從《周髀算經(jīng)》看古代數(shù)學(xué)水平

1、從周髀算經(jīng)看古代數(shù)學(xué)水平西周時期的數(shù)學(xué)水平怎么樣，我們今天已無法看到，從古代典籍中所留下來的一些記載來看，數(shù)學(xué)并不是學(xué)習(xí)中的主要內(nèi)容，與禮、樂、射、御相比，其所占的比例十分小，不僅此時如此，即在整個知識體系和學(xué)術(shù)思想中，像數(shù)學(xué)這樣的自然科學(xué)也沒有清晰的面目，它們通常被劃歸于“數(shù)術(shù)類”?！皵?shù)術(shù)類”是個很龐雜的門類，它包括很多我們今天歸為自然科學(xué)的知識，如數(shù)學(xué)、地理、天文等，也包括一些巫術(shù)的內(nèi)容，比如占卜、符瑞、天象、風(fēng)水等。二者是混合在一起的，有些分類在今天看來是十分荒謬的。舉個例子來說，比如“符瑞”這個門類，其中往往記載日蝕、月食、彗星、隕星等天文現(xiàn)象，在古人那里這屬于災(zāi)異，是兇兆，而不是天文

2、學(xué)知識。這是我們知識體系上的差別造成的，而不是知識本身的不同。雖然數(shù)學(xué)在古時，其內(nèi)容和水平有限，但這并不意味著，這一門知識不重要，不發(fā)達(dá)，相反，數(shù)學(xué)的運(yùn)用十分廣泛，在某些方面的成就甚至超出了我們的想象，幾乎可以用超級早熟來形容，這就是天算。按照周禮的規(guī)定，周天子要在新年伊始頒發(fā)日歷，以確立農(nóng)時。歷法的制定除了天文觀測積累經(jīng)驗外，更多的要靠數(shù)學(xué)運(yùn)算。而這個運(yùn)算過程相當(dāng)復(fù)雜。在古代流傳下來一本書，叫做周髀算經(jīng)，它是一部以蓋天說為中心的天文學(xué)著作，年代無法準(zhǔn)確估算，其上限甚至可以追溯到西周初年，其下限或許可以定在西漢初期，即公元前二世紀(jì)前期。這本書中涉及到很多數(shù)學(xué)知識，大體上保留了先秦時代的知識。這

3、本書開篇就討論直三角形，演說勾股定理。這里我們不妨引用一段書中的內(nèi)容。（采自李約瑟中國科學(xué)技術(shù)史第三卷“數(shù)學(xué)”，中譯本。）從前，周公問商高說：“我聽說，大夫（指商高）很精通數(shù)的藝術(shù)。是不是可請您談?wù)?，古代伏羲是怎樣確定天球的度數(shù)的?天是沒有一種梯子能登攀得上的，地也無法用尺子來測量。因此我很想問問您，這些數(shù)字是從哪里來的?”商高回答說：“數(shù)的藝術(shù)是從圓形和方形開始的。圓形出自方形，而方形則出自矩形（字面上即指丁字尺或木工用的曲尺）。矩形出自9×9=81這個事實（即乘法表或數(shù)的諸如此類的性質(zhì)）。設(shè)把一個矩形沿對角線切開，讓寬等于3個單位，長等于4個單位。這樣，兩個對角之間的對

4、角線的長度就等于5單位?，F(xiàn)在用這條對角線作為邊長畫一個正方形，再用幾個同外面那個半矩形相似的半矩形把這個這個正方形圍起來，形成一個方形盤。這樣，外面那四個寬為3、長為4、對角線為5的半矩形，合在一起便構(gòu)成兩個矩形，總面積等于24;然后從方形盤的總面積49減去24，便得到余數(shù)25。這種方法成為’積矩’。大禹所用的治天下的方法，就是從這些數(shù)字發(fā)展出來的。”周公感嘆說：“數(shù)這門藝術(shù)真是了不起啊!我想再請教應(yīng)用直角三角形（字面上指丁字尺）的道理?！鄙谈呋卮鹫f：“使直角三角形平臥在地上，可以用繩子設(shè)計出平直的和方形的工程。把直角三角形豎立起來，可以測量高度。倒立的

5、直角三角形可用來測量深淺，而平放的直角三角形則可用來測出距離?！薄白屩苯侨切涡D(zhuǎn)（規(guī)），可以畫出圓形，把幾個直角三角形合在一起，可以得到正方形和長方形。方形屬于地，而圓形則屬于天，所以天是圓的，而地則是方的。方形的數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)，從方形的數(shù)可以推出圓形的大小來?！薄疤煜胍粋€笠子。天的顏色是藍(lán)的和黑的，地的顏色是黃的和紅的?？梢杂靡粋€按照天的數(shù)之稱的圓盤來表示天，朝上的一面像外表面一樣，是藍(lán)色和黑色的;朝下的一面像內(nèi)表面一樣，是紅色和黃色的，這就把天和地的形象再現(xiàn)出來了?！薄皩Φ赜兴私獾娜耸锹斆魅耍鴮μ煊兴私獾娜藙t是圣人。知識出自直線，而直線則出自直角。因此，直角和數(shù)結(jié)合起來，就是指導(dǎo)和統(tǒng)治萬

6、物的東西?！敝芄锌卣f：“這確實是太妙了!”這一段文字中涉及了極為豐富的數(shù)學(xué)知識和天文知識。所謂的蓋天說，就是我們通常所說的“天圓地方”。雖然在后來的實際觀測和運(yùn)算中，太陽的軌跡和四季的變化使人們不得不訴諸于更好的天文學(xué)說，即東漢大科學(xué)家張衡主張的渾天說，但此時的認(rèn)識尚未達(dá)到。不過，讓人驚異的是，即使理論前提不怎么準(zhǔn)確，但仍然能制定出比較實用的歷法來。這是什么原因呢?對天要有認(rèn)識，便要計算天的高度，于是便推動了直角三角形理論的發(fā)展，上面文字首先說天無法實測，于是便要一個媒介，媒介就是我們?nèi)粘Ｉ钪凶钍煜げ贿^的直角三角形。這是經(jīng)驗中獲得的，雖然簡單，但運(yùn)用之妙，可謂變化無窮。就其所舉的例子，我們可以看出，古人對直角三角形的運(yùn)用是非常熟練，樹立起來就測算高度，倒立可以測算深度，放平就可以測算長度。除了借助它來計算長度距離，還可以用來計算面積，并將圓也聯(lián)系起來?，F(xiàn)在讀起來，仿佛看見古人侃侃而言，不覺相會于心，相忘于道術(shù)。這段文字中，還描述了乘法表，這表明四則運(yùn)算已經(jīng)成熟;勾股定理如今看似簡單，但隱藏在背后的卻是一個難題，這就是開放，雖然我們不能說那個時候普遍意識到開方知識，但在實際的運(yùn)算中肯定要涉及到開方。他們能總結(jié)出這個定律，說明他們已經(jīng)解決了這個難題，無論是理論