線面平行與面面平行

1、第2課時 線面平行與面面平行考綱鏈接1.了解空間線面、面面平行的有關(guān)概念2.理解直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系的性質(zhì)與判定，并能進(jìn)行簡單運(yùn)用.【課前自主探究】 教材回歸基礎(chǔ)重現(xiàn)：1直線與平面平行的判定定義法：證明直線與平面無公共點(diǎn)（反證法）.判定定理：如果_和平面內(nèi)的一條直線平行，則直線和平面平行.面面平行的性質(zhì)：如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個平面.2直線與平面平行的性質(zhì)： 定義：如果一條直線和一個平面平行，,則直線與平面無公共點(diǎn)性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和_平行3平面與平面平行的判定定義法：證明兩個平

2、面沒有公共點(diǎn)（反證法）.判定定理：如果一個平面內(nèi)的_分別和另一個平面平行，那么這兩個平面相互平行.推論：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別和另一個平面內(nèi)的兩條直線（相交）平行，那么這兩個平面相互平行.垂直于同一直線的兩個平面相互平行.4平面與平面平行的性質(zhì)：.定義 ： 如果兩個平面平行, 則兩個平面沒有公共點(diǎn).性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么_5兩個平行平面間的距離 兩個平行平面的_的長度叫做兩個平行平面間的距離基礎(chǔ)重現(xiàn)答案：1. 平面外的一條直線；2. 交線；3. 兩條相交直線4. 所得的兩條交線平行5. 公垂線段思維升華：1.線線、線面、面面平行的轉(zhuǎn)換_線線平行 線面平行

3、 面面平行2解答或證明線面、面面平行的有關(guān)問題，常常要作_或輔助平面.思維升華答案：1. 面面平行性質(zhì)定理 2. 輔助線 基礎(chǔ)自測1.下列命題中，正確命題的個數(shù)是 .若直線l上有無數(shù)個點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行；如果兩條平行直線中的一條直線與一個平面平行，那么另一條直線也與這個平面平行；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點(diǎn).答案：1解析：正確的命題僅是2下列說法正確的有_一個平面內(nèi)有兩條直線與另一個平面平行，則這兩個平面互相平行；兩個平面垂直于同一條直線，則這兩個平面互相平行；兩個平面垂直于同一個平面，則這兩個平面互相平行；兩

4、個平面同時平行于某一個平面，則這兩個平面互相平行；答案：3如果一個平面內(nèi)的兩條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面 位置關(guān)系為 _答案：平行或相交4. (2010宿遷模擬題)設(shè)是空間的不同直線或不同平面，下列條件中能保證“若，且，則”為真命題的是 .（填所正確條件的代號）為直線； 為平面；為直線，為平面； 為直線，為平面.答案：5.（2010山東高考題改編）在空間，下列命題正確的有_個.平行直線的平行投影重合.平行于同一直線的兩個平面平行.垂直于同一平面的兩個平面平行.垂直于同一平面的兩條直線平行答案：1.解析：由空間直線與平面的位置關(guān)系及線面垂直與平行的判定與性質(zhì)定理可以得出命題是正確的.【

5、課堂師生共探】 經(jīng)典例題題型一 直線與平面平行的判定與性質(zhì)例題1 如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且B1E=C1F.求證：EF平面ABCD.分析：要證EF平面ABCD，思路有兩種：一是利用線面平行的判定定理，即在平面ABCD內(nèi)確定EF的平行線；二是利用面面平行的性質(zhì)定理，即過EF作與平面ABCD平行的平面.證明 方法一 分別過E，F(xiàn)作EMAB于M，F(xiàn)NBC于N，連接MN.BB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC，EMBB1，F(xiàn)NBB1，EMFN.又B1E=C1F，EM=FN，故四邊形MNFE是平行四邊形，EFMN.又MN平面ABCD，E

6、F平面ABCD，所以EF平面ABCD.方法二 過E作EGAB交BB1于G，連接GF，則，B1E=C1F，B1A=C1B，F(xiàn)GB1C1BC，又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面ABCD.點(diǎn)評：判斷或證明線面平行的常見途徑：利用線面平行的定義（無公共點(diǎn)）；線面平行的判定定理；面面平行的性質(zhì)定理ABCDEP變式訓(xùn)練：（2010福建泉州一中模擬卷改編）右圖為一簡單組合體，其底面為正方形，平面，/.求證：/平面；證明：，同理可得BC/平面PDA，又，題型二 平面與平面平行的判定與性質(zhì)例題2 已知P為ABC所在平面外一點(diǎn)，G1、G2、G3分別是PAB、PCB、P

