基于積分的儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定模型

1、 . . . 2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書(shū)我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開(kāi)始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括、電子、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開(kāi)的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫(xiě)）： A 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)

2、設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）：所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚?xiě)完整的全名）：參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3.指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 指導(dǎo)組 日期：2010-9-12 賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：28 / 30用積分法研究?jī)?chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定模型摘要本文主要處理儲(chǔ)油罐變位識(shí)別問(wèn)題，用積分的方法建立了多種情況下與罐容表有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，

3、并分析油罐縱向傾斜和橫向傾斜時(shí)對(duì)罐容表的影響，綜合計(jì)算出罐油位高度和儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)變化情況，給出了一個(gè)可行的罐容量標(biāo)定表。 針對(duì)問(wèn)題一：由于小橢圓型儲(chǔ)油罐在沒(méi)有變位時(shí)，根據(jù)儲(chǔ)油罐液體的高度可以用積分法求出液體的體積，即罐儲(chǔ)油量，從而求出了儲(chǔ)油罐液體在一定的的深度時(shí)與之相對(duì)應(yīng)的體積。同時(shí)用附件一所給的未變位時(shí)的油位高度與罐儲(chǔ)油量去檢驗(yàn)，得到相對(duì)誤差為。我們還根據(jù)題目中所給的無(wú)變位進(jìn)油時(shí)的數(shù)據(jù)擬合出油位高度與罐儲(chǔ)油量的關(guān)系式。同時(shí)用無(wú)變位出油的數(shù)據(jù)去檢驗(yàn)，得到相對(duì)誤差為，比前一種方法更貼近實(shí)際。當(dāng)儲(chǔ)油罐以縱向傾斜角度a變位時(shí)，我們分七種情況討論了儲(chǔ)油罐液體的體積v與油位高度的關(guān)系，并用積分法求出了它

4、們的函數(shù)關(guān)系，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。并運(yùn)用題中所給的數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行了檢驗(yàn)，驗(yàn)證了罐容表標(biāo)定值的可行性。針對(duì)問(wèn)題二：我們分了三種情況從易到難討論儲(chǔ)油罐可往縱向傾斜角度為a和橫向偏轉(zhuǎn)角度為b時(shí)變位對(duì)罐容表的影響。當(dāng)只考慮儲(chǔ)油罐橫向偏轉(zhuǎn)時(shí)，可以根據(jù)幾何知識(shí)算出偏轉(zhuǎn)前與偏轉(zhuǎn)后油位高度的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)只考慮儲(chǔ)油罐縱向偏轉(zhuǎn)時(shí)，我們討論了七種情況并用積分法分別求出了罐儲(chǔ)油量與油位高度和縱向傾斜角度a的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)縱向和橫向同時(shí)偏轉(zhuǎn)時(shí)，我們假設(shè)儲(chǔ)油罐先發(fā)生縱向偏轉(zhuǎn)，然后發(fā)生橫向偏轉(zhuǎn)，并用了不同的兩種積分方法分別求的罐儲(chǔ)油量與油位高度與變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b）的關(guān)

5、系式。最后根據(jù)附件2中的數(shù)據(jù)運(yùn)用多項(xiàng)式擬合罐儲(chǔ)油量與油位高度，a，b的關(guān)系式，比較兩個(gè)式子，可近似求出,。從而可以求出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值,同樣運(yùn)用數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn).最后，論文對(duì)問(wèn)題一和問(wèn)題立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了誤差分析和檢驗(yàn)，并對(duì)該模型的全面性，可行性，實(shí)用性進(jìn)行了評(píng)價(jià)，為了減小模型的誤差，我們定義了修正因子，并算出了修正后的油罐體液體的體積。由于實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性，我們只對(duì)臥式儲(chǔ)油罐進(jìn)行了較深的研究，對(duì)于如何解決其它類型儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定有待進(jìn)一步的研究。關(guān)鍵詞： 變位識(shí)別 罐容表 積分法 多項(xiàng)式擬合 修正因子1 問(wèn)題的重述加油站一般都配有采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)

6、測(cè)量進(jìn)/出油量與罐油位高度等數(shù)據(jù)的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”。它通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算得到罐油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。由于地基變形等原因會(huì)使使用一段時(shí)間后的儲(chǔ)油罐的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變位從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。需要我們用數(shù)學(xué)建模方法研究并解決與儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別，罐容表標(biāo)定有關(guān)的兩個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題一：為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用如圖所示的小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為a=4.1度的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在附件中。要我們建立數(shù)學(xué)模型研究罐體變位后對(duì)罐容

7、表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。問(wèn)題二：對(duì)于實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐儲(chǔ)油量與油位高度與變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b）之間的一般關(guān)系。再利用罐體變位后在進(jìn)/出油過(guò)程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)，根據(jù)我們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)我們模型的正確性與方法的可靠性。2 問(wèn)題的分析儲(chǔ)油罐罐油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況是通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）來(lái)計(jì)算的，從而要求標(biāo)定的罐容表具有很高的精確度和很好的穩(wěn)定性。但由于地基變形等

