—函數(shù)極限與連續(xù)

1、第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)§1.1 函 數(shù) 函 數(shù)一、 函數(shù)的概念1、 函數(shù)的定義定義1.1：設(shè)是兩個變量，D是一個給定的非空數(shù)集。若對于每一個數(shù)，按照某一確定的對應(yīng)法則，總有唯一確定的數(shù)值與之對應(yīng)，則稱變量是的函數(shù)，記作：， 其中： 自變量，因變量， 對應(yīng)法則，D該函數(shù)的定義域。幾點說明：定義域D：為自變量的取值范圍，也就是使函數(shù)有意義的一個數(shù)集。記作：當(dāng)自變量取定時，與對應(yīng)的數(shù)值稱為函數(shù)在點處的函數(shù)值，記作：或 對應(yīng)法則：是反映與的對應(yīng)規(guī)則的，即是的函數(shù)關(guān)系，例如：對應(yīng)法則是：“因變量是自變量的平方”。值域：當(dāng)取遍中的每一個值時，對應(yīng)的函數(shù)值組成的集合稱為函數(shù)的值域，記作：， 。2

2、、 函數(shù)的兩要素()由函數(shù)的定義可知，定義域和對應(yīng)法則是函數(shù)定義的兩個要素，如果兩個函數(shù)具有相同的定義域和對應(yīng)法則，那么它們就是同一個函數(shù)。例1 求下列函數(shù)的定義域。（1）；（2）。解 （1）要使有意義，則分母，解得： 且，所以函數(shù)的定義域為。（2）要使有意義，則有，解得： ，所以函數(shù)的定義域為。（定義域有三種表示方式，這里要講解一下。）例2 已知函數(shù)，求。解；例3 比較下面幾組函數(shù)是否相同？（1）；（2）； （3）。解 （1）的而 僅當(dāng)時，才相同 故，不是相同的函數(shù)。（2）的， 的， 而 僅當(dāng)時，才有相同的對應(yīng)規(guī)則， 故，不是相同的函數(shù)。（3）的是，的是 僅當(dāng)時，才有相同的對應(yīng)規(guī)則， 故，不

3、是相同的函數(shù)。例4 判斷下列函數(shù)是否為相同函數(shù)（1）（2）解：（1）定義域： 的 的 顯然兩個函數(shù)的定義域是不同的， 與不是相同的函數(shù)。（2）定義域：的 的 ，顯然定義域同 對應(yīng)法則：的值域 的值域 即：在內(nèi)，與的對應(yīng)規(guī)則是不一樣的，故 與不是相同的函數(shù)。3、 函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法有三種：解析法（公式法）、列表法、圖象法表示。1) 解析法函數(shù)的對應(yīng)法則用數(shù)學(xué)表達式表示。例如：函數(shù)，等等就是用解析法表示的函數(shù)，優(yōu)點：簡單明確，便于數(shù)學(xué)研究、理論分析和計算等。當(dāng)在其定義域內(nèi)取任意值時，可由解析式計算出相應(yīng)的值。2) 列表法用表格表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系。例如：某商品在月份的銷售量調(diào)查表如下：

4、月份123456銷售量605843502539上表給出了月份與銷售量之間的函數(shù)關(guān)系。優(yōu)點：很容易找到對應(yīng)于自變量的某一函數(shù)值。缺點：局限性，不可能列出全部函數(shù)值。3) 圖象法函數(shù)的對應(yīng)法則用建立在平面直角坐標系上的幾何圖形來表示。圖1-1例如：氣象臺每天用自動記錄儀把一天中的氣溫變化情況自動描繪在記錄紙（如圖1-1所示）。這是用圖形表示的函數(shù)，氣溫與時間的函數(shù)關(guān)系它的定域。當(dāng)時間在其定義域內(nèi)取任意值時，在曲線上都可找到一個與之對應(yīng)的氣溫值。優(yōu)點：方便找出對應(yīng)某一時間的溫度值，并能觀察出函數(shù)的變化趨勢。4、 分段函數(shù)有些函數(shù)關(guān)系，其函數(shù)定義不是用一個表達式完成的，而是把整個定義域分成若干個區(qū)間段

5、，與一個區(qū)間段內(nèi)的對應(yīng)的函數(shù)值用一個表達式給出。分段函數(shù)對于不能用一個統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達式表示，有時要用兩個以上的數(shù)學(xué)式來表示同一個函數(shù)，即在定義域的不同部分，用不同的數(shù)學(xué)式來表達的函數(shù)，稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域：是各段函數(shù)自變量取值范圍之并。注：分段函數(shù)是用幾個式子表達的同一個函數(shù)，而不是多個函數(shù)。例5： 已知分段函數(shù)，（1）求、和； （2）求函數(shù)的定義域； （3）畫出函數(shù)圖形。解（1）當(dāng)時，條件成立，按表達式計算，從而。當(dāng)時，仍有條件成立，仍按這一表達式計算，有。當(dāng)時，條件成立，按表達式計算，從而 。（2）分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值范圍之總和，依題設(shè)定義域應(yīng)為：圖1-2，即。（3）

