小學數(shù)學廣角內容解讀

1、小學“數(shù)學廣角”內容解讀一、“數(shù)學廣角”的編排意圖?！皵?shù)學廣角”是人教版新課標實驗教材伴隨著新課程改革新增設的一大教學內容模塊，是人教版教材中的一個亮點，也是一種新的嘗試。它系統(tǒng)而有步驟地向學生滲透數(shù)學思想方法，嘗試把重要的數(shù)學思想方法通過學生可以理解的簡單形式，采用生動有趣的事例呈現(xiàn)出來。在小學數(shù)學教學階段有意識地向學生滲透一些基本數(shù)學思想方法可以加深學生對數(shù)學概念、公式、定律的理解，是提高學生數(shù)學能力和思維品質的重要手段，是數(shù)學教育中實現(xiàn)從傳授知識到培養(yǎng)學生分析問題、解決問題能力的重要途徑，也是小學數(shù)學新課程改革的真正內涵之所在。數(shù)學課程標準中明確提出了：“讓學生通過學習，能夠獲得適應未來

2、社會生活和進一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學知識以及基本的數(shù)學思想方法?！睘榱擞行鋵嵾@一總體目標，人教版教材編排中不但加大力度把數(shù)學思想滲透在數(shù)與代數(shù)、量與計量等每一個知識板塊中，更以新增設的單元“數(shù)學廣角”為呈現(xiàn)形式，進一步集中向學生滲透數(shù)學思想方法。二、“數(shù)學廣角”的內容體系學段冊數(shù)單元內容數(shù)學思想方法第一學段一年級上冊第五單元分類比較和分類思想方法一年級下冊第八單元找規(guī)律符號化思想方法二年級上冊第八單元簡單的排列組合邏輯推理排列組合思想方法邏輯推理思想方法二年級下冊第九單元找規(guī)律排列、推理三年級上冊第九單元排列組合排列組合思想方法三年級下冊第九單元重疊問題等量代換集合的思想方法等量代換思想第二

3、學段四年級上冊第七單元烙餅問題排隊論田忌賽馬運籌思想、對策論、優(yōu)化思想四年級下冊第八單元植樹問題植樹問題的思想方法化歸的思想方法數(shù)學建模思想五年級上冊第七單元數(shù)字編碼數(shù)字編碼思想五年級下冊第七單元找次品優(yōu)化思想方法六年級上冊第七單元雞兔同籠問題假設法思想方法數(shù)學建模思想六年級下冊第五單元抽屜原理抽屜原理數(shù)學建模思想數(shù)學課程標準中指出：“重要的數(shù)學概念與數(shù)學思想宜逐級遞進、螺旋上升。”教材在“數(shù)學廣角”內容的編排上注意體現(xiàn)了這一要求，系統(tǒng)而有步驟地滲透數(shù)學思想方法。例如在滲透排列和組合的數(shù)學思想方法時，實驗教材先在二年級上冊教材中，安排學生初步接觸一點排列與組合知識，讓學生通過觀察、猜測以及實驗

4、的方法可以找出最簡單的事物的排列數(shù)和組合數(shù)。如用兩個數(shù)字卡片組成兩位數(shù)的排列數(shù)，三個小朋友兩兩握手的組合數(shù)等。而在三年級上冊教材中又繼續(xù)學習排列與組合的內容。但目標定位為在學生已有知識和經驗的基礎上，繼續(xù)讓學生通過觀察、猜測、實驗等活動找出事物的排列數(shù)和組合數(shù)。如兩件上裝和三件下裝有多少種不同的搭配等數(shù)學問題。與二年級上冊教材相比，三年級教材的內容則更加系統(tǒng)和全面，分別介紹排列以及組合。綜觀整個十二冊教材中的“數(shù)學廣角”，從簡單的分類思想到較為抽象的運籌思想、對策論以及最后一冊更為復雜的抽屜原理，無不體現(xiàn)了思維層次是從低到高，從具體到抽象，逐級遞進、螺旋上升，向學生逐步滲透這些數(shù)學思想方法，以

5、符合數(shù)學認知規(guī)律。它們各個內容之間又存有一定的聯(lián)系，準確把握各冊教材的聯(lián)結點有助于解讀教材。譬如，第七冊的運籌問題、第十冊的找次品問題以及第十二冊的抽屜原理，解決問題時都要考慮“至少”的問題，都在多種解決策略中尋找最佳最優(yōu)的策略，都要運用推理能力和滲透優(yōu)化思想。學習“數(shù)字編碼”的時候，自然地要同“找規(guī)律”這一個知識點進行嫁接；解決“封閉方陣中的植樹問題”時需要用 “重疊問題”來詮釋；植樹問題和雞兔同籠問題都很注重數(shù)學模型的構建，一般都得經歷“問題模型構建模型解釋應用模型”的學習過程第一學段，數(shù)學廣角出現(xiàn)了簡單的排列組合、簡單的推理、集合思想、等量代換等內容，讓學生通過觀察、操作、實驗、猜測、推

6、理與交流等活動，初步感受數(shù)學思想方法的奇妙與作用，受到數(shù)學思維的訓練，逐步形成有順序、全面思考問題的意識，同時培養(yǎng)他們探索數(shù)學問題的興趣與欲望，發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學美的意識，進而達到數(shù)學課程標準第一學段的要求：使學生“在解決問題的過程中，能進行簡單的、有條理的思考”。第二學段滲透了優(yōu)化思想、對策論、解決由植樹引發(fā)出來的問題、數(shù)字編碼、假設法、抽屜原理等數(shù)學思想方法，一方面繼續(xù)讓學生感悟數(shù)學思想方法，感受數(shù)學的魅力，培養(yǎng)學生分析、推理的能力，逐步形成探索數(shù)學問題的興趣與欲望，另一方面加強了綜合運用知識解決問題和解決問題策略多樣化的教學，使學生逐步提高數(shù)學思維能力和解決問題的能力。從教學目標的把握來看，

