第三章力學量算符

1、1 1 算符的運算規(guī)則算符的運算規(guī)則 第三章第三章 力學量的算符力學量的算符贛南師范學院物理系贛南師范學院物理系 由于微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子狀態(tài)的描述方式與經(jīng)典粒子不同，它需要用波函數(shù)來描寫。 量子力學中微觀粒子力學量（如坐標、動量、角動量、能量等）的性質(zhì)也不同與經(jīng)典粒子的力學量。 經(jīng)典粒子在任何狀態(tài)下它的力學量都有確定值，微觀粒子由于波粒二象性，坐標和動量不能同時有確定值。 這種差別的存在使得我們不得不用和經(jīng)典力學不同的方式，即用算符的形式來表示粒子的力學量。代表對波函數(shù)進行某種運算或變換的符號代表對波函數(shù)進行某種運算或變換的符號 u = v表示表示 把函數(shù)把函數(shù)u 變成變成 v，

2、 就是這種變換的算符。就是這種變換的算符。 1）du / dx = v ， d / dx 就是算符，其作用就是算符，其作用 是對函數(shù)是對函數(shù) u 微商，微商， 故稱為微商算符。故稱為微商算符。2）x u = v， x 也是算符。也是算符。 它對它對 u 作用作用 是使是使 u 變成變成 v。 由于算符只是一種運算符號，所以它單獨存在是沒有由于算符只是一種運算符號，所以它單獨存在是沒有意義的，僅當它作用于波函數(shù)上，對波函數(shù)做相應的意義的，僅當它作用于波函數(shù)上，對波函數(shù)做相應的運算才有意義，例如：運算才有意義，例如： （一）算符定義（一）算符定義（7）逆算符 （8）算符函數(shù) （9）復共軛算符 （1

3、0）轉(zhuǎn)置算符 （11）厄密共軛算符 （12）厄密算符 （1）線性算符 （2）算符相等 （3）算符之和 （4）算符之積 （5）對易關(guān)系 （6）對易括號 （二）算符的一般特性（二）算符的一般特性（1）線性算符）線性算符 (c11+c22)= c11+c22 其中其中c1, c2是任意復常數(shù)，是任意復常數(shù)， 1, 2是任意兩個波函數(shù)。是任意兩個波函數(shù)。 滿足如下運算規(guī)律的滿足如下運算規(guī)律的 算符算符 稱為線性算符稱為線性算符 是是線線性性算算符符。單單位位算算符符動動量量算算符符Iip 例如：例如：開方算符、取復共軛算符就不是線性算符。開方算符、取復共軛算符就不是線性算符。 注意：描寫可觀測量的力學

4、量算符都是線性算符，這注意：描寫可觀測量的力學量算符都是線性算符，這是態(tài)疊加原理的反映。是態(tài)疊加原理的反映。（2 2）算符相等）算符相等 若兩個算符若兩個算符、對體系的任何波函數(shù)對體系的任何波函數(shù) 的運的運 算結(jié)果都相同，即算結(jié)果都相同，即= ，則算符，則算符和算符和算符相等相等 記為記為 = 。（3 3）算符之和）算符之和 若兩個算符若兩個算符、對體系的任何波函數(shù)對體系的任何波函數(shù)有：有： ( + ) = + = 則則 + = 稱為算符之和。稱為算符之和。顯然，算符求和滿足交換率和結(jié)合率。顯然，算符求和滿足交換率和結(jié)合率。之之和和。勢勢能能算算符符和和體體系系動動能能算算符符等等于于算算符符

5、表表明明VTHHamiltonVTH 例如：體系例如：體系Hamilton Hamilton 算符算符 注意，算符運算沒有相減，因為減可用加來代替。注意，算符運算沒有相減，因為減可用加來代替。 = + （）。）。 很易證明線性算符之和仍為線性算符。很易證明線性算符之和仍為線性算符。（4 4）算符之積）算符之積 若若 ( ) = () = 則則 = ，其中，其中是任意波函數(shù)。是任意波函數(shù)。一般來說算符之積不滿足一般來說算符之積不滿足 交換律，即交換律，即 這是算符與通常數(shù)運算這是算符與通常數(shù)運算 規(guī)則的唯一不同之處。規(guī)則的唯一不同之處。（5 5）對易關(guān)系）對易關(guān)系若若 ，則稱，則稱 與與 不對易

6、。不對易。不不對對易易。例例如如：算算符符 xxipx xxxxiixpx )() 1 (證證：顯然二者結(jié)果顯然二者結(jié)果 不相等，所以不相等，所以: : ixppxixppxxppxxxxxxx 所所以以是是任任意意波波函函數(shù)數(shù)，因因為為）（而而 xxxxiixixp )() 2 (對易關(guān)系對易關(guān)系 izppziyppyzzyy與與共共軛軛動動量量滿滿足足同同理理可可證證其其它它坐坐標標算算符符000000000 zxxzyzzyxyyxyyxxzzxxzzyyppppppppppppzppzzppzyppyyppyxppxxppx但是坐標算符與其非共軛動量對易，各動量之間相互但是坐標算符與其

