兩角和差正余弦公式的證明

1、兩角和差正余弦公式的證明兩角和差的正余弦公式是三角學(xué)中很重要的一組公式。下面我們就它們的推導(dǎo)證明方法進(jìn)行探討。由角G,產(chǎn)的三角函數(shù)值表示Q士廣的正弦或余弦值,這正是兩角和差的正余弦公式的功能。換言之，要推導(dǎo)兩角和差的正余弦公式，就是希望能得到一個(gè)等式或方程，將阻Q功或向（以士四與Q,小的三角函數(shù)聯(lián)系起來。易得到對(duì)應(yīng)的差sin(-<Z)=cosfl根據(jù)誘導(dǎo)公式，由角S的三角函數(shù)可以得到-8的三角函數(shù)。因此，由和角公式容角公式，也可以由差角公式得到對(duì)應(yīng)的和角公式。又因?yàn)?即原角的余弦等于其余角的正弦，據(jù)此，可以實(shí)現(xiàn)正弦公式和余弦公式的相互推導(dǎo)。因此，只要解決這組公式中的一個(gè)，其余的公式將很容

2、易得到。（一）在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角余弦公式注意到單位圓比較容易表示憶,。和。*艮而且角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)可以用三角函數(shù)值表示,因此，我們可以用單位圓來構(gòu)造聯(lián)系士四與a,產(chǎn)的三角函數(shù)值的等式。1 .和角余弦公式（方法1）如圖所示,在直角坐標(biāo)系曲中作單位圓°,并作角a,#和一萬，使角G的始邊為Qt,交口。于點(diǎn)a,終邊交口0于點(diǎn)b；角力始邊為0B,終邊交10于點(diǎn)C；角一小始邊為(h終邊交口。于點(diǎn)。從而點(diǎn)A,B,C和D的坐標(biāo)分別為4®,£(£050,011a)C(cos(a+/9,M)(a+/5),D(cns網(wǎng)一如由兩點(diǎn)間距離公式得Q二(cns(a+

3、M-l)'+如'5+冏=2-2aB(a+；初a=(c0s/?-OTsa)2+(-an/?-sna)2=2-2(cds(Zcds/J-sui(ZSU1/J)。注意到|四二初，因此好四=msaBs產(chǎn)-血ash。注記：這是教材上給出的經(jīng)典證法。它借助單位圓的框架，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式表達(dá)兩條相等線段，從而得到我們所要的等式。注意，公式中的(和尸為任意角。2 .差角余弦公式仍然在單位圓的框架下，用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式和余弦定理表達(dá)同一線段，也可以得到我們希望的三角等式。這就是(方法2)如圖所示，在坐標(biāo)系必中作單位圓0,并作角a和凡使角a和P的始邊均為&,交口。于點(diǎn)C,角值終

4、邊交口0于點(diǎn)A,角A終邊交口。于點(diǎn)。從而點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為用匚姓仁,由)仁)，砥/以血月)由兩點(diǎn)間距離公式得加二（ctsq-cns®+（而優(yōu)-血毋=2-Xoosacns+sinasm/!）由余弦定理得H=。/1OB2-lOSDBrosZJOB二面+面2-2Obcre（z-四=2-2cns（a-切。從而有cns（a+=msflcns-siiiasm注記：方法2中用到了余弦定理,它依賴于ZAOB是三角形的內(nèi)角。因此，還需要補(bǔ)充討論角G和A的終邊共線,以及郎大于¥的情形。容易當(dāng)證,公式在以上情形中依然成立。在上邊的證明中，用余弦定理計(jì)算18的過程也可以用勾股定理來進(jìn)行。也可以用向量

5、法來證明。則d(1(u.SIHu).$出(c<tA<iti由向赫數(shù)量積的定義.行(/A*(/A()/5ccis<a；/>ros(<xJ).由向收數(shù)址積的坐標(biāo)表示，有()A(eosa,sina)(cosjS,sin)cosacosji-rill"I”W于足cos(a為cosacos/J+xinasin/1（二）在三角形的框架下推導(dǎo)和差角正弦公式除了在單位圓的框架下推導(dǎo)和差角的余弦公式，還可以在三角形中構(gòu)造和角或差角來證明和差角的正弦公式。1 .和角正弦公式（一）（方法3）如圖所示，即為的/邊上的高,CE為期邊上的高。設(shè)JC=b,ZG4A=ffl,42二處則

