2018年高考數(shù)學(xué)命題角度5.6圓錐曲線的探究、存在性問題大題狂練理

1、命題角度5.6:圓錐曲線的探究、存在性問題十=11.1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線不過原點(diǎn)，且與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)(I)求實(shí)數(shù)取值所組成的集合；(n)是否存在定點(diǎn)：使得任意的 ；都有直線的傾斜角互補(bǔ). .若存在，求出所有定 點(diǎn):的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】(I I)(-遍 o)ugQo)ugQ；(|)旳旃或P7_Q.【解析】試題分析： (1 1)聯(lián)立直線與橢圓的方程運(yùn)用二次方程的判別式建立不等式進(jìn)行求解；(2 2)充分利用題設(shè)條件建立方程，借助坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算求解、推理論證：試題解析：解：(I)因?yàn)橹本€逅卩+尬=0不過原臥 所以幗式0,將V2x-y + m = 0與總4牙=1聯(lián)

2、立，消去y得：4x3+ 2芒皿+ + m mz z-4-4 = = 9 9f f因?yàn)橹本€與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)4，所以d = 8m3一16(m3-4) 0,解得一2返m = 64m2k2-16 1 4k2m2-1廣0得：1 4k2_m20/直線OM ,ON的斜率之積等于-丄4ree22y1y2kx-!m kx2m kmx1x2k x1x2m%x2%x2%x2km -8mk廠4k2m2T i亠m21 4k2m2-4k21圓心o到直線&月2的距離為一碼(n)若直線MN的斜率存在,設(shè)直線MN的方程為y二kx m,M Xi,yi,N X2,y2,由x4y2得:=11 4k2x28mkx 4

3、m2-1 =0由韋達(dá)定x1x28mk1 4k2,x/2 =24 m -11 4k2- =-=4 m2-14 m2-142 m2=4k21滿足4k2Xi X2 = , X1X2= 2 - 2mmm又O到直線MN的距離為d-Ji+k2MN I = Ji + k2J（% + x2$ 4X2 =“1 +k2所以O(shè)MN的面積s =iMN I d =1ji6k2+8_8m2=1 $6k2+8_4（4k2+1 ） = 1若直線MN的斜率不存在，M ,N關(guān)于x軸對稱所以O(shè)MN的面積1S =漢2 y12綜上可知，|_OMN的面積為定值1. .（1 1）求點(diǎn) P P 的軌跡C的方程;當(dāng)k為何值時(shí)？ =|GA|2屮

4、GB |2是與m無關(guān)的定值，并求出該值定值X2y2【答案】（1 1）1；（ 2 2）見解析. .43【解析】試題分析：（1 1）由橢圓定義易知軌跡為橢圓，確定a，b即可;（2 2 ）設(shè)A Xi, B X2, y2, G m,0 （- 2：m 2），直線I: y = k x - m，與橢圓聯(lián)立得2 2 2 2 23 4k x -8k mx 4k m -12=0，進(jìn)而通過韋達(dá)定理建立根與系數(shù)的關(guān)系，16k：8一8m設(shè)M捲$ ,N為，-如，則丸X1X1又丁M在橢圓上,2X14八1，X12 2=1X13.3.已知?jiǎng)訄AP經(jīng)過點(diǎn)N 1,0，并且與圓2 2M :X1 y二16相切. .（2 2）設(shè)G m,0

5、為軌跡 C C 內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)G且斜率為k的直線丨交軌跡C于A B兩點(diǎn),X1X228mk4k23,X1X24k2m2-124k23222GB |的值與m無關(guān)，4k -3=0,J3解得k = .此時(shí)=GA |2+2(方法2:當(dāng)2k =0時(shí)，；當(dāng)k = 0時(shí)，設(shè)直線I: X二ky m，；可以減少計(jì)算量. .)4.4.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)F 1,0的距離與它到直線x=2的距離之比為2(1) 求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程；2 2 2 2 2 2 2 2GA | +GB|=(為_m ) + yj +(x2 m ) + y2=(Xj +x2) 2XJX2 2m(論 +x2)+2m +( %