8、原因會(huì)使使用一段時(shí)間后的儲(chǔ)油罐的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變位從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。需要我們解決的問(wèn)題就是儲(chǔ)油罐的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變位時(shí)求出罐油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于題中給出關(guān)于儲(chǔ)油罐的多個(gè)示意圖和罐體無(wú)變位與變位時(shí)進(jìn)出油與高度的關(guān)系，我們既可以根據(jù)圖形的幾何關(guān)系寫(xiě)出它們之間的函數(shù)關(guān)系式并用積分法化簡(jiǎn)求解，也可以用數(shù)據(jù)擬合它們的函數(shù)關(guān)系式。2.1問(wèn)題一的分析：由于問(wèn)題一是要求罐體無(wú)變位和傾斜角為a=4.1度的縱向變位時(shí)罐油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于無(wú)變位時(shí)，我們根據(jù)圖形的幾何關(guān)系寫(xiě)出它們之間的函數(shù)關(guān)系式并用積分法化簡(jiǎn),再用Matla

9、b軟件進(jìn)行求解，同時(shí)用題中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。我們還運(yùn)用題中給的無(wú)變位時(shí)進(jìn)油和罐體儲(chǔ)油量這組數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，得到罐油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系式以與它們的圖像，并用出油量和罐體儲(chǔ)油量的數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)，使誤差更加小，更切合實(shí)際。對(duì)于傾斜角為a=4.1度的縱向變位時(shí)，在油品注入整個(gè)儲(chǔ)油罐的過(guò)程中，隨著油位高度的不斷升高，會(huì)出現(xiàn)七種臨界狀態(tài)。我們先用積分法化簡(jiǎn)再用matlab軟件求出它們的臨界值，然后根據(jù)它們的臨界值分階段確定出罐油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系式。從而得出了罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。2.2問(wèn)題二的分析：由于罐體在受到地基變形等不同因素的影響，罐體會(huì)發(fā)生不同方向的變位，特

10、別是縱向偏轉(zhuǎn)和橫向偏轉(zhuǎn)會(huì)使罐儲(chǔ)油量與油位高度發(fā)生改變。我們分別討論了縱向傾斜角度和橫向偏轉(zhuǎn)角度變位罐儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系，并進(jìn)一步討論了罐體同時(shí)偏轉(zhuǎn)時(shí)的情況。當(dāng)罐體只有橫向偏轉(zhuǎn)時(shí)的理想狀態(tài)下，我們根據(jù)體積與面積的積分關(guān)系建立了積分法，同時(shí)求出了罐體液體體積與液面高度和橫向偏轉(zhuǎn)角度b的函數(shù)關(guān)系。當(dāng)罐體只有只縱向偏轉(zhuǎn)時(shí)的理想狀態(tài)下，我們同樣分為七種情況分別討論罐體液體體積與液面高度和縱向傾斜角度a的函數(shù)關(guān)系，并用積分法進(jìn)行化簡(jiǎn)求解。最后，我們討論縱向和橫向同時(shí)偏轉(zhuǎn)的情況，在假設(shè)罐體先縱向偏轉(zhuǎn)，再橫向偏轉(zhuǎn)的情況下，我們運(yùn)用兩種不同的方法分別求出了罐儲(chǔ)油量與油位高度，縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度的關(guān)

11、系式。并用多項(xiàng)式擬合算出近似的和的值，最后根據(jù)以上的關(guān)系式用積分法求出了罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。4 模型的假設(shè)與其符號(hào)的說(shuō)明4.1模型的假設(shè) 假設(shè)儲(chǔ)油罐壁的厚度可以忽略不計(jì)； 假設(shè)變位后，往儲(chǔ)油罐注油的初始值為零； 假設(shè)罐中的油受到溫度熱脹冷縮的影響忽略不計(jì)； 假設(shè)不會(huì)因地基變形等影響使罐體的形狀發(fā)生變化； 假設(shè)探針在油罐中所占的體積可以忽略不計(jì)； 假設(shè)題中所給的數(shù)據(jù)真實(shí)可靠。4.2符號(hào)的說(shuō)明儲(chǔ)油罐中油的體積，單位儲(chǔ)油罐中在橢圓柱體部分的油的體積，單位儲(chǔ)油罐中變位側(cè)（左側(cè)）球冠體部分油的體積，單位儲(chǔ)油罐中右側(cè)球冠體部分的油的體積，單位儲(chǔ)油罐橢圓截面長(zhǎng)軸半徑，單位儲(chǔ)油罐橢

