Cohen類時頻分布

1、第4章Cohen類時頻分布4.1 前言除了Wigner分布和譜圖以外，近幾十年來人們還提出了很多其它具有雙線性行式的時頻分布。1966年，Cohen給出了時頻分布的更一般表示形式44：（4.1.1）該式中共有五個變量，即，和，它們的含義我們將在下一節(jié)解釋。式中稱為時頻分布的核函數(shù)，也可以理解為是加在原Wigner分布上的窗函數(shù)。給出不同的，就可以得到不同類型的時頻分布。通過后面的討論可知，目前已提出的絕大部分具有雙線性形式的時頻分布都可以看作是Cohen類的成員。通過對Cohen類分布的討論有助于我們更全面地理解時頻分布，深入地了解它們的性質(zhì)，并提出改進(jìn)諸如交叉項(xiàng)這些不足之處的方法。在Cohe

2、n類時頻分布的討論及抑制交叉項(xiàng)的方法中，在雷達(dá)信號處理中廣泛應(yīng)用的模糊函數(shù)（Ambiguity Function, AF）起著重要的作用。因此，本章首先給出模糊函數(shù)的定義及其與Wigner分布的關(guān)系，然后討論Cohen類分布及其不同的成員。在4.4節(jié)討論為確保Cohen類分布具有一系列好的性質(zhì)而對所提出的要求。最后，在4.5節(jié)討論核的設(shè)計(jì)問題。文獻(xiàn)47對非平穩(wěn)信號的聯(lián)合時頻分布給出了較為詳細(xì)且是較為權(quán)威性的論述。4.2 Wigner分布與模糊函數(shù)令為一復(fù)信號，我們在第三章已定義 （4.2.1）為的瞬時自相關(guān)函數(shù)，并定義相對的傅立葉變換（4.2.2）為的WVD。除去特別說明，該式及以下各式中的積

3、分均是從。的對稱模糊函數(shù)定義為相對變量的傅立葉逆變換17，46,47，即：（）對比（）和（）兩式可以看到，和之間似應(yīng)有某種聯(lián)系，起碼在形式上有一種對稱聯(lián)系。由（）式，有（4.2.4）對該式兩邊取相對變量的傅立葉變換，立即可得（4.2.5）該式說明，信號的WVD是其AF的二維傅立葉變換。WVD和AF是信號的兩個不同的表示形式，其關(guān)系即是（）式。有關(guān)WVD的含義我們已在第三章作了詳細(xì)討論?，F(xiàn)對模糊函數(shù)的含義在此稍作解釋。令為一復(fù)信號，定義，分別是作正、負(fù)移位和正、負(fù)頻率調(diào)制所得到的新信號，即：（4.2.6a） （b）式中為時移，為頻移，顯然（4.2.7）即模糊函數(shù)可理解為信號在作時移和頻率調(diào)制后的

4、內(nèi)積。我們知道，當(dāng)將信號發(fā)射出去并由一固定目標(biāo)作無失真反射回來時，反射信號應(yīng)是。通過估計(jì)時間可知道從信號發(fā)射點(diǎn)到目標(biāo)的距離。若目標(biāo)是移動的，由多普勒效應(yīng)，還將產(chǎn)生頻移，即接受到的信號應(yīng)是。因此，模糊函數(shù)在雷達(dá)理論中具有重要的作用。讀者可自行證明，模糊函數(shù)具有如下性質(zhì)：若 ，則 （） 2. 若 ，則 （）的最大值始終在平面的原點(diǎn)，且該最大值即是信號的能量，即：（4.2.10）如果我們再定義（4.2.11）為的“瞬時”譜自相關(guān)，式中為的FT，則： （） （4.2.13）且 （4.2.14）以上各式給出了同一信號的WVD和AF的不同表示形式及內(nèi)在聯(lián)系，但WVD和AF有著如下本質(zhì)的區(qū)別：. 不論是實(shí)信

