同濟大學高等數學第六版第七章微分方程ppt課件

1、暨南大學珠海學院第七章第七章 微分方程微分方程 yxfy求已知, )( 積分問題積分問題 yy求及其若干階導數的方程已知含, 微分方程問題微分方程問題 推行 第七章 暨南大學珠海學院第一節(jié)第一節(jié) 微分方程的根本概念微分方程的根本概念 與一階微分方程解法與一階微分方程解法 引例引例 第七章 暨南大學珠海學院引例引例1. 一曲線經過點(1,2) ,在該曲線上恣意點處的解解: 設所求曲線方程為設所求曲線方程為 y = y(x) , 那么有如下關系式那么有如下關系式:xxy2ddxxyd2Cx 2(C為恣意常數)由 得 C = 1,.12 xy因此所求曲線方程為21xy由 得切線斜率為 2x , 求該

2、曲線的方程 . 暨南大學珠海學院引例引例2. 列車在平直路上以列車在平直路上以sm20的速度行駛, 制動時獲得加速度,sm4 . 02a求制動后列車的運動規(guī)律.解解: 設列車在制動后設列車在制動后 t 秒行駛了秒行駛了s 米米 ,知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式兩次積分, 可得2122 . 0CtCts利用后兩式可得0,2021CC因此所求運動規(guī)律為tts202 . 02闡明闡明: 利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才利用這一規(guī)律可求出制動后多少時間列車才能停住 , 以及制動后行駛了多少路程 . 即求 s = s (t) .暨南大學珠海學院常微分方程偏微分方程含未知

3、函數及其導數的方程叫做微分方程 .方程中所含未知函數導數的最高階數叫做微分方程(本章內容)0),()(nyyyxF),() 1()(nnyyyxfy( n 階顯式微分方程)一、微分方程的根本概念一、微分方程的根本概念普通地 , n 階常微分方程的方式是的階.分類或暨南大學珠海學院,00ts200ddtts引例24 . 022ddxy 使方程成為恒等式的函數.通解通解 解中所含獨立的恣意常數的個數與方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 確定通解中恣意常數的條件.n 階方程的初始條件(或初值條件):的階數一樣.特解特解xxy2dd21xy引例1 Cxy22122

4、. 0CtCts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解 不含恣意常數的解, 定解條件定解條件 其圖形稱為積分曲線.其圖形稱為積分曲線族.暨南大學珠海學院例例1. 驗證函數驗證函數是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解,0Axt00ddttx的特解 . 解解: : 22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCkxk2這闡明tkCtkCxsincos21是方程的解 . 是兩個獨立的恣意常數,21,CC),(21為常數CCt kkCcos2102xk利用初始條件易得: ,1AC 故所求特解為tkAxcos,02C故它是方程的通解.并求滿足

5、初始條件 暨南大學珠海學院求所滿足的微分方程 .例例2. 知曲線上點知曲線上點 P(x, y) 處的法線與處的法線與 x 軸交點為軸交點為 QPQxyox解解: 如下圖如下圖, yYy1)(xX 令 Y = 0 , 得 Q 點的橫坐標yyxX,xyyx即02 xyy點 P(x, y) 處的法線方程為且線段 PQ 被 y 軸平分, 暨南大學珠海學院1、可分別變量微分方程 或或 xxfyygd)(d)(可分別變量方程?？煞謩e變量方程。 )()(dd21yfxfxy形如形如的微分方程稱為的微分方程稱為解法：可分別變量方程的解法解法：可分別變量方程的解法:xxfyygd)(d)(兩邊積分, 得 yyg

6、d)(xxfd)(CxFyG)()()(yG)(xF那么有稱為方程的隱式通解.二、一階微分方程的解法二、一階微分方程的解法暨南大學珠海學院例例1. 求微分方程求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分別變量得分別變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 為恣意常數 )或闡明闡明: 在求解過程中在求解過程中每一步不一定是同解每一步不一定是同解變形變形, 因此能夠增、減解.( 此式含分別變量時喪失的解 y = 0 )暨南大學珠海學院例例2. 解初值問題解初值問題0d)1(d2yxxyx解解: 分別變量得分

7、別變量得xxxyyd1d2兩邊積分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始條件得 C = 1,112xy( C 為恣意常數 )故所求特解為 1)0(y暨南大學珠海學院例例3. 求下述微分方程的通解求下述微分方程的通解:) 1(sin2yxy解解: 令令 , 1yxu那么yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx) 1tan( C 為恣意常數 )所求通解:暨南大學珠海學院練習練習:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分別變量分別變量xeyexyddCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2, yxu令yu1則故有ueu1積分Cxeuu1dCxeu