12、圓截面短軸半徑，單位儲(chǔ)油罐中油位探針測(cè)得的液體的深度，單位儲(chǔ)油罐變位時(shí)與水平線的傾角，單位儲(chǔ)油罐中油位探針與地平線垂直線的傾角，單位儲(chǔ)油罐中球冠體半徑，單位儲(chǔ)油罐中橫截面圓的半徑，單位儲(chǔ)油罐中左側(cè)面被油覆蓋的深度，單位儲(chǔ)油罐底面的長(zhǎng)度（圓柱體的長(zhǎng)度），單位儲(chǔ)油罐中右側(cè)面被油覆蓋的深度，單位儲(chǔ)油罐橫截面的面積，單位 誤差修正因子5問(wèn)題一模型建立與求解5.1罐體無(wú)變位時(shí)與罐容表有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的建立與求解5.1.1方法一 ：幾何方法(0,2b)(a,b)(-a,b)y=h（0，0）圖1罐體的橫截面橢圓的坐標(biāo)系 在罐體無(wú)變位時(shí)，儲(chǔ)油罐水平放置，儲(chǔ)油罐油品的體積與油品液面高度存在函數(shù)關(guān)系。某一液面高度下

13、，罐油品體積根據(jù)積分的概念，體積元素為罐體在某一高度液面的截面面積罐體的橫截面為橢圓（如圖1所示），以(0,b)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系可得橢圓的方程式為從而可得到由表示的的方程式由體積對(duì)進(jìn)行積分可得化簡(jiǎn)整理可得代入數(shù)據(jù),可得運(yùn)用matlab軟件編程可得到所求解的理論上的儲(chǔ)油量與罐油位高度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為了檢驗(yàn)它的準(zhǔn)確性，我們通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)擬合出來(lái)它們的另一條關(guān)系曲線。如圖2所示 圖2用幾何算法得到油的容量與高度的關(guān)系圖和實(shí)際數(shù)據(jù)關(guān)系圖從圖像上看這兩條曲線非常趨近，同樣用matlab編程可得到它們的平均相對(duì)誤差，為。5.1.2方法二：數(shù)據(jù)擬合法根據(jù)題目給出的進(jìn)油時(shí)罐體油的體積和油位高度兩組數(shù)據(jù)可以

14、用Excel軟件擬合出它們的一次函數(shù)關(guān)系式并作出圖像。關(guān)系式為 圖3擬合得到的油的容量與高度的關(guān)系圖然后用出油時(shí)罐體油的體積與油位高度的數(shù)據(jù)去檢驗(yàn)它的準(zhǔn)確性。可以看出，=0.9967，契合度比較好。同樣用matlab可以得到它的平均相對(duì)誤差為，比用幾何關(guān)系得到的模型誤差更小，而且易于實(shí)際操作。5.2罐體縱向變位傾斜角時(shí)與罐容表有關(guān)的數(shù)學(xué)模型的建立與求解。在油品注入整個(gè)儲(chǔ)油罐的過(guò)程中，隨著油位高度的不斷升高，會(huì)出現(xiàn)七種臨界狀態(tài)，因此可以得到七種臨界情況下油品的體積與高度的值。5.2.1第一種情況下罐油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖4第一種情況下油罐中油品的體積由于罐體變位傾斜，探針和罐體的壁的距離，

15、罐體里的油的體積從0開(kāi)始增大，如圖4示，當(dāng)油平面達(dá)到時(shí)，在此過(guò)程中，油的深度沒(méi)達(dá)到探針到罐體地面的位置，所以，。 則罐體油的體積為.我們建立了積分模型求體積，首先可求得橫截面橢圓的面積.（0，-b）-(0,b)(-a,b)(a,b )圖5變位時(shí)橢圓截面的直角坐標(biāo)系 可得到從而可求得化簡(jiǎn)整理可得對(duì)其求定積分可得到這時(shí)油品的體積當(dāng)時(shí)，代入數(shù)據(jù)并用matlab軟件編程可得升。這說(shuō)明，在探油針測(cè)得的液體高度為0時(shí)，油罐的液體最大體積可為1.7升。5.2.2第二種情況下罐油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖6第二種情況油罐中油品的體積在第一種情況后接著往油罐注油時(shí)，慢慢地會(huì)出現(xiàn)油品液面與地面所成的角度剛好為，在

16、這段過(guò)程中，油位高度的圍為。在臨界狀態(tài)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，罐體左邊的橫截面為同樣是小半橢圓，橢圓的面積的求法和第一種情況一樣，并且得到的截面積公式都時(shí)一樣的。從而可求得 代入數(shù)據(jù)并用matlab軟件編程同樣可得。這說(shuō)明在油罐，未變位的一側(cè)（即所在地面未下陷的一側(cè)）的罐壁未接觸到液體之前，儲(chǔ)油罐的液體最大體積為151.2升。5.2.3第三種情況下罐油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖7第三種況下油罐中油品的體積 繼續(xù)往油罐注油，會(huì)出現(xiàn)罐體液面高度剛好與左邊的截面橢圓的半軸相等的狀態(tài)，即最左端截面為半橢圓，在這段過(guò)程中，油位高度的變化圍為。對(duì)于臨界狀態(tài)當(dāng) 時(shí)我們可以求得與其相對(duì)應(yīng)的罐體中油品的體積。首先可用相似比