7、數(shù)學廣角的教學首先應定位于通過數(shù)學活動，讓學生感受數(shù)學的思想方法，學會運用數(shù)學思想方法嘗試解決問題，體驗解決問題的策略、方法。因為數(shù)學廣角是面向全體學生滲透數(shù)學思想方法的，意圖是讓每一個學生受到數(shù)學思維訓練的同時，逐步形成探索數(shù)學問題的興趣與欲望，發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學美的意識。因此，要防止把數(shù)學廣角當做奧數(shù)培訓課進行“英才”教育，它需要更多地、有計劃地創(chuàng)設實踐活動，讓全體學生去觀察、研究、嘗試，重在活動中對思想方法的感悟。下面我們逐冊分析一下它們的編排結構和教學目標：一上“分類”的教學目標：教材按由易到難的順序，分別安排了單一標準的分類和不同標準的分類兩部分內容。教材首先安排了一個學生熟悉的文具商店

8、的情景圖，貨架上的文具按不同的類別放在不同的位置，一方面，可以讓學生認識到把同類文具（例如，直尺、三角尺和量角器）放在一起，可以方便快捷地找到自己需要的文具，使學生體會到分類的意義和必要性。另一方面，可以讓學生自己發(fā)現(xiàn)為什么要把某些物品放在一起的原因，找出分類的標準。接著安排了一個按不同標準進行分類的活動情景。三個學生按不同的標準對同一堆鉛筆分成不同的類，第一個同學是按鉛筆的顏色分的，第二個同學是按鉛筆有無橡皮頭來分的，第三個同學是按鉛筆有無削過來分的。使學生看到，分類的標準不同，分類的結果也不同。教學中要注意讓學生真正地活動起來，學生在操作、活動的過程中，能更牢固地掌握選擇分類標準、正確分類

9、的方法，動手操作能力和探索意識也能更好地得以發(fā)展。1能按照某一給定的標準或選擇某個標準對物體進行分類。2能選擇不同的標準對物體進行不同的分類。3在分類活動中，體驗分類結果在單一標準下的一致性、不同標準下的多樣性一下“*找規(guī)律：探索圖案和數(shù)字簡單的排列規(guī)律”（例1例3，有一個基本的循環(huán)組，以它為基礎，重復出現(xiàn)。循環(huán)組中每種圖形只有一個，例4例5，也有一個基本的循環(huán)組，循環(huán)組中有的圖形不止一個，從數(shù)量的角度觀察，數(shù)字的排列規(guī)律，也是循環(huán)出現(xiàn)的。如1、2、1、2、或2、3、2、3。例6例7，是圖形與數(shù)字變化規(guī)律，要從圖形的數(shù)量上去尋找規(guī)律。例7中數(shù)字的排列規(guī)律是等差數(shù)列。例8，沒有圖形，只有數(shù)，通過

10、觀察找出數(shù)的排列規(guī)律，抽象程度更高。也是等差數(shù)列。僅限于簡單的：循環(huán)出現(xiàn)的、等差數(shù)列。）教學目標：1使學生通過觀察、實驗、猜測、推理等活動發(fā)現(xiàn)圖形的形狀和位置的變化規(guī)律及數(shù)字簡單的排列規(guī)律2培養(yǎng)學生初步的觀察、推理能力。3培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學美的意識。二上數(shù)學廣角“*簡單的排列 *簡單的邏輯推理”例1是最簡單的排列（與順序有關，用兩張或3張數(shù)字卡片擺兩位數(shù)）通過操作感受擺的方法，讓學生體會：怎樣擺才能保證不重復不遺漏?！白鲆蛔觥?個小朋友兩兩握手屬于組合，選定的一組事物與順序無關。 例2是最簡單的推理知識，讓學生根據已知的兩個條件通過活動判斷出結論，例2給出了兩個活動，通過這兩個活

11、動使學生感受簡單推理的過程，初步獲得一些簡單推理的經驗。例3在例2的基礎上加了一個條件，難度稍有增加。實際上例3可以轉化為例2的形式。小紅拿的是語文書，說明小麗和小剛拿的是數(shù)學和社會書，再根據條件判斷，與例2就非常類似了。教學目標：1使學生通過觀察、猜測、實驗等活動，找出最簡單的事物的排列數(shù)和組合數(shù)。2培養(yǎng)學生初步的觀察、分析及推理能力。3初步培養(yǎng)學生有順序地、全面地思考問題的意識。二下“*找規(guī)律：鋪地磚花紋的規(guī)律   等差數(shù)列的探究規(guī)律”例1是在主題圖的基礎上設計的圖形的變化規(guī)律。每組圖形呈循環(huán)排列：從左邊起，每組圖形中的第一個圖形在下一組中變成第四個圖形，第二個圖形變成

