CH習(xí)題及答案

1、1.1 已知、為樣本空間上的三個事件，試用，的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件：（1）發(fā)生，與不發(fā)生；（2）、都發(fā)生；（3）、中至少有一個發(fā)生；（4）、不多于兩個發(fā)生；解：（1）發(fā)生，與不發(fā)生表示為：（2）、都發(fā)生表示為：（3）、中至少有一個發(fā)生表示為：（4）、不多于兩個發(fā)生表示為：1.2 已知樣本空間，事件，寫出下列事件的表達(dá)式：（1）；（2）； （3）；（4）；解：（1）（2） （3）（4）1.3 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)是將一枚硬幣拋兩次，觀察正面，反面出現(xiàn)的情況，試分析它的樣本空間、事件與概率。解：樣本空間：各種事件組成集合：顯然，其中的事件是樣本的的各種組合。，為事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)。1.4 設(shè)A、B與C是建立

2、在樣本空間上的事件，試證明：證明：已知加法公式1.5 已知事件，相互獨(dú)立，試證明：（1）和相互獨(dú)立；（2）和相互獨(dú)立； （3）和相互獨(dú)立；解：事件，相互獨(dú)立，即（1）由事件的運(yùn)算及其對應(yīng)的概率關(guān)系： ，所以和相互獨(dú)立（2）由事件的運(yùn)算及其對應(yīng)的概率關(guān)系： ，所以和相互獨(dú)立（3）由事件的運(yùn)算及其對應(yīng)的概率關(guān)系： ，所以和相互獨(dú)立1.6 有四批零件，第一批有2000個零件，其中5%是次品。第二批有500個零件，其中40%是次品。第三批和第四批各有1000個零件，次品約占10%。我們隨機(jī)地選擇一個批次，并隨機(jī)地取出一個零件。（1） 問所選零件為次品的概率是多少？（2） 發(fā)現(xiàn)次品后，它來自第二批的概率

3、是多少？解：（1）用表示第批的所有零件組成的事件，用表示所有次品零件組成的事件。由全概率公式：（2）發(fā)現(xiàn)次品后，它來自第二批的概率為（由貝葉斯率公式），1.7 一個電子系統(tǒng)為5個用戶服務(wù)。若一個用戶使用系統(tǒng)時，系統(tǒng)輸出功率為0.6W，而且各用戶獨(dú)立使用系統(tǒng)，使用概率均為0.3。（1） 求電子系統(tǒng)輸出功率的概率分布；（2） 系統(tǒng)輸出大于2W時，系統(tǒng)過載，求其過載的概率。解：設(shè)系統(tǒng)輸出功率，5個用戶中實(shí)際使用系統(tǒng)的用戶數(shù)目為，則，的可能取值集合為。每個用戶使用系統(tǒng)的概率為；不使用系統(tǒng)的概率為。各個用戶是否使用系統(tǒng)彼此是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。因此，是二項(xiàng)式分布的隨機(jī)變量。所以，（1）系統(tǒng)輸出功率的概率分布為，

4、（2）輸出功率大于2W，只有兩種情況：和。因此，1.8 有朋自遠(yuǎn)方來，她乘火車、輪船、汽車或飛機(jī)來的概率分別是0.3、0.2、0.1和0.4。如果她乘火車、輪船或汽車來，遲到的概率分別是0.25、0.4和0.1，乘飛機(jī)來則不會遲到。結(jié)果她遲到了，問她最可能搭乘的是哪種交通工具？解：設(shè)乘火車、輪船、汽車、飛機(jī)來的事件分別表示為A1、A2、A3、A4，遲到事件為E則 由貝葉斯率公式可以計(jì)算出四個后驗(yàn)概率：最大，故她最可能坐的是輪船。1.9 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的分布律為123求的概率密度和分布函數(shù)，并給出圖形。解： 1.10 設(shè)隨機(jī)變量的絕對值不大于1，它在區(qū)間上均勻分布，且與。求：（1）的概率密度和分布函

