第十五章傅里葉級數(shù)ppt課件

1、一一 問題的提出問題的提出非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù): :矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)不同頻率正弦波逐個(gè)疊加不同頻率正弦波逐個(gè)疊加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt tusin4 )3sin31(sin4ttu )5sin513sin31(sin4tttu )7sin715sin513sin31(sin4ttttu )9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu )0,( tt由以上可以看到：一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)由以上可以看到：一個(gè)比較

2、復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)可動(dòng)可 以看作是許多不同頻率的簡諧振動(dòng)的以看作是許多不同頻率的簡諧振動(dòng)的疊加疊加二二 三角級數(shù)三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性 10)sin()(nnntnAAtf1.1.三角級數(shù)三角級數(shù)引例中的簡諧振動(dòng)函數(shù)引例中的簡諧振動(dòng)函數(shù) 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA（1 1） 10)sincos(2nnnnxbnxaa即即: :由三角函數(shù)組成的函項(xiàng)級數(shù)成為三角級數(shù)由三角函數(shù)組成的函項(xiàng)級數(shù)成為三角級數(shù) ,xt ,cosnnnAb ,sinnnnAa ,200Aa 記記那么那么(1)(1)式右端的級數(shù)可改寫為式右端的級數(shù)可改寫為(2)(2)得到行如得

3、到行如(2)(2)式的級數(shù)稱為三角級數(shù)式的級數(shù)稱為三角級數(shù)2 2 三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,:)2(上上的的積積分分等等于于零零任任意意兩兩個(gè)個(gè)不不同同函函數(shù)數(shù)在在正正交交 , 0cos nxdx, 0sin nxdx(1) 三角函數(shù)系三角函數(shù)系即即 i) i), 0sinsin nmnmnxdxmx, 0coscos nmnmnxdxmx. 0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其其中中ii)ii)iii)iii), 2 , 1,( nm其其中中三三 函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級

4、數(shù)問題問題 1.1.若能展開若能展開, , 是什么是什么? ?iiba ,2.展開的條件是什么展開的條件是什么?1.1.傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若若有有.)1(0a求求dxkxbkxadxadxxfkkk )sincos(2)(10 ,220 a dxxfa)(10kxdxbdxkxadxakkkksincos2110 .)2(na求求 nxdxanxdxxfcos2cos)(0cossincoscos1 nxdxkxbnxdxkxaknk可得可得 nxdxan2cos, na nxdxxfancos)(1), 3 , 2 , 1( n.)3(n

5、b求求 nxdxxfbnsin)(1), 3 , 2 , 1( n nxdxanxdxxfsin2sin)(0sinsinsincos1 nxdxkxbnxdxkxaknk, nb可得可得可得可得 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann 2020), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或或從而得到傅里葉系數(shù)從而得到傅里葉系數(shù)把以上得到的系數(shù)代入三角級數(shù)把以上得到的系數(shù)代入三角級數(shù) 10)sincos(2nnnnxbnxaa問題問題: : 10)sincos(

6、2?)(nnnnxbnxaaxf條條件件該級數(shù)稱為傅里葉級數(shù)該級數(shù)稱為傅里葉級數(shù)3. 3. 三角級數(shù)的收斂性定理三角級數(shù)的收斂性定理: :)(210nnnbaa若級數(shù)若級數(shù) 收斂收斂,則級數(shù)則級數(shù))sincos(210nxbnxaannn在整個(gè)數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂.,sincos,nnnnbanxbnxaRx由于由M判別法即得定理結(jié)論.證2.2.定理定理( (收斂定理收斂定理, ,狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分條件充分條件) )設(shè)設(shè))(xf是是以以 2為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù). .如如果果它它滿滿足足: : ( (1 1) )在在一一個(gè)個(gè)周周期期內(nèi)