12、第一個圖形如此循環(huán)排列。例2是圖形和數(shù)列的變化規(guī)律，與一年級下冊第91頁例7類似的地方是：無論是圖形還是數(shù)的排列，不再研究形狀和位置的變化，而是研究數(shù)量的變化，圖形的變化也要通過計算相鄰兩項數(shù)量的差來找出規(guī)律。與例7不同的地方是：它的規(guī)律是每相鄰兩項的差組成一個新的數(shù)列，這個新的數(shù)列是等差數(shù)列。 教學目標1使學生通過觀察、猜測、實驗、推理等活動發(fā)現(xiàn)圖形和數(shù)的排列規(guī)律。2培養(yǎng)學生的觀察、操作及歸納推理的能力。3培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和欣賞數(shù)學美的意識，運用數(shù)去創(chuàng)造美的意識；使學生知道生活中事物有規(guī)律的排列隱含著數(shù)學知識。三上數(shù)學廣角“*簡單的組合 *簡單的排列”例1通過探討衣服和褲子的不同搭配，

13、找出不同穿法的組合數(shù)。上下裝搭配的每種穿法需要兩步來確定，一步是上裝的選擇，一步是下裝的選擇，一件上裝搭配一件下裝就是一種穿法。教材在這里給出兩種連線方法：先確定一件上裝，對這件上裝與不同的下裝進行搭配連線，然后再進行另一件上裝與下裝的連線，這樣就得到第一種連線方法（圖一），說明只要有順序的搭配連線，就能保證不重不漏。在此基礎上將兩個連線圖合并起來就可得出另一種連線方法（圖二）。這里只要學生能掌握一種連線方法就行了！例2教學簡單的排列，用3個數(shù)字卡片擺三位數(shù)，數(shù)字卡片的排列順序不同，就表示不同的三位數(shù)。通過比較引導出一個既清楚明了又不重不漏的記錄方法：先確定百位上的數(shù)字，然后是十位數(shù)字和個位數(shù)

14、字。這個例題能很好的培養(yǎng)學生有順序地、全面地思考問題的意識。例3通過探索4個隊一共要踢多少場球，學習簡單的組合。組合與排列的區(qū)別是排列與事物的順序有關，而組合與事物的順序無關。例3是以中國隊參加的2002年世界杯足球賽為背景，中國隊所在的C組共有四個國家足球隊，小組賽時每兩個隊踢一場比賽，看看一共要踢多少場。這里每場比賽只與哪兩個隊有關，與兩個隊的順序無關。每兩個隊連一條線，就代表要踢一場比賽。這里也給出兩種連線方法：一種是把四個隊擺成正方形，兩兩相連；另一種是一字擺開，每個隊都與其他三個隊相連。教學目標1使學生通過觀察、猜測、實驗等活動，找出簡單事物的排列數(shù)和組合數(shù)。2培養(yǎng)學生初步的觀察、分

15、析及推理能力以及有順序地、全面地思考問題的意識。3使學生感受數(shù)學在現(xiàn)實生活中的廣泛應用，嘗試用數(shù)學的方法來解決實際生活中的問題。4使學生在數(shù)學活動中養(yǎng)成與人合作的良好習慣，并初步學會表達解決問題的大致過程和結果。建議：只要求學生能根據實際問題采用羅列、連線等方式找出簡單事物的排列數(shù)和組合數(shù)，并能感受到有的與順序有關，有的與順序無關，不要提高要求。教師教學語言中盡量避免出現(xiàn)排列、組合這些術語，也不要跟學生解釋。三下數(shù)學廣角“*重疊問題  *等量代換”例1借助學生熟悉的題材，滲透集合的有關思想，并利用直觀圖的方式求出兩個小組的總人數(shù)。教材通過統(tǒng)計表讓學生看出：參加語文小組的有8人，參加數(shù)

16、學小組的有9人。但實際上參加這兩個課外小組的總人數(shù)卻不是17人，引起學生的認知沖突。這時，教材利用直觀圖把這兩個課外小組的關系直觀地表示出來。從圖上可以很清楚地看出，有3名學生同時屬于這兩個小組，所以計算總人數(shù)時只能計算一次。同時可以讓學生說一說圖中不同位置所表示的不同意義，如中間部分表示同時參加兩個小組的同學，左側是只參加語文小組而不參加數(shù)學小組的學生，右側是只參加數(shù)學小組而不參加語文小組的學生。最后，再讓學生列式求出參加語文小組和數(shù)學小組的共有多少人。例2利用天平的原理，使學生初步體會等量代換的思想方法，為以后學習簡單的代數(shù)知識做準備。當天平平衡時，左右兩邊的物體同樣重。所以，從第一個圖中

17、可以看出，一個西瓜重4千克，從第二個圖中可以看出，四個蘋果重1千克，讓學生思考一個西瓜和多少個蘋果同樣重。在這里還不能直接運用等量代換，需要學生首先考慮：一個西瓜和4千克砝碼同樣重，4千克砝碼和多少個蘋果同樣重呢？引導學生想出如果第二個圖中天平的右邊變成原來的4倍，左邊也要變成原來的4倍（即16個蘋果），天平才能保持平衡，所以一個西瓜和16個蘋果同樣重。教學目標1使學生會借助直觀圖，利用集合的思想方法解決簡單的實際問題。2使學生在解決實際問題的過程中體會等量代換的思想。建議：集合和等量代換的理論都是比較系統(tǒng)、抽象的數(shù)學思想方法，在這里，只是讓學生通過生活中容易理解的題材初步體會這兩種思想方法，