6、函數(shù)圖形由函數(shù)的段與直線的段組成，分別將兩個圖形對接在同一圖中，就得到了給定函數(shù)的圖形。（如圖1-2所示）二、 函數(shù)的幾何特性1、 函數(shù)的奇偶性定義1.2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，若對于任意的，恒有，則稱為偶函數(shù)；（圖象關(guān)于軸對稱），則稱為奇函數(shù)。（圖象關(guān)于原點對稱）偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱 奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱例如：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是偶函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是奇函數(shù)。例6：判斷下列函數(shù)的奇偶性（1）； （2）；（3）。解：（1）的，對任意，有：為偶函數(shù)。（2）的，對任意，有：為非奇非偶函數(shù)。（3）的：，解得：，對任意，有：為奇函數(shù)。2、 函數(shù)的單調(diào)性定義1.3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，對于區(qū)間內(nèi)的任意

7、兩點， 當(dāng)時，有，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)增加的； 當(dāng)時，有，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是單調(diào)減少的。例7：判斷下列函數(shù)的單調(diào)性（1）； （2）； （3） 。解：（1）的，設(shè)且，有：，即 在內(nèi)是單調(diào)增加的。（2）的，設(shè)且，有：，即 在內(nèi)是單調(diào)減少的。 （3）的，設(shè)且，有： 在內(nèi)，設(shè)有：，即 在內(nèi)是單調(diào)減少的。 在內(nèi)，設(shè)有：，即 在內(nèi)是單調(diào)增加的。注意：函數(shù)在整個定義域區(qū)間內(nèi)無單調(diào)性可言。3、 函數(shù)的周期性定義1.4設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果存在一個不為零的實數(shù)，對于任意的，有，且有恒成立，則稱是周期函數(shù)。實數(shù)稱為周期。通常我們所說的周期函數(shù)的周期指的是函數(shù)的最小正周期。函數(shù)是周期函數(shù),即有：顯然，都是函數(shù)

8、的周期，而是它的最小正周期。函數(shù)都是以為周期的周期函數(shù)；都是以為周期的周期函數(shù)。注：若是以為周期的函數(shù)，則就是以為周期的函數(shù)。例如： ，； ，4、 函數(shù)的有界性定義1.5 設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果存在一個正數(shù)，對于任意的，恒有，則稱在上有界。否則無界。函數(shù)圖形介于兩條直線和之間，即有：，這時稱在內(nèi)是有界函數(shù)。有界函數(shù)圖形必介于平行于軸的兩條直線之間。常見的有界函數(shù)有：，等。 反 函 數(shù)一、 反函數(shù)概念1、 反函數(shù)的定義在研究兩個變量之間的依賴關(guān)系時，根據(jù)具體問題的實際情況，需要選定其中一個為自變量，那么另一個就是因變量（或函數(shù)）。定義1.6 已知函數(shù)：，若對于任意一個，中只有唯一的一個數(shù)與對

9、應(yīng)，使得：成立，這就以為定義域確定了一個新函數(shù)，這個函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù)，記作：， 按習(xí)慣記法，作自變量，作因變量，于是函數(shù)的反函數(shù)一般寫作：說明：反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域。 函數(shù)與兩者互為反函數(shù)。例1 求下列函數(shù)的反函數(shù)。（1）； （2）。解：（1）先由直接函數(shù)解出： ， 再將x，y互換，得到按習(xí)慣記法的反函數(shù)為： 。（2）先由直接函數(shù)解出： ，再將x，y互換，得到按習(xí)慣記法的反函數(shù)為： 。例2 求下列函數(shù)的定義域和值域。（1）； （2）。解：（1） 定義域，由，定義域，根據(jù)反函數(shù)的定義域為原函數(shù)的值域，得： 原函數(shù)的值域即為：。 （2） 定義域，由，定義域 原函數(shù)的值域即。2、 反函

10、數(shù)與直接函數(shù)的關(guān)系在同一直角坐標系下，函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線為對稱。 基本初等函數(shù)一、 基本初等函數(shù)(6種)基本初等函數(shù)是我們中學(xué)已經(jīng)學(xué)過的函數(shù)，在此，我們僅對它們及它們的圖象、性質(zhì)作以簡要復(fù)習(xí)。包括常值函數(shù)在內(nèi)，基本初等函數(shù)共有6種：1常量函數(shù)：2冪函數(shù)： 定義域隨n而異，但不論n取何值，它在區(qū)間內(nèi)總是有定義的。例如，當(dāng)時，定義域為；當(dāng)時，定義域為；當(dāng)時，定義域為；當(dāng)時，定義域為。圖像我們分和分別討論。A. 當(dāng)時，冪函數(shù)圖象過點和，在內(nèi)單調(diào)增加且無界。圖1-3冪函數(shù)的圖象過點，冪函數(shù)在時的函數(shù)值為；與的圖象關(guān)于直線對稱； 若與均為常數(shù)，且，則在點的左側(cè)，曲線在之下， 即時；而在點的右側(cè)

11、，曲線在之上， 即時，。B. 當(dāng)時，冪函數(shù)圖象過點，在內(nèi)單調(diào)減少且無界。圖1-4所示。例如：；3指數(shù)函數(shù), , 指數(shù)函數(shù)的圖象如圖1-5所示。圖象特征：因定義域是故恒有，所以指數(shù)函數(shù)圖象全部位于軸上方；當(dāng)時，它是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時，它是單調(diào)減函數(shù)；該函數(shù)無零點，與軸的交點為。常用的指數(shù)函數(shù)是，其中是一個無理數(shù)，4對數(shù)函數(shù)(且)，對數(shù)函數(shù)的圖形如圖1-6所示。圖象特征：因定義域是故圖象全部在軸右方；當(dāng)時，為單調(diào)減函數(shù)；當(dāng)時，為單調(diào)增函數(shù)；該函數(shù)無零點，與軸的交點為。軸為指數(shù)函數(shù)的漸進線。對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，圖形關(guān)于直線為對稱。常用的對數(shù)函數(shù)有： 和 是以10為底的對數(shù)函數(shù)，稱為常用對數(shù)函