7、內(nèi)連連續(xù)續(xù)或或只只有有有有限限個(gè)個(gè)第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn), , ( (2 2) )在在一一個(gè)個(gè)周周期期內(nèi)內(nèi)至至多多只只有有有有限限個(gè)個(gè)極極值值點(diǎn)點(diǎn), , 則則)(xf的的傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)收收斂斂, ,并并且且 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí), ,級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于)(xf; ; 當(dāng)當(dāng)x是是)(xf的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí), , 級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于2)0()0( xfxf; ; 說明(2) 若函數(shù) 在 上逐段光滑,則有性質(zhì):)(xf, ba.,1上可積在bafo).0()0()(lim),0()0()(lim:),0(,200 xftxftxfxftxftxfxfbatto且有上每

8、一點(diǎn)都存在在在點(diǎn)上的上那些至多有限個(gè)不存在在補(bǔ)充定義,3bafo.,).(上可積在仍記為值后baff (3) 從幾何圖形上講,在 上逐段光滑 ,是由有限個(gè)光滑弧段所組成,它至多有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)與角點(diǎn)., baxyoab (4) 收斂定理指出, 的Fourier 級數(shù)在點(diǎn)X 處收斂于這點(diǎn)上的左,右極限的算術(shù)平均值而當(dāng) 在點(diǎn)x連續(xù)時(shí),則有)(xf)(xf)(xf20)-f(x0)f(x ).(20)-f(x0)f(x xf(5) 根據(jù)收斂定理的假設(shè), 是以 為周期的函數(shù),所以系數(shù)公式中的積分區(qū)間 可以改為長度為 的任何區(qū)間,即:)(xf2,22, 2 , 1 , 0,cos)(1ccnnnxd

9、xxfa, 2 , 1,sin)(12ccnnnxdxxfb其中C為任意實(shí)數(shù). 在具體討論函數(shù)的Fourier 級數(shù)展開式時(shí),常只給出函數(shù) 在 (或 ) 上的解析式,但應(yīng)理解為它是定 義在整個(gè)數(shù)軸上以 為周期的函數(shù).即在 以外部 ,()(xf),2,(分按函數(shù)在 上的對應(yīng)關(guān)系作周期延拓,使,(., 2, 1,) 12( ,) 12(),2(,(),()(kkkxkxfxxfxfyxo3535函數(shù)周期延拓后的圖象:例求 的Fourier級數(shù). 0, 0,0 ,)(xxxxf設(shè))(xf解函數(shù) 及周期延拓后的函數(shù)如下圖.)(xfxoy2324534顯然 按段光滑,由收斂定理,它可展開成Fourier

10、級數(shù).)(xf由于.21)(100 xdxdxxfa0cos1cos)(1nxdxxnxdxxfan., 0,2) 1(cos122為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)當(dāng)nnnnxn.) 1(sin1sin)(110nnxdxxnxdxxfbnn所以在開區(qū)間 上,)3sin313cos92(2sin21)sincos2(4f(x) xxxxx當(dāng) 時(shí),上右式收斂于x.22020)f(-0)-f(從而,在 上, 的Fourier級數(shù)的圖象如下:,)(xfxoy32543242注意和 延拓后的圖象的比較)(xf注注函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低的多冪級數(shù)的條件低的多

11、. .解解例例 1 以以 2為周期的矩形脈沖的波形為周期的矩形脈沖的波形 tEtEtumm,0,)(將其展開為傅立葉級數(shù)將其展開為傅立葉級數(shù).otumEmE 所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件. .), 2, 1, 0(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn) kkx2mmEE 收收斂斂于于2)(mmEE , 0 ).(,xfkx收收斂斂于于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 和函數(shù)圖象為和函數(shù)圖象為otumEmE ntdttuancos)(1 00cos1cos)(1ntdtEntdtEmm), 2 , 1 , 0(0 n ntdttubnsin)(1 00sin1sin)(1ntdtEntdtEmm)cos1

12、(2 nnEm)1(12nmnE , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(4kknkknkEm 1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2, 0;( tt所求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為注注( (一一) )對于非周期函數(shù)對于非周期函數(shù), ,如果函數(shù)如果函數(shù) 只在區(qū)間只在區(qū)間 上有定義上有定義, ,并并且滿足狄立克雷充分條件且滿足狄立克雷充分條件, ,也可展開成也可展開成傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù). .)(xf, 作法作法: :),()()()2( xxfxFT作作周周期期延延拓拓)0()0(21 ff端端點(diǎn)點(diǎn)處處收收斂斂于于例例 2 將函數(shù)將函數(shù) xxxxxf0

