九年級數(shù)學(xué)下冊中考數(shù)學(xué)壓軸題中取值范圍的計算專題(含解析)

1、中考數(shù)學(xué)壓軸題中取值范圍的計算( 1)、二次函數(shù)中根據(jù)自變量的取值范圍求因變量的取值范圍；構(gòu)造二次函數(shù)或距離公式。( 2)、構(gòu)造三角形，根據(jù)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。 (對稱、旋轉(zhuǎn)、相似變換)( 3)、構(gòu)造圓，根據(jù)圓的一些性質(zhì)，結(jié)合題目中的定角，進行聯(lián)想，作出合適的圓，通過圓來進行討論。一、根據(jù)題目中的條件，構(gòu)造一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、距離公式，由自變量來求因變量的范圍。1、(福州)已知，拋物線y=ax2+bx+c (a?0)經(jīng)過原點，頂點為A (h, k) (h#0).(1)當(dāng) h=1， k=2 時，求拋物線的解析式；(2)若拋物線y=tx2 (t#0)也經(jīng)過A點，求a

2、與t之間的關(guān)系式；(3)當(dāng)點A在拋物線y=x2-x上，且-2wh<1時，求a的取值范圍.2、（宿遷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，將二次函數(shù)y=x2-1的 圖象M沿x軸翻折，把所得到的圖象向右平移 2個單位長度后再向上 平移 8 個單位長度，得到二次函數(shù)圖象N（ 1）求 N 的函數(shù)表達式；（2）設(shè)點P （m, n）是以點C （1, 4）為圓心、1為半徑的圓上一動 點，二次函數(shù)的圖象M與x軸相交于兩點A B,求PA+PB2的最大 值； （ 3）若一個點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)，則該點稱為整點求與 N 所圍成封閉圖形內(nèi)（包括邊界）整點的個數(shù)二、構(gòu)造三角形。當(dāng)問題的條件不夠時，添加輔助線構(gòu)

3、成新圖形, 形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問 題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題?？梢酝ㄟ^對稱、旋轉(zhuǎn)、相似等幾何 變換來構(gòu)造。1、已知：在 ABC中，/ BAC=60 .(1)如圖 1,若 AB=AC 點 P 在4ABC內(nèi)，且/ APC=150 , PA=3PC=4把4AP砥著點A順時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到點B,得到ADB連結(jié)DP依題意補全圖1;直接寫出PB的長;(2)如圖 2,若 AB=AC 點 P在AAB。卜，且 PA=3 PB=5 PC=4 求/APC的度數(shù)；(3)如圖 3,若 AB=2AC點 P 在ABCft,且 PA爽，PB=5 /APC=120 ,直接寫出PC的長.2、

4、已知二次函數(shù) y = ax2+(a+ 3)x+3 (a#0).(1)試說明：拋物線y = ax2+(a+ 3)x+3(a# 0)與x軸必有交點；(2)若此拋物線與y軸交于點B,與x軸的一個交點坐標(biāo)為A(5,0),求a的值和拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，過x軸上的一動點Cg 0)(0 <mx5)作x軸 的垂線交直線AB于點E,交拋物線于點D.如圖24-1,當(dāng)點D位于拋物線的最高點時，求 m的值和E點的坐標(biāo)； 如圖24-2,將線段。磔點。逆時針旋轉(zhuǎn)得到OM旋轉(zhuǎn)角為0c (0< % <90° ),連接MA、MB求MA -MB勺最小值.三、圓自身有一較特別的性質(zhì)，

5、直徑所對的圓周角總是等于 90度、圓中弦在同側(cè)形成的圓周角總是相等得。我們可以根據(jù)圓的這些性質(zhì)進行逆向運用， 就可以在一個圓 中去探究問題。1、如圖， ABC和4AD虛有公共頂點的等腰直角三角形，/ BAOZDAE= 90° ,點P為射線BQ CE的交點.(1)求證：BA CE(2)若AB= 2, AD= 1,把AAD遴點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)/ EAC= 90時，求PB的長；直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段 PB長的最小值與最大值.2、(徐州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖 象經(jīng)過點A(-1, 0) , B (0,-同，C (2, 0),其對稱軸與x軸交于點D(1)求二次函

6、數(shù)的表達式及其頂點坐標(biāo)；(2)若P為y軸上的一個動點，連接 PR則wPB+PD勺最小值為；(3) M (x, t)為拋物線對稱軸上一動點若平面內(nèi)存在點N,使彳#以A, B, M N為頂點的四邊形為菱形， 則這樣的點N共有一個； 連接MA MB若/ AMB小于60° ,求t的取值范圍.S用圖答案：一、1、【分析】(1)用頂點式解決這個問題，設(shè)拋物線為 y=a (x-1) 2+2,原點代入即可.(2)設(shè)拋物線為y=ax2+bx,則h=-2，b=- 2ah代入拋物線解析式， za求出k (用a、h表示)，又拋物線y=tx2也經(jīng)過A (h, k),求出k,列出方程即可解決.(3)根據(jù)條件列出