12、數(shù)，是以為底的對數(shù)函數(shù)，稱為自然對數(shù)函數(shù)。（自然對數(shù)函數(shù)將是本課程中更為常見的對數(shù)函數(shù)）5三角函數(shù)三角函數(shù)是統(tǒng)稱，包括：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)和余割函數(shù)。正弦函數(shù)：，如圖1-7所示，定義域為，值域為，它的特性是：有界、奇函數(shù)、周期函數(shù)（周期為）。余弦函數(shù)：，如圖1-8所示，定義域為，值域為，它的特性是：有界、偶函數(shù)、周期函數(shù)（周期為）。 圖1-9 與都是周期函數(shù)，周期均為。（如圖1-9所示）正切函數(shù)：， （如圖1-10所示）定義域為，值域為，它的特性是：無界、奇函數(shù)、周期函數(shù)（周期為）。余切函數(shù)： （如圖1-11所示）定義域為 值域為，它的特性是：無界、奇函數(shù)、周期函

13、數(shù)（周期為）。圖1-11圖1-10正割函數(shù)：只需知道，其它不作詳細討論。余割函數(shù)：只需知道，其它不作詳細討論。6反三角函數(shù)反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，常用的反三角函數(shù)包括：說明：正弦函數(shù)在其定義域內(nèi)不具備單調(diào)性，故應(yīng)不存在反函數(shù)。 但如果我們限定自變量的取值范圍，使得函數(shù)在限定的區(qū)間內(nèi)具備單調(diào)性，于是就可以討論三角函數(shù)的反函數(shù)了。反正弦函數(shù)： (如圖1-12所示)，定義域為，值域為。圖1-12 反正弦函數(shù)圖象定義域： ； 值域：.但如果我們限定自變量在指定區(qū)間上取值，則它在該區(qū)間就變成了單調(diào)增加，于是在該區(qū)間就有反函數(shù)存在了要點?。ㄈ鐖D1-12所示）反余弦函數(shù)：(如圖1-13所示)，定義域為

14、，值域為。圖1-13 反余弦函數(shù)圖象定義域： ； 值域：.但如果我們限定自變量在指定區(qū)間上取值，則它在該區(qū)間就變成了單調(diào)增加，于是在該區(qū)間就有反函數(shù)存在了要點?。ㄈ鐖D1-13所示）反正切函數(shù)：(如圖1-14所示)，定義域為，值域為。反余切函數(shù)：(如圖1-15所示)，定義域為，值域為。圖1-15 反余切函數(shù)圖1-14反正切函數(shù) 復(fù)合函數(shù)在實際應(yīng)用中，兩個變量的聯(lián)系有時不是直接的，而是通過另一變量間接聯(lián)系起來的。例如：設(shè)，用代替中的，得到。這就是說函數(shù)是由經(jīng)過中間變量復(fù)合而成的。即：是由和這兩個函數(shù)復(fù)合在一起構(gòu)成的，我們稱為復(fù)合函數(shù)。1. 定義定義1.7 ：已知兩個函數(shù)：設(shè)是的函數(shù)，是的函數(shù)，若的

15、值域的全部或部分能使有意義，則稱是通過中間變量構(gòu)成的函數(shù)，即是的復(fù)合函數(shù)。記作：通常稱為外層函數(shù)，為內(nèi)層函數(shù)，其中是自變量，是中間變量。幾點說明：并不是任何兩個函數(shù)都可以構(gòu)成一個復(fù)合函數(shù)。例如，就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，因為的值域是，而 的定義域是。當(dāng)“對于值所對應(yīng)的值，無意義”，則這時二者就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。 給出一般判斷方法：， 定義域 ，值域 當(dāng) 時，則與才能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)不僅可由兩個函數(shù)，也可由多個函數(shù)相繼復(fù)合而成。分解復(fù)合函數(shù)時，多采用“由外向內(nèi)，逐層分解”法。例1 ：已知函數(shù)，求二者而成的復(fù)合函數(shù)。解：。例2 ：已知函數(shù)， 求：三者而成的復(fù)合函數(shù)。解：。例3 ：已知函數(shù)， 求（1

16、）；（2）；（3）。解：（1） （將代換中的得到的）；（2）（將代換中的得到的）；（3） （將代換中的得到的）。注意：“復(fù)合函數(shù)”本質(zhì)就是一個函數(shù)（不是一類新型的函數(shù)），今后經(jīng)常需要將一個給定的函數(shù)看成是由若干個基本初等函數(shù)復(fù)合而成的形式，叫“分解復(fù)合函數(shù)”。2. 復(fù)合函數(shù)分解法（“由外向內(nèi)”分解法）即由最外層函數(shù)起，層層向內(nèi)進行，直到分解出自變量的基本初等函數(shù)為止。例4 ：下列函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的。（1）；（2）解：（1）令（對數(shù)函數(shù)），則； 令（反正弦函數(shù)），則；因 （冪函數(shù)），已經(jīng)是基本初等函數(shù)了，所以不用再分解了；是由基本初等函數(shù)，復(fù)合而成的。（2）令（冪函數(shù)），則；(實

