修正生命表的信度理論方法

1、壽險精算實務 精算通訊第四卷第三期修正生命表的信度理論方法陸健瑜 楊步青 梁子君輔成咨詢有限公司 總裁 上海財經大學保險精算中心【摘要】人壽保險業(yè)務在定價和留存準備金時必須根據壽險經驗生命表來得到死亡率假設，采用合理的生命表是保險公司穩(wěn)健經營的重要保證。精算師在對產品進行定價、計算內含價值和公司的評估價值時，都需要采用符合本公司實際死亡經驗的生命表。然而，編制生命表需要收集大量的數據，有時保險公司根本無法利用自己的力量編制生命表，尤其是一些中小型的保險公司。而死亡率假設對于不同的險種、不同地域的被保險人又是不一樣的，所以即使是大公司，也無法找到適合于每個險種或每個地理區(qū)域的生命表。實務工作中需

2、要有一種方法能夠幫助保險公司快速地得到符合要求的生命表。信度理論是非壽險精算定價中常用的方法，本文將這一方法拓展到利用實際數據對死亡率假設的修正過程中，希望能為實務工作者提供一個簡便實用的修正生命表的方法。一、問題的提出生命表是一張反映人的死亡概率隨年齡變化趨勢的表格。它是人壽保險公司定價和評估責任準備金時死亡率假設的確定基礎。人壽保險產品按照承保對象不同，可以分為團體保險和個人保險；按照保險事故的不同，又可分為死亡保險、生存保險和生死合險。不同的險種下保單持有人的死亡率并不相同。一般而言，團體保險由于核保標準較為寬松，一個團體內所有的成員都可以投保，而個險的核保標準雖然各公司有所不同，但都要

3、比團險嚴格，因此團險的平均死亡率大于個人保險的死亡率。另外，投保人購買保險時還存在著選擇的行為，即身體狀況差的人傾向于購買保障型險種，身體健康的人傾向于購買返還型險種，所以壽險死亡率要大于年金的死亡率。國家為了了解人口狀況，也會定期進行人口普查，并在此基礎上編制國民生命表。國民生命表反映的是某個國家或某個地區(qū)所有人的平均死亡率，而保險公司的壽險經驗生命表只采用了被保險人的死亡率數據，由于保險公司在接受投保時的核保和選擇作用，被保險人的死亡率會低于社會平均水平，所以以上四類生命表按照死亡率從高到低的排列為：國民生命表團險生命表壽險生命表年金生命表 此外，各家公司由于核保標準的差異，即使是同一種產

4、品,其對應的被保險人死亡率也不盡相同。而同一家公司在不同地區(qū)的被保險人，死亡率也不- 20 -一定是相同的。正因為如此，不可能要求所有的保險公司都采用同一張生命表來定價、計算內含價值或評估公司價值，各公司應該根據產品的特征、被保險人群體、公司核保標準和目標市場所在的地理位置等諸多因素來選擇合理的生命表。保險公司在定價時，選用的生命表能否正確反映被保險人的死亡規(guī)律，與保險公司未來獲得的利潤息息相關。對于保障型的產品，死亡率越高，保險公司支付的保險給付成本越大，如果低估了死亡率，就會產生死差損。所幸的是，隨著生活水平的提高和醫(yī)療技術的進步，人類的死亡率有逐年降低的趨勢。在某些絕癥的治療手段有突破時

5、，還會使死亡率發(fā)生跳躍性的下降。例如最近我國科學家在白血病治療上的新發(fā)現，就很有可能挽救一大批人的生命。對于長期的保障型險種，死亡率的自然降低趨勢可以彌補定價帶來的損失。但對于年金產品，情況就大不一樣了，年金產品的保險期限可能長達一生，而且死亡率越低、人的壽命越長，保險給付成本就越高，如果保險公司在定價時沒有充分考慮到死亡率降低的趨勢，很有可能會產生巨大的損失。在平穩(wěn)的金融環(huán)境下，保險公司尚可依賴超額的投資收益彌補這一不足，但近年來金融市場發(fā)生的巨大變化，尤其是利率的急劇下跌，使壽險公司越來越無法依靠投資收益來減輕死亡風險。英國公平人壽保險公司的倒閉，就是一個很好的例子，他們在分紅產品中加入了

