第五節(jié) Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

1、5- -4 頻率域穩(wěn)定判據(jù)頻率域穩(wěn)定判據(jù) 控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)所需解決的首要問題，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)是常用的兩種頻域穩(wěn)定判據(jù)。頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點(diǎn)是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使用方便，易于推廣。 Nyquist穩(wěn)定判據(jù)既可以判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定（絕對(duì)穩(wěn)定性），也可以確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對(duì)穩(wěn)定性），還可以用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能以及指出改善系統(tǒng)性能指標(biāo)的途徑。 復(fù)變函數(shù)理論中的幅角原理是奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，幅角原理用于控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定還需選擇輔助函數(shù)和閉合曲線。 1 1、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 設(shè)S為復(fù)數(shù)變量，F(xiàn)(S)為S的有理分

2、式函數(shù)。對(duì)于S平面上任意一點(diǎn)S，通過復(fù)變函數(shù)F(S)的映射關(guān)系，在F(S)平面上可以確定關(guān)于S的象。在S平面上任選一條閉合曲線且不通過F(S)的任何零點(diǎn)與極點(diǎn)，S從閉合曲線上任一一點(diǎn)A起，順時(shí)針沿運(yùn)動(dòng)一周，再回到A點(diǎn)，那么相應(yīng)F(S)平面上也從點(diǎn)F(A)起，到F(A)點(diǎn)止形成一條閉合曲線F。若F(S)在S平面上指定區(qū)域內(nèi)是非奇異的，則有如圖5-39所示的映射關(guān)系。（1）、幅角原理 圖5-39 s平面與F(S)平面的映射關(guān)系 對(duì)于S平面內(nèi)的任意一點(diǎn)d，都可以通過F(S)的映射關(guān)系在F平面上找到一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)d（ d是d的像 ）；對(duì)于S平面上任意一條不通過F(S)任何零點(diǎn)極點(diǎn)的閉合曲線，也可以通過映

3、射關(guān)系在F(S)平面上找到一條與它相對(duì)應(yīng)的曲線F。 設(shè)復(fù)變量S沿著閉合曲線運(yùn)動(dòng)一周，研究F(S)相角的變化情況。 S平面上的閉合曲線如圖5-40所示。復(fù)變函數(shù)F (s)右零點(diǎn)極點(diǎn)如圖所示。當(dāng)閉合曲線上任一點(diǎn)S1沿順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)一圈時(shí)，其矢量總的相角增量2)()2()2()()()()()()()(111111ZPPZpspszszspszssFnPjjPjjnZiiZiinjinii圖5-40 映射關(guān)系 式中，P和Z分別是被閉合曲線包圍的特征方程函數(shù)F (s)的極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)。它表明，當(dāng)s平面上的試驗(yàn)點(diǎn)s1沿閉合曲線順時(shí)針方向繞行一圈時(shí)，F(xiàn)(s)平面上對(duì)應(yīng)的閉合曲線將按逆時(shí)針方向包圍坐標(biāo)原點(diǎn)（

4、P-Z）圈。 幅角原理幅角原理：設(shè)設(shè)S平面上不通過平面上不通過F(S)任何零極點(diǎn)的某條封任何零極點(diǎn)的某條封閉曲線閉曲線，它包圍了它包圍了F(S)在在S平面的平面的Z個(gè)零點(diǎn)和零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)個(gè)極點(diǎn)。當(dāng)當(dāng)S以順時(shí)針方向沿封閉曲線以順時(shí)針方向沿封閉曲線移動(dòng)一周時(shí)移動(dòng)一周時(shí)，則在則在F平面平面上對(duì)應(yīng)于封閉曲線上對(duì)應(yīng)于封閉曲線的像的像F 將以順時(shí)針的方向圍繞原點(diǎn)將以順時(shí)針的方向圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)R圈圈。R與Z、P的關(guān)系為的關(guān)系為： ZPRR0和R0分別表示F順時(shí)針包圍和逆時(shí)針包圍F(s)平面的原點(diǎn)，R0表示不包圍F(S)平面的原點(diǎn)。（2）、復(fù)變函數(shù)F(S)的選擇 如圖5-41所示結(jié)構(gòu)圖，其開環(huán)傳遞函數(shù)為 圖