17、際上就是的一種習(xí)慣簡寫形式。） 而（反正弦函數(shù)），已經(jīng)是基本初等函數(shù)了，不用再分解了；是由基本初等函數(shù)，復(fù)合而成的。例5： 分解下列復(fù)合函數(shù)。（1）；（2）；（3）；（4）。解 （1）是由 復(fù)合而成的；（2）是由 復(fù)合而成的；（3）是由 復(fù)合而成的；（4）是由 復(fù)合而成的。例6：判斷下列函數(shù)能否構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。（1），； （2），。解：（1），定義域，值域，不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。（2），定義域，值域，不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。 初等函數(shù)初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和有限次的復(fù)合運算而成，且能用一個式子表達的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)。例如，函數(shù)； 均為初等函數(shù)。說明：初等函數(shù)的構(gòu)成既有函數(shù)的四則運算

18、，又有函數(shù)的復(fù)合，所以我們必須掌握把初等函數(shù)按基本初等函數(shù)的四則運算和復(fù)合形式分解開來。復(fù)合函數(shù)一般都是初等函數(shù)。分段函數(shù)不是初等函數(shù)。微積分學(xué)中研究的函數(shù)，主要都是初等函數(shù)。例7 ：將下列函數(shù)按基本初等函數(shù)的復(fù)合與四則運算形式分解（1） （2） （3） （4）。解：（1）令 則 又令 則 則 由下列函數(shù)構(gòu)成： （2）令 則 又令 則得到 則由下列函數(shù)構(gòu)成：（3） 由下列函數(shù)構(gòu)成： （4） 由下列函數(shù)構(gòu)成： 函數(shù)關(guān)系的建立(選講)在解決工程技術(shù)問題、經(jīng)濟問題等實際應(yīng)用中，經(jīng)常需要找出問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后再利用有關(guān)的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法去分析、研究、解決這些問題。由于客觀世界中變量之間的

19、函數(shù)關(guān)系是多種多樣的，往往要涉及到幾何、物理、經(jīng)濟等各門學(xué)科的知識，因此建立函數(shù)關(guān)系式?jīng)]有一般規(guī)律可循，只能具體問題具體分析。下面通過幾個簡單的實例來說明建立函數(shù)關(guān)系式的方法。例1 北京到某地的行李費按如下規(guī)定收取，當(dāng)行李不超過50千克時，按基本運費0.30元/千克計算，當(dāng)超過50千克時，超過部分按0.45元/千克收費，試求北京到該地的行李費(元)與行李重量x (千克)之間的函數(shù)關(guān)系。解： 當(dāng)時，；當(dāng)時，。所以行李費(元)與行李重量x (千克)之間的函數(shù)關(guān)系為：例2 在一次人才招聘會上，有、兩家公司分別開出他們的工資標準，公司允諾第一年的月工資數(shù)為1500元，以后每年月工資比上年月工資增加23

20、0元，公司允諾第一年的月工資數(shù)為2000元，以后每年月工資在上年月工資的基礎(chǔ)上遞增5%，設(shè)某人年初被、兩家公司同時錄取，試問：若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作n年，則第n年的月工資分別是多少？該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘標準，應(yīng)選擇哪家公司？解：（1）根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系如下:此人在A公司第n年的月工資數(shù)為：此人在B公司第n年的月工資數(shù)為：（2）若此人在A公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為：若此人在B公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為：由于在A公司收入略高于在B公司的收入，故此人應(yīng)選擇在A公司工作。例3 (復(fù)利息問題)設(shè)銀行將數(shù)量為的款貸出，每期

21、利率為。若一期結(jié)算一次，則期后連本帶利可收回：；若每期結(jié)算次，則期后連本帶利可收回，此函數(shù)既可看成期數(shù)的函數(shù)，也可看成結(jié)算次數(shù)的函數(shù)?，F(xiàn)實生活中一些事物的生長()和衰減()就遵從這種規(guī)律。而且是立即產(chǎn)生立即結(jié)算。例如：細胞的繁殖、樹木生長、物體冷卻、放射性元素的衰減等等此類計算銀行復(fù)利問題會用到極限概念，我們將在后面極限理論部分中的兩個重要極限中會遇到此類問題的極限表示法。§1.2極 限 數(shù)列極限一、 引例引例：(割圓術(shù)) 中國古代數(shù)學(xué)家劉徽早在公元263年就用“割圓求周”（簡稱“割圓術(shù)”）的方法，算出。劉徽注意到圓內(nèi)接正多邊形的面積小于圓面積，且當(dāng)將邊數(shù)屢次加倍時，正多邊形的面積增

22、大，邊數(shù)愈大則正多邊形面積愈近于圓的面積?！案钪畯浖?，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣?！边@幾句話明確地表明了劉徽的這一思想。如圖1-16所示，當(dāng)內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，多邊形的邊就越貼近圓周。圖1-16具體操作如下：先把直徑為1的圓分成六等分，求得內(nèi)接正六邊形的周長；再平分各弧求內(nèi)接正十二邊形的周長；這樣繼續(xù)割下去，就得到一個數(shù)列，若以表示其通項，則的值就是正邊形的周長，見下表： 表2-1序號內(nèi)接正多邊形數(shù)（）正多邊形周長（）163.000000002123.105828543243.132628614483.139350205963.1410319461923.141

