高中數(shù)學(xué)干貨：必背的48條秒殺型公式和學(xué)習(xí)方法

1、高中數(shù)學(xué)干貨：必背的48條秒殺型公式和學(xué)習(xí)方法 除了課木上的常規(guī)公式之外，掌握一些必備的秒殺型公式能夠幫你 在 考試的時候節(jié)省大量的時間，這次的分享就是48條爆強的秒殺公式，直接往下看！1、適用條件：直線過焦點,必有ecosA= (x-1) /(X+1),其中A為直線與 焦 點所在軸夾角，是銳角。x為分離比，必須大于1。注上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點內(nèi)分(指的是焦點在所截線段上)，用該公式；如果外分(焦點在所截線段延長線上)，右 邊為(X4-1 )/(X-1)，其他不變。2、函數(shù)的周期性問題(記憶三個)：(1)若 f (x) =-f (x+k),則 T=2k；(2)若 f (x) =m/

2、 (x+k) (m 不為 0),則 T=2k;(3)若 f (x) =f (x+k) +f (x-k),貝！J T=6ko注意點：a.周期函數(shù)，周期必?zé)o限b.周期函數(shù)未必存在最小周 期，如：常數(shù)函數(shù)。c.周期函數(shù)加周期函數(shù)未必是周期函數(shù)，女口： y=sinxy=sin派x相加不是周期函數(shù)。3、關(guān)于對稱問題(無數(shù)人搞不懂的問題)總結(jié)如下：(1)若在R上(下同)滿足：f (a+x) =f (b-x)恒成立，對 稱軸為x= (a+b) /2;(2) 函數(shù) y=f (a+x) 與 y=f (b-x) 的圖像關(guān)于 x= (b-a) /2 對稱;(3)若 f (a+x) +f (a-x) =2b,則 f

3、(x)圖像關(guān)于(a, b)中心對稱4、 函 數(shù)奇偶性:(1)對于屬于R上的奇函數(shù)有f (0) =0;(2) 對于含參函數(shù)，奇函數(shù)沒有偶次方項，偶函數(shù)沒有奇次方項(3) 奇偶性作用不大，一般用于選擇填空5、 數(shù) 列爆強定律：(1)等差數(shù)列中：$奇二門2中，例如S13=13a7 (13和7為下角標(biāo))；(2) 等差數(shù)列中： S (n)、 S (2n) -S (n)、 S (3n) -S (2n) 成等差 (3)等比數(shù)列中，上述2 中各項在公比不為負一時成等比， 在 q=-l 時，未必成立 4,等比數(shù)列爆強公式： S (n+m) =S (m) +q2mS(n)可以迅速求q6、 數(shù) 列的終極利器，特征根

4、方程。( 如果看不懂就算了 ) 。首先介紹公式：對于 an+l=pan+q (n+l 為下角標(biāo)， n 為下角標(biāo) ), al 己知，那么特征根x=q/ (1-p), 則數(shù)列通項公式為 an= (al-x) p2 (n-l) +x, 這是一階特征根方程的運用。二階有點麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學(xué)們牢記上述公式。當(dāng)然這種類型的數(shù)列可以構(gòu)造 ( 兩邊同時加數(shù))7、 函 數(shù)詳解補充：(1) 復(fù)合函數(shù)奇偶性：內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外(2) 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：同增異減(3) 重點知識關(guān)于三次函數(shù)：恐怕沒有多少人知道三次函數(shù)曲 線其實是中心對稱圖形。它有一個對稱中心，求法為二階導(dǎo)后導(dǎo)數(shù)為0,根 x 即為中心橫

5、坐標(biāo)，縱坐標(biāo)可以用x 帶入原函數(shù)界定。另外，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。8、常用數(shù)列 bn=nx (22n)求和 Sn= (n-1) x (22 (n+l) +2 記 憶方法：前而減去一個1,后面加一個，再整體加一個29、 適用于標(biāo)準(zhǔn)方程( 焦點在 x 軸)爆強公式：k 橢=? (b2) xo/ (a2) yo 1 雙= (b2) xo/ (a2) yo) kj?=p/yo注：(xo, yo)均為直線過圓錐曲線所截段的中點。10、 強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技己知直線 L1: alx+bly+cl=O 直線 L2 ： a2x+b2y+c2=0 若它們垂直： ( 充要條件 )

