專題八閱讀理解型問題

1、專題八 閱讀理解型問題一、中考專題詮釋閱讀理解型問題在近幾年的全國中考試題中頻頻“亮相”，特別引起我們的重視.這類問題一般文字?jǐn)⑹鲚^長，信息量較大，各種關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，考查的知識也靈活多樣，既考查學(xué)生的閱讀能力，又考查學(xué)生的解題能力的新穎數(shù)學(xué)題. 二、解題策略與解法精講解決閱讀理解問題的關(guān)鍵是要認(rèn)真仔細(xì)地閱讀給定的材料，弄清材料中隱含了什么新的數(shù)學(xué)知識、結(jié)論，或揭示了什么數(shù)學(xué)規(guī)律，或暗示了什么新的解題方法，然后展開聯(lián)想，將獲得的新信息、新知識、新方法進(jìn)行遷移，建模應(yīng)用，解決題目中提出的問題.三、中考考點(diǎn)精講考點(diǎn)一： 閱讀試題提供新定義、新定理，解決新問題例1 （2013六盤水）閱讀材料：關(guān)于三角

2、函數(shù)還有如下的公式：sin（±）=sincos±cosasin；tan（±）= 。利用這些公式可以將一些不是特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來求值例：tan15°=tan（45°-30°）= = =2-。根據(jù)以上閱讀材料，請選擇適當(dāng)?shù)墓浇獯鹣旅鎲栴}（1）計(jì)算：sin15°；（2）烏蒙鐵塔是六盤水市標(biāo)志性建筑物之一（圖1），小華想用所學(xué)知識來測量該鐵塔的高度，如圖2，小華站在離塔底A距離7米的C處，測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，小華的眼睛離地面的距離DC為1.62米，請幫助小華求出烏蒙鐵塔的高度（精確到0.1米，參

3、考數(shù)據(jù)=1.732， =1.414）思路分析：（1）把15°化為45°-30°以后，再利用公式sin（±）=sincos±cosasin計(jì)算，即可求出sin15°的值；（2）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長，再根據(jù)AB=AE+BE即可得出結(jié)論解：（1）sin15°=sin（45°-30°）=sin45°cos30°-cos45°sin30°=；（2）在RtBDE中，BED=90°，BDE=75°，DE=AC=7米，BE=DEtanBDE=DE

4、tan75°tan75°=tan（45°+30°）= = =2+。BE=7（2+）=14+7，AB=AE+BE=1.62+14+727.7（米）答：烏蒙鐵塔的高度約為27.7米點(diǎn)評：本題考查了：（1）特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，屬于新題型，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目中所給信息結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值來求解（2）解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出BE的長是解題的關(guān)鍵對應(yīng)訓(xùn)練1（2013沈陽）定義：我們把三角形被一邊中線分成的兩個(gè)三角形叫做“友好三角形”性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形是“友好三角形”，那么這兩個(gè)三角形的面積相等理解：如圖，在ABC中，

5、CD是AB邊上的中線，那么ACD和BCD是“友好三角形”，并且SACD=SBCD應(yīng)用：如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上，AE=BF，AF與BE交于點(diǎn)O（1）求證：AOB和AOE是“友好三角形”；（2）連接OD，若AOE和DOE是“友好三角形”，求四邊形CDOF的面積探究：在ABC中，A=30°，AB=4，點(diǎn)D在線段AB上，連接CD，ACD和BCD是“友好三角形”，將ACD沿CD所在直線翻折，得到ACD，若ACD與ABC重合部分的面積等于ABC面積的，請直接寫出ABC的面積1分析：（1）利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，得到四邊形ABFE

6、是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證得OE=OB，即可證得AOE和AOB是友好三角形；（2）AOE和DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中點(diǎn)，則可以求得ABE、ABF的面積，根據(jù)S四邊形CDOF=S矩形ABCD-2SABF即可求解探究：畫出符合條件的兩種情況：求出四邊形ADCB是平行四邊形，求出BC和AD推出ACB=90°，根據(jù)三角形面積公式求出即可；求出高CQ，求出ADC的面積即可求出ABC的面積解答：（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC，AE=BF，四邊形ABFE是平行四邊形，OE=OB，AOE和AOB是友好三角形（2）解：AOE和DOE是友好三角形，SAOE=S

7、DOE，AE=ED=AD=3，AOB與AOE是友好三角形，SAOB=SAOEAOEFOB，SAOE=SFOB，SAOD=SABF，S四邊形CDOF=S矩形ABCD-2SABF=4×6-2××4×3=12探究：解：分為兩種情況：如圖1，SACD=SBCDAD=BD=AB，沿CD折疊A和A重合，AD=AD=AB=×4=2，ACD與ABC重合部分的面積等于ABC面積的，SDOC=SABC=SBDC=SADC=SADC，DO=OB，AO=CO，四邊形ADCB是平行四邊形，BC=AD=2，過B作BMAC于M，AB=4，BAC=30°，BM=AB