13、,0,)( 展開為傅立葉展開為傅立葉級數(shù)級數(shù).解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件. 拓廣的周期函數(shù)的傅拓廣的周期函數(shù)的傅氏級數(shù)展開式在氏級數(shù)展開式在收斂于收斂于 .)(xf, xyo 2 2 nxdxxfancos)(1 00cos)(1cos)(1nxdxxfnxdxxf)1(cos22 nxn 1)1(22 nn dxxfa)(10 00)(1)(1dxxfdxxf, , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk nxdxxfbnsin)(1 00sin)(1sin)(1nxdxxfnxdxxf, 0 12)12cos()12(142

14、)(nxnnxf)( x所求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式為所求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式為), 2 , 1( n推廣推廣: :利用傅立葉級數(shù)展開式求出幾個(gè)特殊利用傅立葉級數(shù)展開式求出幾個(gè)特殊級數(shù)的和級數(shù)的和,)12cos()12(142)(12 nxnnxf 222513118 ,4131211222 設(shè)設(shè)),8(513112221 , 0)0(,0 fx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),6141212222 ,41312112223 ,44212 ,243212 6221 122213 正弦級數(shù)和余弦級數(shù)正弦級數(shù)和余弦級數(shù)(Sine series and cosine (Sine series and cosine seri

15、es)series)( (1 1) ) 當(dāng)當(dāng))(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，它它的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)為為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann 一般說來一般說來,一個(gè)函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正一個(gè)函數(shù)的傅里葉級數(shù)既含有正弦項(xiàng)弦項(xiàng),又含有余弦項(xiàng)又含有余弦項(xiàng).但是但是,也有一些函數(shù)的傅里葉也有一些函數(shù)的傅里葉級數(shù)只含有正弦項(xiàng)或者只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)級數(shù)只含有正弦項(xiàng)或者只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng).1.定理定理 設(shè)設(shè) 是周期為是周期為 的函數(shù)的函數(shù),且可積且可積,那么那么)(xf 2( (2 2) )當(dāng)當(dāng))(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí), ,它它的的傅傅里里葉葉

16、系系數(shù)數(shù)為為 ), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 證明證明,)()1(是奇函數(shù)是奇函數(shù)設(shè)設(shè)xf nxdxxfancos)(10 ), 3 , 2 , 1 , 0( n 0sin)(2nxdxxf), 3 , 2 , 1( n同理可證同理可證(2)(2)2.2.定義定義 ( (1 1) )如如果果)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù), ,其其傅傅立立葉葉級級數(shù)數(shù)nxbnnsin1 稱稱為為正正弦弦級級數(shù)數(shù) ( (2 2) ) 如如 果果)(xf為為 偶偶 函函 數(shù)數(shù) , , 其其 傅傅 立立 葉葉 級級 數(shù)數(shù)nxaanncos210 稱稱為為余余弦弦級級數(shù)

17、數(shù). . nxdxxfbnsin)(1定理證畢定理證畢. .例例 1 1 設(shè)設(shè))(xf是是周周期期為為 2的的周周期期函函數(shù)數(shù),它它在在), 上上的的表表達(dá)達(dá)式式為為xxf )(,將將)(xf展展開開成成傅傅立立葉葉級級數(shù)數(shù). 解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.,), 2, 1, 0()12(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn) kkx2)0()0( ff收收斂斂于于2)( , 0 ),()12(xfkxx處處收收斂斂于于在在連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) 2 2 3 3xy0,2)()12(為周期的奇函數(shù)為周期的奇函數(shù)是以是以時(shí)時(shí) xfkx和函數(shù)圖象和函數(shù)圖象), 2 , 1 , 0(, 0

