洛侖茲規(guī)范的電磁場(chǎng)和光子

1、洛侖茲規(guī)范的電磁場(chǎng)和光子1.經(jīng)典場(chǎng)。電磁場(chǎng)的拉格朗日密度為：在洛侖茲規(guī)范下。則L可以變成：（1）正則坐標(biāo)為，正則動(dòng)量為：（2）則場(chǎng)的能量與動(dòng)量為：（3）（4）2.量子化將和作為正則共軛算符，且滿足正則對(duì)易關(guān)系：或：，（5）則完成了正則量子化。其運(yùn)動(dòng)方程為：，（6）將（3）式代入得：亦即：（7）這就是四維失勢(shì)，現(xiàn)在是算符的波動(dòng)方程。3.一般解。（7）式所示的波動(dòng)方程有平面波解，如§1.5，（32）式。諸平面波的疊加，就構(gòu)成它的一般解為：（8）或：（8）其中：為平面波因子（=1，2，3，4）是四個(gè)極化矢量，其定義如§1.5中（26）式示。（9）它們是正交，歸一，完備的，即：（1

2、0）（11），=1，2，（12）用右乘（8），并利用正交關(guān)系：得：再利用乘上式，并利用（10）式得：（13）同樣的方法可得：（14）4.動(dòng)量極化函數(shù)算符以上論述表明：電磁場(chǎng)可以用時(shí)空函數(shù)算符，描述，也可以用動(dòng)量，極化函數(shù)算符，表征，它們之間由（8），（13）及（14）式相聯(lián)系。變號(hào)（13）式的得：對(duì)上式求厄米共軛得：（注：，由于光子為一中性粒子）亦即（14）由于故（比較（14）與（14）（15）（16）動(dòng)量，極化函數(shù)算符的對(duì)易關(guān)系由（5）式可推知為：，（17）例如：將（8）式代入（3）式的H中得：若則故亦即（18）與P89同樣的理由，上式中包含與對(duì)求和項(xiàng)無(wú)貢獻(xiàn)，故上式亦即（19）5.三種光子在

3、場(chǎng)的能量、動(dòng)量表示（18）與（19）中，有算符（20）由對(duì)易關(guān)系（17）可以證明，（21）如：=，=1，2，3，4。而這樣，在N的對(duì)角化表象中，若則（22）即而表明，是光子的產(chǎn)生算符，消滅算符及光子數(shù)算符。光子的能量為，動(dòng)量為，極化為=1，2，3，4。=1，2的光子叫做橫光子，=3的光子叫做縱光子，=4的光子叫做標(biāo)量光子6.存在的問(wèn)題洛侖茲規(guī)范顯然是相對(duì)論的，可是有嚴(yán)重缺陷，首先對(duì)易關(guān)系與洛侖茲條件是矛盾，實(shí)際上對(duì)上式求導(dǎo)得。矛盾！其次，態(tài)失的模可能是負(fù)的。能量也可能是負(fù)的因?yàn)槿粲帽硎疽粋€(gè)標(biāo)量光子的狀態(tài)，則由（15），（16），（17）得：則即態(tài)失的模是負(fù)的，不可思議！而=1所以當(dāng)標(biāo)量光子數(shù)=

4、偶數(shù)時(shí)，態(tài)失的模是正的，反之當(dāng)標(biāo)量光子數(shù)=奇數(shù)時(shí)，態(tài)失的模是負(fù)的。另外：由于，而可正可負(fù)，這樣粒子數(shù)算符在態(tài)失中的平均值也可正可負(fù)，這故得由（18）式表示的能量算符在粒子態(tài)間的平均值也可能是負(fù)的。而這是物理上不允許的。7.量子場(chǎng)論中的洛侖茲條件當(dāng)我們把洛侖茲條件寫(xiě)成：（23）時(shí)，它與對(duì)易關(guān)系是矛盾的。在經(jīng)典電磁場(chǎng)的情況下，洛侖茲條件就是（23）式。但是，量子化以后，場(chǎng)量是算符，洛侖茲條件就不應(yīng)是（23）式的形式。實(shí)際上，在量子理論中，算符（如A）與態(tài)失（如）都沒(méi)有直接的物理意義，有直接物理意義的，是算符在態(tài)失中的平均值（如，和態(tài)的模（如）或標(biāo)積（如）。它們和經(jīng)典理論中的量相對(duì)應(yīng)，因此，量子場(chǎng)論

