基于積分的儲油罐的變位識別與罐容表標定模型

1、 . . . 2010高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括、電子、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）： A 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)

2、設置報名號的話）：所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜簠①愱爢T (打印并簽名) ：1. 2. 3.指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 指導組 日期：2010-9-12 賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2010高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：28 / 30用積分法研究儲油罐的變位識別與罐容表標定模型摘要本文主要處理儲油罐變位識別問題，用積分的方法建立了多種情況下與罐容表有關的數(shù)學模型，

3、并分析油罐縱向傾斜和橫向傾斜時對罐容表的影響，綜合計算出罐油位高度和儲油量的對應變化情況，給出了一個可行的罐容量標定表。 針對問題一：由于小橢圓型儲油罐在沒有變位時，根據(jù)儲油罐液體的高度可以用積分法求出液體的體積，即罐儲油量，從而求出了儲油罐液體在一定的的深度時與之相對應的體積。同時用附件一所給的未變位時的油位高度與罐儲油量去檢驗，得到相對誤差為。我們還根據(jù)題目中所給的無變位進油時的數(shù)據(jù)擬合出油位高度與罐儲油量的關系式。同時用無變位出油的數(shù)據(jù)去檢驗，得到相對誤差為，比前一種方法更貼近實際。當儲油罐以縱向傾斜角度a變位時，我們分七種情況討論了儲油罐液體的體積v與油位高度的關系，并用積分法求出了它

4、們的函數(shù)關系，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。并運用題中所給的數(shù)據(jù)對其進行了檢驗，驗證了罐容表標定值的可行性。針對問題二：我們分了三種情況從易到難討論儲油罐可往縱向傾斜角度為a和橫向偏轉角度為b時變位對罐容表的影響。當只考慮儲油罐橫向偏轉時，可以根據(jù)幾何知識算出偏轉前與偏轉后油位高度的函數(shù)關系式。當只考慮儲油罐縱向偏轉時，我們討論了七種情況并用積分法分別求出了罐儲油量與油位高度和縱向傾斜角度a的函數(shù)關系式。當縱向和橫向同時偏轉時，我們假設儲油罐先發(fā)生縱向偏轉，然后發(fā)生橫向偏轉，并用了不同的兩種積分方法分別求的罐儲油量與油位高度與變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉角度b）的關

5、系式。最后根據(jù)附件2中的數(shù)據(jù)運用多項式擬合罐儲油量與油位高度，a，b的關系式，比較兩個式子，可近似求出,。從而可以求出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值,同樣運用數(shù)據(jù)對其進行檢驗.最后，論文對問題一和問題立的數(shù)學模型進行了誤差分析和檢驗，并對該模型的全面性，可行性，實用性進行了評價，為了減小模型的誤差，我們定義了修正因子，并算出了修正后的油罐體液體的體積。由于實際問題的復雜性，我們只對臥式儲油罐進行了較深的研究，對于如何解決其它類型儲油罐的變位識別與罐容表標定有待進一步的研究。關鍵詞： 變位識別 罐容表 積分法 多項式擬合 修正因子1 問題的重述加油站一般都配有采用流量計和油位計來

6、測量進/出油量與罐油位高度等數(shù)據(jù)的“油位計量管理系統(tǒng)”。它通過預先標定的罐容表（即罐油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算得到罐油位高度和儲油量的變化情況。由于地基變形等原因會使使用一段時間后的儲油罐的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉等變位從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。需要我們用數(shù)學建模方法研究并解決與儲油罐的變位識別，罐容表標定有關的兩個問題。問題一：為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖所示的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為a=4.1度的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數(shù)據(jù)在附件中。要我們建立數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容

7、表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。問題二：對于實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，即罐儲油量與油位高度與變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉角度b）之間的一般關系。再利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)，根據(jù)我們所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗我們模型的正確性與方法的可靠性。2 問題的分析儲油罐罐油位高度和儲油量的變化情況是通過預先標定的罐容表（即罐油位高度與儲油量的對應關系）來計算的，從而要求標定的罐容表具有很高的精確度和很好的穩(wěn)定性。但由于地基變形等

8、原因會使使用一段時間后的儲油罐的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉等變位從而導致罐容表發(fā)生改變，需要定期對罐容表進行重新標定。需要我們解決的問題就是儲油罐的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉等變位時求出罐油位高度與儲油量的對應關系。由于題中給出關于儲油罐的多個示意圖和罐體無變位與變位時進出油與高度的關系，我們既可以根據(jù)圖形的幾何關系寫出它們之間的函數(shù)關系式并用積分法化簡求解，也可以用數(shù)據(jù)擬合它們的函數(shù)關系式。2.1問題一的分析：由于問題一是要求罐體無變位和傾斜角為a=4.1度的縱向變位時罐油位高度與儲油量的對應關系。對于無變位時，我們根據(jù)圖形的幾何關系寫出它們之間的函數(shù)關系式并用積分法化簡,再用Matla