18、nan 0sin)(2nxdxxfbn 0sin2nxdxx 02sincos2nnxnnxx nncos2,)1(21 nn), 2 , 1( n)3sin312sin21(sin2)( xxxxf.sin)1(211 nnnxn),3,;( xx例例 2 2 將將周周期期函函數(shù)數(shù)tEtusin)( 展展開開成成傅傅氏氏級級數(shù)數(shù), ,其其中中E是是正正常常數(shù)數(shù). .解解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件, , 在整個(gè)在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)數(shù)軸上連續(xù). .,)( 為為偶偶函函數(shù)數(shù)tu, 0 nb 00)(2dttuat)(tu0 2 2E 0sin2tdtE,4 E ), 2

19、, 1( n 0cos)(2ntdttuan 0cossin2ntdttE 0)1sin()1sin(dttntnE 12, 02,1)2(42knknkE當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)), 2 , 1( k 01)1cos(1)1cos( ntnntnE)1( n 01cos)(2tdttua 0cossin2tdttE, 0 )6cos3514cos1512cos3121(4)( tttEtu )( x.142cos21212 nnnxE 非周期函數(shù)的周期性開拓非周期函數(shù)的周期性開拓).(2, 0)(xFxf函數(shù)函數(shù)為周期的為周期的延拓成以延拓成以上上定義在定義在設(shè)設(shè) ,0)(0)()( xxgxxfxF令令)

20、,()2(xFxF 且且則有如下兩種情況則有如下兩種情況. 偶偶延延拓拓奇奇延延拓拓注注( (二二) )1.奇延拓奇延拓)()(xfxg 0)(000)()(xxfxxxfxF則則xy0 的傅立葉正弦級數(shù)的傅立葉正弦級數(shù))(xf 1sin)(nnnxbxf)0( x2.偶延拓偶延拓)()(xfxg 0)(0)()(xxfxxfxF則則的傅立葉余弦級數(shù)的傅立葉余弦級數(shù))(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 例例 3 3 將將函函數(shù)數(shù))0(1)( xxxf分分別別展展開開成成正正弦弦級級數(shù)數(shù)和和余余弦弦級級數(shù)數(shù). .解解 (1)(1)求正弦級數(shù)求正弦級數(shù). .,)(進(jìn)行奇延拓進(jìn)

21、行奇延拓對對xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)(2)(2)求余弦級數(shù)求余弦級數(shù),)(進(jìn)進(jìn)行行偶偶延延拓拓對對xf 00)1(2dxxa, 2 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202nnn當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)5cos513cos31(cos412122 xxxx)0( x三、小結(jié)1, 三角級數(shù)的定義;2, 正交函數(shù)系的特征;3, 三角級數(shù)的收斂定理;5,

22、收斂定理;4, 以 為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)定義;26, 求函數(shù) 的Fourier級數(shù)的方法.)(xf:作業(yè)P70: 1, 2, 3, 4, 7.思考判斷題思考判斷題(1) 若若函函數(shù)數(shù))()(xx ， 問問：)(x 與與)(x 的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù)na、nb與與n 、n ), 2 , 1 , 0( n之之間間有有何何關(guān)關(guān)系系？ .,)()(,)()2(定定義義的的函函數(shù)數(shù)上上成成為為才才能能使使應(yīng)應(yīng)如如何何選選擇擇上上定定義義的的函函數(shù)數(shù)是是在在設(shè)設(shè) BAtftFBAbaxf第十五章 傅里葉(Foueier)級數(shù)2 以2l為周期的函數(shù)的展開式一一 周期為周期為 的周期函數(shù)的傅立葉

23、級數(shù)的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù) ,2lT .2lT 定理定理式式為為則則它它的的傅傅里里葉葉級級數(shù)數(shù)展展開開定定理理的的條條件件滿滿足足收收斂斂的的周周期期函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)周周期期為為,)(2xfl代入傅立葉級數(shù)中代入傅立葉級數(shù)中)sincos(210 xnbxnaannn ),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn l 2為為其其中中系系數(shù)數(shù)nnba ,)()1(為為奇奇函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xf則有則有,sin)(20dxlxnxflbln 其其中中), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln ), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln ,sin)

24、(1 nnlxnbxf ), 2 , 1( n,)()2(為為偶偶函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xf則有則有dxlxnxflaln 0cos)(2 其其中中證明證明,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 設(shè)設(shè).2)(為為周周期期以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn ,cos2)(10 nnlxnaaxf ), 2 , 1 , 0( n)sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其中其中.sin)(1,cos)(1 llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其其中中)()(xfzFlx

