微積分基本定理

1、惠水民中 曾凡禮 微積分基本定理微積分基本定理一、教材分析一、教材分析教材的地位及作用：教材的地位及作用： 本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)和定積分這兩個概念后的本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)和定積分這兩個概念后的學(xué)習(xí)，它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時學(xué)習(xí)，它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定了也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)?；A(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位因此它在教材中處于極其重要的地位。它曾它曾被恩格被恩格斯譽為斯譽為“人類精神的最高勝利人類精神的最高勝利”的微積分學(xué)的微積分學(xué). .2.教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)：(1

2、)知識目標(biāo)：知識目標(biāo)：了解微積分基本定理的含義和幾何意義，并理解導(dǎo)了解微積分基本定理的含義和幾何意義，并理解導(dǎo)數(shù)與定積分的互逆關(guān)系數(shù)與定積分的互逆關(guān)系. .(2)能力目標(biāo)：能力目標(biāo)： 讓學(xué)生能夠體會微積分運動與讓學(xué)生能夠體會微積分運動與靜態(tài)靜態(tài)變化地思維方變化地思維方式，并且培養(yǎng)學(xué)生在探索過程中善于變通的思想，敢于挑戰(zhàn)陳規(guī)的式，并且培養(yǎng)學(xué)生在探索過程中善于變通的思想，敢于挑戰(zhàn)陳規(guī)的精神精神! ! (3)情感目標(biāo)：情感目標(biāo)： A A 揭示尋求計算定積分新方法的必要性揭示尋求計算定積分新方法的必要性, , 激發(fā)學(xué)生的求知欲激發(fā)學(xué)生的求知欲 B B 體會體會“以直代曲以直代曲”臨淵羨魚，不如退而結(jié)網(wǎng)

3、的思想臨淵羨魚，不如退而結(jié)網(wǎng)的思想. . C C 運用近似、無限接近巧妙的方法運用近似、無限接近巧妙的方法. .3 3教學(xué)重點、難點分析：教學(xué)重點、難點分析： 重點：重點：通過探究變速直線運動物體的速度與位移的通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關(guān)系，使學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確關(guān)系，使學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分運用基本定理計算簡單的定積分. .（根據(jù)教材內(nèi)容特點及（根據(jù)教材內(nèi)容特點及教學(xué)目標(biāo)的要求）教學(xué)目標(biāo)的要求） 難點：難點：微積分基本定理的含義微積分基本定理的含義. . （根據(jù)學(xué)生的年齡（根據(jù)學(xué)生的年齡結(jié)構(gòu)特征和心理認知特點）

4、結(jié)構(gòu)特征和心理認知特點） 以學(xué)生現(xiàn)有的知識對于微積分基本定理的嚴密證明是存在著一定難以學(xué)生現(xiàn)有的知識對于微積分基本定理的嚴密證明是存在著一定難度的，而突破難點的關(guān)鍵在于讓學(xué)生主動利用已學(xué)的知識去探索，這樣才能使學(xué)度的，而突破難點的關(guān)鍵在于讓學(xué)生主動利用已學(xué)的知識去探索，這樣才能使學(xué)生從真正意義上把握該定理的含義，提高自身的能力，體現(xiàn)其主體地位。生從真正意義上把握該定理的含義，提高自身的能力，體現(xiàn)其主體地位。教法和學(xué)法：教法和學(xué)法：(1)、教法：、教法：采用類比、啟發(fā)、引導(dǎo)、探索式相結(jié)合的方法，啟采用類比、啟發(fā)、引導(dǎo)、探索式相結(jié)合的方法，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生積極思考本節(jié)課所遇到的問題，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想舊知

5、識發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生積極思考本節(jié)課所遇到的問題，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想舊知識來解決和探索新知識，從而使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，來解決和探索新知識，從而使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。(2) 、學(xué)法：、學(xué)法：突出自主學(xué)習(xí)，研討發(fā)現(xiàn)，主動探索。學(xué)生在教師突出自主學(xué)習(xí)，研討發(fā)現(xiàn)，主動探索。學(xué)生在教師的引導(dǎo)下通過觀察、討論、交流、合作探究等活動來對知識、方法的引導(dǎo)下通過觀察、討論、交流、合作探究等活動來對知識、方法和規(guī)律進行總結(jié)，在課堂活動中注重引導(dǎo)學(xué)生并讓學(xué)生體會從局部和規(guī)律進行總結(jié)，在課堂活動中注重引導(dǎo)學(xué)生并讓學(xué)生體會從局部到整體，特殊到一般和用數(shù)形結(jié)合的方法