5、號還是復(fù)信號，其WVD始終是實(shí)信號，但其模糊函數(shù)一般為復(fù)函數(shù)。兩個信號，的互WVD滿足（4.2.15a）而其互AF不存在上述關(guān)系，即（4.2.15b）WVD和AF分別處在不同的“域”：在（）及（）（）各式中，我們遇到了五個變量，即，和。顯然，是時間，是頻率，由（）式，應(yīng)是時移，應(yīng)是頻移，是積分變量。前四個變量的不同組合形成了不同的“域”，即：時頻域，對應(yīng)：瞬時自相關(guān)域，對應(yīng)：“瞬時”譜自相關(guān)域，對應(yīng)：模糊函數(shù)域，對應(yīng)由此可以看出，我們之所以稱為“模糊函數(shù)”，是因?yàn)楹头謩e對應(yīng)了頻域的“頻移”和時域的“時移”。這幾個二維函數(shù)的關(guān)系如圖所示。圖中表示對變量作FT，表示相對作傅立葉反變換，其它含符號類

6、似。至此，讀者不難發(fā)現(xiàn)，（）式中的窗函數(shù)也在處在模糊域。我們使用它的目的是為了抑制WVD中的交叉項(xiàng)。這一抑制一般是在模糊域中進(jìn)行的。這就是在討論時頻分布的同時要討論模糊函數(shù)的原因。3現(xiàn)舉例說明和在和平面上的位置的不同。圖WVD和AF的關(guān)系例令 （4.2.16）我們在例中已求出其WVD是 （4.2.17）同樣可求出其模糊函數(shù)是（4.2.18）分析這樣一結(jié)果，可以看出：（1）是實(shí)函數(shù)，而是復(fù)函數(shù)；（2）的中心在在處，它是一高斯型函數(shù)，時域、頻域的擴(kuò)展受的控制；的中心在處，其幅值也是高斯型函數(shù)，且受到一復(fù)正弦的調(diào)制。該復(fù)正弦在和軸方向上的震蕩頻率由和所控制。這就是說，和并不影響的中心位置，影響的只是

7、其震蕩速度。例令（4.2.19）這是我們在例已遇到的信號，其WVD已由（）式給出。可以求出，其模糊函數(shù)是13 （）式中，分別是的自項(xiàng)，它們已由（）式給出。它們的中心都位于平面的原點(diǎn)。及是的AF的互項(xiàng)，其中：（）式中 ， 為兩個自項(xiàng)中心位置在時、頻方向上的幾何中心。而， 是其距離。這樣，的中心在處，同理，的中心在處，它們都是遠(yuǎn)離原點(diǎn)的。顯然，和，和相差越大，則它們離開原點(diǎn)的距離越大。的AF如圖所示。圖中的下圖為兩個時頻“原子”的時頻分布圖。由該圖可以看出，二者的時頻中心分別在（32，0.4）和（96，0.15）。上圖是二者的聯(lián)合模糊函數(shù)。的模糊函數(shù)與時頻分布, (a) 模糊函數(shù), (b) 時頻分

8、布現(xiàn)將（）式中的WVD的互項(xiàng)及（）式均寫成極坐標(biāo)的形式，即： （4.2.22a）（b）由（）式，有 ，（4.2.23a）由（）式，有 ， （）該式結(jié)果表明，WVD互項(xiàng)的相位對和的偏導(dǎo)數(shù)分別對應(yīng)于該信號模糊函數(shù)的互項(xiàng)的中心坐標(biāo)，即。通常，相位的導(dǎo)數(shù)意味著是頻率，所以，AF中互項(xiàng)的位置直接反映了WVD中交叉項(xiàng)的震蕩狀況。WVD中交叉項(xiàng)震蕩越厲害，那么，AF中互項(xiàng)的中心距平面的原點(diǎn)越遠(yuǎn)，反之，我們由AF互項(xiàng)的中心位置又可大致判斷WVD互項(xiàng)的震蕩程度。WVD和AF各自互項(xiàng)與自項(xiàng)的位置及它們互項(xiàng)間的關(guān)系為我們抑制WVD中的交叉項(xiàng)提供了一個有效途徑，即：（1）首先對求模糊函數(shù)，由于的自項(xiàng)始終在平面的原點(diǎn)處

9、，而互項(xiàng)遠(yuǎn)離原點(diǎn)，因此，我們可設(shè)計(jì)一個平面的低通濾波器對濾波，從而有效地抑制了中的交叉項(xiàng)；（2） 對濾波后的AF按（）式作二維傅立葉變換，得到。這時的已是被抑制了交叉項(xiàng)的新WVD。實(shí)際上，（）式中的即是實(shí)現(xiàn)這一目的平面上的二維低通濾波器。它的作用是對原含有交叉項(xiàng)的WVD作平均。我們知道，震蕩頻率越高的項(xiàng)，平均后變的越小。這就是說，AF中越是遠(yuǎn)離原點(diǎn)的交叉項(xiàng)，在的作用下，抑制的效果越明顯。圖給出了同一信號AF及WVD互項(xiàng)與自項(xiàng)的位置示意圖13。圖 同一信號AF及WVD互項(xiàng)與自項(xiàng)的位置示意圖4.3 Cohen類時頻分布我們在（）式給出了Cohen類分布的統(tǒng)一表示形式，并在4.2節(jié)簡單地說明了核函數(shù)