6、ala2+blb2=0 ；若它們平行：(充要條件)alb2=a2bl且alc2fa2cl這個條件為 了防止兩直線重合)注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺！11、 經(jīng)典中的經(jīng)典：相信鄰項相消大家都知道。下面看隔項相消：對于Sn=l/(lx3)+l/(2x4)+l/(3x5)+.+l/n(n+2) =1/21+1/2-1/ (n+l) -1/ (n+2)注：隔項相加保留四項，即首兩項，尾兩項。自己把式子寫在草稿紙上，那樣看起來會很清爽以及整潔 !12、 爆強而積公式S=l/2 I mq-np I 其中向量 AB= (m, n),向量 BC= (p, q)注：這個公式可以解決己知三角形

7、三點坐標(biāo)求面積的問題！13、 你知道嗎？空間立體幾何中，以下命題均錯：(1) 空間中不同三點確定一個平面；(2) 垂直同一直線的兩直線平行；(3) 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；(4) 如果一條直線與平而內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則直線垂直平面;(5) 有兩個面互相平行，其余各而都是平行四邊形的幾何體是棱柱；(6) 有一個面是多邊形，其余各而都是三角形的幾何體都是棱錐注：對初中生不適用。14、 一個小知識點所有棱長均相等的棱錐可以是三、四、五棱錐。15、 求 f (x) = I x-1 I + I x-2 | + I x-3 | +.+ I x-n I (n 為正整數(shù))的最小值。答案為：當(dāng)n為

8、奇數(shù)，最小值為(n2-l )/4,在*= (n+1)/2時 取 到；當(dāng)n為偶數(shù)時，最小值為門2/4,在x=n/2或n/2+l時取至U。16> V (a2+b2) /2> (a+b) /2>A/ab>2ab/ (a+b) (a、 b 為正數(shù)， 是統(tǒng)一定義域)17、橢圓中焦點三角形而積公式：S=b2tan (A/2)在雙曲線中：S=b2/tan (A/2)說明：適用于焦點在x 軸，且標(biāo)準(zhǔn)的圓錐曲線。A 為兩焦半徑夾角。18、 爆強定理：空間向量三公式解決所有題目：cosA=l |? J量a.向量b / 向量a的模x向量b的模IA為線線夾角；A為線面夾角(但是公式中cos換成

9、sin); A為而而夾角注：以上角范圍均為 0,派/2 。19、 爆強公式12+22+32+.+n2=l/6 (n) (n+1) (2n+l) ；123+223+323+.+n23=l/4 (n2) (n+1) 220、 爆強切線方程記憶方法：寫成對稱形式，換一個 x,換一個 y 。舉例說明：對于 y2=2px 可以寫成 yxy=px+px 再把 (xo, yo) 帶入其中一個得： yxyo=pxo+px21、 爆強定理(a+b+c) 2n 的展開式合并之同的項數(shù)為： Cn+22, n+2 在下，2 在上22、Id (d2-r2) d 表示圓外一點到圓心得距 離，I?為圓半徑，而d最小為圓心到

10、直線的距離。23、 對于y2=2px,過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD,它們的 和最小為8po爆強定理的證明：對于 y2=2px,設(shè)過焦點的弦傾斜角為 A.那么弦長可表示為 2p/ (sinA) 2), 所以與之垂直的弦長為 2p/ (cosA) 2 ,所以求和再據(jù)三角知識可知。 ( 題目的意思就是弦 AB 過焦點，CD 過焦點，且AB 垂直于 CD)24、關(guān)于一個重要絕對值不等式的介紹爆強：I lal-lbl | < I a b ± l<|a|+|b|25、 關(guān) 于解決證明含In 的不等式的一種思路：舉例說明：證明 1+1/2+1/3+.+l/nln (n+1) 把左邊

11、看成是 1/n 求和，右邊看成是Sn。解：令 an=l/n,令 Sn=ln (n+1),貝 0 bn=ln (n+1)-Inn,那么只 需 證anbn即可，根據(jù)定積分知識畫出 y=l/x的圖。an=lxl/n=矩形而 積 曲線下而積=bn° 當(dāng)然前而要證明lln2o注：僅供有能力的童鞋參考 ! 另外對于這種方法可以推廣，就是把左邊、右邊看成是數(shù)列求和，證面積大小即可。說明：前提是含 In。26、 爆 強簡潔公式向量a在向量b上的射影是：(向量ax向量b的數(shù)量積)/ 向量 b 的模。記憶方法：在哪投影除以哪個的模27、 說 明一個易錯點若f (x+a) a任意為奇函數(shù)，那么得到的結(jié)論是

12、f (x+a) =-f (-x+a)(等式右邊不是？ f (-x-a),同理如果f (x+a)為偶函數(shù)，可得f (x+a) =f (-x+a) 牢記！28、 離 心率爆強公式e=sinA/(sinM+sinN),注：P為橢圓上一點，其中A為角F1PF2,兩腰角為 M, N29、橢圓的參數(shù)方程也是一個很好的東西，它可以解決一些最值問題。比如x2/4+y2= 1求z=x+y的最值。解：令 x=2cosay=sina再利用 三角有界即可。比你去=0 不知道快多少倍！30、 僅供有能力的童鞋參考 爆強公式：和差化積 sin0+sin( p=2sin ( 0+ (p )(2)cos ( 9-( p )

13、/2sin6-sm( p=2cos (0+cp) /2sin (0-q>) /2cos0+cos ( p=2cos (0+cp) /2cos (0( p) /2cos0-cos( p=-2sin (6+<p) /2sin (0- ( p) /2積化/口差 sinasinP=cos (a-p) -cos (a+P) /2cosacosp=cos (a+P ) +cos (a-p) /2sinacosP=sin (a+P) +sin (aP) /2cosasinp=sin (a+p) -sin (a-p) /231、 爆強定理直觀圖的而積是原圖的 2/4 倍。32、 三 角形垂心爆強定

14、理：(1)向量OH=向量0A+向量OB+向量OC (O為三角形外心，H 為垂心 )(2) 若三角形的三個頂點都在函數(shù)y=l/x 的圖象上，則它的垂心也在這個函數(shù)圖象上。33、 維 維安尼定理( 不是很重要( 僅供娛樂 ) ， - 正三角形內(nèi) ( 或邊界上 ) 任一 點到三邊的距離之和為定值，這定值等于該三角形的高。34、爆強思路如果出現(xiàn)兩根之積 xlx2=m, 兩根之和 xl+x2=n, 我們應(yīng)當(dāng)形成一種思路，那就是返回去構(gòu)造一個二次函數(shù)，再利用大于等于0,可以得到m、 n 范圍。35、 常 用結(jié)論：過(2p, 0)的直線交拋物線y2=2px于A、B兩點。為原點，連 接 AO.BOo 必有角

15、AOB=90 度36、 爆強公式： In (x+1) <x (x-1) 該式能有效解決不等式的證 明問題。舉例說明： In (1/ (22) +1) +ln (1/(32) +1) +.+ln (1/ (n2) + 1) 1 (n>2)o證明如下：令x=l/ (n2),根據(jù)In (x+l)仝有左右累 和右邊再放縮 得：左和 l-1/nl 證畢！37、 函 數(shù) y= (sinx) /x 是偶函數(shù)。在(0,派)上它單調(diào)遞減，(? 派，0)上單調(diào)遞增。利用上述性質(zhì)可以比較大小。38、 函數(shù)y= （lnx）/x在（0, e）上單調(diào)遞增，在（e, +無窮）上單調(diào)遞減。另外 y=x2 （1/x

16、） 與該函數(shù)的單調(diào)性一致。39、 幾個數(shù)學(xué)易錯點：（1） f （x） 0 是函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的充分不必要條件；（2） 在研究函數(shù)奇偶性時，忽略最開始的也是最重要的一步： 考慮定義域是否關(guān)于原點對稱?。?） 不等式的運用過程中，千萬要考慮二號是否取到?。?） 研究數(shù)列問題不考慮分項，就是說有時第一項并不符合通項公式，所以應(yīng)當(dāng)極度注意：數(shù)列問題一定要考慮是否需要分項！40、 提高計算能力五步曲：（ 1） 扔掉計算器；（ 2） 仔細審題（提倡看題慢，解題快），要知道沒有看清楚題 目，你算多少都沒用；（ 3） 熟記常用數(shù)據(jù)，掌握一些速算技巧；（ 4） 加強心算，估算能力；（ 5） 檢驗 !41、

17、 一 個美妙的公式：爆強 ! 已知三角形中 AB=a, AC=b, O 為三角形的外心，則向量AOx向量BC （即數(shù)量積）=（1b2-a2強烈推薦！證明：過O 作 BC 垂線，轉(zhuǎn)化到己知邊上42、 ( 1)函數(shù)單調(diào)性的含義大多數(shù)同學(xué)都知道若函數(shù)在區(qū)間 D 上單調(diào)，則函數(shù)值隨著自變量的增大(減小)而增大(減小)，但有些意思可能有些人還不是很 清楚，若函數(shù)在D 上單調(diào)，則函數(shù)必連續(xù)(分段函數(shù)另當(dāng)別論)這 也說明了為什么不能說y=tanx 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因為它的圖像 被無窮多條漸近線擋住，換而言之，不連續(xù)。還有，如果函數(shù)在 D上單調(diào)，則函數(shù)在 D上y與x對應(yīng)。這個可以用來解一些方程。至于例子不

18、舉了。( 2)函數(shù)周期性：這里主要總結(jié)一些函數(shù)方程式所要表達的周期設(shè) f ( x )為R 上的函數(shù)，對任意xeR：?f (a ±x) =f (b x)± T= (b-a) ( 加絕對值，下同 ) f (a x±) =-f (b x)± T=2 (b-a) f (x-a) +f (x+a) =f (x) T=6a設(shè) T 去 0,有 f (x+T) =Mf (x)其中 M (x)滿足 MM (x) =x, 且 M (x) fx 則函數(shù)的周期為 243、 奇 偶函數(shù)概念的推廣：(1)對于函數(shù)f(X)，若存在常數(shù)a,使得f (a-x) =f (a+x),則稱f(

19、x)為廣義(I )型偶函數(shù)，且當(dāng)有兩個相異實數(shù)a, b滿足 時，f(X)為 周期函數(shù) T=2 (b-a)(2)若f (a-x) =-f (a+x),則f (x)是廣義(I )型奇函數(shù)， 當(dāng)有兩個 相異實數(shù)a, b滿足時，f (x)為周期函數(shù)T=2 (b-a)(3)有兩個實數(shù)a, b滿足廣義奇偶函數(shù)的方程式時，就稱 f (X)是廣義(II)型的奇，偶函數(shù)。且若f(x)是廣義(II)型偶函數(shù)，那么當(dāng)f在a+b/2, +oo)上為增 函數(shù)時，有f (xl) f (x2) 等價于絕對值xl? (a+b p= = 2)絕 對值 x2-(a+b)=44、 函 數(shù)對稱性：(1)若f(X)滿足f (a+x)

20、+f (b-x) =c則函數(shù)關(guān)于(a+b/2, c成 中心對稱(2) 若 f (x) 滿足f (a+x) =f (b-x) 則函數(shù)關(guān)于直線x=a+b/2 成軸對稱柯西函數(shù)方程：若f (x)連續(xù)或單調(diào)：(1) 若 f (xy) =f (x) +f (y) (xO,yO) ，則 f (x) =log ax(2) 若 f (xy) =f (x) f (y) (xO,yO) ，則 f (x) =x2u (u 由初 值給 出)(3) f (x+y) =f (x) f (y) 貝 9 f (x) =a2x(4) 若 f (x+y) =f (x) +f (y) +kxy, 則 f (x) =ax2+bx(5

21、) 若 f (x+y) +f (x-y) =2f (x) ，則 f (x) =ax+b特別的若 f (x) +f (y) =f (x+y), 貝! J f (x) =kx45、與三角形有關(guān)的定理或結(jié)論中學(xué)數(shù)學(xué)平面幾何最基本的圖形就是三角形(1) 正切定理 ( 我自己取的，因為不知道名字 ) ：在非 Rt 中 ,有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(2) 任意三角形射影定理( 又稱第一余弦定理) ：在 AABC 中a=bcosC+ccosB ； b=ccosA+acosC ； c=acosB+bcosA(3)任意三角形內(nèi)切圓半徑r=2S/a+b+c (S為面積)，外接圓半徑應(yīng)該都知道了吧(4) 梅涅勞斯定理：設(shè)A1,B1, Cl 分別是 AABC 三邊 BC, CA,AB 所在直線的上的點，則 Al, Bl, C1 共線的充要條件是CB1/B1ABA1/A1CAC1/C1B=146 易錯點：（ 1） 函數(shù)的各類性質(zhì)綜合運用不靈活，比如奇偶性與單調(diào)性常用來配合解決抽象