8、=2=BC，即C和M重合，ACB=90°，由勾股定理得：AC=2，ABC的面積是×BC×AC=×2×2=2；如圖2，SACD=SBCDAD=BD=AB，沿CD折疊A和A重合，AD=AD=AB=×4=2，ACD與ABC重合部分的面積等于ABC面積的，SDOC=SABC=SBDC=SADC=SADC，DO=OA，BO=CO，四邊形ADCB是平行四邊形，BD=AC=2，過C作CQAD于Q，AC=2，DAC=BAC=30°，CQ=AC=1，SABC=2SADC=2SADC=2××AD×CQ=2×

9、;×2×1=2；即ABC的面積是2或2點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，三角形的面積，勾股定理的應(yīng)用，解這個(gè)題的關(guān)鍵是能根據(jù)已知題意和所學(xué)的定理進(jìn)行推理題目比較好，但是有一定的難度考點(diǎn)二、閱讀試題信息，歸納總結(jié)提煉數(shù)學(xué)思想方法例2 （2013齊齊哈爾）在國道202公路改建工程中，某路段長4000米，由甲乙兩個(gè)工程隊(duì)擬在30天內(nèi)（含30天）合作完成，已知兩個(gè)工程隊(duì)各有10名工人（設(shè)甲乙兩個(gè)工程隊(duì)的工人全部參與生產(chǎn)，甲工程隊(duì)每人每天的工作量相同，乙工程隊(duì)每人每天的工作量相同），甲工程隊(duì)1天、乙工程隊(duì)2天共修路200米；甲工程隊(duì)2天，乙工程隊(duì)3天共修路350米（1）試問甲乙兩

10、個(gè)工程隊(duì)每天分別修路多少米？（2）甲乙兩個(gè)工程隊(duì)施工10天后，由于工作需要需從甲隊(duì)抽調(diào)m人去學(xué)習(xí)新技術(shù)，總部要求在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成，請問甲隊(duì)可以抽調(diào)多少人？（3）已知甲工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為0.6萬元，乙工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為0.35萬元，要使該工程的施工費(fèi)用最低，甲乙兩隊(duì)需各做多少天？最低費(fèi)用為多少？思路分析：（1）設(shè)甲隊(duì)每天修路x米，乙隊(duì)每天修路y米，然后根據(jù)兩隊(duì)修路的長度分別為200米和350米兩個(gè)等量關(guān)系列出方程組，然后解方程組即可得解；（2）根據(jù)甲隊(duì)抽調(diào)m人后兩隊(duì)所修路的長度不小于4000米，列出一元一次不等式，然后求出m的取值范圍，再根據(jù)m是正整數(shù)解答；（3）設(shè)甲工程隊(duì)修a天，乙工程

11、隊(duì)修b天，根據(jù)所修路的長度為4000米列出方程整理并用a表示出b，再根據(jù)0b30表示出a的取值范圍，再根據(jù)總費(fèi)用等于兩隊(duì)的費(fèi)用之和列式整理，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性解答解：（1）設(shè)甲隊(duì)每天修路x米，乙隊(duì)每天修路y米，依題意得，解得，答：甲工程隊(duì)每天修路100米，乙工程隊(duì)每天修路50米；（2）依題意得，10×100+20××100+30×504000，解得，m，0m10，0m，m為正整數(shù)，m=1或2，甲隊(duì)可以抽調(diào)1人或2人；（3）設(shè)甲工程隊(duì)修a天，乙工程隊(duì)修b天，依題意得，100a+50b=4000，所以，b=80-2a，0b30，080-2a30，解得2

12、5a40，又0a30，25a30，設(shè)總費(fèi)用為W元，依題意得，W=0.6a+0.35b，=0.6a+0.35（80-2a），=-0.1a+28，-0.10，當(dāng)a=30時(shí)，W最小=-0.1×30+28=25（萬元），此時(shí)b=80-2a=80-2×30=20（天）答：甲工程隊(duì)需做30天，乙工程隊(duì)需做20天，最低費(fèi)用為25萬元點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，讀懂題目信息，理清題中熟練關(guān)系，準(zhǔn)確找出等量關(guān)系與不等量關(guān)系分別列出方程組和不等式是解題的關(guān)鍵，（3）先根據(jù)總工作量表示出甲乙兩個(gè)工程隊(duì)的天數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵對應(yīng)訓(xùn)練2（2013寧波

