高等數(shù)學(xué)求導(dǎo)公式

1、I.基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)01.；02.；03.；04.；05.；06.；07.；08.；09.；10.；11.；12.；13.；14.；15.；16.。II.和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)01.；02.；03.；04.。III復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若，則或 。l 計(jì)算極限時(shí)常用的等價(jià)無窮小 l 兩個(gè)重要極限: l 若 ，則 l 羅爾定理：若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則存在一，使。l 拉格朗日中值定理：若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則存在一，使得。l 柯西中值定理：若、在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且則存在一，使得，則。l 羅必達(dá)法則：若（1），（2）及在（或）處存在，且，（3）存在（或），則。l 泰勒公式： 其中： ,。l 馬克勞林公式

2、： 其中：,。1. 2. 3. 4. 5. 6. l 駐點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)拐點(diǎn)：，則稱在上是凸的，則稱在上是凹的，若曲線在兩旁改變凹凸性，則稱為曲線的拐點(diǎn)。l 凹凸性判斷（充分條件）：設(shè)存在，若時(shí)，則曲線是為凸的，若時(shí)，則曲線是為凹的。設(shè)曲線方程，具有二階導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)在的曲率為：（工程中，若時(shí)，）?；痉e分公式： ； * * * * *l 基本積分方法1換元法：（1）設(shè)具有原函數(shù)，而可導(dǎo)，則有：；（2）設(shè)在區(qū)間上單調(diào)可導(dǎo)，且，又設(shè)具有原函數(shù)，則有：。2分布積分法： 3.有理函數(shù)積分： 4.萬能代換（三角函數(shù)的有理式的積分）：設(shè)，則，。l 。l 定積分中值定理： 。l 定理：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，

3、則積分上限的函數(shù) 在上具有導(dǎo)數(shù)，并且它的導(dǎo)數(shù)是 l 定積分換元公式： ， 。l l 定積分的分步積分： l 弧長計(jì)算公式： ; ，;，。向量代數(shù)l 定比分點(diǎn)公式：。l 數(shù)量積： ， 。l 向量積： 。l 平面Ø 平面的一般方程：（向量為平面法向量）。Ø 平面點(diǎn)法式方程：。Ø 平面的截距式方程：（為平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距）。Ø 兩個(gè)平面的夾角：兩個(gè)平面方程為：平面：，平面：，則兩平面的夾角的余弦為：。Ø 兩平面平行的條件： 。Ø 兩平面垂直的條件： 。Ø 點(diǎn)到平面的距離：平面：，平面外一點(diǎn)：，則點(diǎn)M到平面的距離：。l 空間直

4、線Ø 兩個(gè)平面的交線：。Ø 點(diǎn)向式方程：直線上的一點(diǎn)，直線的一個(gè)向量，則直線方程為：，參數(shù)方程為：Ø 兩直線的夾角：，則兩直線的夾角余弦為：。兩直線平行：，兩直線垂直：，Ø 兩直線共面（平行或相交）：兩直線：，共面的條件：。Ø 直線與平面的夾角平面： ，直線：若直線與平面相交，夾角：；若直線與平面平行：；若直線與平面垂直：。l 多元函數(shù)微積分1.方向?qū)?shù)： （為軸到方向的轉(zhuǎn)角）2.梯度： 3.二元函數(shù)的極值：，。令，。當(dāng)時(shí)具有極值，且當(dāng)時(shí)具有極大值，當(dāng)具有極小值；當(dāng)時(shí)沒有極值；當(dāng)時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，還需令作討論。3.二重積分的計(jì)算4.

5、曲面的面積計(jì)算： 平面薄片的重心： 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 5.三重積分的計(jì)算：l 曲線積分和曲面積分1.對(duì)弧長的曲線積分： 2.對(duì)坐標(biāo)的曲線積分： 3.對(duì)曲面的積分：4.對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：l 無窮級(jí)數(shù)Ø 收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)：1.如果級(jí)數(shù)收斂于和，則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)所得的級(jí)數(shù)也收斂，且其和為。2.如果級(jí)數(shù)、分別收斂于和、，則級(jí)數(shù)也收斂，且其和為。3.在級(jí)數(shù)中去掉、加上或者改變有限項(xiàng)，不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性。4.如果級(jí)數(shù)收斂，則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所成的級(jí)數(shù)仍收斂，且其和不變。5.（級(jí)數(shù)收斂的必要條件）如果級(jí)數(shù)收斂，則它的一般項(xiàng)趨于零，即。Ø 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法：定理1.

6、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列有界。定理2（比較審斂法）.設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且。若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)收斂；反之，若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)發(fā)散。推論1.設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果級(jí)數(shù)收斂，且存在自然數(shù)，使當(dāng)時(shí)有成立，則級(jí)數(shù)收斂；如果級(jí)數(shù)發(fā)散，且當(dāng)時(shí)有成立，則級(jí)數(shù)發(fā)散。推論2. 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果有，使，則級(jí)數(shù)收斂；如果，則級(jí)數(shù)發(fā)散。定理3（比較審斂法的極限形式）. 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果，則級(jí)數(shù)和級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。定理4（比值審斂法，達(dá)朗貝爾（DAlembert）判別法）.若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的后項(xiàng)于前項(xiàng)之比值的極限等于：，則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；（或）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。定理5（根值審

7、斂法，柯西判別法）. 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，如果它的一般項(xiàng)的次根的極限等于：，則當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂；（或）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。定理6（萊布尼茨定理）.如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：（1），（2），則級(jí)數(shù)收斂，且其和，其余項(xiàng)的絕對(duì)值。定理7.如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則級(jí)數(shù)必定收斂。Ø 冪級(jí)數(shù)定理1（阿貝爾（Abel）定理）.如果級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)收斂，則適合不等式的一切使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；反之，如果級(jí)數(shù)當(dāng)時(shí)發(fā)散，則適合不等式的一切使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散。推論：如果冪級(jí)數(shù)不是僅在一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)存在，使得：當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)與時(shí)，冪級(jí)數(shù)可能收斂也可

8、能發(fā)散。定理2.如果，其中、是冪級(jí)數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)，則這冪級(jí)數(shù)的收斂半徑性質(zhì)1. 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則其和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)。如果冪級(jí)數(shù)在（或）也收斂，則和函數(shù)在（或）連續(xù)。性質(zhì)2.設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則其和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的，且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式，其中，逐項(xiàng)求導(dǎo)后得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑。性質(zhì)3.設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑，則其和函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是可積的，且有逐項(xiàng)積分公式,其中，逐項(xiàng)積分后得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑。l 歐拉公式： l 傅立葉級(jí)數(shù) Ø 函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) （是周期為的周期函數(shù)）其中：定理（收斂定理，狄利克雷（Dirichlet）充分條件）：設(shè)是周期為的周期函數(shù)，如果它滿足：（1）在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，（2）在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)，則的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且：當(dāng)是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于；當(dāng)是的間斷點(diǎn)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂于。定理. 設(shè)是周期為的函數(shù)，在一個(gè)周期上可積，則（1）當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，它的傅里葉系數(shù)為：（