反證法ppt課件演示文稿

1、復習復習1.1.直接證明的兩種基本證法：直接證明的兩種基本證法： 綜合法和分析法綜合法和分析法2.2.這兩種基本證法的推證過程和特點：這兩種基本證法的推證過程和特點：由因導果由因導果執(zhí)果索因執(zhí)果索因3 3、在實際解題時，兩種方法如何運用？、在實際解題時，兩種方法如何運用？通常用分析法通常用分析法尋求思路尋求思路，再由綜合法，再由綜合法書寫過程書寫過程綜合法綜合法已知條件已知條件結論結論分析法分析法結論結論 已知條件已知條件 （1 1）桌面上有）桌面上有3 3枚正面朝上的硬幣，每次用雙枚正面朝上的硬幣，每次用雙手同時翻轉手同時翻轉2 2枚硬幣。那么無論怎樣翻轉，都不枚硬幣。那么無論怎樣翻轉，都不

2、能使硬幣全部反面朝上。你能解釋這種現(xiàn)象嗎？能使硬幣全部反面朝上。你能解釋這種現(xiàn)象嗎？分析分析: :假設經(jīng)過若干次翻轉可以使硬幣全部反面朝上。假設經(jīng)過若干次翻轉可以使硬幣全部反面朝上。由于每枚硬幣從正面朝上變?yōu)榉疵娉嫌捎诿棵队矌艔恼娉献優(yōu)榉疵娉?，都需要都需要翻轉奇數(shù)次翻轉奇數(shù)次但由于每次用雙手同時翻轉但由于每次用雙手同時翻轉2 2枚硬幣，枚硬幣，3 3枚硬枚硬幣被翻轉的次數(shù)只能是幣被翻轉的次數(shù)只能是2 2的倍數(shù)，的倍數(shù)，即偶數(shù)次即偶數(shù)次。這個矛盾說明假設錯誤，原結論正確。這個矛盾說明假設錯誤，原結論正確。所以所以3 3枚硬幣全部反面朝上時，枚硬幣全部反面朝上時，需要翻轉需要翻轉3 3個奇

3、數(shù)之和次，個奇數(shù)之和次，即翻轉奇數(shù)次。即翻轉奇數(shù)次。思考？思考？（2 2）A A、B B、C C三個人，三個人，A A說說B B撒謊，撒謊，B B說說C C撒謊，撒謊，C C 說說A A、B B都撒謊。則都撒謊。則C C在撒謊嗎？為什么？在撒謊嗎？為什么？分析分析: :假設假設C C沒有撒謊沒有撒謊, , 則則A A、B B都撒謊都撒謊. . 由由A A撒謊撒謊, , 知知B B沒有沒有撒謊撒謊. . 那么那么假設假設C C沒有撒謊不成立沒有撒謊不成立, ,則則C C必定是在撒謊必定是在撒謊. .這與這與B B撒謊矛盾撒謊矛盾. .思考？思考？ 把這種不是直接從原命題的條件逐步把這種不是直接從

4、原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為推得命題成立的證明方法稱為間接證明間接證明注：反證法注：反證法是最常見的是最常見的間接證法間接證法， 一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條件一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條件下，結論不成立），下，結論不成立）， 經(jīng)過正確的推理，經(jīng)過正確的推理， 最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立， 這樣的這樣的證明方法叫做證明方法叫做反證法反證法。理論理論反證法的證明過程：反證法的證明過程：否定結論否定結論推出矛盾推出矛盾肯定結論，肯定結論，即分三個步驟：即分三個步驟：反設反設歸謬歸謬

5、存真存真反設反設假設命題的結論不成立；假設命題的結論不成立；存真存真由矛盾結果，斷定反設不成立，從而由矛盾結果，斷定反設不成立，從而 肯定原結論成立。肯定原結論成立。歸謬歸謬從假設出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的推理，從假設出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的推理， 得出得出矛盾矛盾；用反證法證明命題的過程用框圖表示為：用反證法證明命題的過程用框圖表示為： 肯定條件肯定條件否定結論否定結論導導 致致邏輯矛盾邏輯矛盾反設反設 不成立不成立結論結論成立成立例1 求證：求證： 是無理數(shù)。是無理數(shù)。2 2證：假設 2是有理數(shù)，證：假設 2是有理數(shù)，m m則則存存在在互互質質的的整整數(shù)數(shù)m m，n n使使得得2 2 = =，n