6、獲取知識的過程，培養(yǎng)學(xué)到整體，特殊到一般和用數(shù)形結(jié)合的方法獲取知識的過程，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。生學(xué)習(xí)的主動性。 5 5 、教具、教具: : 多媒體課件（多媒體課件（增強課堂的趣味性）增強課堂的趣味性） 二、教學(xué)過程二、教學(xué)過程 （二）創(chuàng)設(shè)問題情境（二）創(chuàng)設(shè)問題情境問題問題1 1、同學(xué)們能否用定積分的定義來求、同學(xué)們能否用定積分的定義來求 的值的值問題問題2 2、加法逆運算是減法，那么定積分運算有沒有逆、加法逆運算是減法，那么定積分運算有沒有逆 運算，它的逆運算我們?nèi)绾稳ザx？運算，它的逆運算我們?nèi)绾稳ザx？問題問題3 3、求導(dǎo)和求定積分運算是否具有互逆關(guān)系呢？、求導(dǎo)和求定積分運算是否具有互逆

7、關(guān)系呢？211dxx（一）溫故知新（一）溫故知新1.1.導(dǎo)數(shù)公式及幾何意義導(dǎo)數(shù)公式及幾何意義2.2.回顧計算回顧計算 的過程的過程( (分割、近似代替、求和、取極限）分割、近似代替、求和、取極限）dxx103（三）探究分析：（三）探究分析： 請同學(xué)們看教材第請同學(xué)們看教材第57頁的探究，說說探究的基頁的探究，說說探究的基本思路？本思路？解決教學(xué)重點和化解教學(xué)難點解決教學(xué)重點和化解教學(xué)難點 引導(dǎo)學(xué)生把探究的基本思路分解成以下引導(dǎo)學(xué)生把探究的基本思路分解成以下3個內(nèi)容：個內(nèi)容：如果做變速直線運動的物體的運動規(guī)律是如果做變速直線運動的物體的運動規(guī)律是s=s(t)，那么，那么它在時刻它在時刻t的速度是

8、什么？的速度是什么？復(fù)習(xí)位移與速度之間的關(guān)系：復(fù)習(xí)位移與速度之間的關(guān)系：如何用如何用s(t)表示物體在表示物體在a, b內(nèi)的位移內(nèi)的位移S? 引導(dǎo)學(xué)生觀察引導(dǎo)學(xué)生觀察s= s(t)的圖像探索發(fā)現(xiàn)并得出的圖像探索發(fā)現(xiàn)并得出 ： )a ( s)b( ss3.3.如何用如何用V (t)V (t)表示物體在表示物體在a, ba, b內(nèi)的位移內(nèi)的位移S S？在上一節(jié)在上一節(jié)“汽車行駛的路程汽車行駛的路程”中，學(xué)生知道了位移就中，學(xué)生知道了位移就是對速度函數(shù)是對速度函數(shù)v(t)的定積分的定積分 ，已知路程函數(shù)，已知路程函數(shù)s(t), 因此關(guān)鍵在于建立因此關(guān)鍵在于建立v(t)與與s(t)的關(guān)系的關(guān)系在這一過

9、程中體現(xiàn)了定積分的基本思想，突出了導(dǎo)數(shù)的幾在這一過程中體現(xiàn)了定積分的基本思想，突出了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)中最基本的思想方法。何意義，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)中最基本的思想方法。) t (v) t (s( )baSV t dt（四）討論歸納（四）討論歸納1 1、問題：由以上探究同學(xué)們得出什么結(jié)論？、問題：由以上探究同學(xué)們得出什么結(jié)論？引導(dǎo)學(xué)生討論后，歸納并得出基本定理的特例引導(dǎo)學(xué)生討論后，歸納并得出基本定理的特例 物體在區(qū)間物體在區(qū)間a, ba, b上的位移就是上的位移就是V (t)=s(tV (t)=s(t) )在區(qū)間在區(qū)間a, a, bb上的定積分等于函數(shù)上的定積分等于函數(shù)s

10、(ts(t) )在區(qū)間端點在區(qū)間端點b b，a a處的函數(shù)值處的函數(shù)值之差之差s(bs(b) )s(as(a) )， 即即 進一步突出重點，突破難點，并鞏固和深化所進一步突出重點，突破難點，并鞏固和深化所學(xué)知識，形成基本技能，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。學(xué)知識，形成基本技能，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性。 ( )( )( )( )bbaasv t dtst dts bs a三、微積分基本定理三、微積分基本定理即牛頓即牛頓萊布尼茲公式（萊布尼茲公式（NewtonNewtonLeibniz FormulaLeibniz Formula）。）。簡記：簡記： 連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) f(x),若，則若，則( )( )f

11、xF x( )( )( )baf x dxF bF a( )( )f xf x由于 F(x)+C，F(xiàn)(x)+C也是的原函數(shù)，其中c為常數(shù)。其中 叫做 一個原函數(shù)( )F x( )f x( )( )( )( )bbaaf x dxF bF aF x（一）微積分基本定理（一）微積分基本定理（16461716）（16421727） 在這里我插入關(guān)于牛頓和萊布尼茲的個人背景材料，以及他們的學(xué)術(shù)成果在整個社會乃至全世界的影響，有利于豐富課堂內(nèi)容。（二）（二）.活學(xué)活用：活學(xué)活用：利用微積分基本定理解決前面的問題利用微積分基本定理解決前面的問題 以學(xué)生練習(xí)、討論為主，讓學(xué)生與上一節(jié)例以學(xué)生練習(xí)、討論為主，