23、4524773843.1415576187683.14158389915363.141590461030723.1415921061161443.14159251712122883.14159261913245763.14159264514491523.14159265115983043.141592653 由該表可看出，數(shù)列的通項隨著的無限增大而無限地接近于圓的周長，這正如劉徽所說的，“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。”這個例子反映了一類數(shù)列的一種性質(zhì)：對數(shù)列，存在某一個常數(shù)，隨著的無限增大，能無限接近于這一常數(shù)，這時稱數(shù)列以為極限。二、 數(shù)列極限定義1、

24、數(shù)列按自然數(shù)順序排列成有序的無窮多個數(shù)，稱為數(shù)列，數(shù)列通常記作： 則數(shù)列展開為： 一般也簡記作： 。其中稱為數(shù)列的一般項。我們所要研究的就是當(dāng)無限增大時，數(shù)列的變化趨勢。 觀察下面幾個數(shù)列：，數(shù)列：，當(dāng)時，無限趨近于一個確定的常數(shù)；，數(shù)列：，當(dāng)時，數(shù)列無限趨近于一個確定的常數(shù)1；，數(shù)列：；當(dāng)時，數(shù)列不趨近于一個確定的常數(shù)；，數(shù)列：，當(dāng)時，始終在數(shù)+1和來回跳動，它不趨近于一個確定的常數(shù)。2、 數(shù)列極限定義定義2.1：設(shè)數(shù)列：，若當(dāng)時，若數(shù)列能無限趨近于某一個確定的常數(shù)，則稱常數(shù)A為該數(shù)列當(dāng)時的極限，并記作： 或 讀作：“當(dāng)趨于無窮大時，的極限等于”，或 “當(dāng)趨于無窮大時，趨于”。由定義前述4個

25、數(shù)列表示為： 無極限；圖1-17 在之間跳動，無極限。例1求數(shù)列的極限。解 由下表和圖1-17可看出，當(dāng)，無限趨近于1。12341010021.51.3331.251.011.001即說明：應(yīng)當(dāng)注意，并不是任何數(shù)列都有極限。 有極限的數(shù)列稱為收斂數(shù)列；沒極限的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列。例2寫出下列數(shù)列，并判斷數(shù)列是否有極限解： 數(shù)列： 當(dāng)時， （收斂于1）數(shù)列： 當(dāng)時， （收斂于0）數(shù)列： 當(dāng)時， 無極限。 （發(fā)散的）數(shù)列的一種特殊記法如下：象前述出現(xiàn)的，當(dāng)時，。對這類數(shù)列雖無極限，但有確定的變化趨勢，我們可以借用極限記法表示為： （發(fā)散的）但一定要注意：該數(shù)列是發(fā)散的，只是我們?yōu)榱搜芯繂栴}方便借用極

26、限的技法表示其變化趨勢而已。同理，數(shù)列數(shù)列，則可分別表示為： 函數(shù)的極限圖7 個人所得稅函數(shù)圖前面我們討論了數(shù)列的極限，數(shù)列極限只是一種特殊的函數(shù)極限。它研究的是自變量取正整數(shù)且無限增大時函數(shù)的變化趨勢。下面我們來討論一般函數(shù)的極限問題。可按照自變量的兩種變化趨勢來討論函數(shù)的極限。一、 時函數(shù)的極限1、 的含義例1 ：考察函數(shù)當(dāng)時的變化趨勢。由圖1-18看出：當(dāng)取正值且無限增大，函數(shù)無限趨近于常數(shù)圖1-18記作：，讀作：“趨向于正無窮大” ；當(dāng)取負值且絕對值無限增大，函數(shù)也無限趨近于常數(shù)記作：， 讀作：“趨向于負無窮大”；以后當(dāng)我們討論“當(dāng)時，函數(shù)的極限”，就是討論“當(dāng)自變量的絕對值無限增大時

27、，函數(shù)的變化趨勢”。（見如下定義）2、 時函數(shù)極限定義定義2.2 ：設(shè)函數(shù)當(dāng)無限增大時，即時，若函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)，那么就叫做函數(shù)當(dāng)時的極限，記作： 或 由定義可知，上例中當(dāng)時，函數(shù)的極限為0，即 。3、 幾何意義由圖1-18可看出，曲線有兩個分支： 右側(cè)分支沿軸正向無限伸遠時，越來越接近于直線（但永遠不會相交）；左側(cè)分支沿軸負向無限伸遠時，越來越接近于直線（但永遠不會相交）； 于是，我們稱直線為曲線的水平漸近線。但有時的變化趨向只能或只需考慮這兩種變化中的一種情形。4、 單側(cè)極限有時，我們討論或時，函數(shù)的變化趨勢：若時，若函數(shù)能無限趨近于一個確定的常數(shù)，則稱函數(shù)當(dāng)時以為極限，記作：

28、 若時，若函數(shù)能無限趨近于一個確定的常數(shù)，則稱函數(shù)當(dāng)時以為極限，記作： 前面如圖1-18所示，有及，這兩個極限值與相等，都等于0。由此不難得出極限存在的充分必要條件。5、 極限存在的充要條件 極限存在且等于的充分必要條件是極限與都存在且等于，即：例1 ： 討論下列函數(shù)有無極限解： 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 即 當(dāng)時，； 當(dāng)時，即 無極限。圖1-19例2 ： 求 。解： 如圖1-19所示，因為，。所以： 不存在。例3 ： 討論下列函數(shù)有無極限并繪出函數(shù)圖形。； 解： 而 不存在。 而 不存在。二、 時函數(shù)的極限1、 的含義：表示（是個有限值），且趨向于，既從的左側(cè)趨近于；：表示（是個有限值），且趨向于