7、非共軛動量對易，各動量之間相互對易。對易。zyxppppixppx,0 量子力學中最基量子力學中最基 本的對易關(guān)系。本的對易關(guān)系。寫成通式寫成通式:10其中其中對對易易。與與對對易易，而而與與對對易易，與與不不對對易易；與與對對易易，但但是是與與對對易易，與與zpzpppIIxpxpppIxyyxxyyx)()(注意：注意： 當當與與對易，對易，與與對易，不能推知對易，不能推知與與 對易與否。例如：對易與否。例如：若算符滿足若算符滿足 = ， 則稱則稱和和 反對易。反對易。（6 6）對易括號）對易括號 為了表述簡潔，運算便利和研究量子為了表述簡潔，運算便利和研究量子 力學與經(jīng)典力學的關(guān)系，人們

8、定義了力學與經(jīng)典力學的關(guān)系，人們定義了 對易括號：對易括號： , 這樣一來，這樣一來， 坐標和動量的對易關(guān)系坐標和動量的對易關(guān)系 可改寫成如下形式：可改寫成如下形式： ipx , 不難證明對易括號滿足如下對易關(guān)系：不難證明對易括號滿足如下對易關(guān)系： 1) , = , 2) ,+ = , + , 3) , = ,+ , 4) , + , + , , = 0 同樣可以定義同樣可以定義 反對易括號反對易括號： , （7 7）逆算符）逆算符 1. 定義定義: 設(shè)設(shè)= , 能夠唯一的解出能夠唯一的解出, 則可定義則可定義 算符算符之逆之逆-1 為為:-1 = 并不是所有算符都存并不是所有算符都存 在逆算

9、符在逆算符, ,例如投影例如投影 算符就不存在逆算符就不存在逆. . 2.性質(zhì)性質(zhì) I: 若算符若算符之逆之逆-1存在存在,則則 -1 = -1 = I , , -1 = 0 證證: =-1=-1()=-1 因為因為是任意函數(shù)是任意函數(shù),所以所以-1=I成立成立. 同理同理,-1=I 亦成立亦成立.3.性質(zhì)性質(zhì) II: 若若 , 均存在逆算符均存在逆算符, 則則 ( )-1 = -1 -1 課堂練習： 證明性質(zhì)II: 若若 , 均存在逆算符均存在逆算符,則則 ( )-1 = -1 -1 -1 = -1 = I I -1 -1 I （ ）-1 -1 ( )-1 = -1 -1證明：nnFnxxF

10、n!)0(0)()( 設(shè)給定一函數(shù)設(shè)給定一函數(shù) F(xF(x), ), 其各階導數(shù)均存在其各階導數(shù)均存在, , 其冪級數(shù)展開收斂其冪級數(shù)展開收斂 則可定義算符則可定義算符 的函數(shù)的函數(shù) F()為為: nnFnUUFn)(!)0(0)( ninntHitHe!10 （8 8）算符函數(shù)）算符函數(shù)（9 9）復共軛算符）復共軛算符算符算符的復共軛算符的復共軛算符 *就是把就是把表達式中表達式中 的所有量換成復共軛的所有量換成復共軛.piip*)(* 例如例如: : 坐標表象中坐標表象中 是兩個任意函數(shù)。和式中定義為：的轉(zhuǎn)置算符算符*UdUdUU（1010）轉(zhuǎn)置算符）轉(zhuǎn)置算符ABBA)( 可可以以證證明

11、明：xx ：例例 xdx*證證：利用波函數(shù)標準條件利用波函數(shù)標準條件: 當當|x| 時時, 0。0)(* xxdxxxxx 0)(xxpp 由于由于、 是任意波是任意波 函數(shù)函數(shù), 所以所以 * xdx xdx*|* xdx*同理可證同理可證: :(11)厄密共軛算符厄密共軛算符 *)(*OdOd *)(*OdOd由此可得：由此可得：:轉(zhuǎn)置算符轉(zhuǎn)置算符 的定義的定義 *OO 厄密共軛厄密共軛 算符亦可算符亦可 寫成：寫成： 算符算符 之厄密共軛算符之厄密共軛算符 + 定義定義:可以證明可以證明: ( )+ = + + ( .)+ = . + + + *)(* Od * Od *OdOOOdOd*)(* 或或 (12) (12) 厄密算符厄密算符1. 1. 定義定義: :滿足下列關(guān)系的算符稱為厄密算符滿足下列關(guān)系的算符稱為厄密算符. .2. 2. 性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì) I: