數(shù)列求和常見(jiàn)的7種方法

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯(cuò)位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項(xiàng)消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用數(shù)列通項(xiàng)法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯(cuò)位相減 法，三、逆序相加法、錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的二個(gè)基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題來(lái)談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求

2、和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法1、等差數(shù)列求和公式：Sn門(mén)an)na2n(n 1)d2na1(q 1)2、等比數(shù)列求和公式：Sna1 (1 qn)a1a.q(q1 q 1 q3、Snnkk 1h(n21)4、Snnk2k 11丄n(n 1)(2n1)6n3125、Snk匚 n(n1)k 12例1已知log3X1,23，求 X XXnX的前n項(xiàng)和.log 2 3解：由log3 xlog 2 3log 3 xlog 3 2由等比數(shù)列求和公式得2Sn X X(利用常用公式)例 2設(shè) S= 1+2+3+n, n N,求 f (n)解：由等差數(shù)列求和公式得SnSnf(門(mén))(n 32) Sn 11&qu

3、ot;"64n 34 -nx(1 xn)1 x2(i丄)卍=1 -丄1 1 2n2Sn(n 32)Sn 12n(n 1)，nn2 34n 6450的最大值.Sn501-(n 1)( n 2)2(利用常用公式) 8二當(dāng)n ，即n= 8時(shí)，f (n)V8max50二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和，其中 a n 、 b n 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列例 3求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n1)xn 1解：由題可知， (2n 1)xn 1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列 xn 1的通項(xiàng)之積設(shè) xSn

4、 1x 3x2 5x3 7x4(2n一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1 x)Sn1)xn (設(shè)制錯(cuò)位)2x42xn 1 (2n 1)xn(錯(cuò)位相減)n 11 x1 2x(2n1)xn1 xSn(2n 1)xn 1(2n1)xn (1 x)(1 x)2例4求數(shù)列2電鳥(niǎo) 甲，前n項(xiàng)的和2'2 '2 ' 2解：由題可知,空的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列2n的通項(xiàng)之積設(shè)Sn2n1 Sn22n一得（12）Sn愛(ài)冷2 2nnn 12 2（設(shè)制錯(cuò)位）（錯(cuò)位相減）1 2nn 1n 12 2Snn 22* 1、反序相加法求和數(shù)列相加，就可以

5、得到n個(gè)（a1 an）.n 1)C：(n 1)2n例5求證：C° 3Cn25Cn(2證明：設(shè)Sn c03C1 5cn(2n1)C： 把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得Sn (2n1)c： (2n1)C：13cnc0c n（反序）又由叫c：m可得Sn (2n1)C0(2n1)cn3C；1cnCn+得 2Sn(2n2)(C；cnn 1CnC；)2( n1) 2n（反序相加）Sn(n 1) 2n例 6求 sin21 sin2 2sin2 3sin2 882 “sin 89的值解：設(shè) S sin21sin2 2 sin23sin2 88sin 2 89 將式右邊反序得2S sin 89sin2 88sin2

6、 3sin2 2.2 .sin 1 （反序）這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原又因?yàn)?sinx cos(90x),sin x cos x 1+得2 2(sin 89 cos 89 ) = 89（反序相加）2S (sin21cos21 ) (sin2 2 cos2 2 )S = 44.5題1已知函數(shù)(1)證明:(2)求的值.解：(1)先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊=右邊(2)利用第(1)小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知,兩式相加得:所以有常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可練習(xí)、求值:四、分組法求和類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)

7、列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或aa解：設(shè)Sn(1 1)（丄4) ( 127)aa將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得111Sn(1 -2n 1)(1aaa當(dāng)a=1時(shí)，Sn(3n n1)n247 3n 2)(3n1)n21 1例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和：11,4,-y 7,3n 2，1 （尋 3n 2）a（分組）（分組求和）1丄當(dāng)a 1時(shí)，&0 1)n1 -a例8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.(3n 1)n2解：設(shè) akk(k 1)(2k 1)2k33k2nSn k(k 1)(2kk 11)n(2 k313k2k)將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得nSn = 2k3k 1k2（分組

8、）=2(1323n3)3(1222n2)(1 2n)n2(n1 1)22n(n 1)(2 n 1)n(n21)（分組求和）n(n 1)2(n2)五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)(4)an(2n )2(2n 1)(2 n 1)1 112(2n 12n 1)(5)ann(n 1)( n 2)12n(n 1)(nann 21n(n 1) 2

9、n2(n1) nn(n 1)12n1 1n 1nn 2 (n 1)2，則 S"1 (n 1)2"(7)an(8)an(An B)(An C) C B' An B An J一 I n 1 mn 、n 1例9求數(shù)列1例 10例 11解:、 n 1的前n項(xiàng)和.:設(shè)an則Sn.n（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）(.2 ,1)在數(shù)列an中,解:(,31. . n)又bnan-，求數(shù)列b n的前n項(xiàng)的和.1 2 n 1 n2n n 12 2數(shù)列b n的前n項(xiàng)和1 12)(2亠=n 1an二 bn（裂項(xiàng)）Sn8(1=8(113)8nn 11(314)（裂項(xiàng)求和）111cos1cosO cos

10、1cos1 cos 2cos88 cos89.2 .sin 1111cosO cos1cos1 cos2cos88 cos89si n1tan(n 1) tan nsn cos(n 1)111cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos891(ta n 1tan 0 ) (tan 2ta n1 ) (ta n3tan 2 )sin 11丄c、1cos1(tan 89tan 0 )=cot 1 = sin 1sin 1sin 1設(shè)S二 S原等式成立求證tan 89（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）tan 88 答案:六、分段求和法(合并法求和)針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性

11、質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cosl ° + cos2 ° + cos3 ° + + cos178 ° + cos179 ° 的值.解：設(shè) Sn= cosl ° + cos2 ° + cos3 ° + + cos178 ° + cos179 ° cosn cos(180 n )(找特殊性質(zhì)項(xiàng)) S= (cos1 ° + cos179 ° ) + ( cos2 ° + cos178 ° ) + (cos3

12、° + cos177 ° ) + + (cos89 ° + cos91 ° ) + cos90 °(合并求和)=0例 13數(shù)列an: a1 1,a2 3, a3 2,an2 a n 1 a n，求 S2002.解：設(shè)S2002= a1 a2a3a2002由a1 1, a2 3,a32,an 2 an 1 an 可得a41, a53, a62,a71, a83,a92,a101, a113, a122,a6k 11, a6k 23,a6k3 2,a6k 41 , a6k 53, a6k 62a6k 1 a6k 2a6k3a6k 4a6k 5a6k

13、 60（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）Soo2= a-ia2 a3a2002(合并求和)=(aia 2a3a6)(a?a8ai2)(a6k i a6k :(ai993a1994ai998 )ai999a2000a200ia2002=ai999a2000a2001a2002=a6k 1a6k 2a6k 3a6k4=5在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若玄5玄69,求 log3 ai log 3a2log解：設(shè) Sn log 3 a1log3a2log 3aio由等比數(shù)列的性質(zhì)m n pqa manapaq1和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)loga Mloga NloglaM N得Sn(log 3 ailog3 a10) (log 3

14、 a2log3 a9)(log 3 a5log 3 a6)=(log 3 ai a®)(log 3 a2 a9)(log 3 a5a6)（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）例 143 aio的值.a6k 6)（合并求和）=log 3 9 log 3 9 呱9=10七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例 i5求i ii1111111之和n個(gè)1解：由于iii11- 9999(10kk個(gè) i9k個(gè) 19 i ii111111 1n個(gè)1ii1 213=-(io91)-(10 1)99(i0 1)=(IO1102310n、10 )-(1 1991)（找通項(xiàng)及特征）!(ion i)（分組求和）91 1)n個(gè)11 10(10n 1) n910 19=丄(10n1 10 9n)81例16已知數(shù)列an: an(n(n 1)(anan 1)的值.1解：T (n 1)(anan 1 )8(n1)( n 1)(n(n 1)(an an 1)13)(n 2)( n 4)(n 2)(n1(-n(*4(11334)(n18(-n七）（找通項(xiàng)及特征）（設(shè)制分組）-）（裂項(xiàng)）4（分組、裂項(xiàng)求和）1)4提高練習(xí)：1.已知數(shù)列設(shè)數(shù)列anbn中，Sn是