18、為后繼學習打下必要的基礎，學生只要能夠用自己的方法解決問題就可以了，教學時老師不要使用集合、集合的元素、基數(shù)、交集、并集、等量代換等數(shù)學化的語言進行描述。四上數(shù)學廣角“*運籌問題：烙餅、沏茶、碼頭卸貨等問題    *對策問題：田忌賽馬?！北締卧饕峭ㄟ^日常生活中的一些簡單事例，讓學生嘗試從優(yōu)化的角度在解決問題的多種方案中尋找最優(yōu)的方案，初步體會運籌思想在實際生活中的應用以及對策論方法在解決問題中的運用。在日常生活中，解決問題的方法學生很容易找到，而且會找到解決問題的不同的策略，這里的關鍵是讓學生理解優(yōu)化的思想，形成從多種方案中尋找最優(yōu)方案的意識，提高學生的解決問

19、題的能力。例1討論烙餅時怎樣操作最省時間，讓學生體會在解決問題中優(yōu)化思想的應用。教材首先給出一幅生動有趣的情境圖，讓學生探索發(fā)現(xiàn)：3張餅的烙法，最好的方法是先烙1，2號餅的正面，接著烙1號餅的反面和3號餅的正面，最后烙2，3號餅的反面，這種方法只需9分鐘。然后還可以讓學生在實驗的基礎上獨立完成：如果要烙的是4張餅，5張餅10張餅，怎樣安排最節(jié)省時間？再通過小組討論交流發(fā)現(xiàn)：如果要烙的餅的張數(shù)是雙數(shù)，2張2張的烙就可以了，如果要烙的餅的張數(shù)是單數(shù)，可以先2個2個的烙，最后3張餅按上面的最優(yōu)方法烙，最節(jié)省時間。 例2分析家里來客人需要沏茶時，怎樣安排各種事情能讓客人盡快喝上茶；繼續(xù)討論如

20、何用優(yōu)化的思想選擇合理、快捷的解決問題的方法。教材在情境圖下給出了沏茶所要做的各種工序，以及做每件事情所需的時間。然后呈現(xiàn)學生們討論怎樣安排的場面。在這些內容中包含了解決這一問題的思考方法：首先要明確沏茶的大致順序，也就是說哪些事情要先做，然后再考慮還有哪些事情可以同時做，能同時做的事盡量同時做，這樣才能節(jié)省時間。教材還提示可以用流程圖的方式表示解決問題的順序或方案，教給學生設計方案的具體方法。例3安排的是在碼頭卸貨時，按照怎樣的順序卸貨能讓三艘船總的等候時間最少；讓學生從中體會運籌思想在解決問題中的作用。教材沒有給出答案，而是讓學生自己來解決。這里卸貨順序的種數(shù)是一個排列問題，一共有6種不同

21、的方案，方案卸貨順序船1的等候時間（時）船2的等候時間（時）船3的等候時間（時）等候時間的總和（時）1船1船2船388+48+4+1332船1船3船288+1+48+1303船2船1船34+844+8+1294船2船3船14+1+844+1225船3船1船21+81+8+41236船3船2船11+4+81+4119 學生可以計算出每種方案中三艘貨船的等候時間的總和各是多少，從而找出最優(yōu)的卸貨順序。然后引導學生思考發(fā)現(xiàn)：依次從等候時間較少的船開始卸貨，就能使總的等候時間最少。例4呈現(xiàn)了“田忌賽馬”的故事。這個故事學生可能已經了解，但是并不是從數(shù)學的角度去理解的。在這里，通過這個故事讓學

22、生體會對策論方法在實際中的應用。教材首先引導學生回憶這個故事，并讓學生把田忌在賽馬中使用的方法通過表格的形式列出來， 齊王田忌本場勝者第一場上等馬下等馬齊王第二場中等馬上等馬田忌第三場下等馬中等馬田忌通過比較讓學生看到：雖然在同等級的馬中，田忌的馬都不如齊王的馬；如果拿同等級的馬進行比賽田忌一定會輸，但是田忌所采用的策略卻讓他贏了。從而讓學生體會到對策論的方法在這場比賽中的重要性。接下來讓學生思考：田忌所用的這種策略是不是唯一能贏齊王的方法？并讓學生把田忌所有可以采用的策略列出來，通過對照來找到答案。田忌可以采用的策略一共有6種，但只有一種也就是他所使用的方法是唯一可以獲勝的。

23、60;第一場第二場第三場獲勝方齊王上等馬中等馬下等馬齊王田忌1上等馬中等馬下等馬齊王田忌2上等馬下等馬中等馬齊王田忌3中等馬上等馬下等馬齊王田忌4中等馬下等馬上等馬齊王田忌5下等馬上等馬中等馬田忌田忌6下等馬中等馬上等馬齊王（田忌1代表他的第一種策略）最后，教材讓學生說一說田忌的這種策略在生活中還有哪些應用，讓學生體會對策論方法在生活中的應用。（比如乒乓球團體比賽） 教學目標1使學生通過簡單的事例，初步體會運籌思想和對策論方法在解決實際問題中的應用。2使學生認識到解決問題策略的多樣性，形成尋找解決問題最優(yōu)方案的意識。3讓學生感受到數(shù)學在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數(shù)學的方法來解決實際

