典型例題：用放縮法證明不等式(共4頁)_第1頁
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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上用放縮法證明不等式所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟。下面舉例談談運用放縮法證題的常見題型。一. “添舍”放縮通過對不等式的一邊進行添項或減項以達到解題目的，這是常規(guī)思路。例1. 設a，b為不相等的兩正數(shù)，且a3b3a2b2，求證。證明：由題設得a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab（ab）2，而（ab）2ababab（ab）2，即（ab）2ab，所以ab，故有

2、1ab。例2. 已知a、b、c不全為零，求證：證明：因為，同理，。所以二. 分式放縮一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達到證題目的。例3. 已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以，所以，又a，b，c為三角形的邊，故b+ca，則為真分數(shù)，則，同理，故.綜合得。三. 裂項放縮若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關的n項和，可采用數(shù)列中裂項求和等方法來解題。 例4. 已知nN*，求。證明：因為，則，證畢。例5. 已知且，求證：對所有正整數(shù)n都成立。證明：因為，所以，又，所以，綜合知結(jié)論

3、成立。四. 公式放縮利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。例6. 已知函數(shù)，證明：對于且都有。證明：由題意知，又因為且，所以只須證，又因為所以。例7. 已知，求證：當時。證明：證畢。五. 換元放縮對于不等式的某個部分進行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機進行放縮，可達解題目的。例8. 已知，求證。證明：因為，所以可設，所以則，即。例9. 已知a，b，c為ABC的三條邊，且有，當且時，求證：。 證明：由于，可設a=csina，b=ccosa（a為銳角），因為，則當時，所以。六. 單調(diào)函數(shù)放縮根據(jù)題目特征，通過構造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進行放縮求解。例10. 已知a，bR，求證。證明：構造函數(shù)，首

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