8、u)1 (ln( C 為恣意常數 )所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1 (暨南大學珠海學院例例4. 子的含量 M 成正比,0M求在衰變過程中鈾含量 M(t) 隨時間 t 的變化規(guī)律. 解解: 根據題意根據題意, 有有)0(ddMtM00MMt(初始條件)對方程分別變量, MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始條件, 得0MC 故所求鈾的變化規(guī)律為.0teMMM0Mto然后積分:td)(知 t = 0 時鈾的含量為知放射性元素鈾的衰變速度與當時未衰變原暨南大學珠海學院例例5.成正比,求解解: 根據牛頓第二定律列方程根據牛頓第二定律列方程tvmdd00tv初始條件為對方程分別

9、變量,mtvkmgvdd然后積分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此處利用初始條件, 得)(ln1gmkC代入上式后化簡, 得特解并設降落傘分開跳傘塔時( t = 0 ) 速度為0,)1 (tmkekgmvmgvk設降落傘從跳傘塔下落后所受空氣阻力與速度 降落傘下落速度與時間的函數關系. kmgv t 足夠大時暨南大學珠海學院2、齊次方程、齊次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用xy替代 u, 便得原方程的通解.解法:分別變量: 暨南大

10、學珠海學院例例1. 解微分方程解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得uuuxutan分別變量xxuuuddsincos兩邊積分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCu sin即故原方程的通解為xCxysin( 當當 C = 0 時時, y = 0 也是方程的解也是方程的解)( C 為恣意常數 )暨南大學珠海學院例例2. 解微分方程解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解: :,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令那么有22uuuxu分別變量xxuuudd2積分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原變量得通解即Cuux

11、 )1(yCxyx)(闡明闡明: 顯然顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解也是原方程的解, 但在但在(C 為恣意常數)求解過程中喪失了. 暨南大學珠海學院3、一階線性微分方程、一階線性微分方程一階線性微分方程規(guī)范方式:)()(ddxQyxPxy假設 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy假設 Q(x) 0, 稱為非齊次方程 .1. 解齊次方程分別變量xxPyyd)(d兩邊積分得CxxPylnd)(ln故通解為xxPeCyd)(稱為齊次方程 ;暨南大學珠海學院對應齊次方程通解xxPeCyd)(齊次方程通解非齊次方程特解xxPCed)(2. 解非齊次方程)()(ddxQy

12、xPxy用常數變易法:,)()(d)(xxPexuxy那么xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作變換xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(兩端積分得暨南大學珠海學院例例1. 解方程解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解先解,012ddxyxy即1d2dxxyy積分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常數變易法求特解. 令,) 1()(2xxuy那么) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齊次方程得21) 1(

13、xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解為Cxxy232) 1(32) 1(暨南大學珠海學院4、伯努利、伯努利 ( Bernoulli )方程方程 伯努利方程的規(guī)范方式:)1,0()()(ddnyxQyxPxynny以)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd則)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程兩邊 , 得換回原變量即得伯努利方程的通解.解法解法:(線性方程)暨南大學珠海學院例例4. 求方程求方程2)ln(ddyxaxyxy的通解.解解: 令令,1 yz那么方程變形為xaxzxzlndd其通解為ez 將1 yz1)ln(

14、22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 暨南大學珠海學院一、可降階高階微分方程一、可降階高階微分方程 第七章 二、線性微分方程解的構造二、線性微分方程解的構造第二節(jié)第二節(jié)暨南大學珠海學院一、 可降階的高階微分方程 1、 型的微分方程2、 型的微分方程3、 型的微分方程)()(xfyn ),( yxfy ),( yyfy 暨南大學珠海學院1、)()(xfyn令,) 1( nyz)(ddnyxz則因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次經過 n 次積分, 可得含 n

15、 個恣意常數的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 一、可降階高階微分方程一、可降階高階微分方程 暨南大學珠海學院例例1. .cos2xeyx 求解解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此處xsin21xC32CxCxcos21CxC暨南大學珠海學院),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 設, )(xpy ,py 則原方程化為一階方程),(pxfp 設其通解為),(1Cxp那么得),(1Cxy再一次積分, 得原方程的通解21d),(CxCxy2、暨南大學珠海學院例例2. 求解求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 x