12、讓學(xué)生與上一節(jié)例題比較，得出結(jié)論：結(jié)果相同，但比用定義計算定積分題比較，得出結(jié)論：結(jié)果相同，但比用定義計算定積分簡單。教師給出書寫規(guī)范的格式初步展示利用微積分基簡單。教師給出書寫規(guī)范的格式初步展示利用微積分基本定理求定積分的優(yōu)越性。本定理求定積分的優(yōu)越性。dxx103dxx211（三）（三）.典型例題：典型例題：例例1 計算下列定積分：計算下列定積分：（1） 教師給出規(guī)范的書寫格式教師給出規(guī)范的書寫格式解：因為解：因為所以所以3211(2)xdxx2()2 ,xx211( )xx 3332211111(2)2xdxxdxdxxx1(9 1)(1)3223332111xx（五）學(xué)生通過探究了解定

13、積分基本定理特性：（五）學(xué)生通過探究了解定積分基本定理特性：（1 1）求定積分比較方便）求定積分比較方便. .（2 2）若）若 ，且，且 在區(qū)間在區(qū)間 可積，可積，則則 叫做叫做 原函數(shù)原函數(shù). .( )( )Fxf x( )f xI( )f x( )F x（四）（四）.鞏固練習(xí)，強化提高鞏固練習(xí)，強化提高 ：1 23 4504xdx520(2 )xx dx211()xdxx21(sin )xx dx（3）利用定積分基本定理求定積分的關(guān)鍵找到被積函）利用定積分基本定理求定積分的關(guān)鍵找到被積函數(shù)的原函數(shù)，也就是說要找到一個函數(shù)，使它的導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，也就是說要找到一個函數(shù)，使它的導(dǎo)函數(shù)等于被積函

14、數(shù)數(shù)等于被積函數(shù)（4）求導(dǎo)運算與求原函數(shù)）求導(dǎo)運算與求原函數(shù)( (定積分）定積分）運算互為逆運算。運算互為逆運算。 這一過程主要體現(xiàn)學(xué)生通過觀察、探索等這一過程主要體現(xiàn)學(xué)生通過觀察、探索等方法對知識的總結(jié)。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性方法對知識的總結(jié)。培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性（六）歸納總結(jié)：（六）歸納總結(jié)：1.微積分基本定理及應(yīng)用微積分基本定理及應(yīng)用. 2.求導(dǎo)數(shù)運算與求積分運求導(dǎo)數(shù)運算與求積分運 算是互為逆運算算是互為逆運算 （八）（八）.學(xué)生課后思考：通過計學(xué)生課后思考：通過計 算下列定積分算下列定積分得到定積分的幾何意義？得到定積分的幾何意義？2sin xdx20sin xdx621.(1),(3)

15、,(4)PA習(xí)題組（七）課后作業(yè)：（七）課后作業(yè)：四四 、板書設(shè)計、板書設(shè)計 微積分基本定理及應(yīng)用微積分基本定理及應(yīng)用一一溫故知新溫故知新 三三. .例題例題微積分基本定理微積分基本定理 四四. .鞏固練習(xí)鞏固練習(xí) 導(dǎo)數(shù)與定積分運算關(guān)系導(dǎo)數(shù)與定積分運算關(guān)系 二二用用v(tv(t) )與與s(ts(t) )來表示物體位移來表示物體位移s s 五五. .作業(yè)作業(yè)五、教學(xué)評價設(shè)計五、教學(xué)評價設(shè)計：整個是由特殊到一般，由局部到整體，直觀到抽整個是由特殊到一般，由局部到整體，直觀到抽象，這樣一個合情推理的過程。讓學(xué)生感知定積分的象，這樣一個合情推理的過程。讓學(xué)生感知定積分的基本思想。正是體現(xiàn)了新課標(biāo)對學(xué)

16、生現(xiàn)有認知結(jié)構(gòu)的基本思想。正是體現(xiàn)了新課標(biāo)對學(xué)生現(xiàn)有認知結(jié)構(gòu)的深刻認識，打破了傳統(tǒng)概念上由抽象到具體、嚴格推深刻認識，打破了傳統(tǒng)概念上由抽象到具體、嚴格推理論證的模式。理論證的模式。溫故知新引導(dǎo)探索歸納總結(jié)六、課后反思：六、課后反思：微積分基本定理的推導(dǎo)是本節(jié)課的難點，如果直微積分基本定理的推導(dǎo)是本節(jié)課的難點，如果直接講那樣學(xué)生理解起來會很困難，而是采用了創(chuàng)設(shè)情接講那樣學(xué)生理解起來會很困難，而是采用了創(chuàng)設(shè)情景問題，由特殊到一般，由感性認識上升到理性認識景問題，由特殊到一般，由感性認識上升到理性認識的規(guī)律，推導(dǎo)出了定理公式雖然這不是非常嚴格的的規(guī)律，推導(dǎo)出了定理公式雖然這不是非常嚴格的證明，但這反映出微積分基本定理的基本思想，而且證明，但這反映出微積分基本定理的基本思想，而且降低了教材的難度，便