一元函數(shù)積分學(xué)

1、第四章 一元函數(shù)積分學(xué)§1 定積分的概念（求總量的數(shù)學(xué)模型） 一、定積分問題的引例引例1 曲邊梯形的面積曲邊梯形由連續(xù)曲線和直線以及x軸所圍成的平面圖形 (圖5-1).我們會求直邊梯形或矩形的面積：底×高，如何利用已知知識？即如何將曲邊問題轉(zhuǎn)化為直邊問題？整體進(jìn)行誤差太大，可先在局部上考慮問題.第一步 (分割) 在曲邊梯形的底邊所在的區(qū)間a , b內(nèi)任意插入n-1個分點(diǎn)，并令，則有 ，這些分點(diǎn)將區(qū)間a , b分割成個小區(qū)間 ，過這n個分點(diǎn)作x軸的垂線，就將區(qū)間a , b上的曲邊梯形分為個小曲邊梯形（圖5-1）； 圖5-1第二步 (近似替代) 在每個小區(qū)間上任取一點(diǎn) ，記 ，

2、則在小曲邊梯形很小時，可用以和為邊長的小矩形的面積近似替代小曲邊梯形的面積，即 ；第三步 (作和) 所求曲邊梯形的面積近似地等于這個小曲邊梯形的面積之和，即；第四步 (取極限) 將區(qū)間a, b無限細(xì)分，使每個小區(qū)間的長度都趨于零，對于區(qū)間a, b的任一個分割，令，則將a, b細(xì)分的過程就是的過程，若當(dāng)時，上式右端的極限存在，就定義這個極限為曲邊梯形的面積A，即. 注 , 但反之不真, 即.2、變速直線運(yùn)動的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動，已知速度是時間間隔T1 ,T2上t的一個連續(xù)函數(shù)，且，計算這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程s.由物理學(xué)知識知，對于勻速直線運(yùn)動有公式：路程 = 速度 ´ 時間.

3、但這里是變速直線運(yùn)動，速度是隨時間t ÎT1 ,T2連續(xù)變化的函數(shù),因而不能直接利用上述公式來計算路程, 得進(jìn)行轉(zhuǎn)化.第一步 (分割) 在時間間隔T1 ,T2任意插入n -1個分點(diǎn)：，時間間隔T1 ,T2就被分成了n個小時間段，各小時間段的長度為 ，相應(yīng)于各小時間段物體所走過的路程分別為 ；第二步 (近似替代) 在每個小時間段上任取一個時刻，以時刻的瞬時速度來近似地替代上的平均速度，即可得到的近似值： ，第三步 (作和) 所求變速直線運(yùn)動的路程s近似地等于這n個小時段內(nèi)所走過路程近似值的和： ；第四步 (取極限) 對時間段T1 ,T2無限細(xì)分，使每個小區(qū)間的長度都趨于零，對于區(qū)間T1

4、 ,T2的任一個分割，令，則將T1 ,T2細(xì)分的過程就是的過程。若當(dāng)時，上式右端的極限存在，就定義這個極限為變速直線運(yùn)動的路程s的精確值： .盡管上面兩個引例問題的所屬范疇不同，但解決問題的方法是相同的，都是經(jīng)過了“分割、近似替代、作和、取極限”這四個步驟將問題歸結(jié)為求一種特定結(jié)構(gòu)和式的極限. 撇開問題的實際背景，抽象出其數(shù)量關(guān)系的共同特征，就引出了下述定積分的概念：二、定積分的定義定義 設(shè)是定義在區(qū)間上的有界函數(shù)，在中任意插入n-1個分點(diǎn)： ,將區(qū)間分成長度分別為 的n個小區(qū)間：.任取，作和 ，記. 如果不論對區(qū)間怎樣分法，也不論怎樣在小區(qū)間上選取，當(dāng)時，和式總趨于確定的常數(shù)J，則稱函數(shù)f(

5、x)在區(qū)間上是可積的，稱J為函數(shù)f(x)在區(qū)間上的定積分，記作，即 ,其中f (x) 稱為被積函數(shù)，f (x) d x稱為積分表達(dá)式，x稱為積分變量，稱為積分區(qū)間，a, b分別稱為這個定積分的下限和上限.注 所謂函數(shù)在上可積是指極限存在, 而極限存在就必唯一, 且由定義還可看出, 這個極限的存在與對區(qū)間的劃分和點(diǎn)的取法均無關(guān). 定積分表示的是一個實數(shù)，它的存在是由被積函數(shù)和積分區(qū)間確定的（如曲邊梯形問題），與積分變量用那個字母來表示沒有關(guān)系，即 由于函數(shù)在上可積 Û 積分和的極限 存在，所以可以給出定積分嚴(yán)格的“d ”型定義(P.147) 若極限不存在，則稱函數(shù)在上不可積. 對照定積

6、分定義可知引例中的曲邊梯形的面積A =，即曲邊函數(shù)在底邊區(qū)間上的定積分；變速直線運(yùn)動的路程s，即速度函數(shù)在時間間隔區(qū)間T1 ,T2上的定積分. 按照定積分定義，記號中的a , b應(yīng)滿足a < b，為了研究上的方便我們規(guī)定： (1) 當(dāng)a < b時，；（因為積分和中的）(2) 當(dāng)a = b時，= 0. 三、定積分的幾何意義(1) 當(dāng)f(x) ³ 0且a < b時，由引例及定積分定義知 在幾何上表示由曲線與直線x = a，x = b以及x軸所圍成的曲邊梯形的面積A.(2) 當(dāng)f(x) 0且a < b時， 因為 -³ 0 Þ =-A,即在幾何上表

7、示曲線與直線x = a，x = b以及x軸所圍成的曲邊梯形面積A的負(fù)值. (3) 一般地，當(dāng)在上的值有正也有負(fù)時，在幾何上表示曲線與直線x = a，x = b以及x軸所圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和，即 x軸上方所有曲邊梯形的面積之和 減去 x軸下方所有曲邊梯形的面積之和（圖5-2）. 圖5-2在微分學(xué)中，導(dǎo)數(shù)和微分依據(jù)極限思想，通過對小增量的分析，揭示出一系列的局部性質(zhì). 和微分學(xué)相輔相成的是微積分的另一半積分學(xué). 因為大量的實際問題還要求人們從整體上考察變量變化過程的某些積累效應(yīng). 例如曲邊區(qū)域的面積、作變速直線運(yùn)動的物體經(jīng)過的路程等，在這個方向上，從古希臘時期到16世紀(jì)，歷史上不乏用各種復(fù)雜

8、的技巧解決特殊問題的實例. 當(dāng)大量的經(jīng)驗終于使人們領(lǐng)悟到這類問題的實質(zhì)都在于求一列小增量之和的極限時， 積分學(xué)就應(yīng)運(yùn)而生了. 微分和積分的基本思想最初均系獨(dú)立產(chǎn)生，并無緊密關(guān)聯(lián). 直至它們各自取得相當(dāng)進(jìn)展，數(shù)學(xué)表述逐漸清晰，才發(fā)現(xiàn)兩者存在著深刻的聯(lián)系：它們的基本課題是無窮小分析中兩個互逆的問題. 這一思想大大推動了微積分的飛速發(fā)展，使之從個別問題求解的探討，轉(zhuǎn)向創(chuàng)立充分強(qiáng)大而有效的基本方法.給出概念了一般要問三個問題：存在性？唯一性？如何求？ 由于定積分是用極限概念給出定義的，所以顯然有結(jié)論：若存在必唯一. 關(guān)于存在性，我們有下面的結(jié)論.四、可積條件定理1 若在上連續(xù)，則在上可積.這個結(jié)論與不

9、定積分的存在性完全一致，但定積分時可積的條件還可放寬為定理2 若在上有界，且只有有限多個間斷點(diǎn)，則在上可積.這兩個結(jié)論的證明現(xiàn)在無法給出，先略去.注 立即可有結(jié)論：初等函數(shù)在其閉的定義區(qū)間上都是可積的. 例1 用定義計算 .解 因為函數(shù)在上連續(xù), 所以定積分I存在, 從而積分I與區(qū)間的分法和的取法無關(guān), 就用盡量簡單的分法和取法. 先將區(qū)間分成n等份, 記第個分點(diǎn)為 , , 則每個小區(qū)間的長度均為 , 再取, 且可得和式,所以 . 由此例可見, 用定義來計算定積分是很困難的. 一是積分和式的整理一般是相當(dāng)困難的, 大多甚至得不到結(jié)果的；二是即便能整理出一個公式, 極限的計算往往也很困難. 因此

10、有必要尋找新的計算方法, 這就首先需要了解定積分的性質(zhì)，先考察最基本的性質(zhì). §2 定積分的性質(zhì)假定函數(shù)f(x)、g (x) 在所定義的區(qū)間上都是可積的，則定積分有如下六個重要性質(zhì)：性質(zhì)1 (線性性) 對任意兩個常數(shù)k1，k2，恒有.（線性運(yùn)算的積分 = 積分的線性運(yùn)算）證 左端右端.注 取,即有“差的積分 = 積分的差”；取,即有“常數(shù)可提到積分號外面來”.性質(zhì)2 (積分區(qū)間可加性) 設(shè)，則有.（整個區(qū)間上的積分 = 各部分區(qū)間上積分的和）證 因為在上可積，從而積分與分法、取法無關(guān)，所以不論把怎樣分割，積分的極限總是不變的，我們在分割時，讓c永遠(yuǎn)是一個分點(diǎn)，則有 ,令，上式兩端同取

11、極限即得結(jié)論成立. 注 利用定積分的第一個規(guī)定，可得到更一般的結(jié)論：無論a，b，c三者的大小關(guān)系如何，總有.性質(zhì)3 (常數(shù)的積分) 若(常數(shù))，則 .（以k和b-a為邊長的矩形面積）證 由常數(shù)可提到求和號和極限號外面來即得.注 我們特別指出，以上三個性質(zhì)的成立與a，b的大小無關(guān).性質(zhì)4 (保號性) 若在區(qū)間 上³ 0，則 ³ 0.證 由³ 0， Þ ，由極限的保號性知結(jié)論成立.推論1 (保序性) 若在區(qū)間 上³ 0，則 .（性質(zhì)4是其推掄1的特例）證 （分析：轉(zhuǎn)化為特殊情形即可得證） 因為，由性質(zhì)4 ，對上述不等式左端應(yīng)用性質(zhì)1后移項整理，即得

12、結(jié)論.推論2 (絕對值性質(zhì)) .證 因為 ，由推論1得 ，Þ 結(jié)論成立.性質(zhì)5 (基本估值不等式) 設(shè)M、m分別為函數(shù)在區(qū)間 上的最大值和最小值，則 .證 由Mm，以及性質(zhì)4的推論1即得.例1 估計積分的值.解 設(shè) ， 令 Þ x = 0， 而 ，所以 ，由性質(zhì)5知 .性質(zhì)6 (積分中值定理) 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上至少存在一點(diǎn)x，使得 .證 因為在上連續(xù)，所以在a, b上必取得最大值M和最小值m，Mm，由性質(zhì)5得M (a -b ) m (a - b )，即 ，由介值定理可知，對于介于最大值和最小值之間的數(shù)值 ，必存在點(diǎn)x Î a, b，使得 ， 即 .

13、注 我們特別指出,積分中值定理的成立與a，b的大小無關(guān). 從幾何上理解，即 曲邊梯形的面積 等于 曲邊上某點(diǎn)為高的矩形的面積（圖5-3）. 圖5-3將稱為是函數(shù)在區(qū)間a, b上的“平均”是恰如其分的或說是準(zhǔn)確的，它就是有限多個數(shù)的算術(shù)平均值公式 的推廣. §3 微積分學(xué)基本定理由于定積分概念是利用極限工具給出的，所以利用定積分的定義計算定積分是十分困難的，有時甚至是不可能的. 為了讓定積分概念能得到實際應(yīng)用，必須尋找簡便有效的計算定積分的方法，那么我們必須探求定積分更加深刻的性質(zhì). 本節(jié)將介紹兩個重要的定理，通過溝通定積分與不定積分的關(guān)系，給出了一個解決定積分計算問題的有效途徑.一、

14、積分與微分的聯(lián)系定積分有一個十分特殊而重要的性質(zhì)，它對進(jìn)一步考察微分和積分的關(guān)系起十分關(guān)鍵的作用。但需要先介紹一個概念：設(shè)函數(shù)在a, b上連續(xù)，則對任意的x Îa, b，函數(shù)在a, x上連續(xù)，從而函數(shù)在a, x上在上可積，顯然這個積分是x的函數(shù)（參見圖5-4），我們稱此函數(shù)為積分上限的函數(shù)或變上限的定積分，記為 0 a x b x Îa, b. 圖5-4下面給出積分上限函數(shù)的一個重要性質(zhì)，定理1 若函數(shù)在a, b上連續(xù)，則積分上限的函數(shù) 在a, b上可微，且， x Îa, b.證 ，任取，且，則，由積分中值定理知，存在x 介于x與x+Dx之間，使得 ,由于，再由導(dǎo)

15、數(shù)定義及的連續(xù)性知 .注 等式 表明積分上限的函數(shù)就是的一個原函數(shù)，即連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)，因此定理1又稱原函數(shù)存在定理. 積分上限的函數(shù)與分段函數(shù)有點(diǎn)類似，是一個難點(diǎn)，從而也是一個考試的熱點(diǎn)，它常與極限、求導(dǎo)、最值等知識結(jié)合出現(xiàn)形成綜合性的題目，應(yīng)與重視。我們將這里拓寬一下.若可導(dǎo)，則與積分上限函數(shù)構(gòu)成了復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則知 ，例1 設(shè)，求.解 ，.注 一般地有公式： ； .例2 設(shè)在0,+內(nèi)連續(xù),且> 0，求證函數(shù)在0,+內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)。證 "x>0，由>0，得，所以在(0,+)內(nèi)有定義，且," t Î 0, x，Þ，且不

16、恒為零， Þ Þ .二、牛頓萊布尼茲公式(微分學(xué)基本定理)由定積分的物理意義我們知道：在時間間隔內(nèi)，作勻速運(yùn)動的物體所走過的路程s就是速度函數(shù)在時間間隔上的定積分： ； 另一方面由物理知識我們知道，路程s就是該物體的位移: .即有等式： . 注意到是的原函數(shù)。 問題是這個公式在一般情形下成立嗎？即若是的一個原函數(shù)時，公式成立嗎？牛頓和萊布尼茲各自獨(dú)立地給出了這個問題的答案.定理2 若函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a, b上的一個原函數(shù)，則 . (3)公式(3)稱為牛頓萊布尼茲公式，引入記號：，則(3)式即為 .證 由原函數(shù)存在定理及原函數(shù)性質(zhì)可知 , xÎa,b.令x =

17、a ，得； 代入得, 令x = b Þ .注 牛頓萊布尼茲公式揭示了函數(shù)與其原函數(shù)之間的關(guān)系，從而溝通了定積分與不定積分的關(guān)系，故又稱其為微積分基本公式. 她為定積分的計算提供了一個簡單有效的方法轉(zhuǎn)化為計算其原函數(shù)在積分區(qū)間上的增量.例1 求 .解 原式.例2 求 .解 原式.例3 求 .解 原式.注 應(yīng)特別注意絕對值函數(shù)在積分區(qū)間上的符號問題，例如 . 再就是分段函數(shù)的定積分，若被積函數(shù)在積分區(qū)間的不同區(qū)段上的表達(dá)式不一致時，應(yīng)按表達(dá)式的一致性分開段來積分，例如習(xí)題（P.162）7(8).§5/ 定積分的基本積分法則 由牛頓萊布尼茲公式可知，計算定積分的關(guān)鍵是求被積函數(shù)的

18、一個原函數(shù)，這只需計算不定積分，例如計算 . 在不定積分的計算中我們介紹了不少的計算方法，如基本的換元法、分部法. 我們的想法是能否不轉(zhuǎn)化為求其不定積分，而將計算不定積分的基本方法移植到定積分的計算中來，直接計算定積分. 對此有下述結(jié)果:一、 定積分的換元積分法(P. 183)定理1(定積分換元積分法P. 183 Th3 ) 若函數(shù)在上連續(xù)，在以a ,b 為端點(diǎn)的區(qū)間上函數(shù)滿足(1) ，；(2) 有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)；(3) 其值域不超出, 則有定積分換元公式： .證 函數(shù)、都是連續(xù)的，它們的原函數(shù)都存在，設(shè)是在a, b上的一個原函數(shù)，即考察 ，這表明是的一個原函數(shù)，由牛頓萊布尼茲公式即得 .注 定積

19、分換元公式實際上就是不定積分的第二換元法在定積分中的移植表現(xiàn). 條件(3)與條件(2) 則表明換元后的積分( 即公式右端)必須a對應(yīng)的值 a 作新下限，b對應(yīng)的值 b 作新上限，即原下限對應(yīng)值作新下限，原上限對應(yīng)值作新上限，不必管a與b的大小關(guān)系. 實際上，積分換元公式當(dāng)a> b時仍成立，且仍是原下(上)限對應(yīng)值作新下(上)限. 與不定積分一樣，在積分中的dx，本來是整個積分記號中不可分割的一部分，但由換元公式可知，在一定條件下，它確實可作為微分記號來對待. 應(yīng)用換元公式時，如果把中的換成，則就換成，這正好是的微分.例1 計算.解 令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，. 于是.注 應(yīng)用定積分換元公式計

20、算定積分時應(yīng)注意不同于不定積分的兩點(diǎn)：(1) 用把原來變量代換成新變量時，積分限一定要換成相應(yīng)于新變量的新積分限； (2) 求出的一個原函數(shù)后，不必像計算不定積分那樣再把還原成原來變量的函數(shù)，而只要把新變量的上、下限a、b 分別代入中然后相減就行了.例2 計算 .解 原式.例3 計算 .解 原式.注 逆向使用換元公式就有相應(yīng)于不定積分的第一換元公式定積分的湊微法(P.176). 例4 計算 .解 此積分若是不定積分, 則應(yīng)利用第一換元法湊微法, 將湊為, 即 原式 .例5 計算.解 原式.例6 計算.解 原式 .例7 設(shè)在上連續(xù)，證明： (1)若為偶函數(shù)，則有 ；(2)若為奇函數(shù)，則有= 0.

21、證 ， 對積分作代換，得，于是=.（1） 若為偶函數(shù)，即，則 ；（2） 若為奇函數(shù)，即，則.注 此題的結(jié)論在今后定積分計算中可以直接應(yīng)用簡化計算偶、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分. 由此題我們可以體會到除了與不定積分換元法相同的計算作用外，定積分換元法在關(guān)于積分等式的一些證明題中具有奇妙的作用.例8 設(shè)在上連續(xù)，證明= ，并利用此結(jié)果計算定積分.證 令，則，且，當(dāng)時；當(dāng)時于是 ， ，將上式移項后兩邊同除以2，得.利用上述結(jié)論，有.注 該定積分的被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得，但利用換元法卻方便的計算出了它的結(jié)果.二、 定積分的分部積分法(P. 193)定理2(定積分的分部積分法 P. 193 ) 若函數(shù)

22、在區(qū)間a, b上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有定積分分部積分公式：.證 是在a, b上的一個原函數(shù)，移項后即得. 注 定積分分部積分法與不定積分分部積分法使用范圍無差異，也就是說，在不定積分中需要用分部法的函數(shù)在定積分中仍要使用，它們僅在形式上有差異，即應(yīng)用定積分分部法時，應(yīng)注意積出部分要隨時代入上、下限，以化簡計算.例9 求.解 與不定積分中的情形一樣，令，則有原式.例10 求.解 令則，且當(dāng)時,，當(dāng)時，,所以原式2.對有的積分，常常將換元法與分部積分法結(jié)合起來使用，更易見效。例11 證明定積分公式：證 令，所以 .當(dāng)時，設(shè)， 則，由分部積分公式得.右端第一項等于零。 將第二項里的 寫成 ， 并把積分分

23、成兩個，得,由此得 . (1)在遞推公式中把n換成n-2，則得,同樣地依次進(jìn)行下去，直到的下標(biāo)遞減到0或1為止. 于是 ， ，而 ，因此 例如 求, 原式.§6 廣義積分前面所討論的定積分，其積分區(qū)間都是有限閉區(qū)間且被積函數(shù)在該區(qū)間上有界. 但在一些實際問題中，常會遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)為無界函數(shù)的積分，它們已經(jīng)不屬于前面所說的定積分了. 因此，我們將再次借用極限的思想，對定積分作如下兩種推廣，從而形成廣義積分的概念.一、無窮區(qū)間上的廣義積分定義1 設(shè)在上有定義，且對任意的>，在a,b上可積，極限稱為在無窮區(qū)間上的廣義積分，記作，即.若上式右端的極限存在，則稱此無

24、窮區(qū)間上的積分收斂，否則稱之發(fā)散.類似地，定義在無窮區(qū)間上的廣義積分為.若上式等號右端的極限存在，則稱之收斂，否則稱之發(fā)散.函數(shù)在無窮區(qū)間上的廣義積分定義為 .（即右端兩個廣義積分中有一個發(fā)散，左端廣義積分就是發(fā)散的）其中為任意實數(shù)。當(dāng)上式右端兩個積分都收斂時，則稱之收斂；否則稱之發(fā)散。無窮區(qū)間上的廣義積分也簡稱為無窮積分.例1 計算無窮積分.解 =.注 這個廣義積分值的幾何意義是：當(dāng) , 時，雖然右圖中陰影部分向左、右無限延伸，但其面積卻有極限值. 它是位于曲線的下方，軸上方圖形的面積. 圖5-19 為書寫方便，在計算過程中可不寫極限符號，用記號表示. 如上式中.例2 計算無窮積分 ( p是

25、常數(shù)，且p>0).解 .注 上式中極限可由冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的比較看出此極限，也可用洛必達(dá)法則確定.例3 討論無窮積分的收斂性.解 當(dāng)時， ；當(dāng)時， 因此，當(dāng)時，該積分發(fā)散；當(dāng)時，該積分收斂，其值為 .二、無界函數(shù)的積分定義2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，對任意小的，在上可積，且（即端點(diǎn)是的無窮間斷點(diǎn)），極限稱為無界函數(shù)在上的廣義積分，記為， .若上式右端極限存在，則稱此無界函數(shù)的廣義積分收斂；否則，稱之發(fā)散.類似地，若函數(shù)在區(qū)間上有定義，對任意小的，在上可積，且（即為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)），定義無界函數(shù)在上的廣義積分為 ，若上式右端極限存在，則稱之收斂；否則稱之發(fā)散.若對任意小的，在上可積，而，則

26、定義在區(qū)間上的廣義積分為 ，當(dāng)上式右端兩個極限都存在時，則稱廣義積分收斂；否則，稱之發(fā)散.此外，如果均為的無窮間斷點(diǎn)，則在上的無界函數(shù)的積分定義為上式中為與之間的任意實數(shù)，當(dāng)右端的兩個極限都存在時，則稱之收斂，否則稱之發(fā)散.注 無界函數(shù)的廣義積分也稱為瑕積分，函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)也稱為其瑕點(diǎn)，即若在區(qū)間()上連續(xù)，且()，則a(b) 必為f (x)的瑕點(diǎn). 瑕積分與一般定積分（亦稱常義積分）的含義不同, 但形式一樣，特容易被忽視, 因此，在計算定積分時，應(yīng)該首先考察是常義積分還是瑕積分，若是瑕積分，則要按瑕積分的計算方法處理.例1 討論瑕積分的收斂性.解 是瑕點(diǎn)，于是. 圖5-20注 這個瑕積分值

27、的幾何意義：位于曲線 之下、軸之上，直線與之間的圖形面積（見圖5-20）.例2 計算瑕積分 ( > 0 )解 是瑕點(diǎn)，于是 原式，由于 ， 所以 發(fā)散.注 瑕點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)部時最容易被忽視，即把它和定積分混淆了。本例如果疏忽了是瑕點(diǎn)，就會得到錯誤結(jié)果： =.例6 證明瑕積分 當(dāng)<1 時收斂，時發(fā)散.證 當(dāng)時， ；當(dāng)時， 所以，當(dāng) 時，瑕積分收斂，其值為 ； 當(dāng) 時，瑕積分發(fā)散. §4 不定積分預(yù)備知識原函數(shù) 定義1( P. 155 定義1 ) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有定義，若存在可微函數(shù), 使得則稱為在區(qū)間I上的一個原函數(shù). 例如，因為 ， 所以sin x是cos x在 (-, +

28、) 上的一個原函數(shù)， 因為 ，所以ln | x | 是 在 (0, +) 上的一個原函數(shù)， 都是3 x2 在 (-, +) 上的原函數(shù)。 每提出一個新的數(shù)學(xué)概念后，自然都要問三個基本的問題：存在性？唯一性？如何求？這里即問：滿足什么條件的函數(shù)存在原函數(shù)？若存在原函數(shù)是否唯一？知道存在如何求出？本章余下的內(nèi)容就是解決這三個問題. 先給出存在性的一個充分條件：定理1 若函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù)，則在I上存在原函數(shù). 即區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)。這個結(jié)論實際上就是第三節(jié)定理2(P.157)所指出的事實, 其證明用到定積分的概念，將在下學(xué)期的定積分相關(guān)內(nèi)容中解決.注 因為初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)部都是連續(xù)的

29、，所以初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都存在原函數(shù).關(guān)于唯一性我們有下述結(jié)論：定理2(P.157定理3) 設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有一個原函數(shù)，則(1) 若對于任意常數(shù)C，函數(shù)+C也是的原函數(shù)；(2) 在I上的任意兩個原函數(shù)之間只相差一個常數(shù).證 (1) 因為 , (2) 設(shè)和是在I上任意兩個原函數(shù)，則有 ，由拉格朗日中值定理的推論知，是常值函數(shù)，即存在常數(shù)C，使得.定理2表明： 只要存在原函數(shù)，就存在無窮多個；只要知道的一個原函數(shù)，就知道其所有的原函數(shù)，其中C為任意常數(shù), 稱為原函數(shù)的一般表達(dá)式.只剩下最后一個問題： 如何求函數(shù)的原函數(shù)？計算問題是極為重要地，微分的成功也正在于提供了一套完整、簡潔可行的計算方

30、法. 為了解決原函數(shù)的求法問題，我們先引入一個概念：一、不定積分的概念定義2 函數(shù)在區(qū)間I上的全體原函數(shù)叫做在區(qū)間I上的不定積分，記為 .顯然，其中是在區(qū)間上的一個原函數(shù)，C是常數(shù).上述記號中的符號 稱為積分號，稱為被積函數(shù)，稱為積分表達(dá)式，x稱為積分變量，C稱為積分常數(shù) .注 不定積分與原函數(shù)的關(guān)系是整體與個體之間的關(guān)系， 求的不定積分只要求得的一個原函數(shù)再加上一個任意常數(shù)C即可. 例如.例1 已知某曲線上任意一點(diǎn)P (x , y) 處的切線斜率為該點(diǎn)橫坐標(biāo)的2倍，且該曲線過點(diǎn)(1,2)，求此曲線方程。解 設(shè)所求曲線的方程為 ， 由題意可知 ， 所以 ，又 ，得 2 = 1 + C 

31、2; C = 1,所以所求曲線為 .從幾何的角度說，我們稱是函數(shù)的一條積分曲線，而不定積分則表示積分曲線族，其方程為, 圖4-1其中C為任意常數(shù).由于 ，所以積分曲線族中橫坐標(biāo)相同點(diǎn)處的切線都是平行的(圖4-1). 不定積分有下列基本性質(zhì)：(1) ， 或 ；(2) ， 或 .由此可見, 求不定積分與求導(dǎo)運(yùn)算在相差一個常數(shù)的意義下互為逆運(yùn)算. 類似于除法的計算是利用其逆運(yùn)算乘法運(yùn)算進(jìn)行的, 基于求不定積分與求導(dǎo)運(yùn)算逆運(yùn)算的關(guān)系，不定積分的各種計算方法都源于求導(dǎo)的相應(yīng)方法. 首先我們可以根據(jù)已知的求導(dǎo)公式，列出一些基本積分公式；還可以根據(jù)求導(dǎo)運(yùn)算的線性性給出積分的線性性；根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)出積

32、分的變量代換；根據(jù)乘積求導(dǎo)法則導(dǎo)出分部積分法. 這樣就可以對較為廣泛的函數(shù)類，求得其不定積分.下面先由基本函數(shù)求導(dǎo)公式給出相應(yīng)的基本積分表：二、不定積分的基本公式 (P.164)由基本求導(dǎo)公式相應(yīng)地可得下列基本的積分公式： (1) (k為常數(shù))； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ； (7) ；(8) ； (9) ；(10) ； (11) ；(12) ； (13) ；(14) ； (15) ；由于其他函數(shù)的不定積分經(jīng)運(yùn)算變形后，可將其歸結(jié)為上述基本的不定積分. 作為積分運(yùn)算的基礎(chǔ)，上面的基本積分公式必須掌握. 下面由微分的線性性給出不定積分的線性性：三、不定積分的線性運(yùn)算性質(zhì)

33、性質(zhì) ， 其中a、b 為不同時為零的常數(shù).證 只需證 是 a f (x) + b g (x) 帶有任意常數(shù)項的的原函數(shù). 首先，已帶有任意常數(shù)項； 又因為.所以性質(zhì)成立. 即 線性運(yùn)算的不定積分等于不定積分的線性運(yùn)算, 稱為不定積分的線性性.利用積分的線性運(yùn)算性質(zhì)，可計算一些比較簡單函數(shù)的不定積分，例如例2 求 .解 原式 .例3 求 .解 原式 .例4 求 .解 原式.例5 求 .解 原式.例6 求 .解 原式 . 例7 求 .解 原式 .例8 求 .解 原式 .注 由上可見，利用代數(shù)或三角的恒等變形以及不定積分的線性運(yùn)算性質(zhì)，可將一些函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本積分表中的積分形式的線性運(yùn)算，從而得到它們

34、的不定積分.§5 基本積分法則 顯然，只利用不定積分的線性運(yùn)算性質(zhì)求積分是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，必須繼續(xù)尋找不定積分的求解方法。下面就給出由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得到的不定積分的換元法, 和由乘積求導(dǎo)公式得到的分布積分法：一、第一換元積分法 定理1 設(shè)被積函數(shù)形如, 其中有原函數(shù)，具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則 . (1)證 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得， 所以是的一個原函數(shù)，因而 . 注 稱公式(1)為第一換元公式. 常簡記第一換元法為 . 其應(yīng)用步驟為：關(guān)鍵是變形到湊微分這一步，它實現(xiàn)了從未知向已知的轉(zhuǎn)化，故第一換元法又簡稱“湊微法”.例1 求.解 原式.例2 求.解 原式.注 一般地, . 湊微運(yùn)算熟練后，可

35、不寫出中間變量u.例3 求 .解 原式.例4 求 .解 原式例5 求.解 原式.類似可得 .例6 求 .解 原式 .例7 求.解 原式 . 例8 求 .解 原式.注 可推廣到.例9(P.164) 求 .解 原式.類似可得 注 例5例9實際上時常用的積分，故應(yīng)補(bǔ)充到基本積分公式表中， (16) ； (17) ； (18) ； (19) ；(20) ； (21) ；(22) .注 湊微法是計算不定積分時使用頻率最高的一種技巧，使用它的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)的微分形式，常用的可參見P.137，也可只記微分形式：， ， ， ， ， , ， ，, ,還有一些常用，但難度較大的，如 ， ， ， ，例10 求.

36、解 原式 .例11 求.解 原式.例12 求.解 原式.例13 求.解 原式 .例14 求.解 原式.例15 求.解 原式.例16 求.解 原式.例17 求.解 原式.例18 求.解 原式.二、第二換元法第一換元法雖然應(yīng)用相當(dāng)廣泛，但對于某些積分就不適用，如， ，等，為此介紹第二換元法。先看一個引例. 例1 求. 解 此積分的困難是分母含有根式，能否通過變換把根式去掉? 如果設(shè)，則，于是，=.回顧一下上面的解題過程: 對不能用基本公式及第一換元法求解的不定積分， 選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q， 將變成，而后者可用基本公式或第一換元法求得換元； 求出積分后，再以的反函數(shù)回代成原積分變量x, 即得所求積分的結(jié)果

37、還原.這就是第二換元積分法，用定理表述如下定理2 設(shè) 是單調(diào)可微的函數(shù)，并且，又設(shè)具有原函數(shù)，則是的原函數(shù)，且有換元公式=.證 設(shè)的原函數(shù)為, 由條件可知有反函數(shù). 由復(fù)合函數(shù)和反函數(shù)求導(dǎo)公式得復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 =.這表明 是的原函數(shù)，所以. 注 上式表明 ， 故又稱“拆微法”. 第二換元法的應(yīng)用步驟： .例2 求 .解 將被積函數(shù)有理化，為此消去根式，設(shè)，則，于是原式.例3 求.解 利用三角變換去根式：令，則 ，于是 原式，為把t回代成x的函數(shù)，根據(jù)作一輔助直角三角形如圖4-2，可知 ，代入上式得 . 圖4-2例4 求. 解 類似上例，根據(jù)令，則，于是 原式， 圖4-3為代回原積分變量，由作