16、y解解: ),(xpy 設,py 則代入方程得pxpx2)1(2分別變量)1(d2d2xxxpp積分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy兩端再積分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解為暨南大學珠海學院3、),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 則xyypddddyppdd故方程化為),(ddpyfypp設其通解為),(1Cyp即得),(1Cyy分別變量后積分, 得原方程的通解21),(dCxCyy暨南大學珠海學院例例3. 求解求解.02 yyy代入方程得,0dd2 py

17、ppyyyppdd即兩端積分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一階線性齊次方程)故所求通解為xCeCy12解解:),(ypy 設xpydd 則xyypddddyppdd暨南大學珠海學院例例4. 解初值問題解初值問題解解: 令令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得yeppydd2積分得1221221Cepy利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據yepxydd積分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解為xey1得暨南大學珠海學院為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與 x 軸圍成的三角形面例例4.)0()(xxy設函數二階可導,

18、 且, 0)( xy)(xyy 過曲線上任一點 P(x, y) 作該曲線的切線及 x 軸的垂線,1S區(qū)間 0, x 上以,2S記為)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(xyy因為. 0)(xy所以于是cot2121yS yy222S)(xyy 設曲線在點 P(x, y) 處的切線傾角為 ,滿足的方程 ., 1)0(y積記為( 99 考研考研 )ttySxd)(02Pxy1S1oyx暨南大學珠海學院再利用 y (0) = 1 得利用,1221SS得xttyyy021d)(兩邊對 x 求導, 得2)( yyy 定解條件為)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化為

19、,ddyppy 則yyppdd,1yCp 解得利用定解條件得,11C, yy 再解得,2xeCy , 12C故所求曲線方程為xey 2ddpyppy12SPxy1S1oyx暨南大學珠海學院二、二、 高階線性微分方程高階線性微分方程 解的構造解的構造 1、二階線性微分方程、二階線性微分方程 第七章 暨南大學珠海學院的方程，叫二階線性微分方程。的方程，叫二階線性微分方程。)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 時時，當當0)( xf二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程時時，當當0)( xf二階線性非齊次微分方程二階線性非齊次微分方程的方程，叫的方程，叫 n n 階線性微分方程。階線性微

20、分方程。).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 1 1、二階線性微分方程的概念、二階線性微分方程的概念形如形如普通地，形如普通地，形如二、 高階線性微分方程解的構造 暨南大學珠海學院 )(11yCxP )(11yCxQ0證畢2、線性齊次方程解的構造、線性齊次方程解的構造)(),(21xyxy若函數是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個解,也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理) )()(2211xyCxyCy

21、則),(21為任意常數CC定理定理1.暨南大學珠海學院闡明闡明:不一定是所給二階方程的通解.例如,)(1xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy那么為處理通解的判別問題, 下面引入函數的線性相關與 線性無關概念. 暨南大學珠海學院定義定義:)(,),(),(21xyxyxyn設是定義在區(qū)間 I 上的 n 個函數,21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211那么稱這 n個函數在 I 上線性相關, 否那么稱為線性無關.例如， ,sin,cos,122xx

22、在( , )上都有0sincos122xx故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關;又如，,12xx假設在某區(qū)間 I 上,02321xkxkk那么根據二次多項式至多只需兩個零點 ,321,kkk必需全為 0 ,可見2,1xx故在任何區(qū)間 I 上都 線性無關.假設存在不全為 0 的常數暨南大學珠海學院兩個函數在區(qū)間 I 上線性相關與線性無關的充要條件:)(),(21xyxy線性相關存在不全為 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無妨設)01k)(),(21xyxy線性無關)()(21xyxy常數思索思索:)(),(21xyxy若中有一個恒為 0, 那么)(

23、),(21xyxy必線性相關相關0)()()()(2121xyxyxyxy(證明略)21, yy可微函數線性無關暨南大學珠海學院定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個線性無關特解, 那么)()(2211xyCxyCy數) 是該方程的通解.例如例如, 方程方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數,故方程的通解為xCxCysincos21推論推論. nyyy,21若是 n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 個線性無關解, 那么方程的通解為)(11為任意常數knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC暨南大

24、學珠海學院3、線性非齊次方程解的構造、線性非齊次方程解的構造 )(* xy設是二階非齊次方程的一個特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應齊次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 那么是非齊次方程的通解 .證證: 將將)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ暨南大學珠海學院)(*)(xyxYy故是非齊次方程的解, 又Y 中含有兩個獨立恣意常數,例如例如, 方程方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對應齊次方程0 yy有通解因此該方