6、+，代入化簡即可求定值. .試題解析：y2-2丫$2(1(1)由題設(shè)得:PM + PN =4，所以點(diǎn)P的軌跡C是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓,2 2：2一4，心2,廠c23橢圓方程為丁1.(2(2)設(shè)A X1,y1,B X2,y2,G m,0 ( -2 : m :2)，直線I : y = k x - m,y = k x -m由x2v2得3 4k x -8k mx 4k m -12 =0,1432 2 28mk4k m -12X1X22，X1X2：4k 34k 3.y1y2=kX1-mkX2-m二宀X2一2吩肌2 23k m -4 y1y2= k疋 一mx2- m = kx-ix2- k mx-ix2k

7、 m-2-，” GA |2彳22222GB | = x -m%X2my?2 2 2二x!X22X1X22m XiX22m g y一2%丫2=k21 -6m24k2324 3 k2224k23:蛍=|GA|2+2GB |=7.=7.2(2) 設(shè)直線y =kx m m = 0與曲線E交于 代B兩點(diǎn)，與x軸、y軸分別交于C, D兩點(diǎn)（且C、D在 A B 之間或同時(shí)在A、B之外）問：是否存在定值k,對于滿足條件的任意 實(shí)數(shù)m，都有OAC的面積與：OBD的面積相等，若存在，求k的值；若不存在，說明理 由.2X2丿y =1；（2）存在,A05D 的面積總相等 oAC=AC=盟）|恒成立 O 線段ABAB的

8、中點(diǎn)與線段 CD 的中點(diǎn)重合,列出方程,即可求 解氐的值.J（ x一1 $ + y2J2x22試題解析：（1 ）設(shè) M（x,y ），則 -=，整理得i + y2=1,x-222x2軌跡E的方程為y2=12f y二kx m222(2 2)聯(lián)立22消去y得1 2k x 4mkx 2m -2=0,lx2+2y2=22222222:二4mk -4 1 2k 2m -2 =8 2k -m 1，由 0得m : 2k 1 *由題意，不妨設(shè)C號,D0,m,OAC的面積與也OBD的面積總相等二AC = BD恒成立二線段AB的中點(diǎn)與線段CD的中點(diǎn)重合都有OAC的面積與OBD的面積相等. 考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線

9、與橢圓的位置關(guān)系.【答案】（1 1）試題分析：（1）由題意設(shè) M（xp）,則，化簡即可得到動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡E E的方程 j2）聯(lián)立y = kx十朋+ + = = 2 2消去卩得】+ 2）* + 4 戚 x+2 初-2 二 0,利用韋達(dá)定理和OACOAC的面積與設(shè)A X1,% ,B X2,y2,則花-4mk22k 1-4mk2k21-，解得k2,k2即存在m = 0，且m八2（據(jù)（* *）的任意實(shí)數(shù)m,k【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了直線與圓錐曲線問題，其中解答中涉及到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直 線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以 及推理與運(yùn)算能力，本題解答中利

10、用直線與橢圓的方程聯(lián)立，利用方程的根與系數(shù)的關(guān)系、 韋達(dá)定理的應(yīng)用是解答關(guān)鍵，試題有一定的難度，屬于中檔試題.22卮5.已知橢圓C:X2y2“(a b 0)的離心率為6，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長a b 3半軸長為半徑的圓與直線2x - .：2y *6=0相切. .(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(n)已知點(diǎn)A, B為動(dòng)直線y=kx-2 k=0與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)，問：在x軸上是否存在定點(diǎn)E, ,使得為定值？若存在,試求出點(diǎn)E的2【答案】(I)x6=1=1；【解(1)由，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的長半軸為半徑與直線2 2y6 =0相切，求出a, b的值，由此可求出橢圓的方程;y = k x -2( (2