17、例關(guān)系求得與的關(guān)系式然后再由體積對(duì)截面積進(jìn)行積分可得：代入數(shù)據(jù)并用matlab軟件編程同樣可得升5.2.4第四種情況下罐油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖8第四種情況下油罐中油品的體積當(dāng)油位高度剛好等于時(shí)，這時(shí)左邊的液面（即變位的一側(cè)）高度大于時(shí)，此時(shí)左邊的接觸液體橫截面為該罐壁的大半，右邊的為小半橢圓時(shí)， 由相似三角形的比例關(guān)系可得由橢圓的對(duì)稱性可得大半橢圓的截面積可以用整個(gè)橢圓的面積減去與它對(duì)稱的小半橢圓的面積即 其中則此時(shí)的油的體積為：則代入公式就可以求出結(jié)果為1797.2升。5.2.5 第五種情況罐油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖9第五種情況下油罐中油品的體積當(dāng)罐體左邊橫截面都為大半橢圓，右邊剛

18、好為半橢圓時(shí)此時(shí)m ，時(shí)，罐體油的體積為由matlab軟件可求得。5.2.6 第六種情況罐油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖10第六種情況下油罐中油品的體積當(dāng)罐體左邊的橫截面為一個(gè)橢圓時(shí)即時(shí)，得到的結(jié)果為升。這說(shuō)明在變位的一側(cè)其罐壁在全部被液體接觸的瞬間，罐的最大油量為3956.7升。5.2.7第七種情況罐油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖11第七種情況下油罐中油品的體積當(dāng)注入罐體中油的深度大于探針在罐體的探針的長(zhǎng)度時(shí)，探針不會(huì)再隨著體積的增大而增大了，而是體積增大時(shí)探針的深度不變，即時(shí)。儲(chǔ)油罐中油品的體積就要等于整個(gè)圓柱的體積減去DEF的體積，而DEF的體積又與第一種情況很相似。則此時(shí)罐液體的體積為：

19、得到的結(jié)果為升。此時(shí)，罐液體的深度已經(jīng)達(dá)到了最大值，為1.2m，。但在未變位的一側(cè)還留有一些空隙。與第一種情況當(dāng)h=0時(shí)有對(duì)稱性。最后總結(jié)整個(gè)過(guò)程中罐體油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系(1) 當(dāng)時(shí),那么 對(duì)應(yīng)積分模型為：(2)當(dāng),對(duì)應(yīng)積分模型為：(3)當(dāng),對(duì)應(yīng)積分模型為：(4)當(dāng),對(duì)應(yīng)積分模型為：其中(5)當(dāng)時(shí),(6)當(dāng)（7）當(dāng)時(shí), 根據(jù)上面的模型和公式，可以用MATLAB編程綜合各個(gè)模型畫(huà)出罐體油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖（本圖只考慮了三種主要模型，全局圖可模仿此法計(jì)算得到）。圖12油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖5.3罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值(1)當(dāng)時(shí)，體積的標(biāo)定值為1.7L.（

20、2）當(dāng)m時(shí)體積的標(biāo)定值為1797.2L.(3)當(dāng)m時(shí)體積的標(biāo)定值為3959.5L.(4)其它可用上面的模型或結(jié)合matlab軟件求解，程序見(jiàn)附錄，下面是多種情況綜合得到的結(jié)果.（只選取結(jié)果的一部分，為h在0,730圍與V的對(duì)應(yīng)關(guān)系）。表一：當(dāng)小橢圓油罐變位4.1度時(shí)的容量表油罐油的深度/cm油罐油的容量/油罐油的深度/cm油罐油的容量/00.0017370.8510.0019380.888220.0028390.926830.0046400.965740.0077411.00550.0121421.044660.0181431.084670.0258441.124880.0353451.165

21、490.0467461.2062100.0601471.2472110.0756481.2886120.0934491.3301130.1135501.3719140.137511.4139150.1579521.456160.1803531.4983170.2041541.5408180.229551.5835190.2549561.6263200.2819571.6692210.3098581.7112220.3386591.751230.3682601.796240.3986611.839250.4297621.8822260.4615631.9255270.494641.969280.

22、5272652.0125290.561662.0562300.5953672.0998310.6302682.1435320.6656692.1872330.7016702.2308340.738712.27435.4問(wèn)題二模型的建立與求解5.4.1 儲(chǔ)油罐只有橫向偏轉(zhuǎn)時(shí)模型的建立與求解：當(dāng)罐體沒(méi)有橫向變位時(shí)，儲(chǔ)油罐可以看做臥式圓筒形容器，則儲(chǔ)油罐可以分成兩部分，即圓筒部分體積和封頭曲面部分體積，則儲(chǔ)油罐油的體積為 由圓筒油的體積與油的深度的函數(shù)關(guān)系，可建立積分模型。 液體淹沒(méi)圓筒橫截面高度為的微面積為：而 這部分液體的微體積為： 則代入字母化簡(jiǎn)得：封頭曲面液體體積與液面高度的函數(shù)關(guān)系為： 則