10、的作用，即給定不同的核函數(shù)，就可以得到不同形式的時頻分布。例如，令，有：（）這一結(jié)果表明，當(dāng)核函數(shù)取最簡單的形式，即時，Cohen類分布變?yōu)閃igner分布。也就是說，Wigner分布是Cohen類的成員，且是最簡單的一種。，這意味著該核函數(shù)是平面的二維全通函數(shù)。由上節(jié)的討論及圖所示，平面模糊函數(shù)的自項(xiàng)對應(yīng)WVD的互項(xiàng)（即交叉項(xiàng)），且AF的互項(xiàng)遠(yuǎn)離平面的原點(diǎn)。由于Wigner分布的是全通函數(shù)，它對AF的互項(xiàng)無抑制作用，因此，其WVD也就存在著較大的交叉項(xiàng)。這就是WVD中存在較嚴(yán)重的交叉項(xiàng)干擾的原因。自然，應(yīng)該選擇平面上的二維低通函數(shù)來作為。近二十年來，人們提出的時頻分布的形式不下十多種。除了我

11、們已討論過的譜圖及Wigner分布外，還有： Rihaczec分布 Page分布ChoiWillams分布 BornJordan分布讀者自然會想到，的選取將對時頻分布的性質(zhì)產(chǎn)生重要的影響。關(guān)于這一點(diǎn)，我們將在下一節(jié)詳細(xì)討論?，F(xiàn)在討論除了（）式外，Cohen類分布的其它表示形式。（1）、用的頻譜表示，即（）（2）、用模糊函數(shù)表示。對比（）、（4.2.3）及（）式，有 （）上式說明，可由AF乘上后作傅立葉變換得到。（3）、用WVD表示。在（）式中，和在域相乘，其結(jié)果對應(yīng)的是二者各自的變換在域做卷積。由（）式，的傅立葉變換是，令是的傅立葉變換，那么：（）該式有兩重含義，一是任意信號的都可以由該信號的

12、WVD和加權(quán)函數(shù)作2D線性卷積而得到。前已述及，已知的其余所有時頻分布都可以由Cohen的統(tǒng)一表示形式所得到，那么也就是說，已知的所有分布都可以由Wigner分布來表示；第二個含意是，WVD本身可能為負(fù)值，且有交叉項(xiàng)存在，那么和的卷積，可在某種程度上減少負(fù)值和交叉項(xiàng)的影響。這實(shí)際上是對WVD作平滑，平滑的結(jié)果正是。（4）、用廣義模糊函數(shù)表示44】在（）式中，定義（）為信號的廣義模糊函數(shù)，那么（）這是一個標(biāo)準(zhǔn)的二維傅立葉變換表達(dá)式。（5）、用廣義時間相關(guān)表示。定義（）為時間自相關(guān)域的核函數(shù)，那么廣義時間自相關(guān)定義為：（4.3.8）式中由（）式定義，這樣，可表示為的傅立葉變換，即：（）（6）、用廣

13、義譜自相關(guān)表示。定義 （）為譜自相關(guān)域的核函數(shù)，那么廣義譜自相關(guān)定義為：（）式中由（）式定義，這樣，可表為的傅立葉逆變換，即：（）以上給出了Cohen類時頻分布的六種表達(dá)形式，歸納起來可分為四類：（1）和在域內(nèi)的卷積（）；（2）、廣義模糊函數(shù)的傅立葉變換（）、（）及（）；（3）、瞬時時間自相關(guān)和時間自相關(guān)域核函數(shù)在方向上卷積后的傅立葉變換（）（）；（4）、瞬時譜自相關(guān)和譜自相關(guān)域核函數(shù)在方向上卷積的傅立葉變換（）（）這些表示形式見于不同的文獻(xiàn)中。這四類、六個函數(shù)充分揭示了Cohen類分布的內(nèi)在關(guān)系，它們在核函數(shù)設(shè)計(jì)（提出一個新的分布）和對某一分布實(shí)現(xiàn)時都具有重要的作用。一般情況下，前兩類關(guān)系用