13、）某商場銷售甲、乙兩種品牌的智能手機(jī)，這兩種手機(jī)的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示：甲乙進(jìn)價(jià)（元/部）40002500售價(jià)（元/部）43003000該商場計(jì)劃購進(jìn)兩種手機(jī)若干部，共需15.5萬元，預(yù)計(jì)全部銷售后可獲毛利潤共2.1萬元（毛利潤=（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）×銷售量）（1）該商場計(jì)劃購進(jìn)甲、乙兩種手機(jī)各多少部？（2）通過市場調(diào)研，該商場決定在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上，減少甲種手機(jī)的購進(jìn)數(shù)量，增加乙種手機(jī)的購進(jìn)數(shù)量已知乙種手機(jī)增加的數(shù)量是甲種手機(jī)減少的數(shù)量的2倍，而且用于購進(jìn)這兩種手機(jī)的總資金不超過16萬元，該商場怎樣進(jìn)貨，使全部銷售后獲得的毛利潤最大？并求出最大毛利潤2解：（1）設(shè)商場計(jì)劃購進(jìn)甲種手機(jī)x部，

14、乙種手機(jī)y部，由題意，得，解得：，答：商場計(jì)劃購進(jìn)甲種手機(jī)20部，乙種手機(jī)30部；（2）設(shè)甲種手機(jī)減少a部，則乙種手機(jī)增加2a部，由題意，得0.4（20-a）+0.25（30+2a）16，解得：a5設(shè)全部銷售后獲得的毛利潤為W元，由題意，得W=0.03（20-a）+0.05（30+2a）=0.07a+2.1k=0.070，W隨a的增大而增大，當(dāng)a=5時(shí)，W最大=2.45答：當(dāng)該商場購進(jìn)甲種手機(jī)15部，乙種手機(jī)40部時(shí)，全部銷售后獲利最大最大毛利潤為2.45萬元考點(diǎn)三、閱讀相關(guān)信息，通過歸納探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論例3 （2013連云港）小明在一次數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，對一個(gè)數(shù)學(xué)問題作如下探究：問

15、題情境：如圖1，四邊形ABCD中，ADBC，點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC的延長線于點(diǎn)F，求證：S四邊形ABCD=SABF（S表示面積）問題遷移：如圖2：在已知銳角AOB內(nèi)有一個(gè)定點(diǎn)P過點(diǎn)P任意作一條直線MN，分別交射線OA、OB于點(diǎn)M、N小明將直線MN繞著點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中發(fā)現(xiàn)，MON的面積存在最小值，請問當(dāng)直線MN在什么位置時(shí)，MON的面積最小，并說明理由實(shí)際應(yīng)用：如圖3，若在道路OA、OB之間有一村莊Q發(fā)生疫情，防疫部門計(jì)劃以公路OA、OB和經(jīng)過防疫站P的一條直線MN為隔離線，建立一個(gè)面積最小的三角形隔離區(qū)MON若測得AOB=66°，POB=30°，OP=4k

16、m，試求MON的面積（結(jié)果精確到0.1km2）（參考數(shù)據(jù)：sin66°0.91，tan66°2.25， 1.73）拓展延伸：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C、P的坐標(biāo)分別為（6，0）（6，3）（，）、（4、2），過點(diǎn)p的直線l與四邊形OABC一組對邊相交，將四邊形OABC分成兩個(gè)四邊形，求其中以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值思路分析：問題情境：根據(jù)可以求得ADEFCE，就可以得出SADE=SFCE就可以得出結(jié)論；問題遷移：根據(jù)問題情境的結(jié)論可以得出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)SMON最小，過點(diǎn)M作MGOB交EF于G由全等三角形的性質(zhì)可以得出結(jié)論；實(shí)際

17、運(yùn)用：如圖3，作PP1OB，MM1OB，垂足分別為P1，M1，再根據(jù)條件由三角函數(shù)值就可以求出結(jié)論；拓展延伸：分情況討論當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點(diǎn)M、N，延長OC、AB交于點(diǎn)D，由條件可以得出AD=6，就可以求出OAD的面積，再根據(jù)問題遷移的結(jié)論就可以求出最大值；當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N，延長CB交x軸于T，由B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式，就可以求出T的坐標(biāo)，從而求出OCT的面積，再由問題遷移的結(jié)論可以求出最大值，通過比較久可以求出結(jié)論解：問題情境：ADBC，DAE=F，D=FCE點(diǎn)E為DC邊的中點(diǎn)，DE=CE在

18、ADE和FCE中， ，ADEFCE（AAS），SADE=SFCE，S四邊形ABCE+SADE=S四邊形ABCE+SFCE，即S四邊形ABCD=SABF；問題遷移：出當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)SMON最小，如圖2，過點(diǎn)P的另一條直線EF交OA、OB于點(diǎn)E、F，設(shè)PFPE，過點(diǎn)M作MGOB交EF于G，由問題情境可以得出當(dāng)P是MN的中點(diǎn)時(shí)S四邊形MOFG=SMONS四邊形MOFGSEOF，SMONSEOF，當(dāng)點(diǎn)P是MN的中點(diǎn)時(shí)SMON最小；實(shí)際運(yùn)用：如圖3，作PP1OB，MM1OB，垂足分別為P1，M1，在RtOPP1中，POB=30°，PP1=OP=2，OP1=2由問題遷移的結(jié)論知道

