數(shù)學(xué)建模 漏斗中水流出的時(shí)間問(wèn)題_第1頁(yè)
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漏斗中水流出的時(shí)間問(wèn)題探究容器內(nèi)水的流出時(shí)間與水流量的關(guān)系，有助于現(xiàn)實(shí)生活中人們利用時(shí)間來(lái)控制水庫(kù)水流量，以達(dá)到有計(jì)劃的放水供應(yīng)城市用水。接下來(lái)我們就來(lái)探究一下漏斗中水流出的時(shí)間問(wèn)題。一、 模型假設(shè)1、 水在漏斗底端小孔流出時(shí)，由于水屬于非粘性液體，從流體力學(xué)的觀點(diǎn)看，可忽略出水口對(duì)水的張力，故在出水口的水的運(yùn)動(dòng)可看作有初速度的自由下落。2、 設(shè)漏斗的頂部大圓半徑為，底出口孔圓半徑為，漏斗高，重力加速度為；在漏水過(guò)程中漏斗中軸線豎直并且靜止。二、 模型建立要求漏斗中的水流完所需要的時(shí)間，得先求出出水口的水流速度，在流出的瞬間，由于重力勢(shì)能的作用，瞬時(shí)將重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，假設(shè)漏斗底端離水平面高度為，當(dāng)時(shí)間內(nèi)水位下降了時(shí)，由動(dòng)能定理得所以水流出的初速度為在水位下降時(shí)，此時(shí)漏斗的水平面圓半徑為，則在這時(shí)間內(nèi)，漏斗中水減少的體積為，其中所以又在出水口流出的體積為，因?yàn)?所以 式子左右同時(shí)除以得當(dāng)時(shí)，而，所以式子進(jìn)一步得到 又 所以式子化為令所以三、 結(jié)果分析所以式子兩邊同時(shí)積分、當(dāng)時(shí)，此時(shí)做的是自由落體運(yùn)動(dòng)；、當(dāng)時(shí)，即是水永遠(yuǎn)流不出來(lái)。

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