高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)與微分-教學(xué)ppt課件

1、導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)的概念1.自變量的增量：2.函數(shù)的增量： 3.導(dǎo)數(shù)的定義：xxxxxx00,)()(00 xfxxfy)()()(lim)()()(limlim)(000000導(dǎo)函數(shù)一般地：xxfxxfxfxxfxxfxyxfxxx導(dǎo)數(shù)與微分即導(dǎo)數(shù)為函數(shù)增量與自變量增量比的極限()(,| )()(0000 xfxfxfxfxx但注：存在，計(jì)算下列極限：、設(shè)例)(10 xf )(221)()(lim00,21,2:)()2(lim10000000 xfhxfhxfhxhxhxxxfxxfhx原式時(shí)令導(dǎo)數(shù)與微分 )(2)()()()(lim)()(lim)()()()(lim)()()()(li

2、m)()(lim20000000000000000000000 xfxfxfhxfhxfhxfhxfhxfhxfxfhxfhhxfxfxfhxfhhxfhxfhhhhh 導(dǎo)數(shù)與微分二、導(dǎo)數(shù)的物理和幾何意義1.物理意義： 表示運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度即：2.幾何意義： 表示曲線yf(x)在x0處的切線斜率即 若切點(diǎn)為 則曲線在 的 切線方程為： 法線方程為：)(xs)(tsv)(xf0)(0 xftgk),(00yx0 xx )(000 xxxfyy)()(1000 xxxfyyx0 x0導(dǎo)數(shù)與微分1ln)0(ln111xlnay) 0lna(1ln| )ln()()0(0,120axyxayxyaaa

3、afkayxxxx法線方程為：切線方程為：解：程）點(diǎn)處的切線和法線方在（：求曲線例導(dǎo)數(shù)與微分三、基本求導(dǎo)公式：axeeaaanxxxxcxaxxxxnnln1)(log. 6)(. 5ln).(4).(3).(2, 0).111（導(dǎo)數(shù)與微分22211).(arcsin14).(13sec)(sec12).(11sec)(.10sin)(cos. 9cos).(sin81).(ln7xxcsexctgxcsexxtgxxxcsectgxxtgxxxxxxx導(dǎo)數(shù)與微分xxxxxarcctgxxarctgxxx21)(.191)1.(1811)(.1711).(16.11).(arccos15222

4、2導(dǎo)數(shù)與微分 四、求導(dǎo)法則 若u=u(x)，v=v(x)在x處可導(dǎo)，那么2)()()()(vvuvuvuuccuvuvuvuvuvu導(dǎo)數(shù)與微分 1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xxxxxxyxxxxyxcos12)sin(sin1)2122（xxxxxxxxxyxxyxln1ln)(lnln)()ln(ln)21（導(dǎo)數(shù)與微分222) 1(2) 1(11) 1() 1)(1() 1() 1(11113xxxxxxxxxxxyxxy）（）（導(dǎo)數(shù)與微分!) 1()() 2)(1(0) 0() 0()()()()()()(y),() 2)(1()(,2!) 1()() 2)(1(0)() 2)(1(lim0) 0

5、()(lim) 0(1) 0(),() 2)(1() 4(00nnfyxf xxfxf xxfxyxxfnxxxxfnnxnxxxxxfxfyynxxxxynnxx則：令解法：利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算解法求導(dǎo)數(shù)與微分2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。求導(dǎo)自變量對(duì)乘中間變量求導(dǎo)對(duì)中間變量即函數(shù)點(diǎn)處可導(dǎo)，且在則點(diǎn)處可導(dǎo)，在相應(yīng)的點(diǎn)處可導(dǎo)，在若定理：設(shè)(x)xu(u)uy(x)(u)yx(x)fyu)(x)(),(),(ffufxxuufy導(dǎo)數(shù)與微分注：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的關(guān)鍵在于：（1) 將復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)基本初等函數(shù)；（2) 分別求出這些函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并相乘；（3) 將所設(shè)中間變量還原導(dǎo)數(shù)與微分322232222134

6、)4()(3121)(21,:,21)2(secsec1)()(ln,ln:,ln(1)4323131xxxuyxuyxuuyxyxctgxxutgxuytgxuuytgxy 令令求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例導(dǎo)數(shù)與微分xxxxxxxxxtgeeeeeevuevuyevvuuyey cossin)sin(1)()(cos)(ln,cos,ln:,cosln)3(令導(dǎo)數(shù)與微分1) 1 ()1 (2121111)()()(ln,ln:) 1 (,ln)4(2 yxarctgxxxvuxarctgvuyxvarctgvuuyyxarctgy令求導(dǎo)數(shù)與微分xxuxuxuxxxvvyvvuyy1cos2111cos