14、于核的設(shè)計(jì)，后兩類用于分布的實(shí)現(xiàn)。由（）式的Moyals公式，可以證明，圖譜也是Cohen類的成員，即： （）式中是作STFT時所用時域窗函數(shù)的WVD。比較（）式，對應(yīng)，它應(yīng)是某一模糊函數(shù)的傅立葉變換。表給出了已提出的不同形式的時頻分布及其核函數(shù)，它們都屬于Cohen類的成員。表已知時頻分布及其核函數(shù)2分布名稱核函數(shù)時頻分布表達(dá)式Wigner1偽Wigner分布ReRihaczekRihaczekBornJordan（Cohen）PageChoiWilliams（ED）ZhaoAtlasMarksSpectrogram（譜圖）注：為一窗函數(shù)。4.4時頻分布所希望的性質(zhì)及對核函數(shù)的制約由表可以看

15、出，給出不同的核函數(shù)可以得到不同的分布。因此，通過對核函數(shù)的性能的分析，可以考察其時頻分布的能性，可以得到一個新的分布，對核函數(shù)施加一些制約條件，有可能得到我們所希望的時頻分布的性質(zhì)。表列出了這些性質(zhì)及對核函數(shù)的制約。表所希望的時頻分布的性質(zhì)及對核函數(shù)的制約2,76性質(zhì)名稱表達(dá)式對核函數(shù)的制約：非負(fù)性：是某些函數(shù)的模糊函數(shù)：實(shí)值性：時移：不決定于：頻移：不決定于：時間邊界條件：頻率邊界條件：瞬時頻率：及：群延遲：及：時間支持域若對，則： ：頻率支持域若對，則： ：減少干擾：是一個低通濾波器表給出了幾個常見分布滿足性質(zhì)的情況比較，在目前已提出的時頻分布中，還沒有一個能滿足至的。表六個時頻分布滿足

16、性質(zhì)情況比較37性質(zhì)名稱分布名稱WignerRihaczekReRihaczekChoiwilliamsSpectrogramBornJordan Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes YesYes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes Yes現(xiàn)對表中性質(zhì)及對核函數(shù)的要求給出一些解釋。1，時頻分布的非負(fù)性，

17、即。但遺憾的是，對已知的許多分布，它們并不滿足這一性質(zhì)。如表中的六個分布，只有譜圖總是正的。當(dāng)然，對于一些特殊的函數(shù)，如例和中的高斯信號或調(diào)制高斯信號，它們的WVD是恒正的。條件指出，若想保證Cohen類的某一成員是恒正的分布，則應(yīng)是某一函數(shù)的模糊函數(shù)。現(xiàn)對這一結(jié)論證明如下：證明：給定一個函數(shù)，設(shè)其模糊函數(shù)為，即：（）那么，對的傅立葉反變換即是，即（）式中由（4.3.7）式定義。由（）和（）及上式結(jié)果，有令 ，則上式變成 （）于是結(jié)論得證。式中是乘上窗函數(shù)后的傅立葉變換。該式說明，如果是某一函數(shù)的模糊函數(shù)，那么用此所得到的等效于譜圖。因此，譜圖也是Cohen類成員。2，實(shí)值性，即，：證明：由（

18、）式，令，則上式變?yōu)轱@然，如要求 ，必有3、時移： ：若，則：不決定于證明：因?yàn)樘幱谟?，和無關(guān)，所以它不影響分布的時移性質(zhì)；4、頻移：若，則：與無關(guān)性質(zhì)與稱為Cohen類時頻分布的“移不變”性質(zhì)，它包含了時移和頻移。5、時間邊緣條件，即：證明：將（）式兩邊對積分，有欲使上式的積分等于，必有欲使該式成立，必有，也就是說，為保證具有WVD的邊界性質(zhì)，在軸上始終為1。6、頻率邊緣條件，即：其證明請讀者自己完成。前已述及，為了有限的抑制AF中遠(yuǎn)離的互項(xiàng)，希望應(yīng)為平面上的低通函數(shù)。但和要求在和軸上應(yīng)為。這樣，如果AF中的互項(xiàng)正好落在軸或軸上，將得不到抑制。7、瞬時頻率與的關(guān)系，即：及8、群延遲與的關(guān)系，