25、程的通解為xxCxCysincos21證畢因此 也是通解 .暨南大學珠海學院定理定理 4.), ,2, 1()(nkxyk設分別是方程的特解,是方程),2, 1()()()(nkxfyxQyxPyk nkkyy1則)()()(1xfyxQyxPynkk 的特解. (非齊次方程之解的疊加原理) 定理3, 定理4 均可推行到 n 階線性非齊次方程. 暨南大學珠海學院定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn設是對應齊次方程的 n 個線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無關特解, 給定 n 階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyx

26、Y)(* xy是非齊次方程的特解, 那么非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解暨南大學珠海學院常數, 那么該方程的通解是 ( ).321,yyy設線性無關函數都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是恣意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是對應齊次方程的解,二者線性無關 . (反證法可證)3322311)()()(yyyCyyCC(89 考研考研 )3322311)()()(yyyCyyCD暨南大學珠

27、海學院例例4. 知微分方程知微分方程)()()(xfyxqyxpy 個解,2321xxeyeyxy求此方程滿足初始條件3)0(, 1)0(yy的特解 .解解:1312yyyy與是對應齊次方程的解, 且xexeyyyyxx21312常數因此線性無關, 故原方程通解為)()(221xeCxeCyxxx代入初始條件, 3)0(, 1)0(yy,2, 121CC得.22xxeey故所求特解為有三 暨南大學珠海學院第三節(jié)常系數齊次線性微分方程常系數齊次線性微分方程 第七章 暨南大學珠海學院二階常系數齊次線性微分方程:),(0為常數qpyqypy xrey 和它的導數只差常數因子,代入得0)(2xre q

28、prr02qrpr稱為微分方程的特征方程,1. 當042qp時, 有兩個相異實根,21r ,r方程有兩個線性無關的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解為xrxreCeCy2121( r 為待定常數 ),xrer函數為常數時因為,所以令的解為 那么微分其根稱為特征根.暨南大學珠海學院2. 當042qp時, 特征方程有兩個相等實根21rr 那么微分方程有一個特解)(12xuyy 設另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 那么得,12xrexy 因此原方程的通解為xrexCCy1)

29、(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru暨南大學珠海學院3. 當042qp時, 特征方程有一對共軛復根irir21,這時原方程有兩個復數解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解為)sincos(21xCxCeyx暨南大學珠海學院總結總結:),(0為常數qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 實根 221prrxrexCCy1)

30、(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上結論可推行到高階常系數線性微分方程 .二階常系數齊次線性微分方程:暨南大學珠海學院假設特征方程含 k 反復根,ir假設特征方程含 k 重實根 r , 那么其通解中必含對應項xrkkexCxCC)(121xxCxCCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk那么其通解中必含對應項)(01) 1(1)(均為常數knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均為任意常數以上iiDC推行推行: :暨南大學珠海學院例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程特征方程, 0322rr特征

31、根:,3,121rr因此原方程的通解為xxeCeCy321例例2. 求解初值問題求解初值問題0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解為tetCCs)(21利用初始條件得, 41C于是所求初值問題的解為tets)24(22C暨南大學珠海學院第四節(jié) 第七章 常系數非齊次線性微分方程常系數非齊次線性微分方程 型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、暨南大學珠海學院)(xfyqypy ),(為常數qp二階常系數線性非齊次微分方程 :根據解的構造定理 , 其通解為Yy *y非齊次方

32、程特解齊次方程通解求特解的方法根據 f (x) 的特殊方式 ,*y給出特解的待定方式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數 . 待定系數法暨南大學珠海學院( )( )xmf xePx 型型那么有形如的特解，其中其中 為實數 ,)(xPm為 m 次多項式 .此結論可推行到高階常系數線性微分方程 .當 是特征方程的 k 重根 時, k=0,1,2一、一、 *( )kxmyx Qx e( ) xmypyqyeP x待定多項式 .( )mQx為 m 次對非齊次方程暨南大學珠海學院例例1.1332 xyyy求方程的一個特解.解解: 此題此題而特征方程為,0322 rr不是特征方程的根 .設所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0暨南大學珠海學院例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 此題此題特征方程為,0652 rr其根為對應齊次方程的通解為xxeCeCY3221設非齊次方程特解為xebxbxy210)(*比較系數, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解為.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解