5、5-41 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖)()()()()()(1)()()(1)()()()()()(sHsBsAsBsAsBsGsHsGsGssAsBsHsG則 B(S)+A(S)和A(S)分別為閉環(huán)和開環(huán)的特征多項(xiàng)式。引入輔助函數(shù) )()()()()(1)()(1)(sAsBsAsAsBsHsGsF輔助函數(shù)也可以表示成零極點(diǎn)的形式 )()()()()(2121nnpspspszszszssF 因此，我們可以看出，輔助函數(shù)具有如下特征： 1）輔助函數(shù)F(S)是閉環(huán)特征多項(xiàng)式與開環(huán)特征多項(xiàng)式之比，故其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別為閉環(huán)極點(diǎn)和開環(huán)極點(diǎn)。 2）因?yàn)殚_環(huán)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階次一般大于或等于分子多項(xiàng)式的階次，故

6、F(S)零點(diǎn)、極點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同，均為n個(gè)。 圖5-42 F平面與GH平面的關(guān)系圖 3）F(S)與開環(huán)傳遞函數(shù)G(S)H(S)之間只差常量1。 F(S)=1+G(S)H(S)的幾何意義為：F平面上的坐標(biāo)原點(diǎn)就是GH平面上的（1，j0）點(diǎn)，如圖5-42所示。 Nyquist軌跡及其映射 為將映射定理與控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析聯(lián)系起來，適當(dāng)選擇s平面的封閉曲線。如圖5-43所示，它是由整個(gè)虛軸和半徑為的右半圓組成，試驗(yàn)點(diǎn)按順時(shí)針方向移動(dòng)一圈，該閉合曲線稱為Nyquist軌跡。 Nyquist軌跡在F(s)平面上的映射也是一條封閉曲線，稱為Nyquist曲線。 圖5-43 s平面上的 Nyquist軌跡 N

7、yquist軌跡由兩部分組成，一部分沿虛軸由下而上移動(dòng)，試驗(yàn)點(diǎn)s=j在整個(gè)虛軸上的移動(dòng)，在F 平面上的映射就是曲線F(j) (由+)，如圖5-44所示。 F(j)=1+G(j)H(j) Nyquist軌跡的另一部分為s平面上半徑為的右半圓，映射到F 平面上為 F ()=1+G ()H ()圖5-44 F 平面上的Nyquist曲線 式中，Z位于F (s)平面右半部分的零點(diǎn)數(shù)，即閉環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)； P位于F(s)平面右半部分的極點(diǎn)數(shù)，即開環(huán)右極點(diǎn)個(gè)數(shù)； RNyquist曲線包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)。 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)均在s平面的左半平面，即 Z=0 或 R=P。 根據(jù)映射定理可得，s平

8、面上的Nyquist軌跡在F平面上的映射F(j)(從) 包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的次數(shù)R為 R=PZ 例：分析下圖映射關(guān)系（3）、S平面閉合曲線的選擇 系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)F（S）零點(diǎn)的位置，因此當(dāng)選擇S平面閉合曲線 包圍S平面的右半部分時(shí)，Z0系統(tǒng)穩(wěn)定?？紤]到閉合曲線不通過F(S)任一零極點(diǎn)的條件， 可取兩種形式。見P194（4）、G(S)H(S)曲線的繪制 已知S平面閉合曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，故閉合曲線GH也關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，因此只需畫出正虛軸部分的曲線，得GH的半閉合曲線，仍計(jì)為GH。 G(S)H(S)右虛軸上極點(diǎn)和 無虛軸上極點(diǎn)時(shí)的特性曲線繪制方法見P195。（5）、閉合曲線包圍原點(diǎn)圈數(shù)

9、R的計(jì)算 根據(jù)半閉合曲線GH可得F包圍原點(diǎn)的圈數(shù)R。設(shè)N為GH穿越（1，j0）點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)，N表示正穿越的次數(shù)（從上往下穿越），N表示負(fù)穿越的次數(shù)（從下往上穿越），則)(22NNNR見書P1962、Nyquist穩(wěn)定穩(wěn)定判據(jù)判據(jù) 為了確定輔助函數(shù)F(S)位于右半s平面內(nèi)的所有零點(diǎn)、極點(diǎn)數(shù)，現(xiàn)將封閉曲線擴(kuò)展為整個(gè)右平面。曲線由三段所組成： （1）正虛軸s=j ：頻率由0變到； （2）半徑為無限大的右半圓 S=Rej:R，： 22（3）負(fù)虛軸s=j ：頻率由變到0。 這種包含了整個(gè)右半s平面的閉合曲線稱為Nyquist軌跡，如圖5-43所示。 設(shè)0型系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 ) 1)(1()()(2