11、 2)由 x2y216 2量積，結(jié)合已知條件能求出在x軸上存在點(diǎn)E，使EA為定值，定點(diǎn)為-fl I。13丿試題解析:由“吟普即“軒又以原點(diǎn) 0 為圓心，橢圓c c的長半釉長為半徑的圓為y+尸=/,目圓Af與直線2工一0尸+6=0相切所以a a = =1 &=彳6 ,代入得c c = = 2,2,則b b2 2=a=a2 2-c-c2 2= = 2 2所那圓的方程応+知.2 2 2 2得1 3k x -12k x 12k -6=0，且0 x1設(shè)AX1,y1,B X2,y2,則x二EA EB二為-m, %X2-m,y2二為m x?-m討*,2耳*22，22=為一mX2-mi亠k X1-2X

12、2-2二k 1X1X2-：i.2kmX1X2亠4k m2 212k - 6212k二k 1i-2- 2k mi-24k m1 +3k21 +3k2要使上式為定值，即與k無關(guān)，則應(yīng)3m2-12m 13 m2-6,y = k x -2(n)由 x2y216 212k2X2 *21 3k212k2-6X2 -21 3k根據(jù)題意，假設(shè)x軸上存在定點(diǎn)E m,0，使得怎=EA EB為定值，則有3m2-12m 10 k2m2_61 3k2725即卄3，此時(shí)=EAEm-69為定值，定點(diǎn)為點(diǎn)睛：本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中解答中涉及到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方 程及其簡單的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系

13、的綜合應(yīng)用，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，本題的解答中把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為方 程的根與系數(shù)的關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵。2 26.6.女口圖，已知橢圓丨：篤爲(wèi)=1(a . b 0)經(jīng)過不同的三點(diǎn)a bA躬丘B(yǎng) 13C(C在第三象限)，線段BC的中點(diǎn)在直線OA上.I24丿I24丿(I)求橢圓-的方程及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(H)設(shè)點(diǎn)P是橢圓:上的動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)A, B,C)且直線PB, PC分別交直線OA于M,N兩點(diǎn)，問OM ON是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.；(2 2)25i75【解析】試題分析：(1 1 )點(diǎn)A,BI2 4丿I設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)

14、，根據(jù)條件可得點(diǎn)C的坐標(biāo)代入橢圓方程， BCBC 中點(diǎn)坐標(biāo)代入直線OA的方程,兩方程聯(lián)立可求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2 2)設(shè)Pxo, y0,M 2y1,y1, N 2y2, y2.，根據(jù)P,B,M點(diǎn)共線，用點(diǎn) P P 的坐標(biāo)x0, y0表示，同理用點(diǎn) P P 的坐標(biāo)x0, y0表示y2。再求y1y2為定值,2 2為乞丄=1552 8由已知，求得直線OA的方程為x-2y=0,從而m=2 n-1.(1 1)123-,的坐標(biāo)代入橢圓的方程就可求得方程,4所以O(shè)M ON| = J5 y14525 y2= 5 % y2=16。試題解析：(I)由點(diǎn)A, B在橢圓-上,得4a 16b丄+2=1,a2解得=152所以

15、橢圓-的方程.25b .8J13又點(diǎn)C在橢圓丨上，故2m28n2= 5.（ 2 2）313由（1） （2 2）解得n（舍去）或n .從而m ,(n)設(shè)P x,y,M 2力，,N 2y2,y2.因點(diǎn)P在橢圓-上，故2x28y2=5，即X：4y；2 2從而y2 =3xo2yoX06yo3Xo-2OXoYo12yo【點(diǎn)睛】1.1.求點(diǎn)的坐標(biāo)可由條件得關(guān)于坐標(biāo)的兩個(gè)關(guān)系式，解方程組即可；2.2.因?yàn)镸,N兩點(diǎn),在直線OA上， 設(shè)P Xo,yo,M 2y1,y1, N 2y2,y2.所 以O(shè)M QN =15% 75丫2| =5%2,再由條件找M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo)與點(diǎn)P的坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)P在橢圓上，可求y1

16、y2為定值。442所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為 -21 i.6分I 2 4丿因P,B, M三點(diǎn)共線，故3y14yo因P,C, N三點(diǎn)共線，故3+ 4整理得C112y1Xo2211y2_yo-Xo332y22x2yiy23xo-2yo4 2y。-Xo1X -6y4 2yo-X-11010 分3 5-4y220 xoyo+12y；53- 4xoyo216所以O(shè)M ON| = J5 y1J516 -4xoyo25 y1y21625為定值.162 216 4yoXo-4xyo-116|；2yo -xo1J37.7.已知橢圓C:2 222 =1(a b 0)的左右焦點(diǎn)分別是F(c,0 , F2c,0,直線a b=

17、= MRFMRF2的面積為 6.6.my 與橢圓CM恰為橢圓C的上頂點(diǎn)，此時(shí)時(shí),，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是*i，同理，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是也丿，(1) 求橢圓C的方程；(2) 設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，直線AM , AN與直線x = 4分別相交于點(diǎn)P,Q，問當(dāng)m變化 時(shí)，以線段PQ為直徑的圓被X軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個(gè)定值，若不是，說 明理由 2 2【答案】(1 1)=1=1 ；(2 2)弦長為定值 6 6.43J3【解析】試題分析：(1 1)根據(jù)m二時(shí)，直線的傾斜角為120，又.MF1F2的周長為 6 6,3即可求得橢圓方程；(2 2)利用特殊位置猜想結(jié)論：當(dāng)m二0時(shí)，直線丨的方程為：x1，求得以

18、PQ為直徑的圓過右焦點(diǎn)，被X軸截得的弦長為 6 6，猜測當(dāng)m變化時(shí)，以PQ為直徑的 圓恒過焦點(diǎn)F2，被X軸截得的弦長為定值 6 6,再進(jìn)行證明即可. .試題解析：(1 1 )當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為120，所以:證明如下：設(shè)點(diǎn)M,N點(diǎn)的坐標(biāo)分別是x1,y1, x2,y2，則直線AM的方程是:解得:a =2,c =1= b = . 3，所以橢圓方程是：4(2(2)當(dāng)m =0時(shí)，直線l:13，此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)是I,據(jù)可得f-一 ，L：，故以PQ為直徑的圓過右焦點(diǎn),x軸截得的弦長為 6 6.由此猜測當(dāng)m變化時(shí)，以PQ為直徑的圓恒過焦點(diǎn)F2,被x軸截得的弦長為定值 6 6.=cos601，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是*i

19、，同理，點(diǎn)Q的坐標(biāo)是也丿，二“2JL-T、+ 匚M I由方程組43、，,“=呵.+1得到：3(砂*1) +4y二12n帥 +4)y + 6my-9-0,-伽-9yr+眄二一；二一； 所以：.從而:36y2F2P F2Q = 4 -1 4 -1X!2 X2236y29x36+ r(+ ) + 99 +_ _W W_ _1 1 + + 27w27w- -3636=0,=0,所以：以為直徑的圓一定過右焦點(diǎn)，被；軸截得的弦長為定值 6.6.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程方程、圓錐曲線的定值問題，屬于 難題 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定

20、值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值. .8.8.已知M4,0,N 1,0，曲線C上的任意一點(diǎn)P滿足:=6=6PN. .(1(1)求點(diǎn) P P 的軌跡方程;(2)過點(diǎn)N 1,0的直線與曲線C交于A,B兩點(diǎn)，交y軸于H點(diǎn)，設(shè)HA=AN,HB二2BN，試問 2是否為定值？如果是定值，請求出這個(gè)定值，如果不是定值，請說明理由 228【答案】(1 1)-y1; ; (2 2)-8433【解析】試題分析：(I)求出向量的坐標(biāo)，禾U用條件化簡，即可求點(diǎn)P的軌跡方程;(n)分類討論，利用HA二AN,HB =2BN，結(jié)合韋達(dá)定理,即可得出結(jié)論.試題解析：(1

