工程力學(天津大學)第13章答案

1、15º1.62.0單位：MPa習題131圖1.25(a)(b)習 題 解 答131 木制構(gòu)件中的單元體應力狀態(tài)如圖所示，其中所示的角度為木紋方向與鉛垂線的夾角。試求：（l）平行于木紋方向的切應力；（2）垂直于木紋方向的正應力。解： 由圖a可知（1）平行于木紋方向的切應力：則由公式可直接得到該斜截面上的應力（2）垂直于木紋方向的正應力由圖b可知（1）平行于木紋方向的切應力：則由公式可直接得到該斜截面上的應力（2）垂直于木紋方向的正應力132 已知應力狀態(tài)如圖一所示（應力單位為MPa），試用解析法計算圖中指定截面的正應力與切應力解：（a）已知 則由公式可直接得到該斜截面上的應力習題132

2、圖(c)(b)10203067.5º3010(a)2045º60º20101560º5030(d)（b）已知 則：（c）已知 習題133圖1020(a)1545º(b)60º4020則：133 已知應力狀態(tài)如圖所示（應力單位為MPa），試用圖解法（應力圓）計算圖中指定截面的正應力與切應力。134 已知應力狀態(tài)如習題132圖所示（應力單位為MPa），計算圖示應力狀態(tài)中的主應力及方位。解：（a）已知 則由公式可直接得到該單元體的主應力maxmin=x+y2±x-y22+x2)=30+102±30-1022+(-20)2

3、=42.36-2.36MPa主應力為：1=42.36MPa, 2=0, 3=-2.36MPa tan20=-2xx-y=-2×(-20)30-10=220=63.44°-116.56° 0=31.72°-58.28°因為x>y，主應力1對應的方位角為1=31.72°。(a)202040習題135圖204040302020(b)(c)135 試確定圖示應力狀態(tài)中的主應力及方位、最大切應力（按三向應力狀態(tài)考慮）。圖中應力的單位為MPa。解：（a）已知 則由公式可直接得到該單元體的主應力maxmin=x+y2±x-y22+x

4、2)=40+202±40-2022+(20)2=52.367.64MPa主應力為：1=52.36MPa, 2=7.64MPa, 3=0 tan20=-2xx-y=-2×(20)40-20=-220=-63.44°116.56° 0=-31.72°58.28°因為x>y，主應力1對應的方位角為1=-31.72°。（b）已知 則由公式可直接得到該單元體的主應力maxmin=x+y2±x-y22+x2)=40-202±40+2022+(-40)2=60-40MPa主應力為：1=60MPa, 2=0, 3=

5、-40MPa tan20=-2xx-y=-2×(-40)40+20=4320=53.13°-126.87° 0=26.56°-63.44°因為x>y，主應力1對應的方位角為1=26.56°。（c）已知 則由公式可直接得到該單元體的主應力maxmin=x+y2±x-y22+x2)=-20+302±-20-3022+(20)2=37.016-27.016MPa主應力為：1=37.016MPa, 2=0, 3=27.016MPa tan20=-2xx-y=-2×(20)-20-30=4520=38.66&

6、#176;-141.34° 0=19.33°-70.67°因為x<y，主應力1對應的方位角為1=-70.67°。(a)習題136圖(b)(c)00136已知應力狀態(tài)如圖所示（應力單位為MPa），試畫三向應力圓，求最大切應力。解：圖a為單向應力狀態(tài)，圖b為純剪切應力狀態(tài)，圖c為平面應力狀態(tài)，其應力圓如圖。最大切應力分別為：2，12圖a圖b圖cO121O31O習題137圖40(a)50607020(b)圖a70601501圖b40O20-40137已知應力狀態(tài)如圖所示，試畫三向應力圓，并求主應力、最大切應力（應力單位為MPa）。解：圖a 為三向主應力狀