19、，當(dāng)PM=PN時(shí)，MON的面積最小，MM1=2PP1=4，M1P1=P1N在RtOMM1中，tanAOB=，2.25=，OM1=，M1P1=P1N=2-，ON=OP1+P1N=2+2-=4-SMON=ONMM1=（4-）×4=8-10.3km2拓展延伸：如圖4，當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的一組對邊OC、AB分別交于點(diǎn)M、N，延長OC、AB交于點(diǎn)D，C（，），AOC=45°，AO=AD A（6，0），OA=6，AD=6SAOD=×6×6=18，由問題遷移的結(jié)論可知，當(dāng)PN=PM時(shí)，MND的面積最小，四邊形ANMO的面積最大作PP1OA，MM1OA，垂

20、足分別為P1，M1，M1P1=P1A=2，OM1=M1M=2，MNOA，S四邊形OANM=SOMM1+S四邊形ANPP1=×2×2+2×4=10如圖5，當(dāng)過點(diǎn)P的直線l與四邊形OABC的另一組對邊CB、OA分別交M、N，延長CB交x軸于T，C（，）、B（6，3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由題意，得，解得：，y=-x+9，當(dāng)y=0時(shí)，x=9，T（9，0）SOCT=××9= 由問題遷移的結(jié)論可知，當(dāng)PM=PN時(shí)，MNT的面積最小，四邊形CMNO的面積最大NP1=M1P1，MM1=2PP1=4，4=-x+9，x=5，M（5，4），OM1=5

21、P（4，2），OP1=4，P1M1=NP1=1，ON=3，NT=6SMNT=×4×6=12，S四邊形OCMN=-12=10綜上所述：截得四邊形面積的最大值為10對應(yīng)訓(xùn)練3（2013江西）某學(xué)校活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：操作發(fā)現(xiàn)：在等腰ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DFAB于點(diǎn)F，EGAC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是 （填序號即可）AF=AG=AB；MD=ME；整個(gè)圖形是軸對稱圖形；DAB=DMB數(shù)學(xué)思考：在任意ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向A

22、BC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程；類比探究：在任意ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷MED的形狀答： 等腰直角三角形思路分析：操作發(fā)現(xiàn)：由條件可以通過三角形全等和軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；數(shù)學(xué)思考：作AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得出DFMMGE，根據(jù)其性質(zhì)就可以得出結(jié)論；類比探究：作AB、A

23、C的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)K可以得出DFMMGE，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；解：操作發(fā)現(xiàn)：ADB和AEC是等腰直角三角形，ABD=DAB=ACE=EAC=45°，ADB=AEC=90°在ADB和AEC中，ADBAEC（AAS），BD=CE，AD=AE，DFAB于點(diǎn)F，EGAC于點(diǎn)G，AF=BF=DF=AB，AG=GC=GE=ACAB=AC，AF=AG=AB，故正確；M是BC的中點(diǎn)，BM=CMAB=AC，ABC=ACB，ABC+ABD=ACB+ACE，即DBM=ECM在DBM和ECM中，DBMECM（SAS

24、），MD=ME故正確；如圖，連接AM，根據(jù)前面的證明可以得出將圖形1，沿AM對折左右兩部分能完全重合，整個(gè)圖形是軸對稱圖形，故正確AB=AC，BM=CM，AMBC，AMB=AMC=90°，ADM=90°，四邊形ADBM四點(diǎn)共圓，AMD=ABD=45°AM是對稱軸，AME=AMD=45°，DME=90°，MDME，故正確，故答案為：數(shù)學(xué)思考：MD=ME，MDME理由：如圖，作AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，AF=AB，AG=ACABD和AEC是等腰直角三角形，DFAB，DF=AB，EGAC，EG=AC，AFD=AGE=90&#

25、176;，DF=AF，GE=AGM是BC的中點(diǎn)，MFAC，MGAB，四邊形AFMG是平行四邊形，AG=MF，MG=AF，AFM=AGMMF=GE，DF=MG，AFM+AFD=AGM+AGE，DFM=MGE在DFM和MGE中，DFMMGE（SAS），DM=ME，F(xiàn)DM=GMEMGAB，GMH=BHMBHM=90°+FDM，BHM=90°+GME，BHM=90°+GME，BHM=DME+GME，DME+GME=90°+GME，即DME=90°，MDMEDM=ME，MDME；類比探究：如圖3，點(diǎn)M、F、G分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，MFAC，MF=

26、AC，MGAB，MG=AB，四邊形MFAG是平行四邊形，MG=AF，MF=AGAFM=AGMADB和AEC是等腰直角三角形，DF=AF，GE=AG，AFD=BFD=AGE=90°MF=EG，DF=MG，AFM-AFD=AGM-AGE，即DFM=MGE在DFM和MGE中，DFMMGE（SAS），MD=ME，MDF=EMGMGAB，MHD=BFD=90°，HMD+MDF=90°，HMD+EMG=90°，即DME=90°，DME為等腰直角三角形考點(diǎn)四、閱讀試題信息，借助已有數(shù)學(xué)思想方法解決新問題例4 （2013北京）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問題

27、：如圖1，在邊長為a（a2）的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當(dāng)AFQ=BGM=GHN=DEP=45°時(shí)，求正方形MNPQ的面積小明發(fā)現(xiàn)，分別延長QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延長線于點(diǎn)R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形（如圖2）請回答：（1）若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形（無縫隙不重疊），則這個(gè)新正方形的邊長為 a；（2）求正方形MNPQ的面積（3）參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在等邊ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點(diǎn)D，E，F(xiàn)作BC，AC，AB的垂線，得到等

28、邊RPQ若SRPQ=，則AD的長為 思路分析：（1）四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長為a，其拼成的正方形面積為a2，邊長為a；（2）如題圖2所示，正方形MNPQ的面積等于四個(gè)虛線小等腰直角三角形的面積之和，據(jù)此求出正方形MNPQ的面積；（3）參照小明的解題思路，對問題做同樣的等積變換如答圖1所示，三個(gè)等腰三角形RSF，QEF，PDW的面積和等于等邊三角形ABC的面積，故陰影三角形PQR的面積等于三個(gè)虛線等腰三角形的面積之和據(jù)此列方程求出AD的長度解：（1）四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長為a，則斜邊上的高為a，每個(gè)等腰直角三角形的面積為：aa=a2，則拼成的新正方形面積為：4×a2=a2，即與原

29、正方形ABCD面積相等這個(gè)新正方形的邊長為a故填空答案為：a（2）四個(gè)等腰直角三角形的面積和為a2，正方形ABCD的面積為a2，S正方形MNPQ=SARE+SDWH+SGCT+SSBF=4SARE=4××12=2（3）如答圖1所示，分別延長RD，QF，PE交FA，EC，DB的延長線于點(diǎn)S，T，W由題意易得：RSF，QEF，PDW均為底角是30°的等腰三角形，其底邊長均等于ABC的邊長不妨設(shè)等邊三角形邊長為a，則SF=AC=a如答圖2所示，過點(diǎn)R作RMSF于點(diǎn)M，則MF=SF=a，在RtRMF中，RM=MFtan30°=a×=a，SRSF=aa=

30、a2過點(diǎn)A作ANSD于點(diǎn)N，設(shè)AD=AS=x，則AN=ARsin30°=x，SD=2ND=2ARcos30°=x，SADS=SDAN=xx=x2三個(gè)等腰三角形RSF，QEF，PDW的面積和=3SRSF=3×a2=a2，正ABC的面積為a2，SRPQ=SADS+SCFT+SBEW=3SADS，=3×x2，得x2=，解得x=或x=-（不合題意，舍去）x=，即AD的長為故填空答案為：點(diǎn)評：本題考查了幾何圖形的等積變換，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多個(gè)知識點(diǎn)，是一道好題通過本題我們可以體會(huì)到，運(yùn)用等積變換的數(shù)學(xué)思想，不僅簡化了

31、幾何計(jì)算，而且形象直觀，易于理解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的魅力對應(yīng)訓(xùn)練4（2013河北）一透明的敞口正方體容器ABCD-ABCD裝有一些液體，棱AB始終在水平桌面上，容器底部的傾斜角為（CBE=，如圖1所示）探究 如圖1，液面剛好過棱CD，并與棱BB交于點(diǎn)Q，此時(shí)液體的形狀為直三棱柱，其三視圖及尺寸如圖2所示解決問題：（1）CQ與BE的位置關(guān)系是 CQBE，BQ的長是 3dm；（2）求液體的體積；（參考算法：直棱柱體積V液=底面積SBCQ×高AB）（3）求的度數(shù)（注：sin49°=cos41°=，tan37°= ）拓展：在圖1的基礎(chǔ)上，以棱AB為軸將容器向

32、左或向右旋轉(zhuǎn)，但不能使液體溢出，圖3或圖4是其正面示意圖若液面與棱CC或CB交于點(diǎn)P，設(shè)PC=x，BQ=y分別就圖3和圖4求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的的范圍延伸：在圖4的基礎(chǔ)上，于容器底部正中間位置，嵌入一平行于側(cè)面的長方形隔板（厚度忽略不計(jì)），得到圖5，隔板高NM=1dm，BM=CM，NMBC繼續(xù)向右緩慢旋轉(zhuǎn)，當(dāng)=60°時(shí)，通過計(jì)算，判斷溢出容器的液體能否達(dá)到4dm34解：（1）CQBE，BQ=3；（2）V液=×3×4×4=24（dm3）；（3）在RtBCQ中，tanBCQ=，=BCQ=37°當(dāng)容器向左旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖3，0°37