24、生活中的簡單問題，初步培養(yǎng)學生的應用意識和解決實際問題的能力。4使學生逐漸養(yǎng)成合理安排時間的良好習慣。建議：運籌思想和對策方論的理論都是比較系統(tǒng)、抽象的數(shù)學思想方法，在這里只是讓學生通過簡單的事例，初步體會運籌思想和對策方法在解決實際問題中的應用，初步培養(yǎng)學生的應用意識，提高解決實際問題的能力。學生只要能從解決問題的多種方案中尋找出最優(yōu)的方案，初步體會優(yōu)化思想的應用就可以了，并不要求學生一看到問題就能從優(yōu)化的角度給出最優(yōu)的方案。另外老師在教學中也不要使用運籌、優(yōu)化和對策等數(shù)學化的語言進行描述。四下數(shù)學廣角“*植樹問題”例1是探討關于一條線段的植樹問題并且兩端都要栽樹的情況，讓學生先通過畫線段圖

25、來發(fā)現(xiàn)：在一條路上植樹，如果兩端都要栽的話，栽樹的棵樹都比平均分的份數(shù)也就是間隔數(shù)多1,正好與間隔點的個數(shù)相同，再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決實際問題。 例2是在例1的基礎上繼續(xù)探討關于一條線段的植樹問題的另一種情況。教材給出動物園里綠化隊在大象館和猩猩館之間的小路兩旁栽樹的問題，根據實際情況在這條小路的兩端都不栽樹。通過探索讓學生發(fā)現(xiàn)：當兩端都不栽樹時，植樹的棵數(shù)比間隔數(shù)少1。例2討論的是兩端都不栽樹的情形。 例3是植樹問題的另一種情況關于一個封閉圖形的植樹問題。這里借助圍棋盤的最外層每邊都能放19個棋子，求圍棋盤最外層一共可以擺多少個棋子的問題，介紹如何解決類似的植樹問題。教材用直

26、觀圖的形式展示了兩個學生解決問題的方法。一種方法是：先看上下兩個邊，每邊是19個棋子，然后再看左右兩邊，由于上下兩邊已經包括了兩個端點，所以左右兩邊每邊都少了2個棋子，只有17個，把四邊上的棋子加起來就可得到最外層總共的棋子數(shù)，即19+19+17+17=72。另一種想法是：每邊都只算一個端點，這樣每邊正好都是18個棋子，18×4=72得出結果。教材這里沒有給出解決關于封閉圖形植樹問題的規(guī)律，而是用這種直觀的方式來解決問題，體現(xiàn)了不同的學生在數(shù)學學習上有不同的發(fā)展。如果學生可以接受的話，也可以讓他們自主探索這種植樹問題中包含的規(guī)律，即栽樹的棵數(shù)正好等于間隔數(shù)。例如，圍棋盤最外層擺放的棋

27、子數(shù)等于最外層每兩個棋子間的間隔數(shù)，最外層每邊有18個間隔，最外層總共擺放的棋子數(shù)是18×4=72。教學目標：1使學生通過生活中的事例，初步體會解決植樹問題的思想方法。2初步培養(yǎng)學生從實際問題中探索規(guī)律、找出解決問題的有效方法的能力。3讓學生感受數(shù)學在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數(shù)學的方法來解決實際生活中的簡單問題，培養(yǎng)學生的應用意識和解決實際問題的能力。建議：本單元就是讓學生通過生活中的簡單事例，初步體會解決植樹問題的思想方法和它在解決實際問題中的應用，教學時，應從實際問題入手，引導學生在解決問題的分析、思考過程中，逐步發(fā)現(xiàn)隱含于不同的情形中的規(guī)律，經歷抽取出數(shù)學模型的過程，體驗數(shù)

28、學思想方法在解決實際問題中的應用。但是，也要注意不要對例題進行過多的變式、提高問題的難度，造成教學要求過高。五上數(shù)學廣角“*數(shù)字編碼”數(shù)字編碼和我們的生活緊密相關，比如郵政編碼、身份證號碼、電話號碼等，在這些號碼中都蘊含著數(shù)字編碼的思想，同時也為我們的生活提供了很多便利。運用數(shù)字或者符號來描述事物，可以比較簡潔、準確地表示出事物蘊含的客觀規(guī)律，也便于我們分類查詢和統(tǒng)計。    在這一單元我們主要是通過一些生活中的事例向學生滲透數(shù)字編碼思想，通過觀察、比較、猜測來探索數(shù)字編碼的簡單方法，并通過實踐活動加以應用。例1是通過了解郵政編碼的結構和含義來初步體會數(shù)字編碼的方

29、法，教材向同學們介紹了郵政編碼的結構：郵政編碼由六位數(shù)字組成，前兩位數(shù)字表示?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)）；前三位數(shù)字表示郵區(qū)；前四位數(shù)字表示縣（市），最后兩位數(shù)字表示投遞局（所）。   如448268。它的前兩位數(shù)表示省、自治區(qū)、直轄市，如44表示湖北?。磺叭粩?shù)表示郵區(qū)代號，如448表示湖北省荊門郵區(qū)；前四位數(shù)表示縣（市）的編號，如4482代表湖北省荊門市沙洋縣郵局；最后兩位代表郵件投遞局（所），   所以448268表示的就是湖北省荊門市沙洋縣五里郵電支局的投遞局。 例2是通過了解身份證號碼中蘊含的一些簡單信息和編碼的含義進一步體會數(shù)字編碼的方法，

30、進一步體會數(shù)字編碼在我們日常生活中的廣泛應用。每個公民一出生，就有一個身份證號碼。公民身份號碼是每個公民唯一的、終身不變的身份代碼，由公安機關按照公民身份號碼國家標準編制的。教學時讓學生小組交流討論，對身份證號碼的組成，數(shù)字的排列，每個數(shù)字表示的含義等問題進行思考。然后得出：身份證號碼是由18位數(shù)字組成：前6位為行政區(qū)劃代碼，第7至14位為出生日期碼，第15至17位為順序碼，第18位為校驗碼。例如510402行政區(qū)劃代碼，19620330出生日期碼，522是順序碼，1是校驗碼。倒數(shù)第2位數(shù)字表示性別，雙數(shù)表示女性，單數(shù)表示男性。注意這里不要求學生掌握每個