7、態(tài)，1=60MPa, 2=50MPa, 3=-70MPa ，max=56MPa，應力圓如圖（a）。圖b一方向為主應力，另兩方向為純剪切應力狀態(tài)，則根據(jù)公式可直接得出另兩主應力。于是有1=40MPa, 2=20MPa, 3=-40MPa，max=40MPa其應力圓如圖（b）。40習題138圖2mA16080BCFA138圖示懸臂梁，承受荷載F = 10KN作用，試求固定端截面上A、B、C三點最大切應力值及作用面的方位。解：固定端截面的彎矩M=F×l=10×2=20kNM,剪力F=10kN。Iz=bh312=80×1603×10-1212=2.731

8、5;10-5m4截面a點的應力：=MyIZ=20×103×80×10-32.731×10-5=5.859×107Pa=58.59MPa,=0,其應力狀態(tài)為單向應力狀態(tài)，即1=58.59MPa, 2= 3=0，max=12=29.29MPa, 最大切應力作用面的方位為=-4。截面b點的應力：=MyIZ=20×103×40×10-32.731×10-5=2.929×107Pa,=FsSzbIz=10×103×40×80×60×10-90.08

9、5;2.731×10-5.=8.788×105Pa,其應力狀態(tài)為平面應力狀態(tài)，即maxmin=2±22+2)=29.292±29.2922+(0.8788)2=43.96-14.62MPa主應力：1=43.96MPa, 2=0， 3=-14.62MPa，max=1-32=29.29MPa。求最大切應力作用面的方位先求主應力的方位，即 tan20=-2=-2×0.878829.29=-0.06，20=-3.43°176.57°，0=-1.72°88.28°1=-1.72°， =1+45°

10、=43.28°截面c點的應力：=0,=3Fs2A=3×10×1032×80×160×10-6=1.172×106Pa=1.162MPa,其應力狀態(tài)為純剪切應力狀態(tài)，則1=, 2=0， 3=1.172MPa，max=, 最大切應力作用面的方位為=0。習題139圖30AFF139 空心圓桿受力如圖所示。已知F=20kN，D=120mm，d = 80mm，在圓軸表面A點處測得與軸線成30°方向的線應變30°= 1.022×105，彈性模量E=210GPa, 試求泊松比。解：1、A點對應的橫截面上只有正

11、應力，即A0=FNA=20×1034(1202-802)×10-6=3.185×106Pa=3.185MPa2、取A點的單元體3、由斜截面應力計算公式有30°=cos2=3.185×34=2.389MPa120°=cos2=3.185×0.52=0.79625MPa3、根據(jù)廣義胡克定律有30°=1E30°-v-60°則 v=30°-E30°120°=2.389×106-210×109×1.022×10-50.796×

12、106=0.360ºxzy13習題1310圖1310 在其本身平面內(nèi)承受荷載的鋁平扳，巳知在板平面內(nèi)的主應變?yōu)? = 3.5×10-4，3 = -5.4×10-4 其方向如圖1310 所示。鋁的E70 GPa，0.33，試求應力分量x、y及x。解：由題意可知該應力狀態(tài)為平面應力狀態(tài)，根據(jù)廣義胡克定律有1=1E1-v3 3=1E(3-v1)代入3.5×10-4×70×109=1-0.333-5.4×10-4×70×109=3-0.331得1=13.5×106Pa=13.5MPa, 3=-33.35

13、×106Pa=-33.35MPa利用斜截面應力公式1=x+y2+x-y2cos120°-xsin120°tan120°=-2xx-y及x+y=1+3 得x=-21.7MPa, y=1.7MPa, x=-20.3MPa1311 已知各向同性材料的一主應力單元體的1 = 30MPa，2 = 15MPa，3 =-5MPa，材料的彈性模量E = 200GPa，泊松比。試求該點得主應變。解：直接應用廣義胡克定律即可求出。1312 圖示矩形板，承受正應力x與y作用，試求板厚的改變量與板件的體積改變V。已知板件厚度=10mm，寬度b = 800mm，高度h = 600