21、1 )設(shè)P x,y，則MN二-3,0,MP = x-4,y,PN二1-x,-y,t22TMNMP =6 PN，二_3疋(x _4 )+0工y = 6Q(x_1 ) + y,22x v化簡得，1為所求點(diǎn)P的軌跡方程 43(2)設(shè)A Xi,yi,B X2,y2. .當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí)，設(shè)直線l的方程為x = my 1 m = 0,iyiiyi,m豁=i -imyi同理由HB =t2BN得一2=imy2 (A, f 2+丄+丄|=2+丄myimy?丿mx二my i2 2由x2y2，得4 3m y 6my -9 =0. .i43忌二1 _,由HAAN得 yiy2二6m2，4 3myi 72-94

22、3m2代入式得-心亠；2= 2亠i y*1y?= 2亠2 = 8,myiy233當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，A -2,0,T T T T由HA二iAN,HB二2BN，得iB 2,0,H 0,0. .綜上， -，；“2為定值8. .點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的 同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù), 到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn). .“定值”是多少,. .定點(diǎn)、 定值問題 運(yùn)用推理，2 29.9.已知橢圓C: 務(wù)，占胡(a b -i)的左焦點(diǎn)F與拋物線y2二-4

23、x的焦點(diǎn)重合，直a b線x-y0與以原點(diǎn)O為圓心，以橢圓的離心率e為半徑的圓相切.2(I)求該橢圓C的方程；(H)過點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為G,AB的垂直平分線與x軸和y軸分別交于D,E兩點(diǎn)記心GFD的面積為S,也OED的面積為S2.問：是否存在直線AB，使得，若存在，求直線AB的方程，若不存在，說明理由.U2. .yy2 2【答案】(i)y y1；(n)見解析.43 II)假設(shè)存在直線冋使得 31=52,由題意直線 AB 不能與引y軸垂直設(shè)直線肪的方程=代入手+弓 i 整理得(4 疋+3/+沁+4 疋12=0,由此利用韋達(dá)定理、直線垂直*三甬形相似等知識(shí)，結(jié)合已知條件能

24、求出結(jié)果.試題解析:(i)由題意，得c =1,e =02 a =2 , b=12 2所求橢圓C的方程為y y1.43(H)假設(shè)存在直線AB使S| = S2，顯然直線AB不能與X,y軸垂直.直線AB的斜率存在，設(shè)其方程為y =kx，1(k = 0),將其代入42 2X y22221整理得4k 3 x 8k x 4k -12=0,設(shè)A Xi,yi，B X2,y2,X1X2=4k8k236kyiy2二k Xi1 k X21 =2 .3，4k 3-4k23k24k +324k 33k/ DG _ AB-4k2解得XD二-k24k234k2，即3XD-k2.4k2+3,0丿【解析】試題分析：(I )由已

25、知得1,夕0-0+2 2-7 由此得橢 SI 方程;10.10.已知橢圓篤占=1(a b 0),設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且.RPF2=60：,a b3SPRF2(1)求b;(n)若a=2,A(0,b)，是否存在以A為直角頂點(diǎn)的內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形？若存在，請求出共有幾個(gè)？若不存在，請說明理由【答案】(I I)b=1；(1111)存在3個(gè)，理由見解析.【解析】試題分析：(I)根據(jù)橢圓定義及性質(zhì)知m n-2a,a b2c2,在焦點(diǎn)三角形PF1F2中,由余弦定理得：(2c)2= m2n2- 2mncos R PF2= (m n)2- 3mn = (2 a)2- 3mn，得:421732mnb,再有匚磯偵盲b,得:AB, AC中一個(gè)斜率為零，一個(gè)斜率不存在顯然不符合題意,GFDGGFDG(DGOEOD? =OEOD-V1OD)T.iGFD .LOED,即SS2ODOD