23、聯(lián)立方程可得出： 將帶入上面的積分式有：又由于： 則：橫向偏轉(zhuǎn)時(shí)：圖14 油罐體橫向傾斜時(shí)截面5.4.2當(dāng)罐體縱向變位時(shí)，可以考慮七種情況，分別對(duì)這七種建立模型與求解：(1) 第一種情況：罐體中的液面沒(méi)達(dá)到探針的位置，則油的體積可以分為兩部分，即罐體可以分兩部分為：在圓柱的液體的體積和在左球冠體。圓的方程與液面建立方程：則根據(jù)積分定理，可得；用積分公式解得： 則再對(duì)面積積分，可得圓柱為液體的體積，則左球冠體液體的體積可用上面求的式子算 其中（）則(2) 第二種情況，左邊的液體達(dá)到封頭曲面，而右邊沒(méi)有達(dá)到。則 圓柱為液體的體積： 則左球冠體液體的體積： 其中(3) 第三種情況，左右兩邊的液體達(dá)到

24、封頭曲面，而且兩邊都是小半圓時(shí)， 則圓柱為液體的體積： 其中 這時(shí)左邊封頭曲面的油的體積為： 其中右邊封頭曲面的油的體積為： 其中則罐體油的總體積為: (4) 第四種情況，左右兩邊的液體達(dá)到封頭曲面，且左邊達(dá)到大半圓，右邊為小半圓時(shí)：圓柱體的油的體積為：其中 這時(shí)左邊封頭曲面的油的體積為： 其中右邊封頭曲面的油的體積為： 其中則罐體油的總體積為: (5) 第五種情況，左右兩邊的液體達(dá)到封頭曲面，且兩邊都達(dá)到大半圓時(shí)：圓柱體的油的體積為：這時(shí)左邊封頭曲面的油的體積為： 其中而右邊封頭曲面的油的體積為： 其中則罐體油的總體積為: (6)第六種情況為左邊的封頭曲面被油覆蓋滿時(shí)：這時(shí)圓柱體的油的體積為

25、：左邊封頭曲面的油的體積為： 其中而右邊封頭曲面的油的體積為： 其中則罐體油的總體積為: (7) 第七種情況為注入罐體的油的體積的深度超過(guò)探針在罐體里的長(zhǎng)度時(shí)：這時(shí)罐體油的體積為：其中 5.5 橫向和縱向的混合偏轉(zhuǎn)時(shí)，模型的建立與求解現(xiàn)在討論罐體的橫向和縱向的混合偏轉(zhuǎn)，假設(shè)罐體偏轉(zhuǎn)時(shí)首先縱向變位，再橫向變位。有上面的討論可知，縱向變位有七種情況，橫向變位有一種情況。則針對(duì)罐體的混合偏轉(zhuǎn)，可討論七種情況。我們選擇其中的一種情況來(lái)求罐儲(chǔ)油量與油位高度與變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b）之間的一般關(guān)系。 方法一： 混合偏轉(zhuǎn)時(shí)，我們先考慮縱向偏轉(zhuǎn)，假設(shè)罐體里的油的體積為第三種情況，即兩邊都是小

26、半圓時(shí)，建立體積與油位高度與變位參數(shù)的積分?jǐn)?shù)學(xué)模型。則圓柱體的油的體積為： 其中 這時(shí)左邊封頭曲面的油的體積為： 其中右邊封頭曲面的油的體積為： 其中則罐體油的總體積為: 然后，討論罐體橫向偏轉(zhuǎn)，在體積不變的情況下，求出在未進(jìn)行橫向偏轉(zhuǎn)時(shí)油的深度與體積的函數(shù)關(guān)系，即 ，再用幾何關(guān)系，求出橫向偏轉(zhuǎn)后探針在油里的長(zhǎng)度與未進(jìn)行橫向偏轉(zhuǎn)時(shí)油的深度的關(guān)系式，即 聯(lián)立，可得體積與橫向偏轉(zhuǎn)后探針在油里的長(zhǎng)度和a和b的函數(shù)關(guān)系式。方法二：假設(shè)混合偏轉(zhuǎn)時(shí)首先發(fā)生縱向變位當(dāng)左右兩邊都是小半橢圓時(shí)由相似三角形的比例關(guān)系可得對(duì)與兩邊的球冠體的體積求解可做適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化，具體的做法時(shí)將液面簡(jiǎn)化為與截面垂直。 然后分別對(duì)它們