6、 n m =2n m =2n2222 m = 2n m = 2n2 2m m 是是偶偶數(shù)數(shù)，從從而而m m必必是是偶偶數(shù)數(shù)，故故設設m m= =2 2k k（k kN N）22222222從而有4k = 2n ，即n = 2k從而有4k = 2n ，即n = 2k2 2n 也是偶數(shù)，n 也是偶數(shù)，這與m，n互質矛盾！這與m，n互質矛盾！所以假設不成立，2是有理數(shù)成立。所以假設不成立，2是有理數(shù)成立。例題例題例例2 2：已知：一個整數(shù)的平方能被已知：一個整數(shù)的平方能被2 2整除，整除， 求證：這個數(shù)是偶數(shù)。求證：這個數(shù)是偶數(shù)。證明：假設證明：假設a a不是偶數(shù)，不是偶數(shù)， 則則a a是奇數(shù)，不妨

7、設是奇數(shù)，不妨設a=2n+1(na=2n+1(n是整數(shù)是整數(shù)) ) a a2 2=(2n+1)=(2n+1)2 2=4n=4n2 2+4n+1=4n(n+1)+1+4n+1=4n(n+1)+1 a a2 2是奇數(shù)，與已知矛盾。是奇數(shù)，與已知矛盾。 假設不成立，所以假設不成立，所以a a是偶數(shù)。是偶數(shù)。注：注：直接證明難以下手的命題直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，改變其思維方向，從進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。從進行反面思考，問題可能解決得十分干脆。變式變式2:2: 不可能成等差數(shù)列不可能成等差數(shù)列5,3,2注：注：否定型命題否定型命題( (命題的結論是命題的結論是“不可能不可能

8、”，“不能表示為不能表示為”，“不是不是”，“不存不存在在” ” ，“不等于不等于”，“不具有某種性質不具有某種性質”等等) ) 常用反證法常用反證法解題反思：解題反思：證明本題時，你是怎么想到反證法的？證明本題時，你是怎么想到反證法的？反證法中歸謬是核心步驟，本題中得到的邏輯矛盾是什么？反證法中歸謬是核心步驟，本題中得到的邏輯矛盾是什么？點評：結論為點評：結論為“至少至少”、“至多至多”等時，我們應考慮用反證法解決。等時，我們應考慮用反證法解決。 例例4、設、設a3+b3=2，求證，求證a+b2證明：假設證明：假設a+b2，則有，則有a2b，從而，從而 a3812b+6b2b3， a3+b3

9、6b212b+8=6(b1)2+2.因為因為6(b1)2+22，所以，所以6(b1)20,y0 x0,y0，x+yx+y22，求證：求證： 中至少有一個小于中至少有一個小于2 2。xyyx1,1分析：分析：所謂至少有一個所謂至少有一個,就是不可能沒有就是不可能沒有,要證要證“至少有一個至少有一個”只要證明它的反面只要證明它的反面“兩個都兩個都”不不成立即可成立即可.注注:“至少至少”、“至多至多” 型命題型命題常用反證法常用反證法 3.變式變式4 4：設設0 a, b, c , (1 b)c , (1 c)a ,141414則三式相乘：則三式相乘： (1 a)b(1 b)c(1 c)a 164

10、又又0 a, b, c 1 所以所以2(1)10(1)24aaa a同理：同理：1(1)4b b1(1)4c c以上三式相乘以上三式相乘： (1 a)a(1 b)b(1 c)c 與矛盾與矛盾164原式成立。原式成立。高考鏈接：高考鏈接：2.歸納總結：歸納總結：三個步驟：三個步驟：反設反設歸謬歸謬存真存真歸繆矛盾：歸繆矛盾：（1 1）與已知條件矛盾；）與已知條件矛盾；（2 2）與已有公理、定理、定義矛盾；）與已有公理、定理、定義矛盾； （3 3）自相矛盾。）自相矛盾。 一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條件一般地，假設原命題不成立（即在原命題的條件下，結論不成立），下，結論不成立）， 經(jīng)過正

11、確的推理，經(jīng)過正確的推理， 最后得出矛盾。最后得出矛盾。因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立， 這樣的這樣的證明方法叫做證明方法叫做反證法反證法。（1）直接證明有困難）直接證明有困難正難則反正難則反!歸納總結：歸納總結：哪些命題適宜用反證法加以證明？哪些命題適宜用反證法加以證明？牛頓曾經(jīng)說過：牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦环醋C法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧?” （3）唯一性命題）唯一性命題（2）否定性命題）否定性命題（4）至多，至少型命題）至多，至少型命題推推理理與與證證明明推理推理證明證明合情推理合情推理演繹推理演繹推理直接證明直接證明間接證明間接證明類比推理類比推理歸納推理歸納推理 分析法分析法 綜合法綜合法 反證法反證法知識結構知識結構唐吉訶德悖論 小說唐吉訶德里描寫過一個國家它有一條奇怪的法律：每一個旅游者都要回答一個問題。問，你來這里做什么？如果旅游者回答對了。一切都好辦。