7、AC的重心.（1）求證：平面G1G2G3平面ABC；（2）求SSABC.分析：要證明平面G1G2G3平面ABC，可以通過面面平行的判定定理，兩條相交直線，都平行平面ABC.證明（1）如圖所示，連接PG1、PG2、PG3并延長分別與邊AB、BC、AC交于點(diǎn)D、E、F，連接DE、EF、FD，則有PG1PD=23， PG2PE=23，G1G2DE.又G1G2不在平面ABC內(nèi)，G1G2平面ABC.同理G2G3平面ABC.又因為G1G2G2G3=G2，平面G1G2G3平面ABC.（2）解由（1）知=，G1G2=DE.又DE=AC，G1G2=AC. 同理G2G3=AB，G1G3=BC.G1G2G3CAB，

8、其相似比為13，SSABC=19.點(diǎn)評：證明面面平行，一般可利用面面平行的判定定理，將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化線線平行.值得 注意的是，不能直接通過得出平面G1G2G3與平面ABC.平行，而通過兩條相交直線都和平面ABC平行.變式訓(xùn)練：如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),問：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時，平面D1BQ平面PAO？解析： 當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時，平面D1BQ平面PAO.Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，QBPA.P、O為DD1、DB的中點(diǎn)，D1BPO.又POPA=P，D1BQB=B，D1B平面PAO，QB平面

9、PAO，平面D1BQ平面PAO.題型三 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例題3 如圖所示，平面平面，點(diǎn)A，C，點(diǎn)B，D,點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AEEB=CFFD.（1）求證：EF；（2）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角為60，求EF的長.分析：（1）首先判斷A、B、C、D未必共面，可以對其是否共面進(jìn)行討論.若這四點(diǎn)共面,可通過EF/BD來證得EF，若這四點(diǎn)不共面，可過A、C、D作輔助平面交于DH,在AH取一個合適點(diǎn)G，進(jìn)而通過平面EFG平面來證得EF.（2）求線段的長可以將其放到三角形中去解三角形.（1）證明 當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時，由，平面平面ABD

10、C=AC，平面平面ABDC=BD，ACBD，AEEB=CFFD，EFBD，又EF,BD,EF.當(dāng)AB與CD異面時，設(shè)平面ACD=DH，且DH=AC.，平面ACDH=AC，ACDH，四邊形ACDH是平行四邊形，在AH上取一點(diǎn)G，使AGGH=CFFD，又AEEB=CFFD，GFHD，EGBH，又EGGF=G，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.綜上，EF.（2）解 如圖所示，連接AD，取AD的中點(diǎn)M，連接ME，MF.E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，MEBD，MFAC，且ME=BD=3，MF=AC=2，EMF為AC與BD所成的角（或其補(bǔ)角），EMF=60或120，在EFM中由余弦定理得，EF=，即E

11、F=或EF=.點(diǎn)評：線線、線面、面面平行之間常常需要直接或間接轉(zhuǎn)化，不少問題還需要我們多次轉(zhuǎn)化，才能實現(xiàn)；立體幾何中問題的解決還需要平面幾何知識的運(yùn)用，事實上復(fù)雜的立體幾何問題最終是在一個或幾個平面中得以解決的.變式訓(xùn)練：如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別是BC、CC1、C1D1、A1A的中點(diǎn).求證：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D；（3）平面BDF平面B1D1H.解析： （1）如圖所示，取BB1的中點(diǎn)M，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，HD1MC1.又MC1BF，BFHD1.（2）取BD的中點(diǎn)O，連接EO，D1O，則OE DC，又D1G DC，O

12、E D1G，四邊形OEGD1是平行四邊形，GED1O.又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D.（3）由（1）知D1HBF，又BDB1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1HD1=D1，DBBF=B，平面BDF平面B1D1H.高考新題零距離（2010陜西文高考題） 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB,PC的中點(diǎn).(1)證明：EF平面PAD；(2)求三棱錐EABC的體積V.證明：(1)在PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點(diǎn)，EFBC.又BCAD,EFAD,又AD平面PAD,EF平面P

13、AD,EF平面PAD. (2)連接AE,AC,EC,過E作EGPA交AB于點(diǎn)G,則BG平面ABCD,且EG=PA.在PAB中，AD=AB,PAB,BP=2,AP=AB=,EG=.SABC=ABBC=2=,VE-ABC=SABCEG=.典型錯誤警示1.線面平行關(guān)系判定時,對兩直線平行比較關(guān)注,但對兩條直線分別在平面外、平面內(nèi)的要求比較容易忽視,如：例1證明 EF平面ABCD.容易遺漏平面ABCD和平面ABCD；2.在證明面面平行，容易直接運(yùn)用一個平面兩條相交直線平行于另一個平面內(nèi)兩條相交直線而得到結(jié)論，而不是通過線線平行過渡到線面平行再到面面平行.如例2中直接運(yùn)用QBPA， D1BPO平面PAO