33、°，液體體積不變，（x+y）×4×4=24，y=-x+3當(dāng)容器向右旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖4同理可得：y=；當(dāng)液面恰好到達(dá)容器口沿，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖5，由BB=4，且PBBB×4=24，得PB=3，由tanPBB=，得PBB=37°=BPB=53°此時(shí)37°53°；延伸：當(dāng)=60°時(shí)，如圖6所示，設(shè)FNEB，GBEB，過點(diǎn)G作GHBB于點(diǎn)H在RtBGH中，GH=MB=2，GBB=30°，HB=2MG=BH=4-2MN此時(shí)容器內(nèi)液體形成兩層液面，液體的形狀分別是以RtNFM和直角梯形MBBG為底面的直

34、棱柱SNFM+SMBBG=××1+（4-2+4）×2=8-V溢出=24-4（8-）=-84（dm3）溢出液體可以達(dá)到4dm3四、中考真題演練1（2013義烏）在義烏市中小學(xué)生“我的中國夢”讀數(shù)活動(dòng)中，某校對部分學(xué)生做了一次主題為：“我最喜愛的圖書”的調(diào)查活動(dòng)，將圖書分為甲、乙、丙、丁四類，學(xué)生可根據(jù)自己的愛好任選其中一類學(xué)校根據(jù)調(diào)查情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并繪制了不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖請你結(jié)合圖中信息，解答下列問題：（1）本次共調(diào)查了 200名學(xué)生；（2）被調(diào)查的學(xué)生中，最喜愛丁類圖書的學(xué)生有 15人，最喜愛甲類圖書的人數(shù)占本次被調(diào)查人數(shù)的 40%；（3）在最喜愛

35、丙類圖書的學(xué)生中，女生人數(shù)是男生人數(shù)的1.5倍，若這所學(xué)校共有學(xué)生1500人，請你估計(jì)該校最喜愛丙類圖書的女生和男生分別有多少人？1解：（1）共調(diào)查的學(xué)生數(shù)：40÷20%=200（人）；（2）最喜愛丁類圖書的學(xué)生數(shù)：200-80-65-40=15（人）；最喜愛甲類圖書的人數(shù)所占百分比：80÷200×100%=40%；（3）設(shè)男生人數(shù)為x人，則女生人數(shù)為1.5x人，由題意得：x+1.5x=1500×20%，解得：x=120，當(dāng)x=120時(shí)，5x=180答：該校最喜愛丙類圖書的女生和男生分別有180人，120人2（2013天門）垃圾的分類處理與回收利用，可以

36、減少污染，節(jié)省資源某城市環(huán)保部門為了提高宣傳實(shí)效，抽樣調(diào)查了部分居民小區(qū)一段時(shí)間內(nèi)生活垃圾的分類情況，其相關(guān)信息如下：根據(jù)圖表解答下列問題：（1）請將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（2）在抽樣數(shù)據(jù)中，產(chǎn)生的有害垃圾共 3噸；（3）調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在可回收物中塑料類垃圾占 ，每回收1噸塑料類垃圾可獲得0.7噸二級原料假設(shè)該城市每月產(chǎn)生的生活垃圾為5 000噸，且全部分類處理，那么每月回收的塑料類垃圾可以獲得多少噸二級原料？2解：（1）觀察統(tǒng)計(jì)圖知：D類垃圾有5噸，占10%，垃圾總量為5÷10%=50噸，故B類垃圾共有50×30%=15噸，故統(tǒng)計(jì)表為：（2）C組所占的百分比為：1-1

37、0%-30%-54%=6%，有害垃圾為：50×6%=3噸；（3）5000×54%××0.7378（噸），答：每月回收的塑料類垃圾可以獲得378噸二級原料3（2013河北）某校260名學(xué)生參加植樹活動(dòng)，要求每人植47棵，活動(dòng)結(jié)束后隨機(jī)抽查了20名學(xué)生每人的植樹量，并分為四種類型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵將各類的人數(shù)繪制成扇形圖（如圖1）和條形圖（如圖2），經(jīng)確認(rèn)扇形圖是正確的，而條形圖尚有一處錯(cuò)誤回答下列問題：（1）寫出條形圖中存在的錯(cuò)誤，并說明理由；（2）寫出這20名學(xué)生每人植樹量的眾數(shù)、中位數(shù)；（3）在求這20名學(xué)生每人植樹量的平均數(shù)時(shí)，

38、小宇是這樣分析的：小宇的分析是從哪一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的？請你幫他計(jì)算出正確的平均數(shù)，并估計(jì)這260名學(xué)生共植樹多少棵3解：（1）D錯(cuò)誤，理由為：20×10%=23；（2）眾數(shù)為5，中位數(shù)為5；（3）第二步；=5.3，估計(jì)260名學(xué)生共植樹5.3×260=1378（顆）4（2013海南）如圖，在正方形網(wǎng)格中，ABC各頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（-5，1）、（-1，4），結(jié)合所給的平面直角坐標(biāo)系解答下列問題：（1）畫出ABC關(guān)于y軸對稱的A1B1C1；（2）畫出ABC關(guān)于原點(diǎn)O對稱的A2B2C2；（3）點(diǎn)C1的坐標(biāo)是 （1，4）；點(diǎn)C2的坐標(biāo)是 （1，-4）；過C、C1