5、中的洛侖茲條件，不應(yīng)以算符的形式出現(xiàn)，而應(yīng)以算符在態(tài)失間的平均值的形式出現(xiàn)，令為物理上允許的狀態(tài)，則（23）式表示的經(jīng)典場(chǎng)論的洛侖茲條件應(yīng)變寫(xiě)成：（24）這樣，它和對(duì)易關(guān)系（5）就不矛盾了。下面我們繼續(xù)改寫(xiě)（24）式。由（8）式知，算符可分為成正數(shù)部分和負(fù)數(shù)部分，即：其中由于所以這樣（24）式可以變寫(xiě)成：或：這樣如果（25）（24）式自然成立，故可將上式看成是量子場(chǎng)論中的洛侖茲條件。將的平面波展開(kāi)式（8）代入上式得：對(duì)于確定的，上式變?yōu)椋河?#167;1.5節(jié)（29）式知：，（=1，2）故上式成為：將代入上式得：對(duì)于光子，故上式變成：亦即：對(duì)于任意的k，上式都成立，故上式表明（26）這就是以消

6、滅，產(chǎn)生算符表示的洛侖茲條件，是縱光子的消滅算符和產(chǎn)生算符，是標(biāo)量光子的消滅算符和產(chǎn)生算符。它們的能量動(dòng)量是相同，但都是任意的。只有滿足（26）式的狀態(tài)，才是物理上允許的。8.負(fù)模與負(fù)能困難的消除用（24），（25）或（26）表示的量子場(chǎng)論中的洛侖茲條件，不僅和對(duì)易關(guān)系不矛盾，還解決了標(biāo)量光子帶來(lái)的態(tài)失的負(fù)模及負(fù)能量的問(wèn)題。實(shí)際上，在能量，動(dòng)量表達(dá)式式（18）與（19）兩式中出現(xiàn)的縱光子與標(biāo)量光子數(shù)算符之和為由于洛侖茲條件(26)式，它們?cè)谖锢響B(tài)中的平均值為零，即因此，場(chǎng)的能量、動(dòng)量為：這表明：在物理上允許的態(tài)中，縱光子和標(biāo)量光子對(duì)場(chǎng)的能量、動(dòng)量沒(méi)有貢獻(xiàn)，且場(chǎng)的能量是正定的。令（27）（28）

7、可以證明：它們是相互對(duì)易的。如再令（29）（30）其中，都是任意的函數(shù)，顯然，它們的及它們的厄米共軛，之間都是相互對(duì)易的，即：用表示只有橫光子，沒(méi)有縱光子和標(biāo)量光子的狀態(tài)，顯然它滿足洛侖茲條件所以是物理上允許的狀態(tài)。用與作用在上得，則與將為已包含有橫光子，又包含有縱光子與標(biāo)量光子的狀態(tài)。且滿足洛侖茲條件其標(biāo)積為：這表明，縱光子和標(biāo)量光子對(duì)態(tài)失的標(biāo)積也是沒(méi)有貢獻(xiàn)的。態(tài)失的標(biāo)積和模，不管態(tài)中是否有縱，標(biāo)光子，都只由態(tài)中的橫光子確定。而橫光子的模是正定的。這就排除了態(tài)失負(fù)模的困難。綜合以上所述，由于采用了洛侖茲條件（24），（25）或（26），故縱光子和標(biāo)量光子既對(duì)算符在物理態(tài)中的平均值無(wú)貢獻(xiàn)，又對(duì)

8、物理態(tài)的標(biāo)積和模不起作用，因而它們是無(wú)法測(cè)量的。這樣就消除了縱光子和標(biāo)量光子引起的麻煩。從現(xiàn)在的物理觀點(diǎn)來(lái)看，縱光子和標(biāo)量光子可以以虛粒子的形式出現(xiàn)。§3.7 連續(xù)對(duì)稱(chēng)變換下的生成元和守恒量在§2.2節(jié)我們介紹了Noether定理，在那里我們知道，理論的對(duì)稱(chēng)性或不變性與守恒量或守恒定理相對(duì)應(yīng)。在那里討論的是經(jīng)典場(chǎng)，所以上述結(jié)論是對(duì)經(jīng)典場(chǎng)而言的。量子化后，經(jīng)典場(chǎng)量將被視為算符，所以對(duì)稱(chēng)性與守恒定律的關(guān)系應(yīng)考慮到算符的特點(diǎn)。這一節(jié)我們就是要討論量子場(chǎng)論中Noether定理的形式。1.連續(xù)變換下的生成元。在連續(xù)變換下，算符（經(jīng)典場(chǎng)論中的場(chǎng)量）的本征變換可用一個(gè)幺正算符u來(lái)實(shí)現(xiàn)（1