10、1sTsTKsHsG 在F平面上繪制與相對(duì)應(yīng)的像F如下：當(dāng)s沿虛軸變化時(shí) )()(1)(jHjGjF 式中，G(j)H(j)為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,因而F由下面幾段組成： （1）和正虛軸對(duì)應(yīng)的是頻率特性G(j)H(j)右移一個(gè)單位； （2）和半徑為無窮大的右半圓相對(duì)應(yīng)的輔助函數(shù)F (s) 1； （3）和負(fù)虛軸相對(duì)應(yīng)的是頻率特性對(duì)稱于實(shí)軸的鏡像。 圖5-44 開環(huán)頻率特性曲線與它在F平面上的對(duì)應(yīng)曲線 對(duì)于包含了整個(gè)右半s平面的Nyquist路徑來說，Z和P分別為閉環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)，而R則存在兩種提法兩種提法：（1）F平面上F曲線圍繞原點(diǎn)的圈數(shù)；（2）GH平面上極坐標(biāo)頻

11、率特性曲線及其鏡像圍繞（1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)。 利用幅角定理判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為F(S)函數(shù)在s平面右半部的零點(diǎn)數(shù)Z=0即 PR 奈氏判據(jù)奈氏判據(jù)：若系統(tǒng)的開環(huán)不穩(wěn)定，即開環(huán)傳遞函數(shù)G(S)H(S)在右半平面上有極點(diǎn)，其個(gè)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：在GH平面上的開環(huán)頻率特性 曲線G(j)H(j)及其鏡像當(dāng)從變化到時(shí)，將以逆時(shí)針的方向圍繞（1，j0）點(diǎn)P圈；若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P=0，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在GH平面上的開環(huán)頻率特性曲線及其鏡像不包圍（1，j0）點(diǎn)。 利用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，還可求出該系統(tǒng)在右半s平面上的極點(diǎn)的個(gè)數(shù) NPRPZ2

12、例5-7 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1)(1()()(21sTsTKsHsG其幅頻特性圖如圖5-44左所示。試?yán)肗yquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 當(dāng)三個(gè)參數(shù)取任何正值時(shí)，系統(tǒng)的兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)都是負(fù)實(shí)數(shù)，即S平面右半部分無開環(huán)極點(diǎn)，P=0。頻率特性及其鏡像組成的封閉曲線如圖544右所示?？梢姡?dāng)從 時(shí)，閉合曲線并未包圍（1，j0）點(diǎn)，故N0。因此閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。我們也可以利用勞斯判據(jù)進(jìn)行判定。 例5-8 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 )52)(2(2 . 5)()(2ssssHsG試?yán)肗yquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 繪出該系統(tǒng)的極坐標(biāo)頻率特性曲線如圖5-45所示。 已知 0

13、P由圖知 ，則2R2)2(0RPZ 所以按Nyquist判據(jù)判斷該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，其閉環(huán)系統(tǒng)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為2。 利用Nyquist判據(jù)我們還可以討論開環(huán)傳遞系數(shù)K對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。當(dāng)當(dāng)K值改變時(shí)，在任一頻率下將引值改變時(shí)，在任一頻率下將引起幅頻特性成比例地變化，而相頻特性不受影響起幅頻特性成比例地變化，而相頻特性不受影響。對(duì)圖5-45，當(dāng)頻率3時(shí)，曲線與負(fù)實(shí)軸正好相交在（2，j0）點(diǎn)，若傳遞系數(shù)K縮小一半，即由5.2降為2.6時(shí)，曲線恰好通過（1，j0）點(diǎn)，這是臨界穩(wěn)定狀態(tài)；若K值進(jìn)一步縮小，當(dāng)K2.6時(shí)，頻率特性將從（1，j0）點(diǎn)的右邊穿過負(fù)實(shí)軸，整個(gè)頻率特性曲線將不再包圍（