31、數(shù)字所代表的含義以及編排方法，有些學生不易理解的（比如校驗碼）讓學生知道就可以了。根據身份證號碼，我們可以辨別身份，例如：（出示題目）先看第一個身份證號碼，1940年出生的可能是爺爺、奶奶，倒數(shù)第二位是單數(shù)，說明是男性，因此這是爺爺?shù)纳矸葑C號碼，其余同理講解。 例3和例4是在此基礎上，讓學生通過兩個實踐活動來運用數(shù)字或字母進行編碼，加深對數(shù)字編碼思想的理解。例3是讓學生給學校的每一個學生編一個學號，讓學生思考并分組討論學號中要體現(xiàn)的內容，比如入學年份、年級、班級、班級序號、性別等，然后再根據這些內容來設計編碼的方法，比如說可以用1表示男生，2表示女生。教材這里只是提供了一些范例，學生

32、可以有各自不同的設計方案，例4是讓學生給班里或學校圖書角的書籍編一個書號，和例3相比，更復雜一些，是用符號和數(shù)字的組合進行編碼，這種編碼在生活中也是處處可見，比如汽車的車牌號、火車的車次、飛機的航班號以及商品的型號等，從而體會到數(shù)學應用的廣泛性，提高學生學習數(shù)學的興趣和積極性。這種編碼比較有代表性的就是圖書的檢索號，在圖書館里有成千上萬冊的圖書，為了便于查詢和統(tǒng)計，我們給圖書也編了一個“書號”檢索號。如果熟悉了圖書的分類及檢索方法后，就可以快速、有效地查閱自己需要的圖書。教材在這里給出一些范例，比如用字母表示書的類別，用A表示童話故事書，還可以用序號代表捐書人的信息。學生還可以設計不同的信息和

33、編碼方案，這里主要是讓學生體會用字母也可以進行編碼，進一步探索編碼的方法，經歷用字母和數(shù)字一起進行編碼的過程。練習中的第3題介紹國際標準書號，它是國際上通用的比較科學合理的一種圖書編碼系統(tǒng)，外文簡稱ISBN。ISBN是由13個數(shù)字組成的，其中978代表圖書，中間的9個數(shù)字分成3組，分別表示組號、出版社號、書序號，最后一個數(shù)字是校驗碼；各部分之間用“-”或空位隔開。其中組號是代表一個國家、地區(qū)或語種的編號，這個編號是由國際ISBN中心設置和分配，中國為“7”。出版社號是由地區(qū)或國家的ISBN中心設置和分配的，可以多達7位數(shù)，如人民教育出版社的出版社號是“107”。書名號是由該出版者出版的每種出版

34、物的編號。檢驗號是國際標準書號編號的最后一位數(shù)字。教學目標是：1通過生活中的事例(如郵政編碼、身份證號碼、電話號碼,車牌號)，使學生初步體會數(shù)字編碼思想在解決實際問題中的應用。2讓學生通過觀察、比較、猜測來探索數(shù)字編碼的簡單方法，學會用數(shù)進行編碼，初步培養(yǎng)抽象、概括能力。3讓學生進一步體會數(shù)在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數(shù)學的方法來解決實際生活中的簡單問題，初步培養(yǎng)應用意識和實踐能力。4 使學生在數(shù)學活動中養(yǎng)成與人合作的良好習慣，初步學會表達和交流解決問題的過程和結果。建議：數(shù)字編碼是一種抽象的數(shù)學思想方法，在這里只是讓學生通過日常生活中的一些實例，初步體會數(shù)字編碼在解決實際問題中的應用，并通

35、過觀察、比較、猜測來探索數(shù)字編碼的簡單方法，學會運用數(shù)進行編碼，初步培養(yǎng)學生的抽象、概括能力。學生只要能從郵政編碼、身份證號碼等具體實例中初步了解蘊含其中的一些簡單信息和編碼的含義，探索出數(shù)字編碼的簡單方法，并能在實踐活動中加以應用就可以了，并不要求學生掌握編碼中每個數(shù)字的信息和含義。另外學生在實踐中可以有不同的編碼方法，教師要允許學生采用不同的形式，并且要放手讓學生親身去體會、經歷運用所學知識解決實際問題的過程，培養(yǎng)學生的探索精神和實踐能力。教師只是在必要時給以一定的點撥、引導。五下數(shù)學廣角“*找次品”例1安排了從5個物品中找次品，僅要求學生說出找次品的方法，不需要進行規(guī)律總結，從而讓學生感

36、受解決問題策略的多樣性；例2通過讓學生探索和比較找次品的多種方法，體會解決問題策略的多樣性及運用優(yōu)化策略解決問題的有效性。教學時，可先讓學生進行小組活動，使其在試驗、研討的過程中自主探索解決問題的最優(yōu)方法。在學生匯報、交流時，教師應引導學生發(fā)現(xiàn)找次品的最優(yōu)策略主要基于以下兩點：一是把待測物品分成3份；二是要分得盡量平均，能夠均分的就平均分成3份，不能均分的，也應該使多的一份與少的一份只相差1。例如：教學目標1.    通過觀察、猜測、試驗、推理等活動，體會解決問題策略的多樣性及運用優(yōu)化的方法解決問題的有效性。2. 感受到數(shù)學在日常生活中的廣泛應用，嘗試用數(shù)學的方法