14、/平面QBD1.典型錯題反思反思是自覺地對數(shù)學(xué)認(rèn)知活動進(jìn)行分析、總結(jié)、評價和調(diào)控的過程，是一種自我挑戰(zhàn)、自我完善和自我超越，是優(yōu)化解法、深化思維的有效手段，是高效的學(xué)習(xí)方法、最佳的糾錯手段，是走出“題?！钡淖钣行緩? 請整理出本課時的典型錯誤，找出錯因，并從審題、知識、方法和策略的層面進(jìn)行反思！我的錯題：錯因：反思：學(xué)以致用第2課時 線面平行與面面平行 基礎(chǔ)級1以下命題正確的有_兩個平面可以只有一個交點(diǎn) 一條直線與一個平面最多有一個公共點(diǎn)兩個平面有一個公共點(diǎn)，它們可能相交 兩個平面有三個公共點(diǎn)，它們一定重合答案：.解析：兩個平面有一個交點(diǎn)，則有經(jīng)過該點(diǎn)的一條直線，所以錯誤；直線在平面內(nèi)，則直

15、線與平面有無數(shù)個公共點(diǎn)，所以錯誤；若兩個平面有三個共線的點(diǎn)，則兩個平面未必重合.所以錯誤.2已知平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與平面平行，那么與位置關(guān)系為_答案：或與相交.解析：若這無數(shù)條直線平行，則或與相交；若這無數(shù)條直線有兩條相交，則.3平面平面，AB、CD是夾在和間的兩條線段，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)， 則EF與的位置關(guān)系是_答案：平行解析：連BC，作BC的中點(diǎn)M，可證明面MEF/.從而EF/.4.下列命題，其中真命題的個數(shù)為 .直線l平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則l；若直線a在平面外，則a；若直線ab,直線b,則a；若直線ab,b,那么直線a就平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線.答案 1解析 、錯，對.

16、5.寫出平面平面的一個充分條件 （寫出一個你認(rèn)為正確的即可）.答案 存在兩條異面直線a,b,a,b,a,b.解析：面面平行的判定.6.對于不重合的兩個平面與，給定下列條件：存在平面，使得，都垂直于；存在平面，使得，都平行于；存在直線l,直線m,使得lm；存在異面直線l、m，使得l,l,m,m.其中，可以判定與平行的條件有 （寫出符合題意的序號）.答案 解析 由線面位置關(guān)系不難知道正確.7.已知平面平面,=l,點(diǎn)A,Al,直線ABl,直線ACl,直線m,m,則下列四種位置關(guān)系中,一定成立的是 .ABmACm ABAC答案 解析 m，m，=l，ml.ABl，ABm.故一定正確.ACl，ml，ACm

17、.從而一定正確.A，ABl，l，B.AB，l.AB.故也正確.ACl，當(dāng)點(diǎn)C在平面內(nèi)時，AC成立，當(dāng)點(diǎn)C不在平面內(nèi)時，AC不成立.故不一定成立.8.設(shè)有直線m、n和平面、.下列命題不正確的是 （填序號）.若m,n,則mn若m，n,m,n,則若，m，則m若,m,m,則m答案 解析 若，m，n，可知m,n,但m與n可以相交，所以不對；若mn，即使有m,n,m,n, 與也可以相交，所以不對；若，中仍有不與垂直的直線，例如與的交線，故不對；若，則在中可作與垂直的直線n,又m，則mn，又m，所以m，故正確.升華級9求證： 兩個相交平面分別過兩條平行直線, 則它們的交線和這兩條平行直線平行.解析：如圖,

18、a， a/b , b， a/又a, = l , a/ l ,又 a/b， a/b/ l .BACDPQO10（2010姜堰中學(xué)月考）如圖四邊形是菱形，平面， 為的中點(diǎn). 求證：平面；解析：設(shè) ,連 . 為菱形， 為中點(diǎn)，又為中點(diǎn). . 又 , 11（2010江蘇省屆百校聯(lián)考改編）在在四棱錐OABCD中，底面ABCD為菱形，E為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，求證：EF/平面OCD證明：取中點(diǎn)，連接,則，是菱形，為的中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，我的錯題：錯因：反思：第三課時 線面垂直與面面垂直考綱鏈接1.了解線面垂直的概念，能正確判斷空間線面、面面垂直的位置關(guān)系；2.能運(yùn)用線面、面面垂直的判定和性質(zhì)來