5、數(shù)，并給出圖形；（2）解：（1）已知，其中，則又因?yàn)樗趨^(qū)間上均勻分布，所以（2）由條件可知1.11 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，求:(1)系數(shù)；（2）其分布函數(shù)。解：（1）由所以（2）所以的分布函數(shù)為1.12 某生產(chǎn)線制造的電阻器，必須滿足容許偏差10%的要求。實(shí)際生產(chǎn)的電阻器阻值不可能每次都是精確的，而是隨機(jī)變化的。實(shí)際生產(chǎn)的電阻器阻值概率分布滿足。求該電阻器的報廢率是多少？生產(chǎn)個電阻，平均報廢的電阻器是多少？解：生產(chǎn)電阻器的阻值是隨機(jī)量，報廢的電阻器的電阻值滿足或。因此，生產(chǎn)電阻器的報廢率為：隨機(jī)變量的概率密度是則于是生產(chǎn)個電阻器平均廢品數(shù)目為，。1.13 某汽車站每天有1000輛汽車進(jìn)

6、出，而每輛汽車每天平均發(fā)生事故的概率為0.0001，問一天內(nèi)汽車站出事故的次數(shù)大于1的概率是多少？ 解：設(shè)每輛汽車每天平均發(fā)生事故的概率表示為，一天內(nèi)汽車站出事故的次數(shù)，N是一個二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量，則一天內(nèi)汽車站出事故的次數(shù)大于1的概率是：1.14 若隨機(jī)變量與的聯(lián)合分布律為 YX-10100.070.180.1510.080.320.20求：（1）與的聯(lián)合分布函數(shù)與密度函數(shù)；（2）與的邊緣分布律；（3）的分布律；（4）與的相關(guān)系數(shù)。解：（1）與的聯(lián)合分布函數(shù)與密度函數(shù)為（2）的分布律為的分布律為（3）的分布律為（4）因?yàn)閯t與的相關(guān)系數(shù)，可見它們無關(guān)。1.15 設(shè)高斯隨機(jī)變量作用于一個電平的量

7、化器，其量化特性如題圖1.15所示。試求輸出隨機(jī)變量的分布律。題圖1.15解：由量化器的輸入輸出特性可知，輸入的連續(xù)型高斯隨機(jī)變量通過量化器之后變?yōu)殡x散型隨機(jī)變量，并滿足如下關(guān)系：于是，同理， 1.16 設(shè)隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立，。（1） 求隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度；（2） 隨機(jī)變量與是否相互獨(dú)立？解：（1）隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為由反函數(shù) ， （2）由于, 所以隨機(jī)變量與相互獨(dú)立。1.17 半波整流器的輸出與輸入之間的數(shù)學(xué)模型可以表示為如題圖1.17所示。若已知輸入隨機(jī)變量的概率密度與分布函數(shù)分別為和，試求輸出的概率密度函數(shù)。解：圖題1.17 半波整流器由已知于是，1. 如果，由于始終有，因此事

8、件是不可能事件，所以，2. 如果，事件等同于事件，于是，注意到在將有一個跳躍型間斷點(diǎn)，跳躍幅度。因此，1.18 已知隨機(jī)變量的可能取值為，且每個值出現(xiàn)的概率均為。求（1）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差；（2）隨機(jī)變量的概率密度； （3）的數(shù)學(xué)期望和方差；解：（1）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差（2）隨機(jī)變量的概率密度（3）的數(shù)學(xué)期望和方差1.19 整數(shù)型隨機(jī)變量與獨(dú)立，求的分布。解：對于整數(shù)型隨機(jī)變量與，其分布律可表示為。令，則其中利用與相互獨(dú)立。我們知道離散型卷積公式為類似地，我們可以將分布律寫成卷積1.20 設(shè)服務(wù)器由兩個相互獨(dú)立的子服務(wù)器和聯(lián)接而成，的壽命分別服從參數(shù)為的指數(shù)分布，兩個子服務(wù)器的聯(lián)接