19、即：及我們已在3.2節(jié)證明了WVD和瞬時頻率與群延遲的關(guān)系，此處的證明從略。有關(guān)瞬時頻率定義的解釋及瞬時頻率的估計(jì)可參看文獻(xiàn)27,28。這是兩篇詳細(xì)討論瞬時頻率的論文。9、時域支撐范圍，即：若時，希望，對：10、頻域支撐范圍，即：若時，希望：現(xiàn)對和作一簡單的解釋。給定一個信號，記其時頻分布為。假定在和的范圍內(nèi)為零，若在和的范圍內(nèi)也為零，則稱具有弱有限時間支撐性質(zhì)。同理，假定在之外為零，若在也為零，則稱具有弱有限頻率支撐性質(zhì)。和指的是弱有限支撐。若信號分段為零，在為零的區(qū)間內(nèi)也為零，則稱具有強(qiáng)有限時間支撐性質(zhì)。強(qiáng)有限支撐的含義是：只要為零，在所對應(yīng)的時間段內(nèi)恒為零。同理可定義強(qiáng)有限頻率支撐。由（

20、）式，的要求是：，對。式中是時間域的核函數(shù)。當(dāng)該核函數(shù)在平面上在這一范圍內(nèi)為零時，即具有弱有限時間支撐性質(zhì)。有關(guān)的由來見下一節(jié)的討論。10、：減少交叉項(xiàng)干擾：是平面上的2D低通函數(shù)。減少交叉項(xiàng)干擾分布（ReducedInterferenceDistribution，RID）又稱RID分布。其核函數(shù)有著其它的特殊性質(zhì)，我們將在下一節(jié)進(jìn)一步討論。4.5核函數(shù)對時頻分布中交叉項(xiàng)的抑制我們在1.5節(jié)已給出了單分量信號和多分量信號的概念。其區(qū)別是在任意固定的時刻，該信號的瞬時頻率是單值的還是多值的。一個多分量信號又可表為單分量的和，即： （）式中都是單分量信號，因此 （）相應(yīng)的時頻分布（）同樣也由自項(xiàng)和

21、互項(xiàng)所組成?；ロ?xiàng)即是交叉項(xiàng)，它是對真正時頻分布的干擾，應(yīng)設(shè)法將其去除或盡量減輕。減輕中交叉項(xiàng)的一個有效途徑是通過的模糊函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。由4.2節(jié)的討論，的廣義模糊函數(shù)：（）式中 （） （）分別是AF的自項(xiàng)和互項(xiàng)。我們在本章第二節(jié)的討論中已指出，模糊函數(shù)的自項(xiàng)通過平面的原點(diǎn)，互項(xiàng)遠(yuǎn)離平面的原點(diǎn)，而AF中的互項(xiàng)又對應(yīng)了時頻分布中的交叉項(xiàng)，這就為我們?nèi)コ蛞种茣r頻分布中的交叉項(xiàng)提供了一個有效的途徑。即令核函數(shù)取平面上的2-D低通函數(shù)。由上節(jié)的討論可知，為保證具有時間及頻率邊緣條件性質(zhì)，核函數(shù)應(yīng)滿足和，即在和軸上應(yīng)恒為1，這也是設(shè)計(jì)核函數(shù)時必須考慮的要求。當(dāng)然，除了難于滿足外，應(yīng)盡量滿足。現(xiàn)舉例說明核函數(shù)

22、對交叉項(xiàng)的效果。ChoiWillarms于文獻(xiàn)37提出了一個指數(shù)核，即（）其相應(yīng)的TF分布稱為指數(shù)分布（ED），由表，它屬于Cohen類。顯然，且當(dāng)和同時不為零時。式中為常數(shù)。越大，自項(xiàng)的分辨率越高，越小，對交叉項(xiàng)的抑制越大。因此，的取值應(yīng)在自項(xiàng)分辨率和交叉項(xiàng)的抑制之間取折中，并視信號的特點(diǎn)而定。若信號的幅度和頻率變化得快，那應(yīng)取較大的，反之取較小的。的取值推薦在0.110之間。當(dāng)時，ED變成WVD，在這種情況下ED（即WVD）具有最好的分辨率，但交叉項(xiàng)也變得很大。ED可以有效地抑制交叉項(xiàng)，但不能保證性質(zhì)和。ED對應(yīng)的時域的核為13（）相應(yīng)的時頻分布是 （）例令由三個時頻“原子”組成，和具有相