7、關(guān)于a的不等式即可解決問題.【解答】解：(1) .頂點為A (1, 2),設(shè)拋物線為y=a (x-1) 2+2,.拋物線經(jīng)過原點，.0=a (0-1) 2+2, a= - 2,;拋物線解析式為y=- 2x2+4x .(2) .拋物線經(jīng)過原點，設(shè)拋物線為y=ax2+bx,b=- 2ah,2 y=ax - 2ahx,丁頂點 A (h, k),222k=ah - 2ah = ah ,拋物線y=tx?也經(jīng)過A (h, k),k=th ,/.th2=ah2-2ah2, t= - a,(3)二.點A在拋物線y=x,-x上,k=h2- h, X k=ah2- 2ah2,11+a<1,當(dāng)1+a>0

8、時，即a> 1時,；<1一 ,解得a>0,:14a當(dāng)1+a< 0時，即a< 1時,工工Ha->-2Ha解得aw -二綜上所述，a的取值范圍a>0或aw-.將此圖象向右平移2個單位長度后再向上平移8個單位長度得到二次 函數(shù)圖象N的頂點為(2, 9),故 N的函數(shù)表達式 y=- (x-2) 2+9=-x2+4x+5.(2) .A 1, 0) , B (1, 0),.PA+PB= (m+D 2+n2+ (m- 1) 2+n2=2 (m2+n2) +2=2?P&2,當(dāng)pc®大時pA+pB最大.如圖，延長 od。交于點p,此時op最大， OP

9、的最大值=OC+PC= l+1 ,.pA+pB最大值=2 (竹+1) 2+2=38+4/U.(3) M與N所圍成封閉圖形如圖所示,由圖象可知，M與N所圍成封閉圖形內(nèi)(包括邊界)整點的個數(shù)為25 個.二、1、(1)、易得三角形AD喝等邊三角形，DP=3角ADP=60t。在三角形 BDP中，BD=PC=4,DP=31 BDP=15Cffi-60 度=90度易得BP=5(2)、將三角形AB除著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60度，P點的對應(yīng)點 為E點，得到三角形ACE在三角形EC兩，三邊構(gòu)成勾股數(shù)，得 角 EPC=9(®,易得角 APC=90t-60 度=30度。(3)、這一問是作輔助線，旋轉(zhuǎn)加相似。將三

10、角形APC繞著A點順時針旋轉(zhuǎn)60度，然后以A點為中心，作同方向的位似三角 形。P點的對應(yīng)點為F.易得三角形AFB與三角形APCffi似。三角形AFB為直角三角形,角 AFB=30度。三角形BPF為直角三角形，BF=4.易得PC=22、(1) A = (a+32 -4ax3 = (a -3f >0(2)易得 a-3,y-3x (1)易得三角形 AECf似于三角形 ADR即EC=BD (2)由角ACE=t ABD可得，角BPC恒等于90度,當(dāng)三角形ADE逆時針旋轉(zhuǎn)時，有面積法可得B-2 1 25 二詈 12x 3 555易得 m=2,E(3,9)5(4)在OB上取一點n,是三角形OMBf似于

11、三角形ONM易得2/24NM = BM ,ON =- 2 =333在三角形AMNt易得Zbm +MA = J'52十=包由對稱可得：BP =6打122v5333(3)、由角BPC恒等于90度，可將P看作以BC為直徑,圓上的一點。通過分析可得，角 BCP越小，BP越小。又 因為角ABC=90度，即角ACP越大，因為AC=2.AE=1,得角 ACP最大為30度，得BP最小時，角 CBP=75度，在一個角為 75度的直角三 角形中，做輔助線可得：c2- 2x2 -I.3x 2x =22 x = . 3 _1 BP = 3 -1 由對稱可得： BP = 3 12、【分析】(1)利用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)

12、化為解方程組解決問題.(2)如圖1中，連接AB,彳DHL AB于H,交。阡P,此時,PB+PD 最小.最小值就是線段 DH求出DH即可.(3)先在對稱軸上尋找滿足 AB娓等腰三角形的點M,由此即可 解決問題.作AB的中垂線與y軸交于點E,連接EA則/ AEB=120 ,以E為 圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點 F、G.則/AFB之 AGB=60 ,從而線段FG上的點滿足題意，求出F、G的坐標(biāo)即可解決 問題.解：（1）由題意，c= - F解得_4a+2b+c=0拋物線解析式為 尸：xf怎21逅, 2 產(chǎn)一T2 -亨x一病,Tx2爭"哼（xt）2平頂點坐標(biāo)（！，-平）. 2 S

13、（2）如圖1中，連接AB,彳DHL AB于H,交O阡P,止匕時LPB+P源小.理由：; OA=1 OB， tan/AB哪*UD 0. PH=PB,如B+OD=PH+PD=DH 此時LpB+pDR短（垂線段最短）.在 R3ADH, . /AHD=90 , AD=，/ HAD=60 , .sin60. DH=. Lpb+pD勺最小值為 迪.24故答案為度.4(3)以A為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸有兩個交點，以B為圓心AB為半徑畫弧與對稱軸也有兩個交點，線段AB的垂直平分線與對稱軸有一個交點，所以滿足條件的點M有5個，即滿足條件的點N也有5個，故答案為5.如圖，RTzAOBJKtan / AB碟哼，./ABO=30 ,作AB的中垂線與y軸交于點E,連接EA則/ AEB=120 ,以E為圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對稱軸交于點 F、G則/AFB之AGB=60 ,從而線段FG上的點滿足題意,ABEB= ,.OE=OB EB. F （/, t） , EF二E百，.）2+ （計冬2=（等）解得t=二四叵或匚昱二匣,66G（ I 一 一； 一），（2 '6故F成,),t的取值范圍 二三叵 t & 2母后 662、【分