25、z 定理得證定理得證.k2 xy2044 例例 1 1 設(shè)設(shè))(xf是周期為是周期為 4 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在)2 , 2 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 20020)(xkxxf, 將其展將其展成傅氏級數(shù)成傅氏級數(shù).解解., 2 滿滿足足狄狄氏氏充充分分條條件件 l 2002021021kdxdxa,k 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng))25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xx na), 2 , 1( n例例 2 2 將

26、將函函數(shù)數(shù) 10510)( xxxf展展開開成成傅傅氏氏級級數(shù)數(shù).解解,10 xz作變量代換作變量代換105 x, 55 z)10()( zfxf),(zFz ,)55()(的的定定義義補(bǔ)補(bǔ)充充函函數(shù)數(shù) zzzF, 5)5( F令令)10()( TzF作作周周期期延延拓拓然然后后將將,收斂定理的條件收斂定理的條件這拓廣的周期函數(shù)滿足這拓廣的周期函數(shù)滿足).()5, 5(zF內(nèi)內(nèi)收收斂斂于于且且展展開開式式在在 x)(zFy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 502sin)(52dzznzbn,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF

27、)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x另一種解法另一種解法: : 1555cos)10(51dxxnxan 1551555cos515cos2dxxnxdxxn, 0 1550)10(51dxxa, 0 ), 2 , 1( n解解 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x), 2 , 1( n,10)1( nn 1555sin)10(51dxxnxbn級數(shù)偶函數(shù)與奇函數(shù)的二Fourier、:定義一、 設(shè) 是以 為周期的偶函數(shù),或是定義在fl 2 上的偶函數(shù),則稱,l l 10cos2 nnlxnaaf為為

28、 的余弦級數(shù)的余弦級數(shù),其中其中l(wèi)nndxlxnxfla0., 2 , 1 , 0,cos)(2 假設(shè) 是以 為周期的奇函數(shù),或是定義在 上的,l l fl 2 的奇函數(shù),則稱1sin nnlxnb為為 的正弦級數(shù)的正弦級數(shù),其中其中flnndxlxnxflb0., 2 , 1,sin)(2:奇偶延拓二、 若將定義在 (或 )上的函數(shù) 展成余弦級數(shù)或正弦級數(shù),先把定義在 (或 )上的函數(shù)作偶式延拓或作奇式延拓至 (或 )f, 0 , 0 l, 0 , 0 l,l l yxoyxo偶式延拓奇式延拓:1例,sin)(xxxf 設(shè)函數(shù)f 求 的Fourier級數(shù)展開式.:解f 是 上的偶函級,其周期

29、延拓后(如下圖),23xyo23f 由于 是按段光滑函數(shù),故可展開成余弦級數(shù).因?yàn)橐驗(yàn)?0,4sin2xdxa01, 0cossin2xdxxa., 4 , 2,114, 5 , 3, 0cossin220nnnnxdxxan所以所以122cos14412sinmmxmx12.,142cos21 2mxmmx:2例把把 在在 內(nèi)展成內(nèi)展成 xxf)() 2 , 0 (i) 正弦級數(shù)正弦級數(shù); (ii) 余弦級數(shù)余弦級數(shù).那么那么:解(i) 為了把為了把 展成正弦級數(shù)展成正弦級數(shù),對對 作奇式周期延拓作奇式周期延拓ffxyo22., 2 , 1,) 1(42sin22b 120nnndxxnxn所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)時(shí),由收斂定理由收斂定理 得得) 2 , 0 (x112sin) 1(4)(nnxnnxxf(ii) 為了把為了把 展成余弦級數(shù)展成余弦級數(shù),對對 作偶式周期延拓如下作偶式周期延拓如下圖圖:ffxyo26624848那么那么, 2a 200 xdx, 2 , 1,1) 1(42cos22a 2220nnndxxnxn)., 2 , 1(0,) 12(8a 2221 -2kkakk以以 為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)為為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)為),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn ), 2 , 1 , 0(cos)(1