9、）其中，即G是一厄米算符稱(chēng)為幺正變換的生成元。同樣與相應(yīng)的正則動(dòng)量的本征變換也具有相同的形式，即：（2）而對(duì)于作為正則變量，的任意函數(shù)在上述變換下的本征變換亦為（3）如哈米頓算符（4）對(duì)于無(wú)窮小變換，G是一小量。所以（5）這樣所以（6）同樣（7）（8）（9）2.守恒量量子化后的正則變量，滿足如下的對(duì)易關(guān)系與運(yùn)動(dòng)方程。（10），而正則變量的函數(shù)F，其運(yùn)動(dòng)方程為：（11）若F不僅是正則變量，的函數(shù)，還是時(shí)間t的函數(shù)，則其運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)變寫(xiě)為：（12）取上式中的任意函數(shù)F為生成元G，則（13）顯然，若，則由（9）式知：，即生成元G為一守恒量。所以我們將滿足（14）的變換叫做對(duì)稱(chēng)變換，而稱(chēng)滿足上述條件的生

10、成元G為對(duì)稱(chēng)變換生成元。此時(shí)它為一守恒量，由此我們得量子場(chǎng)論的Noether：對(duì)稱(chēng)變換的生成元是守恒量，或守恒量是對(duì)稱(chēng)變換的生成元。3.時(shí)空平移變換在§2.3節(jié)，我們?cè)懻撨^(guò)時(shí)空平移變換，我們知道，時(shí)空平移變換是一種對(duì)稱(chēng)變換，相應(yīng)的守恒量是能量、動(dòng)量，（15）它們不顯含時(shí)間，按照上述定理，它們是對(duì)稱(chēng)變換的生成元。可以直接證明，它們確實(shí)是時(shí)空平移變換的生成元。在時(shí)空平移變換下，由§2.3節(jié)P40,41，（1），（3），（4）知，（16）取幺正算符，（17）其中是四維動(dòng)量矩，則（17）（18）在時(shí)間平移變換下，由（16）式知：而由（18）式得：由此得：此即為（10）式所示正則坐

11、標(biāo)的運(yùn)動(dòng)方程，這就證明了，哈米頓算符H是時(shí)間平移的生成元。在空間平移下，由（16）式得：而由（18）式得：這就證明了是空間平移的生成元。上述的是無(wú)窮小量，在有限大小的平移變換下，場(chǎng)量的本征變換按照（16）式應(yīng)為：（19）而按照（17）與（17）兩式（20）這樣：（21）或：（22）這是文獻(xiàn)中常常采用的時(shí)空平移變換公式。4.時(shí)空轉(zhuǎn)動(dòng)變換由§2.4節(jié)的討論知，時(shí)空轉(zhuǎn)動(dòng)，亦即洛侖茲變換，也是一種對(duì)稱(chēng)變換，相應(yīng)的守恒量為：則按照上述定理，它們是洛侖對(duì)稱(chēng)變換的生成元亦即，（23）下面我們來(lái)證明，上式的G亦即確實(shí)是洛侖茲對(duì)稱(chēng)變換的生成元。在洛侖茲變換下，（24）四維動(dòng)量矢量作變換（25）所以（26）在空間轉(zhuǎn)動(dòng)變換下，（27）而相應(yīng)的生成元為：由于，同理故（28）而不顯含時(shí)間t，所以，因此G，亦即是洛侖茲對(duì)稱(chēng)變換的生成元。在狹義的洛侖茲變換下（空間坐標(biāo)保持不變），（29）相應(yīng)的生成元（30）而（31）同理（32），故（33）而（34）則故G，亦即是狹義洛侖茲對(duì)稱(chēng)變換的生成元。5.內(nèi)部空間的對(duì)稱(chēng)性在