19、證明線面、面面垂直，能求簡單的線面角和二面角和點(diǎn)面距離.【課前自主探究】 教材回歸基礎(chǔ)重現(xiàn)1.直線與平面垂直判定（1）定義：若一條直線和一個平面內(nèi)的_垂直，則這條直線和這個平面垂直.（2）如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.（3）判定定理：如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一平面.2.直線與平面垂直的性質(zhì)：（1）一條直線和一個平面垂直,那么該直線與平面內(nèi)所有直線垂直.（2）性質(zhì)定理： 垂直于同一個平面的兩條直線_.3.平面與平面垂直的判定（1）定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么這兩個平面互相垂直.（2）如果一個平面

20、經(jīng)過另一個平面的_，那么這兩個平面互相垂直.（3）一個平面垂直于兩個平行平面中的一個，也垂直于另一個.4.平面與平面垂直的性質(zhì)： （1）兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.（2）如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個平面的直線，_.（3）如果兩個相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.5.二面角及二面角的平面角(1)半平面： 一條直線把平面分成兩個部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 ： _叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面組成.6.空間的幾

21、種距離點(diǎn)到平面的距離：面外一點(diǎn)引一個平面的垂線，這個點(diǎn)和_間的距離叫做這個點(diǎn)到這個平面的距離.直線和平面的距離：定義一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離.平行平面的距離：個平行平面同時垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂線.公垂線夾在兩個平行平面間的部分，叫做這兩個平行平面的公垂線段.兩個平行平面的公垂線段的長度叫做這兩個平行平面的距離.基礎(chǔ)重現(xiàn)答案：1. 任何一條直線2. 平行3. 一條垂線4. 在第一個平面內(nèi)5. 從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形6.垂足思維升華：1三種垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化線線垂直判定性質(zhì)判定判定性質(zhì)性質(zhì)面面垂直2求點(diǎn)面距離、

22、線面距離、平行平面距離常用的方法：（1)直接利用定義求;（2)利用兩平面互相垂直的性質(zhì).即如果已知點(diǎn)在已知平面的垂面上，則已知點(diǎn)到兩平面交線的距離就是所求的點(diǎn)面距離;（3)等體積法.其步驟是：在平面內(nèi)選取適當(dāng)三點(diǎn)，和已知點(diǎn)構(gòu)成三棱錐；_；由V=求出h即為所求.線面距、平行平面距離：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線(面)距離，通過解三角形或體積法求解之.思維升華答案：1.線面垂直2.求出此三棱錐的體積V和所取三點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積S； 基礎(chǔ)自測1.給出下列四個命題：若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直；若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線與平面垂直；若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂

23、直于兩底邊所在的直線；若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線.其中正確的命題共有 個.答案 2.解析 與線面垂直的定義及判定定理相對照，、為真，中兩線可能不相交，中兩線不相交，故不正確.2.(2010無錫模擬)已知直線m、n和平面、滿足mn，m，則n與平面的關(guān)系為 .答案 n,或n.解析 n與的位置關(guān)系各種可能性都有.當(dāng)n時，作nn,且nm=O,則n與m確定平面,設(shè)= l,則有ml,又mn,所以ln,ln,n；當(dāng)n時，顯然成立.3.(2010年南京市高三情況調(diào)查卷)下列命題中，真命題是_ .如果一條直線與一個平面垂直,則這條直線與這個平面內(nèi)的任意一條直線垂直PABC

24、.如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行.如果一條直線垂直于平面的兩直線，則垂直于這個平面.如果兩平面垂直，則一平面的直線垂直于另一個平面答案： 4.如圖，BC是RABC的斜邊，AP平面ABC，連結(jié)PB、PC，則圖中共有直角三角形 個.PABCO答案：45.如圖，AB是圓O的直徑，C是異于A、B的圓周上的任意一點(diǎn)，PA垂直于圓O所在的平面， 則BC和PC所成角為 答案： 【課堂師生共探】 經(jīng)典例題題型一 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)例1如圖所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn). （1）求證：MNCD；（2）若PDA=45.求證：MN平面PCD.分析：要證明MN

25、平面PCD，只要證明MN與平面PCD內(nèi)兩條相交直線垂直.證明 （1）連接AC，AN，BN，PA平面ABCD，PAAC，在RtPAC中，N為PC中點(diǎn)，AN=PC.PA平面ABCD，PABC，又BCAB，PAAB=A，BC平面PAB，BCPB，從而在RtPBC中，BN為斜邊PC上的中線，BN=PC.AN=BN，ABN為等腰三角形，又M為底邊的中點(diǎn)，MNAB，又ABCD，MNCD.（2）連接PM、CM,PDA=45，PAAD，AP=AD.四邊形ABCD為矩形.AD=BC，PA=BC.又M為AB的中點(diǎn)，AM=BM.而PAM=CBM=90,PM=CM.又N為PC的中點(diǎn)，MNPC.由（1）知，MNCD，P

26、CCD=C,MN平面PCD.點(diǎn)評：在線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化中, 平面在其中起著至關(guān)重要的作用, 應(yīng)考慮線與線、線與面所在的平面特征, 以順利實現(xiàn)證明需要的轉(zhuǎn)化.變式訓(xùn)練：如圖, AB為O的直徑, C為O上的一點(diǎn), AD面ABC , AEBD于E , AFCD于F.求證： BD面AEF.解析： AB為O直徑, C為O上一點(diǎn)， BCAC. .題型二 平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2 如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是DAB=60且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD邊的中點(diǎn)，（1）求證：BG平面PAD；（2）求證：ADPB；（3）若E為BC

27、邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF平面ABCD，并證明你的結(jié)論.分析：要證明BG平面PAD，可通過平面PAD平面ABCD來證明；要探求在PC上是否存在點(diǎn)F，使得平面DEF平面ABCD，只需平面探求PC上是否存在點(diǎn)F，使得平面DEF平面PGB.（1）證明 在菱形ABCD中，DAB=60，G為AD的中點(diǎn)，所以BGAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BG平面PAD.（2）證明 連接PG，因為PAD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，得PGAD，由（1）知BGAD，PG平面PGB，BG平面PGB，PGBG=G，所以AD平面PGB，因為PB平面PGB，所以ADPB.（

28、3）解 當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時，滿足平面DEF平面ABCD.證明如下：取PC的中點(diǎn)F，連接DE、EF、DF，在PBC中，F(xiàn)EPB，在菱形ABCD中，GBDE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDE=E，所以平面DEF平面PGB，因為BG平面PAD，所以BGPG又因為PGAD，ADBG=G，PG平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD.點(diǎn)評：（1）線面垂直可以通過轉(zhuǎn)化為線線垂直來證明；（2）探求符合要求的點(diǎn)，可通過先構(gòu)造垂直的特殊位置上的點(diǎn)或線，然后驗證其是否符合條件，如果符合要求，則反過來直行證明.變式訓(xùn)練：（2010江寧區(qū)模擬）如圖所示，在直四棱

29、柱ABCDA1B1C1D1中， DB=BC，DBAC，點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn).（1）求證：B1D1/平面A1BD；（2）求證：MDACABCDA1B1C1D1MNN1O（3） 試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D解析：（1）B1D1/BD 而BD平面A1BD，BD平面A1BD， B1D1/平面A1BD.（2）AC平面B1BD而MD平面B1BD， MDAC.（3）當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時，可使得平面DMC1/平面CC1D1D取DC的中點(diǎn)N，D1C1的中點(diǎn)N1，連結(jié)NN1交DC1于O，連結(jié)OM.N是DC的中點(diǎn)，BD=BCBNDC又平面ABCD平面DCC1D1=DC,平面ABCD平面DC

30、C1D1，BN平面DCC1D1.又可知O是NN1的中點(diǎn)，BM/ON且BM=ON，即BMON是平行四邊形，BN/OMOM平面CC1D1D又OM平面DMC1，平面DNC1平面CC1D1D.題型三 線面角的求法例3 如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面為直角梯形，ADBC，BAD=90，PA底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).（1）求證：PBDM；（2）求BD與平面ADMN所成的角.分析：線面角關(guān)鍵是找出直線BD在平面ADMN內(nèi)的射影，即只要找出過直線BD上某一點(diǎn)且和平面ADMN垂直的垂線問題便迎刃而解！解析：（1）N是PB的中點(diǎn)，PA=PB，ANPB.BAD=9

31、0，ADAB.PA平面ABCD，PAAD.PAAB=A，AD平面PAB，ADPB.又ADAN=A，PB平面ADMN.DM平面ADMN，PBDM.（2）連接DN，PB平面ADMN，BD在平面ADMN上的射影為ND，BDN是BD與平面ADMN所成的角，在RtBDN中，sinBDN=，BDN=30,即BD與平面ADMN所成的角為30.點(diǎn)評：作出直線和平面所成角的關(guān)鍵是作垂線，找射影變式訓(xùn)練：ABC和DBC所在平面互相垂直，且ABBCBD，ABCDBC120求AD與平面DBC所成的角；ABDCE解析：作AEBC交BC的延長線于E，由面ABC面BCD知AE平面BCD，ADE即為所求，在ABE中，ABC=

32、120ABE=60，AE=，同理在BDE中，DE=,則AE=DE，則ADE45,即AD與平面DBC所成的角為45.題型四 點(diǎn)到平面的距離例5 （2010江蘇高考題）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=900.(1) 求證：PCBC；(2) 求點(diǎn)A到平面PBC的距離.分析：一方面可以通過ABDC且AB=2DC，將點(diǎn)A到平面PBC的距離轉(zhuǎn)化為D到平面PBC的距離的2倍.過D作PC的垂線便可以解決；另一方面也可以運(yùn)用等體積法，將距離轉(zhuǎn)化為平面PBC上的高.（1）證明：因為PD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC.由BCD=900，