38、輔助三角形如圖4-3，可得 ，代入上式得.例5 求 . 解 被積函數(shù)的定義域為 (-, a )( a, +)， 當(dāng)x >時，令 ，則，于是， 由 ，作輔助三角形如圖4-4，得 原式. 圖4-4當(dāng)x < -時，可作同樣代換，只是/ 2 < t <，積分結(jié)果相同。注 使用第二換元法的關(guān)鍵是尋找積分變量x的一個合適的代換 ，常用的積分變量代換有 被積函數(shù)中含有 積分變量代換 ； 或； 或 ； 或 注 例2、例78、例1315作為公式記住會給計算不定積分帶來方便（參見P.147(14)(21)）； 當(dāng)被積函數(shù)中含有 時，可先配方化為上述類型，再作相應(yīng)的變量代換，也可直接用公式.

39、 如例6 求.解 原式.例7 求.解 原式 .例8 求.解 原式 . 例9 求.解 為去掉被積函數(shù)中的根式，取根次數(shù)2與3的最小公倍數(shù)6，令，則，原式.小結(jié) 實際上兩個換元法建立的是同一個公式，就是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則在不定積分中的相應(yīng)公式，將這個公式雙向使用分別就是兩個換元法：.三、 分部積分法類似地思想方法，利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則在不定積分中的對映公式可以得到另一個基本積分法分部積分法： 定理3 設(shè)函數(shù)、有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則有或簡記為 證 ， 移項得對這個等式兩邊求不定積分，得 . 上式稱為分部積分公式，若不易積分，而易積分時，分部積分法達(dá)到了由不易到易的轉(zhuǎn)化，這就是它的意義或說作用.例1 求

40、解 這個積分用換元積分法不易求得結(jié)果，現(xiàn)在試用分部積分法來求它。但是怎樣選取和呢？如果設(shè)，則，帶入分部積分公式，得原式而容易積出，所以 原式注 求這個積分時，如果設(shè)，, 則 , 于是 上式右端的積分比原積分更不容易求出.由此可見，如果和選取不當(dāng)，就求不出結(jié)果，所以應(yīng)用分部積分法時，恰當(dāng)選取和是一個關(guān)鍵，選取和一般要考慮下面兩點(diǎn)：（1）要容易求得；（2）要比容易積分.例2 求解 設(shè)，,則，于是原式.例3 求.解 設(shè)， 則，于是原式.這里比容易積出，因為前者被積函數(shù)中的冪次比后者降低了一次，由例2可知，對再使用一次分部積分法就可以了. 于是原式.注 有些不定積分需要多次使用分部積分法才可得到結(jié)果。

41、 總結(jié)上面三例可知，如果被積函數(shù)是冪函數(shù)（假定冪指數(shù)是正整數(shù)）與正（余）弦函數(shù)或與指數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)冪函數(shù)為，這樣用一次分部積分法可以使冪函數(shù)的冪次降低一次.例4 求.解 設(shè) ， 則 ， 于是.例5 求.解 設(shè) , 則 ， 于是 .注 對有的積分，常常將換元法與分部積分法結(jié)合起來使用，更易見效。 總結(jié)上面三個例子可以知道，如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或與反三角函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.例6 .解 設(shè)誰是v和d u計算難度差不多。 設(shè)， 則， 于是 原式,上式左端的積分與等式右端的積分是同一典型的，如果繼續(xù)設(shè)再計算應(yīng)出現(xiàn)循環(huán)，循環(huán)

42、有兩個可能的結(jié)果：不定積分的系數(shù)等于不等。再嘗試用一次分部積分法： 設(shè)， 則， 于是由于上式右端含所求的積分，其系數(shù)為-1，把它移到等式左端，通除以2，再加任意常數(shù)項得.注 有時應(yīng)用分部積分法會得到一個關(guān)于所求積分的方程式（產(chǎn)生循環(huán)的結(jié)果），這個方程的解再加上任意常數(shù)項即為所求積分.例7 .解 設(shè) ， 則 ，于是=- =- =- =+，于是 .四、有理函數(shù)的積分上面介紹了積分學(xué)中兩種典型的積分方法，對于某些特殊類型的被積函數(shù)的積分，如有理函數(shù)、三角函數(shù)的有理式等，通過恒等變形，就可應(yīng)用上述方法進(jìn)行求解.1.有理函數(shù)的不定積分由兩個多項式函數(shù)的商構(gòu)成的函數(shù)稱為有理函數(shù)，形如，其中為非負(fù)整數(shù)，都是