27、構(gòu)造左右兩半球都相等的與橢球體。橢球體的標(biāo)準(zhǔn)方程式為 截面積 對(duì)其積分可得到體積為又因?yàn)?由題已知條件可知 ，左邊球冠體積為當(dāng)時(shí) 代入上面的數(shù)據(jù)和公式得同理可得右邊球冠體的體積為接下來(lái)球中間圓柱體的體積，首先求得截面積為對(duì)其積分可得到體積可以根據(jù)下面的公式來(lái)算這個(gè)積分那么整個(gè)的儲(chǔ)油罐油的體積為其中是關(guān)于，的函數(shù)當(dāng)再發(fā)生橫向變位時(shí)將代入上述體積方程，可得到與，的關(guān)系式。并由此編程可近似計(jì)算出，的值。它們是：。下圖是用excel軟件對(duì)附件2中的一些數(shù)據(jù)的處理，表示的是油增量與油罐油的深度凈增量的關(guān)系。也可以用多項(xiàng)式擬合得出該圖像的函數(shù)。 圖15 油罐中油增量與深度增量的關(guān)系我們用附件中的部分?jǐn)?shù)據(jù)，

28、擬合出油罐中油量與油位高度的函數(shù)關(guān)系，即： 根據(jù)此函數(shù)關(guān)系，我們可以近似計(jì)算出在縱向傾斜和橫向傾斜混合狀態(tài)下的罐容表，表單如下：表二 混合傾斜狀態(tài)下的罐容表：（間隔為10cm）油罐油的深度/cm油罐油的容量/油罐油的深度/cm油罐油的容量/9016.429633079.770410019.068834082.409611021.70835085.048812024.347236087.68813026.986437090.327214029.625638092.966415032.264839095.605616034.90440098.244817037.5432410100.8841804

29、0.1824420103.523219042.8216430106.162420045.4608440108.801621048.100450111.440822050.7392460114.08023053.3784470116.719224056.0176480119.358425058.6568490121.997626061.296500124.636827063.9352510127.27628066.5744520129.915229069.2136530132.554430071.8528540135.193631074.492550137.832832077.131256014

30、0.4726 模型的誤差分析和檢驗(yàn) 6.1誤差分析： 由于儲(chǔ)油罐有探油針，輸油管，進(jìn)油管等有礙于模型建立的準(zhǔn)確性的物質(zhì)的存在，所以根據(jù)建立的模型求解，難免與題中所給數(shù)據(jù)有一定誤差。 由于編程軟件的精度限制，以與題中數(shù)據(jù)量的龐大，所以計(jì)算得到的數(shù)值與實(shí)驗(yàn)中所測(cè)量的實(shí)際值有一定偏差。 由于測(cè)量工具的精確性限制，附件中的數(shù)據(jù)也難免有細(xì)微的偏差，與我們建立模型求解的結(jié)果有誤差。 由于儲(chǔ)油罐壁有一定的厚度，而且其壁面也不一定非常光滑沒(méi)有腐蝕，這些都是影響數(shù)據(jù)精確性的原因。因此這些因素造成的誤差在所難免。6.2檢驗(yàn)：6.21儲(chǔ)油罐未變位時(shí)的情況第一問(wèn)首先在儲(chǔ)油罐未變位的情況下建立了一般模型并作圖與原數(shù)據(jù)對(duì)

31、比，并運(yùn)用excel軟件對(duì)所給數(shù)據(jù)進(jìn)行了單相式擬合。我們現(xiàn)在知道，擬合出的函數(shù)消去了一些誤差?，F(xiàn)在我們用這個(gè)模型計(jì)算油罐未變位時(shí)與在附件中未用到的出油數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差?，F(xiàn)在隨機(jī)取出一些未用到的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。分析情況見(jiàn)下表：表三 對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分析累加進(jìn)油/l油位高度/mm剩余容量/l擬合容量/mm差值相對(duì)誤差相對(duì)誤差平方1902.72619.082066.192049.7614416.428560.0079516.32E-051952.72607.212016.192003.8482812.341720.0061213.75E-052002.72595.351966.191957.97388.21

32、620.0041791.75E-052052.72583.481916.191912.060644.129360.0021554.64E-062102.72571.611866.191866.147480.042522.28E-055.19E-102152.72559.721816.191820.156963.966960.0021844.77E-062202.72547.821766.191774.127767.937760.0044942.02E-052252.72535.901716.191728.021211.83120.0068944.75E-052302.72523.951666.

33、191681.798615.60860.0093688.78E-052352.72511.971616.191635.4599619.269960.0119230.0001422402.72499.961566.191589.0052822.815280.0145670.0002122452.72487.901516.191542.357226.16720.0172590.0002982502.72475.801466.191495.554429.36440.0200280.0004012552.72463.651416.191448.558232.36820.0228560.00052226

34、02.72451.431366.191401.2912435.101240.0256930.000662652.72439.151316.191353.792237.60220.0285690.0008162702.72426.801266.191306.022439.83240.0314580.000992752.72414.361216.191257.9044841.714480.0342990.0011762802.72401.841166.191209.4771243.287120.0371180.0013782852.72389.221116.191160.6629644.47296