33、得CDBC，又PDDC=D，PD、DC平面PCD，所以BC平面PCD.因為PC平面PCD，故PCBC.（2）（方法一）分別取AB、PC的中點(diǎn)E、F，連DE、DF，則：易證DECB，DE平面PBC，點(diǎn)D、E到平面PBC的距離相等.又點(diǎn)A到平面PBC的距離等于E到平面PBC的距離的2倍.由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，因為PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F.易知DF=，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于.（方法二）體積法：連結(jié)AC.設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h.因為ABDC，BCD=900，所以ABC=900.從而AB=2，BC=1，得的面積.由PD

34、平面ABCD及PD=1，得三棱錐P-ABC的體積.因為PD平面ABCD，DC平面ABCD，所以PDDC.又PD=DC=1，所以.由PCBC，BC=1，得的面積.由，得，故點(diǎn)A到平面PBC的距離等于.點(diǎn)評：求點(diǎn)到平面的距離的方法： 確定點(diǎn)在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作線面垂直及某些特殊性質(zhì) 轉(zhuǎn)化法即化歸為相關(guān)點(diǎn)到平面的距離或轉(zhuǎn)化為線面距或轉(zhuǎn)化為面面距來求.(3) 等體積法：利用三棱錐的體積公式，建立體積相等關(guān)系求出某底上的高，即點(diǎn)面距.高考新題零距離（2010山東高考題）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，PDMA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn)，且AD

35、PD2MA.（1）求證：平面EFG平面PDC；（2）求三棱錐PMAB與四棱錐PABCD的體積之比.解析：(1)由已知平面ABCD，PDMA，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以因為四邊形ABCD為正方形,所以又,因此，平面PDC在中，因為G、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，所以GFBC，因此平面PDC又平面EFG所以平面EFG平面PDC（2）因為平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA1,則PDAD2所以由于面MAB，且PDMA，所以DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離，三棱錐，所以：1：4.典型錯誤警示1證明線面垂直時，容易忽視直線垂直與平面內(nèi)兩條直線相交的條件.如遺漏條件PCCD=C,2找線

36、面角時不知道找線在平面內(nèi)的射影，關(guān)鍵是不知道找出平面的垂線.在求線面角時,需要作、證、算三個步驟，同學(xué)們在解題過程中容易忽視“證”這個過程.如例3的第2問的解答中，遺漏“PB平面ADMN，BD在平面ADMN上的射影為ND”這個環(huán)節(jié).典型錯題反思反思是自覺地對數(shù)學(xué)認(rèn)知活動進(jìn)行分析、總結(jié)、評價和調(diào)控的過程，是一種自我挑戰(zhàn)、自我完善和自我超越，是優(yōu)化解法、深化思維的有效手段，是高效的學(xué)習(xí)方法、最佳的糾錯手段，是走出“題海”的最有效途徑. 請整理出本課時的典型錯誤，找出錯因，并從審題、知識、方法和策略的層面進(jìn)行反思！我的錯題：錯因：反思：學(xué)以致用 第三課時 線面垂直與面面垂直 基礎(chǔ)級1已知a平面, b

37、, 則a與b的位置關(guān)系是 答案：ab.解析：直線垂直于平面,則該直線垂直于平面內(nèi)所有直線.2.直線a與平面a斜交，則在平面a內(nèi)與直線a垂直的直線有 條.答案：無數(shù)條解析：直線a與平面a斜交，設(shè)斜足為，則過必可作一條直線l與直線a垂直，從而a內(nèi)與l平行的直線都與a垂直.3.(2010江蘇揚(yáng)州模擬卷) 給定空間中的直線l及平面a，條件“直線l與平面a內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線l與平面a垂直”的_條件答案：必要非充分.解析：直線l與平面a內(nèi)平行線垂直時，直線l與平面a未必垂直.4.已知a、b是兩條不重合的直線, 、是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：若a,a,則；若，則；,a,b,則ab；若

38、，=a, =b，則ab.其中正確命題的序號是 .答案 解析 根據(jù)線面、面面平行與垂直的判定與性質(zhì)可知正確.5.(2010年廣州市高三模擬)已知：直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直，：直線與平面垂直則是的_條件答案： 必要不充分解析： 當(dāng)直線與平面內(nèi)無數(shù)條平行直線垂直, 則直線與平面未必垂直,但直線與平面垂直,則直線與平面內(nèi)所有直線垂直6.(2010南通模擬卷) 已知直線l，m，n，平面，則“”是“”的 條件.（填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”之一） 答案：充分不必要.解析： 通過來證明,必須要具備m，n是平面的兩條相交直線.7（2010江蘇宿遷模擬）設(shè)為兩個不重合