39、、C2三點(diǎn)的圓的圓弧的長是 （保留）4解：（1）A1B1C1如圖所示；（2）A2B2C2如圖所示；（3）C1（1，4），C2（1，-4），根據(jù)勾股定理，OC=，過C、C1、C2三點(diǎn)的圓的圓弧是以CC2為直徑的半圓，的長=故答案為：（1，4）；（1，-4）；5（2013龍巖）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=+1，AD=（1）如圖，將矩形紙片向上方翻折，使點(diǎn)D恰好落在AB邊上的D處，壓平折痕交CD于點(diǎn)E，則折痕AE的長為 ；（2）如圖，再將四邊形BCED沿DE向左翻折，壓平后得四邊形BCED，BC交AE于點(diǎn)F，則四邊形BFED的面積為 ；（3）如圖，將圖中的AED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，得AED，使

40、得EA恰好經(jīng)過頂點(diǎn)B，求弧DD的長（結(jié)果保留）5解：（1）ADE反折后與ADE重合，AD=AD=DE=DE=，AE=；（2）由（1）知AD=，BD=1，將四邊形BCED沿DE向左翻折，壓平后得四邊形BCED，BD=BD=1，由（1）知AD=AD=DE=DE=，四邊形ADED是正方形，BF=AB=-1，S梯形BFED=（BF+DE）BD=（-1+）×1=-；（3）C=90°，BC=，EC=1，tanBEC=，BEC=60°，由翻折可知：DEA=45°，AEA=75°=DED，=2=故答案為：；- 6（2013北京）第九屆中國國際園林博覽會(huì)（園博會(huì)

41、）已于2013年5月18日在北京開幕，以下是根據(jù)近幾屆園博會(huì)的相關(guān)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計(jì)圖的一部分（1）第九屆園博會(huì)的植物花園區(qū)由五個(gè)花園組成，其中月季園面積為0.04平方千米，牡丹園面積為 0.03平方千米；（2）第九屆園博會(huì)會(huì)園區(qū)陸地面積是植物花園區(qū)總面積的18倍，水面面積是第七、八界園博會(huì)的水面面積之和，請根據(jù)上述信息補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并標(biāo)明相應(yīng)數(shù)據(jù)；（3）小娜收集了幾屆園博會(huì)的相關(guān)信息（如下表），發(fā)現(xiàn)園博會(huì)園區(qū)周邊設(shè)置的停車位數(shù)量與日均接待游客量和單日最多接待游客量中的某個(gè)量近似成正比例關(guān)系根據(jù)小娜的發(fā)現(xiàn)，請估計(jì)，將于2015年舉辦的第十屆園博會(huì)大約需要設(shè)置的停車位數(shù)量（直接寫出結(jié)果，精確到百位

42、）第七屆至第十屆園博會(huì)游客量和停車位數(shù)量統(tǒng)計(jì)表： 日接待游客量（萬人次）單日最多接待游客量（萬人次）停車位數(shù)量（個(gè)）第七屆0.86約3000第八屆2.38.2約4000第九屆8（預(yù)計(jì)）20（預(yù)計(jì)）約10500第十屆1.9（預(yù)計(jì)）7.4（預(yù)計(jì)）約 37006解：（1）月季園面積為0.04平方千米，月季園所占比例為20%，則牡丹園的面積為：15%×=0.03（平方千米）；（2）植物花園的總面積為：0.04÷20%=0.2（平方千米），則第九屆園博會(huì)會(huì)園區(qū)陸地面積為：0.2×18=3.6（平方千米），第七、八界園博會(huì)的水面面積之和=1+0.5=1.5（平方千米

43、），則水面面積為1.5平方千米，如圖：；（3）由圖標(biāo)可得，停車位數(shù)量與單日最多接待游客量成正比例關(guān)系，比值約為500，則第十屆園博會(huì)大約需要設(shè)置的停車位數(shù)量約為：500×7.43700故答案為：0.03；37007（2013六盤水）（1）觀察發(fā)現(xiàn)   如圖（1）：若點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)，在直線m上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小，做法如下：   作點(diǎn)B關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)B，連接AB，與直線m的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，線段AB的長度即為AP+BP的最小值   如圖（2）：在等邊三角形ABC中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在

44、AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最小，做法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為  （2）實(shí)踐運(yùn)用   如圖（3）：已知O的直徑CD為2，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，在直徑CD上作出點(diǎn)P，使BP+AP的值最小，則BP+AP的值最小，則BP+AP的最小值為   （3）拓展延伸如圖（4）：點(diǎn)P是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，分別在邊AB、BC上作出點(diǎn)M，點(diǎn)N，使PM+PN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法7解：（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（2），CE的長為BP+PE的最小值，在等邊三角形ABC