23、同的歸一化頻率（0.4），但具有不同的時間位置（分別是32和96）。令和具有相同的時間位置，但歸一化頻率為0.1。的時域波形如圖4.5.1a所示，其理想的時頻分布如圖b所示。其WVD如圖4.5.1c所示?？梢钥吹?，圖c中存在著由這三個“原子”兩兩產(chǎn)生的共三個交叉項(xiàng)。圖d是的模糊函數(shù)。由該圖可以看出，AF的自項(xiàng)位于中心，在軸和軸上各有兩個互項(xiàng)，在第二和第四象限也各有一個互項(xiàng)，因此，該信號的AF共有6個互項(xiàng)。圖是指數(shù)核的等高線圖，它在原點(diǎn)最大，在軸和軸上恒為1。改變，可調(diào)節(jié)坐標(biāo)軸兩邊兩個等高線的距離。越大，距離越大，反之距離越小。的作用是抑制AF中的互項(xiàng)。將圖（d）和圖（e）對應(yīng)相乘，即，其結(jié)果示

24、于圖（f）。顯然，在第二和第四兩個象限的互項(xiàng)已被去除，在軸和軸上的四個互項(xiàng)在圖中體現(xiàn)出來，但實(shí)際上也被抑制。圖4.5.1g是用ED求出的的時頻分布?？梢钥闯觯@時的交叉項(xiàng)較之圖的WVD，已大大減輕。圖 核函數(shù)對交叉項(xiàng)抑制的說明，該圖由上及下分別為agCohen類分布的其它成員，所用對交叉項(xiàng)抑制的原理和上述過程大致相同。4.6減少交叉項(xiàng)干擾的核的設(shè)計(jì)除了我們在前面幾節(jié)提到的Cohen類的各種時頻分布外，人們還希望能設(shè)計(jì)出其它更好的時頻分布。為此，文獻(xiàn)76給出了一個核設(shè)計(jì)的方法，現(xiàn)給以簡單地介紹。如果可以寫成變量，的積的函數(shù)，即那么該核函數(shù)稱為“積核”，在表中，sinc及ED核都是積核。如果可以寫

25、成各自函數(shù)的積，即那么稱為可分離的核。對這一類核，其計(jì)步驟如下：步驟1設(shè)計(jì)一個基本函數(shù)，使之滿足下述條件：（a）有單位面積，即；（b）為偶對稱，即；（c）是時限的，即當(dāng)時。（d）以=0為中心向邊際平滑減少，以保證含有較少的高頻分量。步驟2取的傅立葉變換，即步驟3用代替中的，得到積核函數(shù) （4.6.1）按照這種原則設(shè)計(jì)出的核，所對應(yīng)的分布稱為減少干擾分布，即RID。RID主要強(qiáng)調(diào)如何抑制交叉項(xiàng)干擾，但同時也兼顧時頻分布的其它性質(zhì)。現(xiàn)考察一下這類核對表的的滿足情況。這類核對無法保證滿足，但對是滿足的。這是因?yàn)橥瑯雍蜔o關(guān)。由于（）的中的和以乘積的形式出現(xiàn)，所以和滿足，因此條件（a）對應(yīng)和。由于由得到

26、的是實(shí)函數(shù)（偶對稱），所以滿足，即條件（b）保證了。此外，若存在，條件（b）也保證了和?，F(xiàn)在考察條件（c）?，F(xiàn)將（4.6.1）兩邊相對作傅立葉變換，即（4.6.2）式中即是（）式的時域核。按（）式，的傅立葉反變換對應(yīng)的是。按傅立葉變換的變量加權(quán)性質(zhì)，有 （4.6.3）條件（c）要求時，即是當(dāng)時，（）式恒為零，也即時。這正是，同理，條件（c）意味著滿足。條件（d）的目的是用以減少交叉項(xiàng)干擾，即令是平面的2D低通函數(shù)，因此條件（d）滿足。文獻(xiàn)74考察了不同所對應(yīng)的TF分布形式，如果：（1）若，那么，對應(yīng)的分布是WVD。滿足條件（a）、（b）和（c），但不滿足（d），因此WVD不具備性質(zhì)及相應(yīng)的制約（2）若，則，對應(yīng)ReRihaczek分布，也只滿足條件（a）（c），不滿足（d），所以該分布也和WVD一樣