39、的平面，是兩條不重合的直線，給出下列四個命題：若，則；若相交且不垂直，則不垂直；若，則n；若，則其中所有真命題的序號是答案：解析：，又，則.8P是ABC所在平面外一點(diǎn)，O是P點(diǎn)在平面a上的射影,若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則O是ABC的 心.答案：垂心. 解析：因為PA、PB、PC兩兩互相垂直，所以PA平面PBC，所以PABC，又因為OA是PA在面ABC內(nèi)的射影，且BC在面ABC內(nèi)，所以O(shè)ABC，同理可得，OBAC，OCAB，所以O(shè)是ABC的垂心. 升華級9如圖, 正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，M、N分別為面對角線AD1、BD上的點(diǎn), 且AM=BN=x .(1) 求證： MN

40、AD ；(2)當(dāng)x為何值時, MN的長取得最小值, 并求出這個最小值.解析： (1)在面AD1內(nèi)過M作MRAD, 垂足為R , 則MR面ABCD , 連結(jié)RN , 則RNAD,過M、N分別作MQDD1 , NPCD , 垂足分別為Q、P, 因為MD1=ND, 所以MQ/RD/NP, MQ=RD=NP, 故MNPQ是平行四邊形, MN/PQ , MN/平面CDD1C1.AD面CDD1C1 , QP面CDD1C1 , ADPQ , MN/PQ , ADMN. (2) MN2=MR2+RN2=(x, 當(dāng)x =時,即M、N分別為AD1、BD的中點(diǎn)時, MNmin = .10如圖, 四棱錐P-ABCD底

41、面為一直角梯形, BAAD , CDAD , CD=2AB, PA面ABCD, E為PC中點(diǎn).(1)證明： EB/面PAD ； (2)若PA=AD , 證明BE平面PDC.解析： (1)取PD中點(diǎn)Q , 連AQ、EQQE/CD , CD/AB，QE/AB , 又QE=CD=AB ABEQ是平行四邊形,BE/AQ , 又AQ平面PAD, BE/平面PAD (2)PA底面ABCD , CDPA . 又CDAD, CD平面PAD , AQCD.若PA=AD , Q為PD中點(diǎn), AQPD , AQ平面PCD.BE/AQ , BE平面PCD .11. (2010鹽城模擬)如圖，在直四棱柱中，分別是的中點(diǎn)

42、.A1B1C1ABCD1DEF（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.解析：（1）連接AC，則AC，而分別是的中點(diǎn)，所以EFAC，則EF，故平面（2）因為平面，所以，又，則平面又平面，所以平面平面我的錯題：錯因：反思：課時4 空間幾何體的表面積與體積考綱鏈接1.了解球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積公式；2會求直棱柱、正棱錐、正棱臺、圓柱、圓錐、圓臺和球的表面積和體積.【課前自主探究】 教材回歸基礎(chǔ)重現(xiàn)：1. 側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫做直棱柱, 把直棱柱的側(cè)面沿一條側(cè)棱剪開后展在一個平面上, 展開圖的面積就是棱柱的側(cè)面積，其公式是：S直棱柱側(cè)=_； 底面是正多邊形的直棱柱叫正棱柱. 長方體的長、

43、寬、高分別為a、b、c , 則它的體積為： V長方體=_ ；柱體的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的積, 即V柱體 =_ .2. 如果一個棱錐的底面是正多邊形, 并且頂點(diǎn)在底面的正投影是_, 這樣的棱錐為正棱錐, 棱錐的側(cè)面展開圖是由各個側(cè)面組成的, 展開圖的面積就是棱錐的側(cè)面積.其公式是：S正棱錐側(cè)=_（其中c是棱錐的底面周長，是棱錐的斜高）； 錐體的體積： V錐體 =_,（其中S為錐體底面積, 高為h .）3. 正棱錐被平行于底面的平面所截, 截面和底之間的部分叫做正棱臺，其側(cè)面積公式是：S正棱臺側(cè)=_； （其中c，是分別棱臺的上、下底面周長，是棱臺的斜高）；臺體的體積： V臺體 =_, 其中臺