7、sin22ln)()sin(2ln2)(cos)2(,cos,2:25)121 ）令（導(dǎo)數(shù)與微分xxxxxtvuxtvuyxttvvuuyxy2cos14sin2cos12cos2sin22)sin(221)2()(cos1 ()(2,cos,1,:2cos16)22222）令（導(dǎo)數(shù)與微分)(ln2)(ln2)()(,),(:)()(7)22222xxvvvxafaxaufaxaxaufyxvauufyafuf ）令的導(dǎo)數(shù)存在，求已知（導(dǎo)數(shù)與微分 例5：證明：偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)。 證：設(shè)f(x)是偶函數(shù)，即f(-x)=f(x) u=-x是偶函數(shù)。同理可證奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)故)()()()(

8、)(),()()(xfxfxfxfxfxfxxf導(dǎo)數(shù)與微分 3.隱函數(shù)求導(dǎo)法則： 隱函數(shù)：由含x，y的方程F(x,y）0給出的函數(shù)稱(chēng) 為隱函數(shù)。有些方程，可以從中解出y，將y表示成 x的顯函數(shù)的形式。如： 有些方程則不能解出y，如 等， 對(duì)于這樣的隱函數(shù)可不必解出y，而是將y作為x的 函數(shù)隱藏在方程中利用隱函數(shù)求導(dǎo)法則求出其導(dǎo)數(shù),22222xRyRyx0sinyxy導(dǎo)數(shù)與微分隱函數(shù)的求導(dǎo)法則：將y作為x的函數(shù)，yy(x)，于是F(x，y(x)）0對(duì)方程兩邊的x求導(dǎo)，遇y時(shí)，將y作為中間變量，利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則對(duì)y求導(dǎo)再乘 得到一個(gè)含的方程，最后從新方程中解出yyy y y y yy導(dǎo)數(shù)與微分

9、 例6：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yyyyyyyyxysin111)sin1 (0sin10sin1)解：（導(dǎo)數(shù)與微分exeeyyxxeeyexeyyxeeyyxeyxyyyyyyyyyy01|1) 0 (101)1 (0) 0 (12)時(shí)解：求（導(dǎo)數(shù)與微分25|1)2(21|1)2()4 , 2() , 0 , 2(, 4, 0,44421, 22222)2(223)420221222yxyxyxyxyyxyxyyyyyxyxyxyyyyxyxyxyxyx及解得代入原方程：將解：求（導(dǎo)數(shù)與微分yxyxyxyxyxyxyxexyeyyeexyyey xyexyexy)()1 ()()(4)解：（導(dǎo)數(shù)與微

10、分)()()()(ln)()()()()()(ln)(1)(ln)(ln:)(. 4)()(xfxfxgxfxgxfyxfxfxgxfxgyyxfxgyxfyxgxg取對(duì)數(shù)化成隱函數(shù)數(shù)皆為變量）稱(chēng)為冪指函數(shù)（底和指冪指函數(shù)求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)與微分)sinln(cossinlncos1lnsinlnln)2().ln1(1ln1,lnln1)7sinsinsinxxxxxyxxxxyyxxxyxyxxyxxxyyxxyxyxxxxx（：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例導(dǎo)數(shù)與微分)ln()ln(ln)(lnlnlnlnln,lnln3)xxyxyyxyyxyyyxxyyyxyxyxyyxxyyxyxxyxy（導(dǎo)數(shù)與微

11、分 注：對(duì)一些較復(fù)雜的乘積，商或根式函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，可利用先取對(duì)數(shù)后求導(dǎo)的方法計(jì)算62333623232333333333121112)1313(311)1ln()1ln(3111ln31)11ln(ln11)4(31xxxxyxxxxxxyyxxxxxxyxxy解：導(dǎo)數(shù)與微分5.參數(shù)方程求導(dǎo)法則2111111) )1(ln()()()()()1ln(1)8)()()()()(:2tttarctgttxtyxyarctgtytxtxtyxyttyytxxtt（的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列參數(shù)方程給出例求導(dǎo)公式：由參數(shù)方程給出的函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分1)0(111, 001|cossinsincoscossinsi

12、ncossincos)()(0cossin)3(2)cos1 (sin)sin()cos1 ()()()cos1 ()sin()2(0 xyxyyxtyktttttetetetetetetxtyytteytextctgtatattatatxtyytayttaxttttttttt切線方程為：時(shí)又）（）（處的切線方程求在導(dǎo)數(shù)與微分五、函數(shù)的微分1.微分的定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo), 是自變量x的增量,則稱(chēng) 為函數(shù)f(x)在x0處關(guān)于x的微分.記為: ,即2.函數(shù)可微的條件: 定理: 函數(shù)y=f(x)在x點(diǎn)可微的充分必要條件是y=f(x)在x點(diǎn)處可導(dǎo). 即：函數(shù)可微 存在,則函數(shù)可導(dǎo)且