35、0.0398440.0015882902.72376.491066.191111.4233245.233320.0424250.0018 利用所求的誤差因子，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)誤差的公式：這時(shí)的誤差為2.21%，在可接受圍。所以本問(wèn)的模型可以使用。6.2.2儲(chǔ)油罐變位時(shí)的情況在油罐發(fā)生變位時(shí)，我們以4.1度的變位為例進(jìn)行分析。在上面的模型建立和求解中，我們分別建立了七個(gè)模型來(lái)覆蓋整個(gè)油罐的各種液體的深度和油量的關(guān)系。我們依然利用實(shí)際實(shí)驗(yàn)值和建模型所得數(shù)據(jù)的比較來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠裾_。第一種情況是在變位了的油罐中，油位探針?biāo)玫膆=0。這時(shí)沒(méi)有參考數(shù)據(jù)來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_與否，但這種情況與油罐的油位探針?biāo)玫膆=

36、1.2時(shí)的油參照作用，我們結(jié)合這兩個(gè)模型知道在h=0時(shí)，最大為1.7L，和在h=1.2時(shí)，為3959.5L。我們又知道，這兩種方案是對(duì)稱的，也就是這兩種方案的值之和即為正常情況下油罐的容油量?，F(xiàn)在計(jì)算油罐的正常容油量，。所以相對(duì)誤差為：3.62%，在可接受的誤差圍。我們可以接著用這種方法研究剩余的模型，其誤差大致均在3%左右。這里不再贅述。我們直接看由各個(gè)模型總結(jié)而形成的罐容表。用excel數(shù)據(jù)擬合能力擬合出1cm階梯下的容量表與我們用模型建立的容量表作對(duì)比即可。我們用圖形來(lái)表示他們的區(qū)別和聯(lián)系，更直觀。在第二問(wèn)的球冠型儲(chǔ)油罐中,我們用積分法求出的油罐中液體的體積與液體在油罐的高度以與橫向傾角

37、,縱向傾角的函數(shù)關(guān)系式.我們可以利用附件中給出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分析,來(lái)確定模型是否準(zhǔn)確.該問(wèn)題與上面我們對(duì)橢圓形儲(chǔ)油罐的檢驗(yàn)方法一樣,先用建立的函數(shù)求解出相應(yīng)數(shù)據(jù)并與原數(shù)據(jù)對(duì)比,再用多項(xiàng)式擬合函數(shù)法作出與原數(shù)據(jù)的對(duì)比圖.這種方法可以檢驗(yàn)出所建立函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是否與現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)相符合,也即是是否與附件中的數(shù)據(jù)相吻合.7 模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)方向 7.11模型的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：該模型對(duì)同一個(gè)問(wèn)題運(yùn)用多種方法求解和檢驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)更加可靠，結(jié)果更切合實(shí)際。該模型考慮了整個(gè)油品注入儲(chǔ)油罐的過(guò)程，隨著油位高度的不斷升高，會(huì)出現(xiàn)七種臨界狀態(tài)，然后根據(jù)它們的臨界值分階段確定出罐油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系式，具有很好的完

38、整性和全面性。缺點(diǎn)：盡管該模型只是研究了臥式儲(chǔ)油罐的變位對(duì)罐容表的影響，但仍然具有擴(kuò)展性和實(shí)用性，對(duì)研究其它類型的儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別和罐容表標(biāo)定的研究仍然具有重要的參考價(jià)值和指導(dǎo)意義。7.2 模型的改進(jìn)方向 由于在對(duì)小橢圓形柱油罐未變位時(shí)所建立的模型經(jīng)檢驗(yàn)有3.37%的誤差，為了提高模型的準(zhǔn)確度，我們提出了修正因子（為消除或減少模型誤差，對(duì)未修正測(cè)量結(jié)果所乘的數(shù)值因子）的觀點(diǎn)去修正原來(lái)的模型，使之更適合實(shí)際中的應(yīng)用。因?yàn)槲覀冎勒w上建模所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)有3.37%的誤差，所以現(xiàn)在令，與原來(lái)的模型結(jié)合即可。即是： 這樣就可以有效的減少誤差。這種做法也可以推廣到很多其他的模型，本文中的其他積分模型

39、也同樣適用。又由于本文中建立的模型主要是題目中罐體以縱向和橫向變位從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變，所以，進(jìn)行模型的推廣時(shí)，我們可以考慮可以加入更多的不同因素從各個(gè)方向?qū)τ凸摅w的影響，并相應(yīng)的產(chǎn)生罐容表的改變，可使模型更具有實(shí)用價(jià)值。本文的模型還可以推廣到罐體的封頭曲面為橢球形時(shí)，可以建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，正可適用更多的數(shù)學(xué)模型。當(dāng)小橢圓形柱油罐發(fā)生變位時(shí)，這里我們也可以用以下方法簡(jiǎn)化模型的建立與求解。當(dāng)罐體發(fā)生傾斜角為a=4.1度的縱向變位時(shí)，求橢圓截面面積時(shí)也可以為變量進(jìn)行積分。這樣用積分法求橢圓截面面積時(shí)不用分大半橢圓和小半橢圓，那么求儲(chǔ)油罐中油量的體積時(shí)可分三種情況：就行了。這種方法可能要比分七種

