A

14、ED=2/EAD,所以/EAD=15°.所以r/ADO=ZEAD+ZAED=45°.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以/ADC=2/ADO=90°.所以四邊形ABCD是正方形.幣基本方法B基本餐力絲.10 .矩形、菱形、正方形性質(zhì)的綜合運(yùn)用矩形、菱形、正方形都工是特殊的平行四邊形，所以矩形、菱形、正方形具有平行四邊形的所有性質(zhì).應(yīng)從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面區(qū)分它們的性質(zhì)：(1)從邊的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，而菱形和正方形還具有四條邊相等的性質(zhì)；(2)從角的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對(duì)角相等且鄰角互補(bǔ)的性質(zhì)，而矩形和

15、正方形還具有四個(gè)角都等于90。的性質(zhì)；(3)從對(duì)角線的角度：平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，而矩形和正方形的對(duì)角線還具有相等的性質(zhì)，菱形和正方形的對(duì)角線還具有互相垂直的性質(zhì).【例10如圖，在正方形ABCD中，E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接EB,ED.CB(1)求證：BECADEC;(2)延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F,若/DEB=140°.求/AFE的度數(shù).證明：四邊形ABCD是正方形，.CD=CB,/DCA=/BCA.CE=CE,BECADEC.(2)解:./DEB=140°,ABECADEC,./DEC=/BEC=70°,./AEF=/BEC=70

16、°./DAB=90°,./DAC=ZBAC=45°,/AFE=180-70°45°=65°.11 .矩形、菱形、正方形判定的綜合運(yùn)用幾種特殊平行四邊形的判定方法可用下圖表示：一個(gè)犯姑克筲 對(duì)角線相夠一組錨邊相等口福設(shè)互相'ill菱形曲然邊相若受苴正方形、矩形、菱形都是特殊的平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變?yōu)橹苯菚r(shí)（角特殊化了），平行四邊形變成矩形；當(dāng)平行四邊形的鄰邊變?yōu)橄嗟葧r(shí)（邊特殊化了），平行四邊形變成菱形；當(dāng)平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角變?yōu)橹苯?，一組鄰邊變?yōu)橄嗟葧r(shí)（角、邊均特殊化了），平行四邊形變?yōu)檎叫?【例11】已知如圖，

17、在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在BC和CD上，AE=AF.BECM(1)試說(shuō)明BE=DF的理由；(2)連接AC交EF于點(diǎn)O,延長(zhǎng)OC至點(diǎn)M,使OM=OA,連接EM,FM.判斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并說(shuō)明你的理由.解：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB=AD,/B=/D=90°.因?yàn)锳E=AF,所以RtAABERtAADF.所以BE=DF.(2)四邊形AEMF是菱形.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以/BCA=/DCA=45°,BC=DC.因?yàn)锽E=DF,所以BCBE=DCDF.即CE=CF.又OC為公共邊，.EOCAFOC.所以O(shè)E=OF.因?yàn)镺M=OA,

18、所以四邊形AEMF是平行四邊形.因?yàn)锳E=AF,所以平行四邊形AEMF是菱形.思維拓展創(chuàng)新應(yīng)用爐7-12 .特殊四邊形的探究題平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定的綜合探究題在中考中常出現(xiàn).它還能與其他知識(shí)綜合考查，如等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合運(yùn)用性質(zhì)和判定進(jìn)行推理是解此類題的關(guān)鍵.矩形、菱形、正方形問(wèn)題在中考中的比重近年來(lái)有加大的趨勢(shì)，不但有選擇題、填空題、解答題，也有探究型、開放型試題.解答此類問(wèn)題，要在牢記矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定、弄清它們的特性和共性的基礎(chǔ)上，分析圖形特征，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?譬如解答正方形問(wèn)題時(shí)，由于正方形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，所以當(dāng)證明一些與線段有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，可以借助旋轉(zhuǎn)或平移實(shí)現(xiàn)線段的移位，在正方形中這種移位非常地巧妙、自然，比作其他類型的輔助線.要來(lái)的簡(jiǎn)捷、順暢.我的筆記【例12】以四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E,F,G,H,順次連接這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH.如圖，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖,當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形E