13、,反之,函數(shù)可導(dǎo),既 存在,那么 從而函數(shù)可微. xxfdy)(0 xxxf)(0dydyxxfdy)(dyxxf)()(xf 導(dǎo)數(shù)與微分dxxfdxxxxxdxdyxyxxfdyxfy)(dy)(,)(),(寫(xiě)成：數(shù)的微分的一般公式可變量的微分，從而函即自變量的增量等于自對(duì)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分dxxxdyxxxxxyxln1ln1)(lnln1)ln(lnlnlny(1)9求下列函數(shù)的微分例導(dǎo)數(shù)與微分dxaadyaaaatvaatvayttvvuayayxxxxxxxxxxxxuxuxu122122122212cos21cos21cos11111212cossinlnsinlncossin2ln

14、)()sin(2ln)()(cos)()(,cos,:2) 令（導(dǎo)數(shù)與微分dxxctgyxytgxydyxctgyxytgxyyytgxyxctgyxyyyyxyxxyxyyxxyyxxycoslnsinlncoslnsinlnsinln)cos(lncossinsinln)sin(coscoslnsinlncosln)(sin)(cos3)（導(dǎo)數(shù)與微分 3.微分公式xdxcsedctgxxdxdtgxxdxxdxdxxddxxdaxdxxddxedeadxadadxnxdxdxxdxdcxaxxxxnn22111)11(sec)10(sincos)9(cossin)8(ln)7(lnlog)

15、6()5(ln)4()3()2(01）（導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)公式對(duì)應(yīng)的記憶）。注：微分公式可以與求dxxxddxxxddxxdarcctgxdxxdarctgxdxxxddxxxdcsexctgxdxdcsexxtgxdxxd2222211)19(21)18(11)17(11)16(11arccos)15(11arcsin)14()13(secsec)12(導(dǎo)數(shù)與微分 4.微分法則0)()()()(2vvudvvdudccducududvvduuvddvduvudvu為常數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分例10 求下列函數(shù)的微分：dxxxxxdxxxxdxnxxxdxxdxxddyxxydxxxexdxedxexxdexd

16、exdedyxeyxxxxxxx)sincos(lnsincoslnsinsinlnlnsinlnsin)2()sin(cossincoscoscoscoscos) 1 (導(dǎo)數(shù)與微分dxxtgxxxxdxtgxxdxxxxtgxdxdtgxxtgxddyxtgxyxx2122122lnseclnlnseclnlnlnlnlnln3)（導(dǎo)數(shù)與微分5.一階微分形式不變性：若u為自變量,yf(u),那么,若u為中間變量,從而不論u是自變量還是中間變量其微分的形式不變,皆為dy=f(x)du.我們將微分的這一性質(zhì)稱(chēng)為一階微分形式不變性利用一階微分形式不變性可以方便的求出復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù)。d

17、uufdy)( duufdydxxdudxxufdyxuufy)()()()(),()(又則，導(dǎo)數(shù)與微分的微商。即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)于函數(shù))(,)(),(xfdxdydxxfdyxfyxxxxxxxxeeydxeeedeeddyey11)1 (11)1ln()1ln() 1 (11數(shù)求下列函數(shù)的微分和導(dǎo)例導(dǎo)數(shù)與微分)sincos()sincos(coscos)(sinsinsinsinsin)2(bxabxbeydxbxabxbebxdxbdxasimbxbxdbxeaxdebxbxdedebxbxdedybxeyaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxee導(dǎo)數(shù)與微分222222122221

18、212222221111)1()1(11)1 (11)1(11)1ln()1ln()3(22xyxdxxxxdxxxxxdxxxxddxxxxddxxxdxxxxddyxxyxxdxx導(dǎo)數(shù)與微分 例12 求下列隱函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù)yxyyxydxyxyyxdydxyxdyyxyydyxdyydxxdxdyydydxydxyxyxddyyxyxy232232)2()23(223)(1)222222223223（導(dǎo)數(shù)與微分yxyxyxyxyxyxyxyxyxexyeydxexyedydxyedyexyxdexdyydxdeydey)()()(xx2)（導(dǎo)數(shù)與微分)1()1()1()1()()(000lnx0lnx3)112xyxyxyydxxyxyxydydxydyxdxdyydxdxdyydxdydyxyyxdyydxxyyxxyyxyx（導(dǎo)數(shù)與微分 6.微分在近似