40、情況簡(jiǎn)單。8 參考文獻(xiàn)1 中庚，數(shù)學(xué)建模方法與其應(yīng)用 M， ： 清華大學(xué)， 2007。2 周一倉(cāng)，數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn) M ，：交通大學(xué)，2007。3 田鐵軍，傾斜臥式罐直圓筒部分的容積計(jì)算J ，中國(guó)航空油料東北公司計(jì)量測(cè)定中心，110043 ： 32-36 ，1999。4 龍利， 臥式圓筒形容器液體體積的計(jì)算公式推導(dǎo)過(guò)程 J，冶礦研究總院，100044： 39-40， 2006。5 云 任建平 寧彩林， 差值算法在油罐儲(chǔ)油量測(cè)量中的應(yīng)用J，中北大學(xué)計(jì)算機(jī)與科學(xué)技術(shù)系，030051： 165-166，2006。6 于永峰 友春， 臥式容器球冠形封頭液位與相對(duì)應(yīng)的液體容積計(jì)算 J, 海天設(shè)備制造， 33

41、2209 ：24-26 ，2008。7 宏達(dá) 關(guān)進(jìn)波，用逼近法計(jì)算橫截面為橢圓形（圓形）儲(chǔ)油罐的出油體積 J,油田公司采油六廠， 163255：2931，2001。8 數(shù)學(xué)中國(guó)社區(qū)， ，2010-9-109 全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽， ，2010-9-11 9 附件9.1 當(dāng)小橢圓形油罐變位時(shí)，探油針測(cè)得h=0，油罐液體的容積的最大值的模型代碼：f=inline(1.78*(t-0.6)./0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)-1.4833*(t-0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)+0.534*asin(sqrt(0.36-(t-0.6).2)./0.6)q=q

42、uadl(f,0, 0.0287)；v=q*cot(4.1*pi/180)9.2當(dāng)小橢圓形油罐變位時(shí)，未變位一側(cè)無(wú)液體接觸時(shí)，油罐液體的容量的臨界值模型代碼：f=inline(1.78*(t-0.6)./0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)-1.4833*(t-0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)+0.534*asin(sqrt(0.36-(t-0.6).2)./0.6)q=quadl(f,0, 0.1756);v=q*cot(4.1*pi/180)9.3 當(dāng)小橢圓形油罐變位時(shí)9.3當(dāng)儲(chǔ)油罐兩側(cè)均為半圓時(shí)，油罐油量和深度的關(guān)系模型clearclci=1;for

43、r=0.4244+0.0287:0.01:0.6f=inline(1.78*(t-0.6)./0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)-1.4833*(t-0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)+0.534*asin(sqrt(0.36-(t-0.6).2)./0.6);h(i)=r-0.0287;n=h(i)-0.1469;v(i)=quadl(f,n,r);v(i)=v(i)*13.9507;i=i+1;endhvplot(h,v)9.4當(dāng)儲(chǔ)油罐的探針測(cè)得的h=0.6時(shí)，罐油量和深度的關(guān)系：clearclci=1;for r=0.453:0.01:0.6f=inl

44、ine(2.9667.*(t-0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)-1.4833.*(t-0.6).*sqrt(0.36-(t-0.36).2)+ 0.5340.*asin(sqrt(0.36-(t-0.6).2)./0.6).*13.9507);h(i)=r+0.1469;v(i)=quadl(f,r,0.6);i=i+1;endj=1;i=1;for m=0.453:0.01:0.6 f=inline(1.6776- 2.9667.*(0.6-t).*sqrt(0.36-(0.6-t).2)+1.4883.*(0.6-t).*sqrt(0.36-(0.6-t).2)-0.5

45、34.*asin(sqrt(0.36-(0.6-t).2)./0.6).*13.9507); m=h(i)+0.0287; vv(j)=quadl(f,0.6,m); vs(j)=v(i)+vv(j); j=j+1; i=i+1;end hvsplot(h,vs)9.5 當(dāng)儲(chǔ)油罐變位的一側(cè)m=1.2時(shí)，罐油量和油深度的關(guān)系模型clearclci=1;for r=1.0244:0.01:1.2 f=inline(1.6776-2.9667.*(0.6-t).*sqrt(0.36-(0.6-t).2)+1.4883.*(0.6-t).*sqrt(0.36-(0.6-t).2)-0.534.*asin(sqrt(0.36-(0.6-t).2)./0.6).*13.9507);m=r+0.1756;h(i)=m-0.0287;v(i)=quadl(f,r,m);i=i+1;endh= h(1:3)v=v(1:3)plot(h(1:3),v(1:3)9.6當(dāng)儲(chǔ)油罐測(cè)得的高度為1.2m時(shí)的臨界關(guān)系模型 f=inline(1.78*(t-0.6)./0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)-1.4833*(t-0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)+0.534*a