6、保證年金轉換率的條款，由于未壽險精算實務 精算通訊第四卷第三期能充分認識到死亡風險的影響，保證條款的實際成本大大超過了預期，再加上經營上的其他失誤，最終使公平人壽走向破產。我國也存在這樣的情況，目前保險公司使用的中國壽險經驗生命表（CL1990-1993）采用的是當時的中國人民保險公司1990-1993年的保單數據，至今已經有10年以上的間隔。據第五次人口普查顯示，我國人口平均預期壽命與1990年相比提高了2.85歲。為反映死亡率的這一減少，保險公司在產品定價時都沒有完全依據現行的生命表。通常壽險產品的死亡率假設是將CL1990-1993乘以7080，以此來彌補CL1990-1993死亡率過高

7、的缺陷。在計算內含價值或評估公司價值時，如果死亡率假設偏離了實際經驗，公司未來的利潤就無法準確地得到預測，其后果便是公司的價值被高估或低估。當保險公司打算通過上市發(fā)行股票來籌資時，低估了公司價值會損害老股東的利益，高估了公司價值則會使股票上市后面臨較大的市場風險。我國的保險公司大部分都沒有編制適合于自身實際經驗的生命表，公司價值無法準確評估，這也是我國保險公司上市難的原因之一。這些暴露出來的問題使人們意識到：正確認識死亡率，準確評估死亡風險是壽險業(yè)務穩(wěn)健經營的重要保證。中國保監(jiān)會在2003年的精算年會上宣布，將正式啟動對中國生命表的修訂工作。這當然是個非常好的消息，可以預計，3年后將會出現一張

8、更為符合保險業(yè)實際情況的經驗生命表。但是，中國有這么多的保險公司，每家公司的核保標準和客戶群體都不一樣，一張生命表反映的只是業(yè)內的平均水平，各家公司還是有所差異的。而且，即使是一家公司，在不同地區(qū)的投保人，其死亡率也會有差別。所以，即使是新的生命表編制完成了，也只能是給保險公司的定價提供參考。各家保險公司在定價時，還是要采用符合本公司被保險人實際死亡經驗的死亡率假設。但是，由于數據量、時間和人力資源的限制，很多保險公司不可能自己進行死亡率調查，編制自己公司的生命表。保監(jiān)會給出的生命表只能反映平均水平，而且由于修訂工作的龐大，也不能要求保監(jiān)會頻繁地進行數據更新來跟上保險市場的變化發(fā)展，對于實務工

9、作者而言，需要的是一種簡單的方法，能夠快速地得到符合實際的死亡率假設，本文引入的信度理論就是這樣一個方法。二、信度理論信度理論是非壽險精算中常用的一種方法。非壽險業(yè)務面臨的是各種各樣的風險，每張保單的損失和每個賠案的具體情況及相應的外部環(huán)境密切相關，因而損失率需要不斷修正以適應不斷變化的外部環(huán)境。非壽險精算師在厘定費率時，既要依據過去的經驗，也要根據風險情況的新變化加以調整，也就是說，定價時的假設是過去數據和當前最新數據的加權，信度理論就是研究這種加權過程的理論。信度理論在生命表中的應用可以分為兩種類型，第一類是橫向應用，即在對本公司的險種作死亡率估計時，如果本公司的死亡數據不夠，就可以借用國

10、民生命表、行業(yè)經驗生命表或其他公司的經驗生命表,利用本公司的實際死亡經驗對借用的生命表稍作調整，使之與本公司的實際經驗更靠近一些。第二類是縱向應用，即將信度理論方法用于本公司過去的經驗和當前的經驗中，將該公司過去的生命表作為輔助數據，用最新的死亡調查數據對其進行調整，使之得到更新。以下我們舉例來說明該方法的應用。三、用信度理論來修正生命表本節(jié)我們將用一個假想的例子，來說明信度理論是如何應用的。例 國內某壽險公司，將中國壽險經驗生命表CL1990-1993作為壽險產品的定價基礎，計算保單持有人的保費。但公司最近兩年的死亡記錄顯示實際死亡率低于CL1990-1993?？赡艿脑蛴校?（1）數據過時

11、。CL1990-1993來自10年前的保單數據，10年間中國經濟發(fā)生了巨大的變化，國民身體素質有了顯著提高。而且，中國的保險市場也有了非常大的改變，被保險人群體與10年前有顯著的不同。（2）數據不適合。CL1990-1993主要來源于人保1990-1993年的保單數據，當時中國市場上團險產品居多，而1995年個人代理人營銷方式進入中國市場后，個險產品從1997年占壽險總保費的20%上升到2000年的80%。前文我們曾經談到過，團險產品和壽險產品的死亡率是不同的。（3）核保標準的不同。該公司采用的核保標準比- 21 -壽險精算實務 精算通訊第四卷第三期CL1990-1993對應的保單數據更為嚴格