14、mm，正應力x = 80MPa，y = -40MPa，材料為鋁，彈性模量E70GPa，泊松比 0.33。習題1312圖hbxy解：由廣義胡克定律即可求出則 體應變板件的體積改變量習題1313圖20cm20.001cmF1313 如圖所示，邊長為20cm均質(zhì)材料的立方體，放入剛性凹座內(nèi)。頂部受軸向力F = 400kN作用。已知材料的E = 2.6×104MPa， = 0.18。試求下列兩種情況下立方體中產(chǎn)生的應力。（1）凹座的寬度正好是20cm；（2）凹座的寬度均為20.001cm。解：（1）根據(jù)題意立方體兩水平方向的變形為零，即為變形條件，由廣義胡克定律得上式解出 。式中 。代入數(shù)據(jù)

15、，得（2）根據(jù)題意立方體兩水平方向的變形為0.001cm，應變，由廣義胡克定律得式中 。上式解出 。習題1314圖A45°Me代入數(shù)據(jù)，得1314 已知如圖所示受力圓軸的直徑d=20mm，若測得圓軸表面A點處與軸線45°方向的線應變45°= 5.20×10-4，材料的彈性模量E = 200GPa，泊松比 = 0.3。試求外力偶矩Me。解：A點應力狀態(tài)為純剪切狀態(tài)，故45°方向為主應力方向，且有。由得。對于扭轉(zhuǎn)是A點的切應力，則1315 一直徑為25mm的實心鋼球承受靜水壓力，壓強為14MPa。設鋼球的E=210GPa，=0.3。試問其體積減少多

16、少？解：根據(jù)題意有體應變體積改變量1316 試對圖示三個單元體寫出第一、二、三、四強度理論的相當應力值，設 =0.3。習題1316圖30(a)3020102010(b)1520(c)解：(a) 由題圖可知則(b)已知則（c）由題圖可知則 則由公式可直接得到該單元體的主應力1317 有一鑄鐵制成的零件。已知危險點處的應力狀態(tài)如圖所示。設材料的許用拉應力t=30MPa，許用壓應力c=90MPa，泊松比 =0.25。試用第一和第二強度理論校核其強度。B習題1317圖550kN1m8m200A840240B10z習題1318圖40kN/m 1m550kN單位：MPa70503040（a）（b）1318

17、 一工字鋼制成的簡支梁，受力如圖a所示。其截面尺寸見圖b。材料的=170MPa，=100MPa，試校核梁內(nèi)的最大正應力和最大切應力，并按第四強度理論校核危險截面上A點的強度。解：（1）橫截面的幾何性質(zhì)（2）作簡支梁的剪力圖和彎矩圖。（3）梁內(nèi)跨中截面上下邊緣有最大正應力為（4）梁內(nèi)支座處截面的中性軸上有最大切應力為（5）梁內(nèi)集中力作用處左側(cè)截面上的剪力和彎矩為該截面上A點的應力為A點的主應力為由第四強度理論因此，梁是安全的。1319 圖所示為承受內(nèi)壓的薄壁容器。為測量容器所承受的內(nèi)壓力值，在容器表面用電阻應變片測得環(huán)向應變t = 350×10-6， 。若已知容器平均直徑D500 mm

18、，壁厚d10 mm，容器材料的E210 GPa，0.25。試：（1）導出容器橫截面和縱截面上的正應力表達式；（2）計算容器所受的內(nèi)壓力。答 案131 = -1.773 MPa， = .1 MP132 （a） = 40.3 MPa， = 14 MPa。 （b） = -38.2 MPa， = 0。 （c） = 0.49 MPa， = -20.5 MPa。 （d） = 35.8 MPa， = -8.66 MPa。133 （a） = 10 MPa， = 15 MPa。 （b） = 47.3 MPa， = -7.3 MPa。135 (a）1= 52.4 MPa，2= 7.64 MPa，3= 0，1 =-31.8° （b）1= 1