二次函數(shù)的存在性問(wèn)題相似三角形的存在性問(wèn)題

1、二次函數(shù)的存在性問(wèn)題（相似三角形）1、已知拋物線的頂點(diǎn)為A(2，1)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一交點(diǎn)為B。(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)C在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；AABBOOxxyy圖圖(3)連接OA、AB，如圖，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得OBP與OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。2、設(shè)拋物線與x軸交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(一1，0)、B(m，0)，與y軸交于點(diǎn)C.且ACB=90° (1)求m的值和拋物線的解析式；(2)已知點(diǎn)D(1，n )在拋物線上，過(guò)點(diǎn)A的直線交拋物線于另一

2、點(diǎn)E若點(diǎn)P在x軸上，以點(diǎn)P、B、D為頂點(diǎn)的三角形與AEB相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(3)在(2)的條件下，BDP的外接圓半徑等于_解：(1)令x=0，得y=2 C(0，一2)ACB=90°，COAB, AOC COB,OA·OB=OC2；OB= m=4xyF-2-4-6ACEPDB521246G3、已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，0）、B（6，-6）和原點(diǎn).（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；（2）若過(guò)點(diǎn)B的直線與拋物線相交于點(diǎn)C（2，m），請(qǐng)求出OBC的面積S的值.（3）過(guò)點(diǎn)C作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)D，在拋物線對(duì)稱軸右側(cè)位于直線DC下方的拋物線上，任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線PF平行于y軸交x

3、軸于點(diǎn)F，交直線DC于點(diǎn)E. 直線PF與直線DC及兩坐標(biāo)軸圍成矩形OFED（如圖），是否存在點(diǎn)P，使得OCD與CPE相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 解：（1）由題意得： 解得故拋物線的函數(shù)關(guān)系式為（2）在拋物線上， 點(diǎn)坐標(biāo)為（2，6），、C在直線上 解得直線BC的解析式為設(shè)BC與x軸交于點(diǎn)G，則G的坐標(biāo)為（4，0）（3）存在P，使得 設(shè)P， 故若要，則要或 即或解得或又在拋物線上，或解得或 故P點(diǎn)坐標(biāo)為和4、如圖，拋物線與軸的交點(diǎn)為直線與軸交于，與軸交于若兩點(diǎn)在直線上，且，為線段的中點(diǎn)，為斜邊上的高（1）的長(zhǎng)度等于 ； ， DxyNOMPACBH（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得拋

4、物線上有一點(diǎn)，滿足以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若不存在，說(shuō)明理由；若存在，求所有符合條件的拋物線的解析式，同時(shí)探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的點(diǎn)（簡(jiǎn)要說(shuō)明理由）；并進(jìn)一步探索對(duì)符合條件的每一個(gè)點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)是否總滿足，寫出探索過(guò)程解：（1）；，（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)，使拋物線上有一點(diǎn)，滿足以為頂點(diǎn)的三角形與等腰直角相似以為頂點(diǎn)的三角形為等腰直角三角形，且這樣的三角形最多只有兩類，一類是以為直角邊的等腰直角三角形，另一類是以為斜邊的等腰直角三角形若為等腰直角三角形的直角邊，則由拋物線得：，的坐標(biāo)為把代入拋物線解析式，得拋物線解析式為即若為等腰直角三角形的斜邊，則，的坐標(biāo)為把代入拋物線解析式，得

5、拋物線解析式為，即當(dāng)時(shí)，在拋物線上存在一點(diǎn)滿足條件，如果此拋物線上還有滿足條件的點(diǎn)，不妨設(shè)為點(diǎn)，那么只有可能是以為斜邊的等腰直角三角形，由此得，顯然不在拋物線上，故拋物線上沒(méi)有符合條件的其他的點(diǎn)當(dāng)時(shí)，同理可得拋物線上沒(méi)有符合條件的其他的點(diǎn)當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為，對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為時(shí)，和都是等腰直角三角形，又，總滿足當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為，對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為時(shí)，同理可證得：，總滿足yxOAB5、如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上求點(diǎn)M，使MOB的面積是AOB面積的3倍；（3）連結(jié)OA，AB，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)N，使OBN與OAB