37、來解決實際生活中的簡單問題，初步培養(yǎng)學生的應用意識和解決實際問題的能力。教學建議：實際教學時，多給學生一些時間，讓他們充分地操作、試驗、討論、研究，找到解決問題的多種策略。教師引導學生觀察，發(fā)現(xiàn)把待測物品平均分成3份稱的方法最好，在此基礎上，讓學生進行猜測：這種方法在待測物品的數(shù)量更大時是否也成立呢？從而可引發(fā)學生進一步進行歸納、推理等數(shù)學思考活動。這時，教師可引導學生逐步脫離具體的實物操作，轉而采用列表、畫圖等方式進行較為抽象的分析，實現(xiàn)從具體到抽象的過渡。六上數(shù)學廣角“*雞兔同籠問題”由于“雞兔同籠”原題的數(shù)據較大，不便于學生進行探究，所以教材以化繁為簡的思想為指導，先在例1中安排一道數(shù)據

38、較小的“雞兔同籠”問題讓學生探索解決的方法。在分析解答部分，教材首先呈現(xiàn)了學生最“樸素”的想法猜測。分別猜測雞、兔各有多少只，然后驗證腳的只數(shù)是否對應，通過這種不斷地猜測、嘗試最終找到答案，例1的表格可幫助學生按順序尋找答案，雖然也可以解決問題，但當數(shù)據較大時過程頗為繁瑣。因此引導學生思考更具有邏輯性和一般性的解法，教材中主要呈現(xiàn)了最典型的“假設法”和列方程的解法?！凹僭O法”是一種算術方法，但有其獨特的特點，是一個假設計算推理解答的過程。例1中就是通過假設籠子里都是雞，然后通過計算實際與假設情況下總腳數(shù)之差，進而推理出雞、兔的只數(shù)。實際上“假設法”可以有很多巧妙的思路，“閱讀資料”中介紹的“抬

39、腿法”也是其中之一。列方程則是一種代數(shù)解法，通過假設雞或兔任何一個量為x，然后根據只數(shù)與腳數(shù)之間的數(shù)量關系列出方程并求解即可。在日常生活中，“雞兔同籠”問題有很多的變式，教材在“做一做”中安排的日本民間流傳的“龜鶴問題”以及租船、植樹等實際問題均與“雞兔同籠”本質相同。教學目標1. 了解“雞兔同籠”問題，感受古代數(shù)學問題的趣味性。2. 嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”問題（羅列的方法、假設的方法、列方程的方法），并使學生體會代數(shù)方法的一般性。3. 在解決問題的過程中培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。建議1. 注意滲透化繁為簡的思想。教材先編排了例1，通過化繁為簡的思想，幫助學生先探索出解決該類問題的一般

40、方法后，再解決孫子算經中數(shù)據較大的原題。教學時，教師應注意使學生體會這一點。2. 適當把握教學要求。解決“雞兔同籠”問題時，教材展示了學生逐步解決問題的過程，即猜測、列表假設或方程解。其中假設和列方程解是解決該類問題的一般方法?！凹僭O法”有利于培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，列方程解則有助于學生體會代數(shù)方法的一般性。因此在解決“雞兔同籠”問題時，學生選用哪種方法均可，不強求用某一種方法。六下數(shù)學廣角“*抽屜原理：”在數(shù)學問題中有一類與“存在性”有關的問題。例如，任意13人中，至少有兩人的出生月份相同。任意367名學生中，一定存在兩名學生，他們在同一天過生日。在這類問題中，只需要確定某個物體（或某個人）

41、的存在就可以了，并不需要指出是哪個物體（或哪個人），也不需要說明是通過什么方式把這個存在的物體（或人）找出來。這類問題依據的理論，我們稱之為“抽屜原理”。“抽屜原理”的理論本身并不復雜，甚至可以說是顯而易見的。例如，要把三個蘋果放進兩個抽屜，至少有一個抽屜里有兩個蘋果。這樣的道理對于小學生來說，也是很容易理解的。但“抽屜原理”的應用卻是千變萬化的，用它可以解決許多有趣的問題。本單元用直觀的方式，介紹了“抽屜原理”的兩種形式。例1描述的是最簡單的“抽屜原理”：“4支鉛筆放入3個文具盒”，教材呈現(xiàn)了兩種思考方法。第一種方法是用操作的方法進行枚舉。通過直觀地擺鉛筆，發(fā)現(xiàn)把4枝鉛筆分配到3個文具盒中一

42、共只有四種情況（數(shù)的分解），即（4，0，0），（3，1，0），（2，2，0），（2，1，1），每一種結果的三個數(shù)中，至少有一個數(shù)是不小于2的。第二種方法采用的是“反證法”或“假設法”的思路，即假設先在每個文具盒中放1枝鉛筆，3個文具盒里就放了3枝鉛筆。還剩下1枝，放入任意一個文具盒，那么這個文具盒中就有2枝鉛筆了。這種方法比第一種方法更為抽象，更具一般性。在解決了“4枝鉛筆放進3個文具盒”的問題以后，可讓學生思考：把5枝鉛筆放進4個文具盒，結果是否一樣呢？把6枝鉛筆放進5個文具盒呢？把100枝鉛筆放進99個文具盒呢？引導學生得出一般性的結論：只要放的鉛筆數(shù)比文具盒的數(shù)量多1，總有一個文具盒里至

43、少放進2枝鉛筆。接著，可以繼續(xù)提問：如果要放的鉛筆數(shù)比文具盒的數(shù)量多2，多3，多4呢？引導學生發(fā)現(xiàn)：把 m個物體任意分放進n 個空抽屜里（m n， n是非0自然數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進了至少2個物體。例2描述了“抽屜原理”更為一般的形式：“5本書放入2個抽屜”，學生仍然可以采用枚舉的方法，把5分解成兩個數(shù)，有（5，0），（4，1），（3，2）三種情況。在任何一種結果中，總有一個數(shù)不小于3。更具一般性的仍然是假設的方法，即先把5本書“平均分成2份”。利用有余數(shù)除法5÷2=21可以發(fā)現(xiàn)，如果每個抽屜放進2本，還剩1本。把剩下的這1本放進任何一個抽屜，該抽屜里就有3本書了。研究了“把

44、5本書放進2個抽屜”的問題后，進一步提出“如果一共有7本書，9本書，情況會怎樣？”的問題，讓學生利用前面的方法進行類推，得出“7本書放進2個抽屜，總有一個抽屜至少放進4本書，9本書放進2個抽屜，總有一個抽屜至少放進5本書”的結論。在此基礎上，讓學生歸納出：把多于 kn個物體任意分放進 n個空抽屜里（k是正整數(shù)），那么一定有一個抽屜中放進了至少（k+1）個物體。例3是“抽屜原理”的具體應用，也是運用“抽屜原理”進行逆向思維的一個典型例子。教學時，先引導學生思考本例的問題與前面所講的抽屜原理是否有聯(lián)系，有什么樣的聯(lián)系，引導學生把具體問題轉化為“抽屜問題”，找出這里的“抽屜”是什么，“抽屜”有幾個，

45、再應用前面所學的“抽屜原理”進行反向推理。例如，在本例中，根據例1中的結論“只要分的物體個數(shù)比抽屜數(shù)多，就能保證一定有一個抽屜至少有2個球”就能推斷“要保證有一個抽屜至少有2個球，分的物體個數(shù)至少比抽屜數(shù)多1”?，F(xiàn)在，“抽屜數(shù)”就是“顏色數(shù)”，結論就變成了：“要保證摸出兩個同色的球，摸出的球的數(shù)量至少要比顏色種數(shù)多1?！?在教學中，在實際問題和“抽屜問題”之間架起一座橋梁并不是一件容易的事。如果學生在理解時存在比較大的困難時，也可以引導他們這樣思考：球的顏色一共有兩種，如果只取兩個球，會出現(xiàn)三種情況：兩個紅球、一個紅球一個藍球、兩個藍球。如果再取一個球，不管是紅球還是藍球，都能保證三個球中一定

46、有兩個同色的。教學目標1經歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。 2通過“抽屜原理”的靈活應用感受數(shù)學的魅力。教學建議：1應讓學生初步經歷“數(shù)學證明”的過程。在小學階段，雖然并不需要學生對涉及到“抽屜原理”的相關現(xiàn)象給出嚴格的、形式化的證明，但仍可引導學生用直觀的方式對某一具體現(xiàn)象進行“就事論事”式的解釋。可以鼓勵學生借助學具、實物操作或畫草圖的方式進行“說理”。2應有意識地培養(yǎng)學生的“模型”思想。教學時，要引導學生先判斷某個問題是否屬于用“抽屜原理”可以解決的范疇，如果可以，再思考如何尋找隱藏在其背后的“抽屜問題”的一般模型。這個過程實

47、際上是學生經歷將具體問題“數(shù)學化”的過程。 3要適當把握教學要求?！俺閷显怼?的應用廣泛且靈活多變，因此，用“抽屜原理”來解決實際問題時，經常會遇到一些困難。例如，有時要找到實際問題與“抽屜問題”之間的聯(lián)系并不容易，即使找到了，也很難確定用什么作為“抽屜”，要用幾個“抽屜”。因此，教學時，不必過于追求學生“說理”的嚴密性，只要能結合具體問題把大致意思說出來就可以了，更要允許學生借助實物操作等直觀方式進行猜測、驗證。從對數(shù)學廣角內容的梳理中我們可以看出兩點：每一個數(shù)學廣角的內容認知目標相當明確；數(shù)學思想方法的滲透是與解決問題緊密聯(lián)系的。數(shù)學廣角立足數(shù)學思想方法的滲透，應該明確三點：&

48、#160;   數(shù)學思想是我們進行數(shù)學廣角教學的指導思想；    不能只滿足于數(shù)學問題的解決，還要有數(shù)學思想的飛躍和創(chuàng)造；數(shù)學思想不可能像數(shù)學知識那樣一步到位，它需要有一個不斷滲透、循序漸進、由淺入深的過程。三、 “數(shù)學廣角”的教學策略怎樣讓每一位學生能體驗 “數(shù)學思想方法”呢？這是每一位數(shù)學教師在教學“數(shù)學廣角”時都應該思考的問題。這幾年我也上了數(shù)學廣角的公開課，從這些課中能體會到要真正發(fā)揮“數(shù)學廣角”滲透數(shù)學思想方法的作用，我們每一位數(shù)學教師需要做到以下四條策略。策略一：要提升數(shù)學教師自身的數(shù)學素養(yǎng)。有人說，要給學生一杯水，教師必須有一桶水。有人說，要給學生一杯水，教師必須有長流不息的小溪水。做一名有較高數(shù)學素養(yǎng)的教師