6、。從而有加二baKG,CEOna,BE=CEnifl=bmavxtfi,因此A8=AEBE=b(paaaA初二加血a=Mihsce1向龍cot£)dnG注意到初二BC如+£）二占向crcsc/I向（q+£）,從而有：Qsa+血?dú)W值血0二血億的萬靛十,整理可得由i0+=向0msA+cosGsinA。注記：在方法3中，用1C和與底角a,A相關(guān)的三角函數(shù),從兩個(gè)角度來表示4c邊上高BD,從而得到所希望的等式關(guān)系。這一證明所用的圖形是基于鈍角三角形的，對(duì)基于直角或銳角三角形的情形，證明過程類似。利用方法3中的圖形，我們用類似于恒等變形的方式，可以得到下面的（方法4）如圖所

7、示,初為由MC的邊上的高,CE為期邊上的高。設(shè)/四二G,NOW二四則Z/O=聞AEAD注意到勵(lì)CEU,則有CEA”即。皿3所必組聯(lián)從而有BCABBCADCERBREF=_#+血利用正弦定理和射影定理，將得到卜面這個(gè)非常簡(jiǎn)潔的證法。架與方法3,4所用的圖形框架是相同的。Cade（方法5）如圖所示,為AM?的即邊上的高。設(shè)AEERDDUrABDBCABC注意證明利用的圖形框/二C,£CRA=0,則有ZACS二卸-+冏,。由正弦定理可得DEg力7an/?anan（a+司其中d為兒郎的外接圓直徑。由小二dCoKG+BCaKA得dsin（Q+周=dsinjliosa+dsinattos四從而有

8、而（a+四二而cecos/Hcosq而（/?。2 .和角正弦公式（二）方法3,4和5利用的圖形框架是將角G,|小放在三角形的兩個(gè)底角上。如果將這兩個(gè)角的和作為三角形的一個(gè)內(nèi)角，將會(huì)有下面的幾種證法（方法611）。（方法6）如圖所示，作/于D,交AC外接圓于E,連部和CE。設(shè)加二4ZCAE=£,則而”ZCBE二9Cm機(jī)設(shè)&ABC的外接圓直徑為d,則有,iE=dsna助二McosP二dsinacDsPCE=rfgn/?CD=CEcosa=rfincosa所以有RC-即ICD"qnSojs川cosSsm注意到BC=dsin（a+切，從而血&+陽而仁8s即糕以向力。

9、（方法7）如圖所示，初為A1BC的4c邊上白高，CE為加邊上的高。設(shè)£O二&4CE4,則“CS=g+P。設(shè)優(yōu)二機(jī)則AE Atanti ,BE=hM0,BC=Asec。怒=JE+M二蛇s+fan0加工燃血展即cnsG=*OQ+Q又RD-RC(rI必從而(tarn1血刈85。bk仕in(ct/9整理可得由1十四二血amsP+cosQsiii產(chǎn)O £ F A(方法8)如圖所示，作BDLOC于d,過d作DF1也于f,JJG1BE于g。設(shè)二優(yōu)建0c=萬，則ZAOB=afi,設(shè)0A=，,從而BD=rsmfiOD=rrnfiBG=SDaK<L-rinficrnaGE=DF=

10、ODsiiia二fcos閃hg。所以/E=AG+GE=而/JasQ+cos即a)o注意到5J?=rsn(ff+/5,則有血+用二血acos/HcosQ而1萬。注記：我們用兩種不同的方法計(jì)算AE,得到了和角的正弦公式。如果我們用兩種方法來計(jì)算0E,則可以得到和角的余弦公式。由上圖可得OF=ODcssarrnficDsaEF=GD=BDE(l=fEgEa從而有跡二。尸一郎二McosqcosAsinG而切注意到QE=rcre(a+切,從而可得cos(a+)=cosaaKy?-anamJ?方法6,7和8都是用角H,A的三角函數(shù)從兩個(gè)角度表示圖形中的同一線段,從而構(gòu)造出我們所希望的等式關(guān)系。（方法9）如

11、圖所示,設(shè)CD為AABC的45邊上的高。設(shè)ZOiS=a£CBA=fiJC=bHC-a從而有AD=bcosa,田口門亡。9PCDfrsina=£jsinp因此s二必t§二皿+§二而=-AD7CD-BDTD22=idcosct-nsin/3+acos依加inaat(sitiacos(+costzsinJJ)又因?yàn)閺亩傻肧,w=ij<C3ffCsaiiZACS=abna+)以比+?)=sin型cos/?+cosClsinp方法9利用面積關(guān)系構(gòu)造三角恒等式。下面這兩個(gè)證法的思路則有所不同。AB-dcos/?BC=d&n8CDdsinQDAdcos

