專題導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用含參函數(shù)的單調(diào)性討論答案

1、專題5 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用含參函數(shù)的單調(diào)性討論“含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性討論問題”是近年來高考考查的一個(gè)常考內(nèi)容，也是我們高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)從這幾年來的高考試題來看，含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性討論常常出現(xiàn)在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值以及最值中，因此在高考復(fù)習(xí)中更應(yīng)引起我們的重視一、思想方法：討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可化歸為求解導(dǎo)函數(shù)正或負(fù)的相應(yīng)不等式問題的討論二、典例講解典例1 討論的單調(diào)性，求其單調(diào)區(qū)間解：的定義域?yàn)?它與同號(hào))I）當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在和都是單調(diào)增函數(shù)，即的增區(qū)間是和;II) 當(dāng)時(shí) 此時(shí)在和都是單調(diào)增函數(shù)，在和都是單調(diào)減函數(shù)，即的增區(qū)間為和;的減區(qū)間為和.步驟小結(jié)：1、先求函數(shù)的定義域，2、求導(dǎo)函數(shù)（化為乘除分

2、解式，便于討論正負(fù)）， 3、先討論只有一種單調(diào)區(qū)間的（導(dǎo)函數(shù)同號(hào)的）情況，4、再討論有增有減的情況（導(dǎo)函數(shù)有正有負(fù)，以其零點(diǎn)分界），5、注意函數(shù)的斷點(diǎn)，不連續(xù)的同類單調(diào)區(qū)間不要合并變式練習(xí)1 討論的單調(diào)性，求其單調(diào)區(qū)間 解：的定義域?yàn)?(它與同號(hào))I）當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在為單調(diào)增函數(shù)，即的增區(qū)間為，不存在減區(qū)間;II) 當(dāng)時(shí) ; 此時(shí)在為單調(diào)增函數(shù)，在是單調(diào)減函數(shù)，即的增區(qū)間為;的減區(qū)間為典例2 討論的單調(diào)性解：的定義域?yàn)?(它與同號(hào))I） 當(dāng)時(shí)，恒成立 （此時(shí)沒有意義） 此時(shí)在為單調(diào)增函數(shù)，即的增區(qū)間為II） 當(dāng)時(shí)，恒成立，（此時(shí)不在定義域內(nèi)，沒有意義）此時(shí)在為單調(diào)增函數(shù)，即的增區(qū)間為III

3、) 當(dāng)時(shí), 令于是，當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：(結(jié)合g(x)圖象定號(hào))x0增減所以， 此時(shí)在為單調(diào)增函數(shù)，在是單調(diào)減函數(shù)，即的增區(qū)間為;的減區(qū)間為小結(jié)：導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的相應(yīng)區(qū)間也可以由導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)來分界，但要注意其定義域和連續(xù)性即先求出的零點(diǎn)，再其分區(qū)間然后定在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的符號(hào)一般先討論無解情況，再討論解過程產(chǎn)生增根的情況（即解方程變形中諸如平方、去分母、去對(duì)數(shù)符號(hào)等把自變量x范圍擴(kuò)大而出現(xiàn)有根，但根實(shí)際上不在定義域內(nèi)的），即根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)從少到多，相應(yīng)原函數(shù)單調(diào)區(qū)間個(gè)數(shù)從少到多討論，最后區(qū)間（最好結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象）確定相應(yīng)單調(diào)性變式練習(xí)2 討論的單調(diào)性 解：的定義域?yàn)?, 它與同號(hào). 令，當(dāng)時(shí)，

4、無解；當(dāng)時(shí),(另一根不在定義域內(nèi)舍去) i)當(dāng)時(shí)，恒成立 （此時(shí)沒有意義） 此時(shí)在為單調(diào)增函數(shù)，即的增區(qū)間為ii)當(dāng)時(shí)，恒成立，(此時(shí) 方程判別式,方程無解)此時(shí)在為單調(diào)增函數(shù)，即的增區(qū)間為iii) 當(dāng)時(shí),當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：(結(jié)合g(x)圖象定號(hào)) x0增減所以，此時(shí)在為單調(diào)增函數(shù)，在是單調(diào)減函數(shù)，即的增區(qū)間為;的減區(qū)間為小結(jié)：一般最后要綜合討論情況，合并同類的，如i),ii)可合并為一類結(jié)果對(duì)于二次型函數(shù)（如）討論正負(fù)一般先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)分三種類型討論典例3 求的單調(diào)區(qū)間解：的定義域?yàn)镽， I) 當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減，減區(qū)間為R，無增區(qū)間II) 當(dāng)時(shí)，是開口向上的二次函數(shù)， 令,

5、 因此可知（結(jié)合的圖象）i) 當(dāng)時(shí)， 所以此時(shí)，的增區(qū)間為；的減區(qū)間為ii) 當(dāng)時(shí)， 所以此時(shí)，的增區(qū)間為；的減區(qū)間為小結(jié)：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間可化為導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)討論（即分討論其相應(yīng)不等式的解區(qū)間），常見的是化為二次型不等式討論，當(dāng)二次函數(shù)開口定且有兩根時(shí)，一般要注意討論兩根大?。ǚ执蟆⑿?、等三種情況）。含參二次不等式解時(shí)要先看能否因式分解，若能則是計(jì)算簡單的問題，需看開口及兩根大小，注意結(jié)合圖象確定相應(yīng)區(qū)間正負(fù)變式練習(xí)3 求的單調(diào)區(qū)間解：的定義域?yàn)镽， 是開口向上的二次函數(shù)，I) 當(dāng)時(shí)，恒成立所以此時(shí)在R上單調(diào)遞增，增區(qū)間為R，無減區(qū)間II) 當(dāng)時(shí) 令 因此可知（結(jié)合的圖象）與隨x變化情況如下表x

6、00增減增 所以此時(shí)，的增區(qū)間為；的減區(qū)間為小結(jié)：三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是常見二次函數(shù)，當(dāng)二次函數(shù)開口定時(shí)對(duì)其正負(fù)進(jìn)行討論的，要根據(jù)判別式討論：無根的或兩根相等的導(dǎo)函數(shù)只有一種符號(hào)，相應(yīng)原函數(shù)是單調(diào)的較簡單應(yīng)先討論；然后再討論有兩不等根的，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象列變化表，注意用根的符號(hào)代替復(fù)雜的式，最后結(jié)論才寫回個(gè)別點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0不影響單調(diào)性只有在某區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)恒為0時(shí)，相應(yīng)區(qū)間內(nèi)原函數(shù)為常數(shù)，一般中學(xué)所見函數(shù)除分段函數(shù)和常函數(shù)外不會(huì)出現(xiàn)此種情況總結(jié)：求單調(diào)區(qū)間要確定定義域，確定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的關(guān)鍵是看分子相應(yīng)函數(shù)，因此討論點(diǎn)有：第一是類型（一次與二次的根個(gè)數(shù)顯然不同)；第二有沒有根（二次的看判別式），第三是有根是

7、否為增根（在不在定義根內(nèi)；第四有根的確定誰大；第五看區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號(hào)（二次函數(shù)要看開口）確記要數(shù)形結(jié)合，多數(shù)考題不會(huì)全部討論點(diǎn)都要討論的，題中往往有特別條件，不少討論點(diǎn)會(huì)同時(shí)確定（即知一個(gè)就同時(shí)確定另一個(gè)）判別式與開口的討論點(diǎn)先誰都可以，但從簡單優(yōu)先原則下可先根據(jù)判別式討論，因?yàn)楫?dāng)導(dǎo)函數(shù)無根時(shí)它只有一種符號(hào)，相應(yīng)原函數(shù)在定義域內(nèi)（每個(gè)連續(xù)的區(qū)間）為單調(diào)函數(shù)較簡單導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用含參函數(shù)的單調(diào)性討論班級(jí) 姓名 1.已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間.解：2.已知函數(shù)f(x)=xax+(a1)，討論函數(shù)的單調(diào)性,求出其單調(diào)區(qū)間.解： 的定義域?yàn)?(1)(2) 若即時(shí)，>0, 故在單調(diào)遞增.若0<,即

8、時(shí)，由得，；由得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.若,即時(shí)，由得，；由得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)，單調(diào)增區(qū)為 ,減區(qū)間是;當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，增區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，在定義域上遞增，單調(diào)增區(qū)為 （不存在減區(qū)間）; 當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，在增區(qū)間是.3.已知函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性.解： 因?yàn)椋?所以 (1) 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2) 當(dāng)時(shí)，的圖像開口向上，I) 當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在R上遞增；II) 當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根分別為 且 所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減；(3) 當(dāng)時(shí)，的圖像開口向下，且 方程的兩個(gè)根分別為且 所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增。綜

9、上所述，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增， 在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)在R上遞增；4.已知函數(shù).討論的單調(diào)性.解：因?yàn)榈亩x域?yàn)樗?，令 ，則同號(hào)法一：根據(jù)熟知二次函數(shù)性質(zhì)可知g(x)的正負(fù)符號(hào)與開口有關(guān)，因此可先分類型討論： 當(dāng)時(shí)，由于<1，開口向下,結(jié)合其圖象易知 ，,此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減；時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)， 開口向上,但是否在定義域需要討論：因所以i) 當(dāng)時(shí)，由于<1，開口向上,結(jié)合其圖象易知 ，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.時(shí)，,此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減； ii)當(dāng)時(shí)，g(x)開口向上且，但兩根大小需要討

10、論： a) 當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞減； b) 當(dāng)，g(x)開口向上且在（0，）有兩根 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； c) 當(dāng)時(shí)，g(x)開口向上且在（0，）有兩根 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；小結(jié)：此法是把單調(diào)區(qū)間討論化歸為導(dǎo)函數(shù)符號(hào)討論，而確定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的分子是常見二次型的，一般要先討論二次項(xiàng)系數(shù)，確定類型及開口；然后由于定義域限制討論其根是否在定義域內(nèi)，再討論兩根大小注，結(jié)合g(x)的圖象確定其在相應(yīng)區(qū)間的符號(hào)，得出導(dǎo)函數(shù)符號(hào)。討論要點(diǎn)與解含參不等式的討論相應(yīng)。法二： i)當(dāng)時(shí)

11、，由于<1，開口向下,結(jié)合其圖象易知 ，,此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減；時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增. ii)當(dāng)時(shí)，由于<1，開口向上,結(jié)合其圖象易知 ，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.時(shí)，,此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減； 時(shí) g(x)開口向上且i)當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞減； ii)當(dāng)，g(x)開口向上且在（0，）有兩根 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； iii) 當(dāng)時(shí)，g(x)開口向上且在（0，）有兩根 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；5.設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性 解：函數(shù)的定義域?yàn)?x>0)令,則與同號(hào) （1）當(dāng)時(shí)，在定義域上為增函數(shù) (2) 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí)，g(x)開口向上，圖象在x軸上方，所以所以，則在上單調(diào)遞增 當(dāng),此時(shí)令，解得由于，因此可進(jìn)一步分類討論如下：i) 當(dāng)時(shí)， ; 則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 ii)當(dāng)時(shí)，或; 則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述，f(x)的單調(diào)區(qū)間根據(jù)參數(shù)討論情況如下表：增減增增增增 （其中)6.已知函數(shù)()=(1+)-+(0)，求()的單調(diào)區(qū)間. 解：，.（1） 當(dāng)時(shí)，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，. 故的單調(diào)遞增區(qū)間