高等數(shù)學(xué)-D12_11冪級(jí)數(shù)法ppt課件

1、機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 第十一節(jié)微分方程的冪級(jí)數(shù)解法 一、一階微分方程問題一、一階微分方程問題 微分方程解法: 積分法 只能解一些特殊類型方程 冪級(jí)數(shù)法 本節(jié)引見 數(shù)值解法 計(jì)算數(shù)學(xué)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容: 第十二章 一、一階微分方程問題一、一階微分方程問題 ),(ddyxfxy00yyxx.),(00的多項(xiàng)式及是其中yyxxyxf冪級(jí)數(shù)解法: 202010)()(xxaxxayy將其代入原方程, 比較同次冪系數(shù)可定常數(shù) ,21aa由此確定的級(jí)數(shù)即為定解問題在收斂區(qū)間內(nèi)的解. 設(shè)所求解為本質(zhì)上是待定系數(shù)法nnxxa)(0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 例例1. 2yxy求方程解解

2、:根據(jù)初始條件, 設(shè)所求特解為nnxaxaxay221代入原方程, 得.00的特解滿足xy453423215432xaxaxaxaa233221)(xaxaxax43122321221)2(2xaaaxaaxax比較同次冪系數(shù), 得, 01a,212a, 03a, 04a,2015a故所求解的冪級(jí)數(shù)前幾項(xiàng)為 52201xxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 二、二階齊次線性微分方程二、二階齊次線性微分方程 0)()( yxQyxPy定理定理. nnnxay0那么在R x 4 時(shí),111nnana44)2)(1(1ann! ) 1(1n機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 因此nnnxay0nn

3、xn4! ) 1(1nnxnx3!1,!10nnxxne)211(2xxexyx留意到:此題的上述特解即為機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 定理 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 例例3.0) 1(2)1 (2 ynnyxyx)( 為常數(shù)n解解:,12)(2xxxP21) 1()(xnnxQ內(nèi)都可在)1 , 1(求解勒讓德 (Legendre) 方程 展成冪級(jí)數(shù), 滿足定理?xiàng)l件(因其特點(diǎn)不用詳細(xì)展開它).設(shè)方程的解為,0kkkxay代入: 22) 1(kkkxakkkkkxakk2) 1(kkkxak120) 1(0kkkxann整理后得:0) 1)() 1)(2(20kkkkxaknknakk比較系數(shù), 得), 1 ,0() 1)(2() 1)(2kakkknknakk例如:02!2) 1(anna13!3)2)(1(anna2443)2)(2(anna0!4)3)(1()2(annnn3554)4)(3(anna1!5)4)(2)(1)(3(annnn機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 于是得勒讓德方程的通解: 420!4)3)(1()2(!2) 1(1xnnnnxnnay31!3)2)(1(xnnxa5!5)4)(2)(1)(3(xnnnn) 11(x上式中兩個(gè)級(jí)數(shù)都在(1, 1 )內(nèi)收斂, 10, aa可以恣意取,