45、中，AB=2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)CEAB，BCE=BCA=30°，BE=1，CE=BE=；故答案為；（2）實(shí)踐運(yùn)用如圖（3），過B點(diǎn)作弦BECD，連結(jié)AE交CD于P點(diǎn)，連結(jié)OB、OE、OA、PB，BECD，CD平分BE，即點(diǎn)E與點(diǎn)B關(guān)于CD對稱，的度數(shù)為60°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，BOC=30°，AOC=60°，EOC=30°，AOE=60°+30°=90°，OA=OE=1，AE=OA=，AE的長就是BP+AP的最小值故答案為；（3）拓展延伸如圖（4）8（2013鹽城）閱讀材料如圖，ABC與DEF都是等腰直角三角形，ACB

46、=EDF=90°，且點(diǎn)D在AB邊上，AB、EF的中點(diǎn)均為O，連結(jié)BF、CD、CO，顯然點(diǎn)C、F、O在同一條直線上，可以證明BOFCOD，則BF=CD解決問題（1）將圖中的RtDEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到圖，猜想此時(shí)線段BF與CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖，若ABC與DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為O，上述（1）中的結(jié)論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如不成立，請求出BF與CD之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖，若ABC與DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點(diǎn)均為0，且頂角ACB=EDF=，請直接寫出的值（用含的式子表示出來）8解：（1）猜想：BF=CD理由如下：如答圖所示，連

47、接OC、ODABC為等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，OB=OC，BOC=90°DEF為等腰直角三角形，點(diǎn)O為斜邊EF的中點(diǎn)，OF=OD，DOF=90°BOF=BOC+COF=90°+COF，COD=DOF+COF=90°+COF，BOF=COD在BOF與COD中，BOFCOD（SAS），BF=CD（2）答：（1）中的結(jié)論不成立如答圖所示，連接OC、ODABC為等邊三角形，點(diǎn)O為邊AB的中點(diǎn)，=tan30°=，BOC=90°DEF為等邊三角形，點(diǎn)O為邊EF的中點(diǎn)，=tan30°=，DOF=90°=BOF=BOC

48、+COF=90°+COF，COD=DOF+COF=90°+COF，BOF=COD在BOF與COD中，=，BOF=COD，BOFCOD，（3）如答圖所示，連接OC、ODABC為等腰三角形，點(diǎn)O為底邊AB的中點(diǎn)，=tan，BOC=90°DEF為等腰三角形，點(diǎn)O為底邊EF的中點(diǎn)，=tan，DOF=90°=tanBOF=BOC+COF=90°+COF，COD=DOF+COF=90°+COF，BOF=COD在BOF與COD中，=tan，BOF=COD，BOFCOD，9（2013日照）問題背景：如圖（a），點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一

49、點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B，連接A B與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求（1）實(shí)踐運(yùn)用：如圖（b），已知，O的直徑CD為4，點(diǎn)A 在O 上，ACD=30°，B 為弧AD 的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動(dòng)點(diǎn)，則BP+AP的最小值為 （2）知識拓展：如圖（c），在RtABC中，AB=10，BAC=45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E、F分別是線段AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程9解：（1）如圖，作點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB最小，且等于AE

50、作直徑AC，連接CE根據(jù)垂徑定理得弧BD=弧DEACD=30°，AOD=60°，DOE=30°，AOE=90°，CAE=45°，又AC為圓的直徑，AEC=90°，C=CAE=45°，CE=AE=AC=2， 即AP+BP的最小值是2故答案為：2；（2）如圖，在斜邊AC上截取AB=AB，連結(jié)BBAD平分BAC，點(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于直線AD對稱過點(diǎn)B作BFAB，垂足為F，交AD于E，連結(jié)BE，則線段BF的長即為所求（點(diǎn)到直線的距離最短）        

51、60;                           在RtAFB中，BAC=45°，AB=AB=10，BF=ABsin45°=ABsin45°=10×=5，BE+EF的最小值為510（2013衢州）【提出問題】（1）如圖1，在等邊ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），

52、連結(jié)AM，以AM為邊作等邊AMN，連結(jié)CN求證：ABC=ACN【類比探究】（2）如圖2，在等邊ABC中，點(diǎn)M是BC延長線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論ABC=ACN還成立嗎？請說明理由【拓展延伸】（3）如圖3，在等腰ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰AMN，使頂角AMN=ABC連結(jié)CN試探究ABC與ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由10（1）證明：ABC、AMN是等邊三角形，AB=AC，AM=AN，BAC=MAN=60°，BAM=CAN，在BAM和CAN中，BAMCAN（SAS），ABC=ACN（2）解：結(jié)論ABC=ACN仍成立理由如下：ABC、AMN是等邊三角形，AB=AC，AM=AN，BA