29、，既從的右側(cè)趨近于；：表示和同時發(fā)生?！爱?dāng)時，函數(shù)的極限”，就是在點的某鄰域內(nèi)討論當(dāng)自變量無限接近 （但）時，函數(shù)的變化趨勢。例4 ：考察當(dāng)時，函數(shù)的變化趨勢。 為了清楚起見，我們把時，函數(shù)的變化情況列成下表：1.91.991.99922.0012.012.12.952.9952.999533.00053.0053.05圖1-20由上表及圖1-20可知：當(dāng)時，函數(shù)的值無限趨近于3。2、 時函數(shù)極限定義定義2.3：設(shè)函數(shù)在點的附近有定義（在可以沒定義），若當(dāng)時，函數(shù)無限趨近于一個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當(dāng)時的極限，記作： 或 由定義可知，例7中，當(dāng)時，函數(shù)的極限為3，即。例5 用圖形法求下列函數(shù)的

30、極限：（1）；（2）。解 （1）如圖1-21可知，無論從大于零的方向還是從小于零的方向趨近于0，的值總是無限趨近于0，因此，有=0。圖1-21圖1-22（2）函數(shù)的定義域為雖然函數(shù)在處無定義，但由圖1-22可知，無論從小于1還是大于1的方向趨近于1，函數(shù)的值總是無限趨近于2，因此，有。注意： 例（1）中，即在時的極限值與在時的函數(shù)值相等；例（2）中函數(shù)在處無定義，但時，函數(shù)的極限存在。可見極限值只表示函數(shù)的變化趨勢，它與該點處的函數(shù)值是兩個不同的概念。3、 左極限、右極限在處的左極限、右極限，就是僅討論當(dāng)或時，函數(shù)的極限問題。圖1-23例如，研究時，函數(shù)的變化趨勢，只能從0的右側(cè)趨近于0（如圖

31、1-23）。定義2.4 ：當(dāng)從左側(cè)趨近于（記作）時，若函數(shù)能無限趨近于一個確定的常數(shù)則稱A為函數(shù) 當(dāng)時的左極限，記作：當(dāng)從右側(cè)趨近于（記作）時，若函數(shù)能無限趨近于一個確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)當(dāng) 時的右極限，記作：4、 極限存在的充要條件 由定義2.4得出極限存在且等于的充要條件如下：極限存在且等于的充分必要條件是：極限與都存在且等于即：例6 考察函數(shù) ，當(dāng)時的極限。解 由圖1-24可知，因為 ，圖1-24所以 不存在。 由上例可知，判斷分段函數(shù)在分段點的極限是否存在，只需計算它在分段點的左極限與右極限。若左極限和右極限存在并且相等，則函數(shù)在分段點的極限存在并且等于左右極限，否則函數(shù)在分段點的

32、極限不存在。例7考察極限和解：設(shè)時，設(shè)時，的值無限趨近于，即由此得出下述結(jié)論： (當(dāng)自變量趨近于定值時，本身的極限就等于)；和(任何一個常數(shù)的極限等于它本身)。例8 判定下列極限是否存在 解： 當(dāng) 時，則 當(dāng) 時，則 不存在。；， 不存在。當(dāng) 時，則 三、 關(guān)于函數(shù)極限的幾點說明：1、 由于數(shù)列可以看作是正整數(shù)的函數(shù)，所以數(shù)列的極限可看作是函數(shù)當(dāng)時極限的特例。2、 函數(shù)（或數(shù)列）是一個變量，而它的極限是一個常量，二者之間有本質(zhì)區(qū)別；3、 的極限是否存在，與自變量的變化趨勢有關(guān)，例如：不存在4、 極限是否存在，與函數(shù)在點有無定義無關(guān)；5、 當(dāng)時，不無限趨近于一個定數(shù)，則稱當(dāng)時，極限不存在；6、

33、極限存在的充要條件是：左、右極限分別存在且相等。 極限的運算法則一、 極限的四則運算法則定理 2.2：若在同一變化過程中，設(shè)，則代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和，即：； 常數(shù)因子可以提到極限符號的前面，即 乘積的極限等于極限的乘積，即:； 當(dāng)時，商的極限存在，且:（此四則運算法則要求學(xué)生熟記并會應(yīng)用?。├? 計算解 根據(jù)極限運算法則可得： 原式由此可知，若多項式，則對于任意實數(shù)有一般地：例2 計算解根據(jù)法則及其推論可得：。一般地，若，表示多項式函數(shù)，且，則有一般地：例3 計算分析：本例為分式的極限，且分母與分子的極限都是0，通常稱其為“型未定式”，解此類題型采用“先因式分解，然后將極限為0的公因子

34、約去”，再用極限四則運算法則求極限即可。解例4 計算分析：本例為“含有根式的型未定式”，解此類題型采用“分子、分母同乘以分子或分母的共軛因式，然后約去公因式”，再求極限即可。解 =例5 計算下列極限（1）； （2）； (3)。分析：本例三小題均為分式的極限，且分母與分子的極限都是，通常稱其為“型未定式”， 解此類題型采用“將分子與分母同除以的最高次冪”，再用極限四則運算法則即可。解（1）；（2）；（3）。（利用到無窮大與無窮小之關(guān)系）一般地，當(dāng)時，有理分式函數(shù)的極限有以下結(jié)果。 （分子最高次冪=分母最高次冪）利用上面的結(jié)果求有理分式當(dāng)時的極限非常方便。例6 計算（1）； （2）； (3)。解：