6、相似？若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由解：（1）由題意可設(shè)拋物線的解析式為 拋物線過(guò)原點(diǎn) 拋物線的解析式為 即. yxOABENA（2）AOB與MOB同底不等高 又SMOB=3 SAOB MOB的高是AOB高的3倍 即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是 解得 ，（3）由拋物線的對(duì)稱性可知：AO=AB若OBN與OAB相似， 必須有， 顯然 直線ON的解析式為， 由，得， 過(guò)N作NEx軸，垂足為E. 在RtBEN中，BE=2，NE=3， 又OB=4 NBOBBONBNO OBN與OAB不相似，同理說(shuō)明在對(duì)稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的N點(diǎn).故在拋物線上不存在N點(diǎn)，使得OBN與OAB相似6、如圖所示，將

7、矩形OABC沿AE折疊，使點(diǎn)O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長(zhǎng)BC至M，使CMCEEO，再以CM、CO為邊作矩形CMNO.(1)試比較EO、EC的大小，并說(shuō)明理由；(2)令，請(qǐng)問(wèn)m是否為定值？若是，請(qǐng)求出m的值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在(2)的條件下，若CO1，CE，Q為AE上一點(diǎn)且QF，拋物線ymx2+bx+c經(jīng)過(guò)C、Q兩點(diǎn)，請(qǐng)求出此拋物線的解析式.(4)在(3)的條件下，若拋物線ymx2+bx+c與線段AB交于點(diǎn)P，試問(wèn)在直線BC上是否存在點(diǎn)K，使得以P、B、K為頂點(diǎn)的三角形與AEF相似?若存在，請(qǐng)求直線KP與y軸的交點(diǎn)T的坐標(biāo)?若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解（1）EOE

8、C，理由如下：由折疊知，EO=EF，在RtEFC中，EF為斜邊，EFEC， 故EOEC （2）m為定值。S四邊形CFGH=CF2=EF2EC2=EO2EC2=(EO+EC)(EOEC)=CO·(EOEC)S四邊形CMNO=CM·CO=|CEEO|·CO=(EOEC) ·CO （3）CO=1， EF=EO= cosFEC= FEC=60°， EFQ為等邊三角形， 作QIEO于I，EI=，IQ= IO= Q點(diǎn)坐標(biāo)為 拋物線y=mx2+bx+c過(guò)點(diǎn)C(0，1)， Q ，m=1，可求得，c=1 拋物線解析式為 （4）由（3）， 當(dāng)時(shí)，AB yOxCNB

9、PMAP點(diǎn)坐標(biāo)為 BP=AO 方法1：若PBK與AEF相似，而AEFAEO，則分情況如下：時(shí)， K點(diǎn)坐標(biāo)為或；時(shí)，K點(diǎn)坐標(biāo)為或 故直線KP與y軸交點(diǎn)T的坐標(biāo)為 方法2：若BPK與AEF相似，由（3）得：BPK=30°或60°，過(guò)P作PRy軸于R，則RTP=60°或30°當(dāng)RTP=30°時(shí)， 當(dāng)RTP=60°時(shí)， 7、如圖，二次函數(shù)（）的圖象與軸交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)連結(jié)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，且當(dāng)和時(shí)二次函數(shù)的函數(shù)值相等（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，均以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿邊運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止

10、運(yùn)動(dòng)當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，連結(jié)，將沿翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的處，求的值及點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使得以為項(xiàng)點(diǎn)的三角形與相似？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由8、已知：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（）交軸于A、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)C，且對(duì)稱軸為直線（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P（0，t）是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)進(jìn)行如下探究：探究一：如圖1，設(shè)PAD的面積為S，令Wt·S，當(dāng)0t4時(shí)，W是否有最大值？如果有，求出W的最大值和此時(shí)t的值；如果沒(méi)有，說(shuō)明理由；探究二：如圖2，是否存在以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與RtAOC相似？

11、如果存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由yxOCBADMP1EP2yxOCBADMP圖2yxOCBADyxOCBAD圖1解：（1）拋物線（）的對(duì)稱軸為直線，（2）探究一：當(dāng)時(shí)，有最大值拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，作軸于，則， 當(dāng)時(shí)，有最大值，探究二：存在分三種情況：當(dāng)時(shí)，作軸于，則，軸，軸，此時(shí)，又因?yàn)椋?，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）當(dāng)時(shí)，則，與不相似，此時(shí)點(diǎn)不存在當(dāng)時(shí)，以為直徑作，則的半徑，圓心到軸的距離，與軸相離不存在點(diǎn)，使綜上所述，只存在一點(diǎn)使與相似yOCDB6Ax9、矩形在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖13所示，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線與邊相交于點(diǎn)（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，試確定此拋物線的表達(dá)式；（3）設(shè)（2）中