排列組合基本概念

1、排列組合基本概念兩個(gè)基本原理1. 加法原理：做一件事， 完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中 有m種不同的方法，在第二類辦法中有 m種不同的方法， 在第n類辦法中有 m種不同的方法.那么完成這件事共有N= m十m十十m種不同的方法.2. 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法， ，做第n步有 m種不同的方法.那么完成這件事共有N= mmm種不同的方法.例1書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書.1 )從中任取一本，有多少種不同的取法？2 )從中任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有多少的取法？解：(1)從書架上任取一本書，有兩類辦

2、法：第一類辦法是從上層 取數(shù)學(xué)書，可以從 6本書中任取一本，有 6種方法；第二類辦法是 從下層取語文書，可以從 5本書中任取一本，有 5種方法.根據(jù)加 法原理，得到不同的取法的種數(shù)是6十5=11 .答：從書架任取一本書，有11種不同的取法.(2)從書架上任取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，可以分成兩個(gè)步驟完 成：第一步取一本數(shù)學(xué)書，有6種方法；第二步取一本語文書，有5種方法.根據(jù)乘法原理，得到不同的取法的種數(shù)是N = 6X5= 30.答：從書架上取數(shù)學(xué)書與語文書各一本，有30種不同的方法.例2(1)由數(shù)字I , 2, 3, 4, 5可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)三位 數(shù)？(2) 由數(shù)字I ,2, 3, 4,

3、 5可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)三位數(shù)？(3) 由數(shù)字0, I , 2, 3, 4, 5可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)三位 數(shù)？解：要組成一個(gè)三位數(shù)可以分成三個(gè)步驟完成：第一步確定百位上的數(shù)字，從5個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)數(shù)字，共有5種選法；第二步確定十位上的數(shù)字，由于數(shù)字允許重復(fù)， 這仍有5種選法，第三步確定個(gè)位上的數(shù)字，同理，它也有5種選法.根據(jù)乘法原理，得到可以組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是N=5X5X5=125.答：可以組成125個(gè)三位數(shù).排列什么叫排列？從n個(gè)不同元素中，任取m(m n)個(gè)元素按照一定的順序排成一 列，叫做從_門個(gè)不同元素中取出_口個(gè)元素的一個(gè)排列【排列數(shù)】1. 定義：從n個(gè)不同元素中，

4、任取 m(m n)個(gè)元素的所有排列 的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出 m元素的排列數(shù)，用符號(hào) A；0表示.2. 排列數(shù)公式：川=n (n-1)( n-2)(n-m+1)3 全排列、階乘的意義；n! =n(n-1)(n-2)1= A：，規(guī)定 0!=1A： 衛(wèi) (其中 mn m,n Z)(n m)!例1:7位同學(xué)站成一排，共有多少種不同的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：7個(gè)元素的全排列 A； = 50407位同學(xué)站成兩排(前 3后4),共有多少種不同的排法？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：7X6X5X4 X3疋X1 = 7! = 50407位同學(xué)站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同 的排法？解：?jiǎn)栴}可以看作：余

5、下的6個(gè)元素的全排列A：=7207位同學(xué)站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？解：根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：第一步 甲、乙站在兩端有 A2種；第 二步 余下的5名同學(xué)進(jìn)行全排列有 A?種 貝V共有A| As =240種 排列方法7位同學(xué)站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多 少種？解法一(直接法)：第一步 從(除去甲、乙)其余的 5 位同學(xué)中選2位同學(xué)站在排頭和排尾有 A；種方法；第二步 從余下 的5位同學(xué)中選5位進(jìn)行排列(全排列)有 A種方法 所以一共25有As As = 2400種排列方法.解法二：(排除法)若甲站在排頭有 A；種方法；若乙站 在排尾有 A種方法；若甲站在排頭且乙站

6、在排尾則有A種方法.所以甲不能站在排頭，乙不能排在排尾的排法共有 A； - 2A6 + A/ =2400 種.組合1.組合的概念：一般地，從n個(gè)不同元素中取出 m( mn)個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)組合.注：1 不同元素 2 .只取不排”無序性_ 3 相同組 合：元素相同判斷下列問題哪個(gè)是排列問題哪個(gè)是組合問題：從A B C、D四個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)進(jìn)行游覽；(組合) 從甲、乙、丙、丁四個(gè)學(xué)生中選出2個(gè)人擔(dān)任班長(zhǎng)和團(tuán)支部書記.(排列)2 .組合數(shù)的概念：從 n個(gè)不同元素中取出 m( mn)個(gè)元素的所有 組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的組合數(shù).用符號(hào)Cn

7、表示.例如：示例2中從3個(gè)同學(xué)選出2名同學(xué)的組合可以為：甲乙，甲丙，乙丙.即有 C23種組合.又如：從A B C、D四個(gè)景點(diǎn)選出2個(gè)進(jìn)行游覽的組合：ABAC, AD BC BD, CD一共 6 種組合，即： C： 6般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)Anm，可以分 如下兩步： 先求從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的組合數(shù) C：;求每一個(gè)組合中m個(gè)元素全排列數(shù)A；，根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理得：a；組合數(shù)的公式:mAn°n(n 1)(n 2) (n m 1)且 、Cn m(n,m N ,且m n)A；m!例1. 6本不同的書分給甲、乙、丙3同學(xué)，每人各得2本，有多少種不同的分法？略解：C2 C： C；90例2. 4名男生和6名女生組成至少有 1個(gè)男生參加的三人實(shí)踐活 動(dòng)小組，問組成方法共有多少種？解法一：(直接法)小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分別有C43 , C： C； , C； C；,所以一共有c：+c： c6+c4 c； = 100 種方法.解法二：(間接法)c；0 c；1002.示例一：一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球. 從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？ 從口袋內(nèi)取出3個(gè)球