44、體的上、下面積分別為S、S , h是臺體的高.4.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式：S圓柱側(cè) =_ S圓臺側(cè) =_ S圓錐側(cè) =_5.球體的體積： V球 =_, （其中R為球的半徑.）基礎(chǔ)重現(xiàn)答案：1. ch； abc； Sh；2.底面中心； ；3. ；h(+S.4.c l； (c+c)l ； c l =.5. R3思維升華：1.常見幾何體的側(cè)面展開圖(1)圓柱的側(cè)面展開圖的圖形是矩形.矩形的長是_,寬是_.(2)圓錐的側(cè)面展開圖的圖形是扇形.扇形的半徑是_,弧長是_.(3) 圓臺的側(cè)面展開圖的圖形是扇環(huán).扇環(huán)的上下弧長分別是_2棱錐中平行于底面的截面性質(zhì)（1）所截棱錐的側(cè)面與底面與原棱錐的側(cè)面與

45、底面相似，=_；=_思維升華答案：1. (1)底面圓的周長； 圓柱的母線長(2). 圓錐的母線長； 圓錐的底面周長；(3). 圓臺的上下底面的周長.2. 直角三角形2. 對應(yīng)線段（高、底邊長、斜高）的比的平方； 對應(yīng)線段（高、底邊長、斜高）的比的立方. 基礎(chǔ)自測1.已知正方體外接球的半徑為,那么正方體的表面積等于 .答案 24解析 設(shè)正方體的邊長為a,其外接球的直徑為該正方體的體對角線a,即=a, a=2, S=24.2（2010上海高考題）6.已知四棱椎的底面是邊長為6 的正方形，側(cè)棱底面，且，則該四棱椎的體積是 .答案：96.解析：根據(jù)棱錐體積公式3.下列不正確的命題的序號是 .有兩個面平

46、行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體叫棱錐答案 解析 根據(jù)棱柱、棱錐的定義判斷.4.正四棱錐底面邊長為4,側(cè)棱長為3,則其體積為 .答案： 解析：底面正方形的對角線長為，則正四棱錐高為，則正四棱錐的體積為5.如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）是 .答案 60解析設(shè)母線為l,底面半徑為r，則l=2r. =,母線與高的夾角為30.圓錐的頂角為60.【課堂師生共探】 經(jīng)典例題題型一 多面體的表面積及其

47、體積例1 如圖所示，三棱錐ABCD一條側(cè)棱AD=8 cm，底面一邊BC=18 cm，其余四條棱的棱長都是17 cm，求三棱錐ABCD的體積.分析：可將該幾何體化整為零，過AD作直線BC的垂面，將該體積轉(zhuǎn)化為垂面面積與線段BC乘積的三分之一.解 取BC中點(diǎn)M，連接AM、DM，取AD的中點(diǎn)N，連接MNAC=AB=CD=BD，BCAM，BCDM，又AMDM=M，BC平面ADM，BC=18，AC=AB=DB=DC=17.AM=DM=4，NMAD，MN=8.SADM=MNAD=88=32.VABCD=VBADM+VCADM=SADM（BM+CM）=3218=192（cm3）.點(diǎn)評：將不規(guī)則幾何體劃分為幾

48、個規(guī)則幾何體，是求復(fù)雜幾何體表面積和體積的有效途徑.變式訓(xùn)練：如圖所示，長方體ABCDABCD中，用截面截下一個棱錐CADD，求棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比.解析： 設(shè)長方體底面ADDA面積為S，高為h，則它的體積為V=Sh.而棱錐CADD的底面面積為S，高是h,因此，棱錐CADD的體積VCADD=Sh. 余下的體積是Sh-Sh=Sh.所以棱錐CADD的體積與剩余部分的體積之比為15.題型二 旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積例2 如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的表面積(其中BAC=30)及其體積.分析：所得幾何體為球里面挖去同底的兩

49、個圓錐，求其表面積只要求出兩個圓錐的底面半徑和母線長，體積可以用球的體積減去上下圓錐的體積.解 如圖所示,過C作CO1AB于O1,在半圓中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,AC=R,BC=R,CO1=R,S球=4R2,=RR=R2,=RR=R2,S幾何體表=S球+=R2+R2=R2,旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為R2.又V球=R3,=AO1CO12=R2AO1=BO1CO12=BO1R2V幾何體=V球-（+）=R3-R3=R3.點(diǎn)評：正確判斷旋轉(zhuǎn)體的形狀是解決問題的前提，求旋轉(zhuǎn)體的表面積，要充分利用其軸截面及側(cè)面展開圖.變式訓(xùn)練：如圖所示，扇形的中心角為90，其所在圓的半徑為R，弦AB將扇形分成兩個部分，這兩部分各以AO為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)體的體積V1和V2之比為 .答案 11解析： RtAOB繞OA旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為圓錐，其體積V1=R3，扇形繞OA旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為半球，其體積V=R3，V2=V-V1=R3-R3=R3，V1V2=11.題型三 組合體的表面積及其體積例3 如圖所示，在等腰梯形A