12、。（4）地域的影響。CL1990-1993來源于全國的數據，而該公司所在的區(qū)域在國內屬于較為發(fā)達地區(qū)，被保險人健康狀況可能好于全國平均水平。由于實際死亡率與CL1990-1993存在著差距，必須對CL1990-1993進行修正，使之與實際經驗更為接近。信度理論方法按照以下步驟進行：步驟1 ：確定死亡率調查的統(tǒng)計時間，即調查過去的一年，兩年或更長時間內實際死亡人數和按照CL1990-1993計算的預計死亡人數。的。其原因在于：死亡率雖然不斷在變化中（見下圖），但從長期趨勢上看，可能會圍繞一個平均趨勢作隨機波動。統(tǒng)計時間過短時，得到的只是短期的死亡率，短期的死亡率與平均死亡率會有偏差，統(tǒng)計時間太短

13、時，這一偏差可能會很大，從而掩蓋了平均趨勢。另外，在以下的討論中我們還會看到，當統(tǒng)計時間過短，死亡人數太少時，信度理論中的信度因子Z會很小，當前的數據幾乎起不到調整的作用。一般來說，最佳的死亡統(tǒng)計時間不能長于5年，但不能太短，通常要保證在統(tǒng)計時間內按照CL1990-1993計算的平均死亡人數不少于1000人。筆者建議,最佳的統(tǒng)計時間為3年。注 關于統(tǒng)計時間的選擇由于死亡率不斷在變化中，死亡率調查的時間不能太長，否則數據就較為滯后，不能反映最新的情況了。但是如果太短，得到的結果也是不夠準確圖一 死亡率的變化按照以上的要求，不妨將上例中的統(tǒng)計時間設定為兩年。計死亡人數。不過這種做法在實際操作上可能

14、會有一定的困難，因為保險公司的死亡數據通常是以保單為單位來記錄的，如果保險公司的信息系統(tǒng)中沒有將同一被保險人下的所有保單歸集在一起，那么公司能夠記錄下來的可能只是發(fā)生死亡理賠的保單數，而不是死亡人數。這時保險公司就只能以保單數量為統(tǒng)計單位了，也就是說，統(tǒng)計的是實際發(fā)生死亡理賠的保單數和期望發(fā)生死亡理賠的保單數，其中期望發(fā)生死亡理賠的保單數也是根據每個年齡段的保單數量和CL1990-1993中的死亡率分別計算并加總得到的。以保單為統(tǒng)計單位的結果和以人數為統(tǒng)計單位的結果會有偏差，因為有可能一個被保險人同時有好幾份保單。當然對于大的公司，死亡數據很多時，這種差別可以忽略不計。我們知道，在編制經驗生命

15、表時，還有一種以步驟2 ：根據CL1990-1993計算統(tǒng)計時間內的期望死亡人數（記為 E）；在過去的兩年中，依據CL1990-1993得到的期望死亡人數為600人。實際計算時，根據每個年齡段的被保險人人數和CL1990-1993中的死亡率，對不同年齡的死亡人數分別計算并加總即可。步驟3 ：統(tǒng)計同時期的實際死亡人數（記為 A）； 過去的兩年中，該公司實際死亡人數為360人。顯然，實際的死亡經驗比CL1990-1993低40%。注 死亡調查單位的選擇在統(tǒng)計死亡數據和計算期望死亡數據時，最好是按照死亡人數來計算，即統(tǒng)計實際死亡人數和預- 22 -壽險精算實務 精算通訊第四卷第三期保險金為統(tǒng)計單位的

16、做法，即統(tǒng)計的結果是實際發(fā)生的死亡理賠金總額和預期發(fā)生的死亡理賠金總額，美國在編制保險監(jiān)督官生命表時就采用了這一做法。采用保險金為統(tǒng)計單位的原因是：對于高保額的保單，被保險人通常處于較高的社會階層，經濟條件較好，可以享受較高的醫(yī)療保健水平，而保險公司對這類保單的核保也比較嚴格，所以他們的死亡率比低保額保單的被保險人會低一些。也就是說，死亡率與保險金額是有關系的。將保險金額作為死亡統(tǒng)計單位，就是希望得到的生命表能夠反映這種關系。不過，在本文的信度理論方法下，這種做法不可取，因為采用保險金額為單位時可能會扭曲下文中信度因子的取值。這里的信度因子Z可以看成對實際死亡數據的信任程度，當E較高時，數據量