35、 由上面“型有理分式函數(shù)”一般結(jié)果，可方便得出結(jié)論：（1） ， （） （2） ， （）(3) ， （）例7 計算分析：（1）“型未定式”，不能直接運算，解此類題型采用“將差式化為分式”即可。 （2）分子出現(xiàn)無理式，同除最高次冪即可。解：兩個重要極限一、 極限我們給出當(dāng)趨近于0時函數(shù)的值如下表（由于時，與保持同號，因此只需列出取正值趨于0的部分），并作出函數(shù)的圖像，如圖1-25所示。圖1-25（弧度）10000.841470980.841470980.10000.0998334170.998334170.01000.099993340.99993340.00100.000999999840.99

36、999984從上表和圖1-25可以看出，當(dāng)時，函數(shù)的值無限趨近于1，即得：1、 第一個重要極限公式此極限當(dāng)公式來使用，在給定的極限極限過程中，函數(shù)是型。例1 求解：一般地：（可作為公式使用）例2 求解： （令，則當(dāng)）例3 使用倍角公式將化為記住公式：解：（另解）例4 求 解： 一般地：2、 第一個重要極限公式的推廣3、 使用重要極限公式技巧1 第一個重要極限公式，只有在時才成立；2 應(yīng)用此公式推廣公式時注意，若將換成其他變量，只需滿足：，即： 仍成立 。二、 極限我們給出當(dāng)逐漸增大時函數(shù)的值如下表，并作出函數(shù)圖像，如圖1-26所示。1 10 100 1000 10000 100000 2 2.

37、59 2.705 2.717 2.718 2.71827 -10 -100 -1000 -10000 -100000 2.88 2.732 2.720 2.7183 2.71828 圖1-26由上表及圖1-26可以看出：存在，其值是一個無理數(shù)，記作，這個值就是自然對數(shù)的底數(shù)。1、 第二個重要極限公式此極限還有另一種形式：例5：求解 令：，則 ，當(dāng)時，。另法：例6 求分析： 由于 ，故可應(yīng)用第二個重要極限公式的第種形式解：令，則 ；當(dāng) 時，于是原式另解：例7 求解一般地：數(shù)是一個十分重要的常數(shù)，無論在生命科學(xué)中，還是在金融界都有許多應(yīng)用，數(shù)學(xué)中研究的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)都是以為底的，后面將看到，以

38、為底的的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)具有良好的性質(zhì)。2、 第二個重要極限公式的推廣或3、 使用重要極限公式技巧1 第二個重要極限公式兩種形式：和 ，均為 型 ；2 應(yīng)用此公式推廣公式時注意，若將換成其他變量，只需滿足： ，即： 或 仍成立。例8 已知 ，為常數(shù)，求 ： 的值 。解： 而已知 ， ，即有： 例9求下列極限； 解： 由對數(shù)性質(zhì)可知： ，又知： ，故：說明：極限和對數(shù)符號可交換前后位置變成。（解題關(guān)鍵?。o窮小與無窮大一、 無窮小在現(xiàn)實中，我們經(jīng)常會遇到“以零為極限”的變量。例如：當(dāng)時，的極限為零；當(dāng)時，的極限也為零。1、 定義定義2.5：如果當(dāng)時，函數(shù)的極限為零，則函數(shù)就叫做當(dāng)時的無窮小量，

39、簡稱“無窮小”。（極限為零的變量稱為無窮?。┯涀鳎悍Q為時的無窮小。顯然，當(dāng)時，均為無窮小；時，也均為無窮小。理解無窮小應(yīng)注意：無窮小是變量。它在某一變化過程中無限趨向于零。無窮小總是和某一極限過程相聯(lián)系。例如，在時是無窮小，但在時就不是無窮小了。很小的常量也不是無窮小。（常量中惟有數(shù)“0”是無窮?。┮颍ǚ蠠o窮小定義。）2、 無窮小性質(zhì)性質(zhì)1：有限個無窮小的代數(shù)和是無窮小。性質(zhì)2：有限個無窮小的乘積是無窮小。性質(zhì)3：常量與無窮小的乘積是無窮小。性質(zhì)4：有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。例1 試判斷下列變量在時是不是無窮小量。解為當(dāng)時的無窮?。ㄐ再|(zhì)1）即當(dāng)時，是無窮小。時，是無窮小，為有界函數(shù)（性

40、質(zhì)2）即當(dāng)時，是無窮小。時，是無窮小（性質(zhì)3）即為當(dāng)時的無窮小。為當(dāng)時的無窮?。ㄐ再|(zhì)4）即為當(dāng)時的無窮小。注意：一定要注意性質(zhì)1，2中“有限個”的含義，因為如果是無限個無窮小的“和”或“積”，結(jié)果就不一定是無窮小了。例2 求極限解：當(dāng)時，均為無窮小，此題為“無限個無窮小之和”（結(jié)果不為?。├?求解：當(dāng)時，即是無窮小，而，故為有界函數(shù)，所以由性質(zhì)4得：例4 求下列極限（1）（2）解：（1）當(dāng)時，即是無窮小量，且為有界，（無窮小性質(zhì)4）（2）當(dāng)時，即是無窮小量，且，為有界，（同上）二、 無窮大1、 定義定義2.6 ：如果當(dāng)時，函數(shù)的絕對值無限增大，那么函數(shù)就叫做當(dāng)時的無窮大量，簡稱“無窮大”。（絕

