中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.ppt課件

1、第三章 習(xí)題課中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一 基本要求1、理解羅爾定理、拉格朗日中值定理，會用他們證明一些等式或不等式。2、了解柯西中值定理及泰勒中值定理的條件和結(jié)論，會求簡單函數(shù)的泰勒公式及麥克勞林公式。3、熟練掌握洛必達(dá)法則，并利用它求未定式的極限。4、理解函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)正負(fù)號的關(guān)系，會判斷函數(shù)的單調(diào)性。5、掌握極值的概念和求法，掌握最大(小)值的求法。6、了解函數(shù)圖形的凹凸性與拐點的概念，并會判斷曲線的凹凸性與拐點。7、了解微分作圖法。二 要點提示1、洛必達(dá)法則若在自變量某一變化過程中( 或 )，（1） 為（ ）或（ ）型未定式；（2） ， 可導(dǎo)，且 ；（3） 存在或 ；那

2、么0 xx x)()(limxgxf00)(xf)(xg0)( xg)()(limxgxf)()(lim)()(limxgxfxgxf運用洛必達(dá)法則求未定式極限時應(yīng)該注意下述兩點：(1)先檢查法則的條件是否具備，特別要注意極限是否未定式， 是否存在或 。(2)配合使用其它求極限的方法，例如，化簡、分子(分母)有理化、先求出非零因式的極限，等價無窮小替代等，以使運算簡便。注：對于 及 ， ， 型未定式，可通過變形轉(zhuǎn)化為( )或( )型，再運用洛必達(dá)法則。 )()(limxgxf)(),0(0001002、判定函數(shù)單調(diào)性的方法假設(shè) ， ，那么 在 上單調(diào)增加；假設(shè) ， ，那么 在 上單調(diào)減少。0)

3、( xf),(bax)(xfy ,ba),(bax)(xfy ,ba0)( xf3、判定曲線凹凸的方法假設(shè) ， ，那么 在 上的圖形是凹的；假設(shè) ， ，那么 在 上的圖形是凸的。0)( xf),(bax)(xf,ba0)( xf),(bax)(xf,ba4、極值可能極值點為：駐點和不可導(dǎo)點。判定極值的方法：(1)第一種充分條件：設(shè) 為可能極值點，考察 兩側(cè)導(dǎo)數(shù) 是否改變符號。(2)第二種充分條件：假設(shè) ， ，那么當(dāng)時 ， 在 處取得極大值；當(dāng)時 ， 在 處取得極小值。注：當(dāng) 時，方法失效。 0)(0 xf0 x0 x)(xf 0)(0 xf0)(0 xf)(xf0 x0)(0 xf)(xf0

4、x0)(0 xf5、拐點連續(xù)曲線 上凹弧與凸弧的分界點稱為曲線的拐點( )。可能的拐點為：使 和 不存在時曲線上相應(yīng)的點( )。斷定( )是拐點的方法：考察 左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù) 是否改變符號。)(xfy )(,00 xfx0)(0 xf)(xf )(,xfx)(,00 xfx0 x)(xf 三 問題與思考問題1、下面例題方法對嗎？（1）（2） 不存在。02lim12lim1limlim2222121311xexexxexexxxxxxxxxxxxxxxxcos1cos1limsinsinlim答：均為錯誤。(1)不是未定式.事實上 ， 。(2)應(yīng)為（ ）說明：洛必達(dá)法則不是萬能的。1lim012

5、eexx21limxxxe1sin11sin11limsinsinlimxxxxxxxxxx0sin1limxxx問題2、假如 在 取得極值，是否必有 ？答：不一定。因為函數(shù)還可以在導(dǎo)數(shù)不存在的點取得極值。 )(xf0 x0)(0 xf問題3、如果可導(dǎo)函數(shù) 當(dāng) 時，有 ，則當(dāng) ，有 ，該結(jié)論正確嗎？ )(xfax 0)( xfax 0)(xf答：不對。因為當(dāng) 時， ，只能說明 當(dāng) 時是單調(diào)增加的，不能保證 。例如 ，當(dāng)時 ， ，但當(dāng) 時， 。ax 0)( xf)(xfax 0)(xfxxf1)(0 x01)(2xxf0 x01)(xxf問題4、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常用方法有哪些？(1)利用拉格郎日的中值定理。例(2)利用函數(shù)的單調(diào)性,例:當(dāng) 時,(3)利用泰勒公式，同2）。(4)利用函數(shù)的最大最小值。(5)利用函數(shù)圖形的凹凸性。aababbabln20 x331tanxxx四 典型題目1、求極限(1)(2)(3)(4)xxxxcossec)1ln(lim20 xexx10limxxxxxcba10)3(limnnnlnlim)(xf),(0)0()0( ff0, 00,)()(xxx