17、較大，對實際死亡經驗的信任程度較高，則Z與1非常接近，修正后的死亡率q=1-Z(1-m)qmq即qA= qE當E很小時，數據量較小，對實際死亡經驗不能給予過高的信任，這時 Z約等于0，修正后的死亡率與原死亡率非常接近，相當于沒有進行修正。qq也可以從另一個角度來看公式1，定義變量r=1-m，表示實際死亡人數與期望死亡人數的差異。將m的值代入，得到r=0.4，即實際死亡人數比預計死亡人數少40%。如果對實際數據給予充分的信任，則應該用以下公式來修正死亡率步驟4 ：定義修正值（記為m）為實際死亡人數與期望死亡人數的比值m=0.6步驟5 ：定義信度因子Z為q=mq=(1-r)q即修正后的死亡率比原來

18、的死亡率低40%，和實際死亡人數與預期死亡人數的差異相等。這是很多公司目前采用的做法。信度理論的優(yōu)點是考慮到了實際數據的可靠程度，為此引入了信度因子Z的概念，用它來修正實際死亡人數與期望死亡人數的差距 r。Z=min(1,0.E)調整后的死亡率即為=1-Z(1-m)qn （公式 1） qn其中，n表示年齡。將前面各步中得到的數據代入公式1中,得到 Z =0.735，于是，修正后的死亡率為q=(1-Zr)q將Z =0.735代入，得到修正后的死亡率=1-0.736(1-0.6)qn=0.706qn qn修正后的死亡率比CL1990-93低30%。=0.706qn，只比原來低 29.4%。 qn下

19、圖顯示了修正后的死亡率與原死亡率的差異注1 信度因子Z的含義Zr、信度因子Z與期望死亡人數E的關系。圖二 修正后的死亡率與原死亡率的差異Zr、信度因子Z與期望死亡人數E的關系- 23 -壽險精算實務 精算通訊第四卷第三期注2 期望死亡人數E對修正結果的影響 圖中可以看到，對于一些小的壽險公司，數據量很小，例如 E=50，這時的信度因子Z也會很小，只有0.21,而修正后的死亡率幾乎為原死亡率的92%，即修正的效果很小。對于大型保險公司，數據量大到E1000時，信度因子 Z0.94，修正后的死亡率幾乎為原死亡率的62%，即無須考慮信度因子的影響，直接用m來修正原死亡率即可。這一結果的實際應用是，當

20、公司一年數據量較小時，例如E=400，公司可以連續(xù)統(tǒng)計三年的死亡數據，使得三年的期望死亡人數之和1200大于1000，這樣一來就可以直接用三年實際死亡人數A與預期死亡人數E的比值 m來修正死亡率，而不需要考慮信度因子了。而不斷變化的。所以即使數據再充分和及時，算法再精確，我們也無法得到完完全全反映所有年齡死亡率的絕對真實的生命表。既然無法達到理論上的完美，實際工作中我們就必須作出妥協(xié)，只要得到的結果比原來的生命表與實際情況更接近一些，就已足夠了。另外，在為產品定價時，出于謹慎考慮，還可以在修正的基礎上將死亡率再降低或升高一些，例如，對于保障型的壽險產品，可以將修正后的死亡率升高5%到10% ，

21、即上例中可以在73.5%qn到77%qn之間任選一值作為定價時的死亡率假設，對于返還型的年金產品，可以將修正后的死亡率降低5%到10%，即定價死亡率在63%qn到66.5%qn之間任意選擇。不過，對于年金型產品的定價，這里有一點特別要說明的地方。年金產品的保險期限通常很長，30-40 年甚至長達一生。在這么長的時間里，人類的死亡率可能會發(fā)生非常大的變化，例如醫(yī)療技術的進步，生活水平的提高，絕癥治療方法的重大突破，這些因素都會降低死亡率，增加年金產品的成本。這些不確定的因素使得年金產品的死亡風險非常難以估計。為了盡量減小這一風險帶來的損失，保險公司在設計年金產品時，就應避免對年金給付率作出保證。公平人壽的前車之鑒，對保險業(yè)就是一個非常沉重的教訓。然而遺憾的是，我國的保險市場上目前還有許多保證給付的年金產品，這說明保險業(yè)還未認識到死亡風險的嚴重性，這是很可怕的。五、總結生命表是人壽保險公司定價和評估責任準備金的基本依據。如果生命表不能反映當前的死亡率，或者保險公司沒有采用適合于本公司保單持有人