14、1，j0）點(diǎn)，這時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)則是穩(wěn)定的了。 圖5-45 例5-8系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖及其鏡像例5-9 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖5-46所示，試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性并討論K值對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。 圖5-46解：圖示系統(tǒng)是一個(gè)開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)在S平面右半部分有一個(gè)極點(diǎn)P1，頻率特性曲線如圖547所示。當(dāng) 0時(shí)，曲線從負(fù)實(shí)軸（K，j0）出發(fā)；當(dāng)時(shí)，曲線以90漸近角趨于坐標(biāo)原點(diǎn)；當(dāng)從變化到，頻率特性（圖中實(shí)線部分）及其鏡像（虛線部分）包圍（1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)R與K值有關(guān)。 圖547繪出了K1 和 K1 時(shí)，曲線逆時(shí)針包圍了（1，j0）點(diǎn)1圈即R=1閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)K1 和 K1的頻率特性曲線3 3、Nyq

15、uist判據(jù)在判據(jù)在型和型和型系統(tǒng)中的應(yīng)用型系統(tǒng)中的應(yīng)用 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1() 1()()(11sTssKsHsGjvnjvimi為利用Nyquist判據(jù)判據(jù)分析型和型系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就需要修改s平面上原點(diǎn)附近的Nyquist路徑，使它不通過s=0的開環(huán)極點(diǎn)又仍然能包圍整個(gè)右半s平面。方法是增補(bǔ)一個(gè)以原點(diǎn)為圓心、半徑R為無窮小的右半圓。如圖5-48所示圖5-48 修改后的Nyquist路徑圖5-49 極坐標(biāo)圖及其鏡像 例5-10 設(shè)某型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如圖5-49所示。開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上沒有極點(diǎn)，試用Nyquist判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 已知P=0，由圖可知R=0，則Z

16、0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 例5-11 某型系統(tǒng)在s右半平面無開環(huán)極點(diǎn)，已知其開環(huán)頻率特性如圖5-50所示。試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解 已知P=0，由圖知R=-2，則PR，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。其位于s右半平面的零點(diǎn)數(shù)為 2)2(0RPZ圖5-50 例5-11系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖及其鏡像4 4、在、在Bode圖上判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性圖上判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 在極坐標(biāo)圖上應(yīng)用奈氏判據(jù)時(shí)，（1,j0）點(diǎn)是個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，開環(huán)頻率特性G(j)H(j) 曲線是否圍繞它，怎樣圍繞它，圍繞幾圈，掌握這些信息后，就可以判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定。 （1，j0）點(diǎn)表示成幅角形式是 而A()1對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)幅頻坐標(biāo)圖上L()0的水平線； 則對(duì)應(yīng)于對(duì)

17、數(shù)相頻坐標(biāo)圖上180的水平線。其實(shí)，極坐標(biāo)圖上的整個(gè)負(fù)實(shí)軸均對(duì)應(yīng)于Bode圖上的180水平線。1)(1801A，即180)(180)( 在極坐標(biāo)圖上， G(j)H(j) 曲線每包圍（1,j0）點(diǎn)一次，必然是G(j)H(j) 在A() 1的條件下穿越負(fù)實(shí)軸(1)區(qū)段一次。若G(j)H(j) 曲線逆時(shí)針包圍（1,j0）點(diǎn)一圈，意味著G(j)H(j)曲線在(1)區(qū)段有一次正穿越；相反，若G(j)H(j) 曲線順時(shí)針包圍（1,j0）點(diǎn)一圈，意味著有一次負(fù)穿越。這種正負(fù)穿越在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的對(duì)應(yīng)關(guān)系是：在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的L() 0dB的范圍內(nèi)，當(dāng)增加時(shí)，相頻特性曲線從下向上穿過180相位線為正穿越，反之為負(fù)穿越。 圖551繪出了對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上頻率特性曲線的正穿越和負(fù)穿越。圖5-51 在Bode圖上的正負(fù)穿越 根據(jù)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上頻率特性的穿越情況，可將Nyquist判據(jù)陳述如下：設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)為P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為：在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性