12、tz一BD=dsin(a+P)由托勒密定理知ACZBD=ABJCD+ADZBC即整理即得dNsin(a+)6)=cosX52kfsina+dcosadsin3sin(G+初=si口acosjff+cosasin/?D（方法io）如圖所示，設(shè)附為MJC的外接圓直徑d,長(zhǎng)度為d。設(shè)ZCAD=a,為出二P,則a曲二優(yōu)+打，從而AB=dcospBC-dsin0CD:dsi口=以BD=dsin(a+P)由托勒密定理知ACZBD=ABHD+ADZBC即HN血(a+向=dcos/?"sin支+dco5aNsi口尸整理即得sic(ff4-/3)-sinQ：cos/?+cossing則有注記：這一證明

13、用到了托勒密定理：若4c和AD是圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線1O向(a+四=dcos/Q/向a+dcosoQNn產(chǎn)。(方法ii)如圖所示，CD為MIC的&邊上的高。設(shè)ZACD=a,ZBCO二p,則4CR=g+P設(shè)CD=h,則=AD+BD-MtanLZ+tau/3)AC=hca=I由正弦定理可得3ABACBCsin（tz+必sin5sinj4乂8_KC_BC即sin（次+#）8$#co5aAB_AC+BC從而sin（B+0cos/?+cosa網(wǎng)tana+tan£）_甩牌ca+s“向即而（a+£）cos>3+cosa整理即得疝n«r+尸）=sinacosp-&#

14、165;costzsin方法io和ii將某一線段作為基本量,利用與角a,2相關(guān)的三角函數(shù)表示其它線段，再通過聯(lián)系這些線段的幾何定理（托勒密定理或正弦定理），構(gòu)造出我們希望的等式關(guān)系。3.差角正弦公式仍然還是在三角形中，我們可以在三角形的內(nèi)角里構(gòu)造出差角來。方法12和13便是用這種想法來證明的。4cg 二（方法12）如圖所示,2設(shè) HBC=a,小BC=«,記 £D=B,作加:L«于e,則ZABDa-p,ZADE=a,從而有CD=6An尸DE-bsia(cr-6DA-DEseca=isin(cr-/?)sec(2!-CD-DA二區(qū)sin#+sin(以一/3)secGt

15、)BC-bcopAC=JffCtan(x=dcos/?tanasin/3+sin(cr-73)sec£Z=cosPtana因此有AC注意到從而整理可得sin(儀P)=sinCLcos£cosasin(（方法13）如圖所示，即為AM7的外接圓直徑，長(zhǎng)度為do設(shè)IZR超二向ZCAD=fi則ZCSD=。,ZCAB=G-P。從而W-dcosa=3BC-dsin（a-肉AC=dcos（a-p）DE=ADtan/?=dcos儀tan/?BE=5CsecP=dsin（<z狂）能:尸所以BD=EE+DE=4（城口口向sec廣十85江tanP）注意到方門=dsine從而sina=sin

16、（df-）sec/?+cosfftanP整理可得sin（cr-p）=sin<zcqsJ3-cosasinJ31方法12和13的基本思路仍然是用兩種不同方法計(jì)算同一線段，借此來構(gòu)造等式關(guān)系。很顯然，在這十二種證法中，方法1和2更具普遍性。換言之，這兩種方法中出現(xiàn)的角a,2是任意角。而其余方法中,角a和A則有一定的限制,它們都是三角形的內(nèi)角（甚至都是銳角）。因此，對(duì)于方法313，我們需要將我們的結(jié)果推廣到角譏和力是任意角的情形。具體而言,我們要證明：如果公式對(duì)任意“一也31成立,則對(duì)任意角也成立。容易驗(yàn)證，角G和#中至少有一個(gè)是軸上角（即終邊在坐標(biāo)軸上的角），我們的公式是成立的。下面證明，角

17、化和力都是象限角（即終邊在坐標(biāo)系的某一象限中的角）時(shí)，我們的公式也成立。不妨設(shè)G為第二象限角，A為第三象限角，從而有虱h(huán)笠a=2"wr十一+q0<%<一212產(chǎn)eZ；宏產(chǎn)二(2汽+1必+戶1°父弁<，.打wZ因此有sina-cosoccc皂厘=-sin%sinp=-sincosp=cos從而71sin(cr+£)=sin(2m知十一十%)十(2門十1)霍十£)2=sin(2fM+2?i+)冗+(%+/7J=一85(%+公=-cos/comg+sin/sin且=cos6(一cosR)+(-Wn/Xsin=sinacos£+cosasin(i同理可證，公式對(duì)于象限角化和萬的其它組合方式都成立