41、對值無限增大的變量稱為無窮大），記作：例如：當(dāng)時，的絕對值無限增大，是當(dāng)時的無窮大，記作：；當(dāng)時，的絕對值無限增大，是時的無窮大，記作：理解無窮大應(yīng)注意：無窮大是變量，不能把絕對值很大的常數(shù)誤認為是無窮大，因為常數(shù)在時，其絕對值不會無限增大。無窮大總是和某一極限過程相聯(lián)系。三、 無窮小與無窮大關(guān)系由無窮小與無窮大的定義容易理解，在同一變化過程中，無窮小與無窮大之間有下述關(guān)系：1. 若是無窮大, 則是無窮小;2. 若是無窮小且, 則是無窮大。例如：當(dāng)時，是無窮小，即而為無窮大，即例3 直觀判斷變量，當(dāng)時是無窮??；當(dāng)時是無窮大。解：當(dāng)時，所以是無窮小；當(dāng)時，即是無窮小，所以是無窮大。例4 計算分析

42、：本例為分式的極限，且分母極限為0，故不能直接用商的運算法則計算這類題。解此類題型采用“先將分子與分母顛倒”的方法，再利用“無窮大與無窮小的關(guān)系”求極限。解由于分母，而分子，所以將分子與分母顛倒后，即：可見為無窮小，由“無窮大與無窮小關(guān)系”可知為無窮大，從而可求出原式的極限便為：例5 利用無窮大與無窮小的關(guān)系求極限。解：設(shè)當(dāng)時，即于是為時的無窮小，則為時的無窮大，設(shè)當(dāng)時，即則為時的無窮小，則為時的無窮大，求函數(shù)極限方法歸納一、 極限運算法則求極限1、求極限； 解：2、求極限； 解：由于分母的極限 故由商的極限運算法則有：二、 “未定式”求極限型未定式1、求極限； 解：；2、求極限解：。型未定式

43、3、求下列極限（1）； （2）；(3)解（1）； （2）；（3） 因為，所以型未定式4、求下列極限（求型未定式）方法：先通分，再約分。； 解：。三、 “兩個重要極限”求極限1、求下列極限為常數(shù))； 解：。 。2、求下列極限； 解：。 2、求分析：由于 ，故可應(yīng)用第二重要極限公式的第種形式解 令 ，則 ；當(dāng) 時，于是另解：四、 “無窮小性質(zhì)”求極限1、 求極限解： 當(dāng)時，即是無窮小量，且為有界函數(shù)， （有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。?、 求極限解：此題一定要注意不要錯用“第一重要極限公式”求解（錯誤原因： 沒注意第一重要極限公式使用條件?。? )所以改用無窮小性質(zhì)求此題如下:時，為無窮小，而

44、，故為有界函數(shù)，（有界函數(shù)與無窮小乘積是無窮?。┪濉?“無窮大與無窮小關(guān)系”求極限1、 求下列極限 ；。解，即為時的無窮?。粍t它的倒數(shù)為時的無窮大，即 ，即為時的無窮??；則它的倒數(shù)為時的無窮大，即 六、 復(fù)合函數(shù)求極限定理 2.3：設(shè)則存在，且：上式顯然可以寫成：說明：求復(fù)合函數(shù)極限的時候，極限符號“”與函數(shù)符號“”就可以交換次序。即極限運算可以移到內(nèi)層函數(shù)上去實施。1、 求解：因為，所以注：函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，稱其為冪指函數(shù)， 因為： 故冪指函數(shù)可化為復(fù)合函數(shù)。2、 求解：由對數(shù)性質(zhì)可知： ，又知： ，故： （復(fù)合函數(shù)求極限）3、 計算下列極限； 解： 由對數(shù)性質(zhì)可知： ，又知：

45、 ，故：七、 連續(xù)函數(shù)求極限1、 求解：2、 求解：由于一且初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的，又由可得：§1.3 函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)連續(xù)性現(xiàn)實世界中很多變量的變化是連續(xù)不斷的。如：氣溫的變化、物體運動的路程變化、金屬絲加熱時程度的改變等等，都是連續(xù)變化的。這種現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性，它是微積分的又一重要概念。下面我們先引入函數(shù)改變量的概念。一、 函數(shù)改變量的概念1、 自變量的改變量設(shè)函數(shù)的自變量由初值變到終值，則終值與初值之差，就叫做自變量的改變量，記作：注意：可以是正的，也可以是負的。 2、 函數(shù)的改變量 設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量由時變到時，函數(shù)相應(yīng)的改變量為，記作：例1 設(shè)，求符合下列條件的與 ； ； 解：；二、 連續(xù)函數(shù)的概念氣溫是時間的函數(shù)，當(dāng)時間變化不大時，氣溫的變化也不大；物體運動的路程是時間的函數(shù)，當(dāng)時間變化不大時，路程的變化也不大；金屬絲的長度是溫度的函數(shù)，當(dāng)溫度變化不大時，長度的變化也不會大 對于函數(shù)定義域內(nèi)的一點，如果自變量在點處取得極其微小的改變量時，函數(shù)相應(yīng)的改變量也極其微小，且當(dāng)時，有，則稱函數(shù)在點處是連續(xù)的。再觀察下面的四個函數(shù)曲線，可以看到，這四條函數(shù)曲線在處都斷開了。