9、方式有（1）串聯(lián)；（2）并聯(lián)；（3）備用。試分別求出系統(tǒng)壽命的概率密度。解：（1）串聯(lián)：兩臺必須都正常，于是。由于（2）并聯(lián)：只要有一臺正常，于是（3）備用：兩臺接替使用，于是1.21 已知對隨機(jī)變量與，有，又設(shè)，試求，和。解：首先，。又因?yàn)椤Ｓ谑牵?.22 若隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合密度函數(shù)為 判斷X與Y是否正交、無關(guān)與獨(dú)立。解： 故X與Y不正交。X與Y的邊緣密度函數(shù)分別為故X與Y獨(dú)立，因而X與Y也不相關(guān)。1.23 若隨機(jī)變量與的聯(lián)合密度函數(shù)為求：（1）與的邊緣分布律；（2）與的獨(dú)立性；（3）。 解： （1）的邊緣概率密度的邊緣概率密度（2）由于，則與不獨(dú)立。（3）于是1.24 已知隨機(jī)變量服從

10、上的均勻分布。隨機(jī)變量服從上的均勻分布，試求（1） ；解：（1）對有，（2）1.25 試證明條件期望基本性質(zhì)：證明：1.26 設(shè)太空梭飛行中，宇宙粒子進(jìn)入其儀器艙的數(shù)目服從參數(shù)為泊松分布。進(jìn)艙后每個粒子造成損壞的概率為p，彼此獨(dú)立。求：造成損壞的粒子平均數(shù)目。解：每個粒子是否造成損壞用表示造成損壞的粒子數(shù)，于是可合理地認(rèn)為和是獨(dú)立的，于是1.27 若隨機(jī)變量X的概率特性如下，求其相應(yīng)的特征函數(shù)： （1）為常數(shù)c，即； （2）參數(shù)為2的泊松分布；（3）（1，1）伯努利分布：（4）指數(shù)分布：解：（1），如果c=0，則。（2）（3）（4）1.28 隨機(jī)變量彼此獨(dú)立；且特征函數(shù)分別為，求下列隨機(jī)變量的

11、特征函數(shù)：（1）； （2）； （3）； （4）； 解：（1）（2）同（1），（3） （4）1.29 隨機(jī)變量X具有下列特征函數(shù)，求其概率密度函數(shù)、均值、均方值與方差。（1）； （2）； （3）； （4）； 解：（1）（2）（3）利用傅里葉變換公式，可知這是指數(shù)分布，。（4），利用傅里葉變換公式，可知這是均勻分布，, ,。1.30 利用傅立葉變換推導(dǎo)均勻分布的特征函數(shù)。解：設(shè)隨機(jī)變數(shù)服從均勻分布，由于是寬度為，高度為，中心在處的矩形函數(shù)。其傅立葉變換為因此，1.31 給定線性變換，證明證：由特征函數(shù)的定義1.32 利用特征函數(shù)的唯一性，證明：若高斯隨機(jī)變量，相互獨(dú)立，并且，則也是高斯的。證：因?yàn)殡S機(jī)變量的特征函數(shù)為，由于相互獨(dú)立，所以該形式說明，必然是高斯的，且。1.33 設(shè)有高斯隨機(jī)變量，試?yán)秒S機(jī)變量的矩發(fā)生特性證明： 解：特征函數(shù)為，由矩發(fā)生性質(zhì)，1.34 已知隨機(jī)變量，的聯(lián)合特征函數(shù)為求：（1）隨機(jī)變量的特征函數(shù)；（2）隨機(jī)變量的期望和方差；解： (1) 隨機(jī)變量的特征函數(shù)：（2）隨機(jī)變量的特征函數(shù)：1.35 計(jì)算機(jī)在進(jìn)行某種加法時，將每個加數(shù)舍入最靠近它的整數(shù)，假設(shè)所有舍入誤差是獨(dú)立的，且在服從均勻分布。（1） 若將