9、b軟件進行求解，同時用題中所給的數(shù)據(jù)進行檢驗。我們還運用題中給的無變位時進油和罐體儲油量這組數(shù)據(jù)進行擬合分析，得到罐油位高度與儲油量的對應關系式以與它們的圖像，并用出油量和罐體儲油量的數(shù)據(jù)進行檢驗，使誤差更加小，更切合實際。對于傾斜角為a=4.1度的縱向變位時，在油品注入整個儲油罐的過程中，隨著油位高度的不斷升高，會出現(xiàn)七種臨界狀態(tài)。我們先用積分法化簡再用matlab軟件求出它們的臨界值，然后根據(jù)它們的臨界值分階段確定出罐油位高度與儲油量的對應關系式。從而得出了罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。2.2問題二的分析：由于罐體在受到地基變形等不同因素的影響，罐體會發(fā)生不同方向的變位，特

10、別是縱向偏轉和橫向偏轉會使罐儲油量與油位高度發(fā)生改變。我們分別討論了縱向傾斜角度和橫向偏轉角度變位罐儲油量與油位高度的關系，并進一步討論了罐體同時偏轉時的情況。當罐體只有橫向偏轉時的理想狀態(tài)下，我們根據(jù)體積與面積的積分關系建立了積分法，同時求出了罐體液體體積與液面高度和橫向偏轉角度b的函數(shù)關系。當罐體只有只縱向偏轉時的理想狀態(tài)下，我們同樣分為七種情況分別討論罐體液體體積與液面高度和縱向傾斜角度a的函數(shù)關系，并用積分法進行化簡求解。最后，我們討論縱向和橫向同時偏轉的情況，在假設罐體先縱向偏轉，再橫向偏轉的情況下，我們運用兩種不同的方法分別求出了罐儲油量與油位高度，縱向傾斜角度a和橫向偏轉角度的關

11、系式。并用多項式擬合算出近似的和的值，最后根據(jù)以上的關系式用積分法求出了罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。4 模型的假設與其符號的說明4.1模型的假設 假設儲油罐壁的厚度可以忽略不計； 假設變位后，往儲油罐注油的初始值為零； 假設罐中的油受到溫度熱脹冷縮的影響忽略不計； 假設不會因地基變形等影響使罐體的形狀發(fā)生變化； 假設探針在油罐中所占的體積可以忽略不計； 假設題中所給的數(shù)據(jù)真實可靠。4.2符號的說明儲油罐中油的體積，單位儲油罐中在橢圓柱體部分的油的體積，單位儲油罐中變位側（左側）球冠體部分油的體積，單位儲油罐中右側球冠體部分的油的體積，單位儲油罐橢圓截面長軸半徑，單位儲油罐橢

12、圓截面短軸半徑，單位儲油罐中油位探針測得的液體的深度，單位儲油罐變位時與水平線的傾角，單位儲油罐中油位探針與地平線垂直線的傾角，單位儲油罐中球冠體半徑，單位儲油罐中橫截面圓的半徑，單位儲油罐中左側面被油覆蓋的深度，單位儲油罐底面的長度（圓柱體的長度），單位儲油罐中右側面被油覆蓋的深度，單位儲油罐橫截面的面積，單位 誤差修正因子5問題一模型建立與求解5.1罐體無變位時與罐容表有關的數(shù)學模型的建立與求解5.1.1方法一 ：幾何方法(0,2b)(a,b)(-a,b)y=h（0，0）圖1罐體的橫截面橢圓的坐標系 在罐體無變位時，儲油罐水平放置，儲油罐油品的體積與油品液面高度存在函數(shù)關系。某一液面高度下

13、，罐油品體積根據(jù)積分的概念，體積元素為罐體在某一高度液面的截面面積罐體的橫截面為橢圓（如圖1所示），以(0,b)為坐標原點建立直角坐標系可得橢圓的方程式為從而可得到由表示的的方程式由體積對進行積分可得化簡整理可得代入數(shù)據(jù),可得運用matlab軟件編程可得到所求解的理論上的儲油量與罐油位高度的對應關系，為了檢驗它的準確性，我們通過實際數(shù)據(jù)擬合出來它們的另一條關系曲線。如圖2所示 圖2用幾何算法得到油的容量與高度的關系圖和實際數(shù)據(jù)關系圖從圖像上看這兩條曲線非常趨近，同樣用matlab編程可得到它們的平均相對誤差，為。5.1.2方法二：數(shù)據(jù)擬合法根據(jù)題目給出的進油時罐體油的體積和油位高度兩組數(shù)據(jù)可以

14、用Excel軟件擬合出它們的一次函數(shù)關系式并作出圖像。關系式為 圖3擬合得到的油的容量與高度的關系圖然后用出油時罐體油的體積與油位高度的數(shù)據(jù)去檢驗它的準確性。可以看出，=0.9967，契合度比較好。同樣用matlab可以得到它的平均相對誤差為，比用幾何關系得到的模型誤差更小，而且易于實際操作。5.2罐體縱向變位傾斜角時與罐容表有關的數(shù)學模型的建立與求解。在油品注入整個儲油罐的過程中，隨著油位高度的不斷升高，會出現(xiàn)七種臨界狀態(tài)，因此可以得到七種臨界情況下油品的體積與高度的值。5.2.1第一種情況下罐油位高度與儲油量的對應關系圖4第一種情況下油罐中油品的體積由于罐體變位傾斜，探針和罐體的壁的距離，

15、罐體里的油的體積從0開始增大，如圖4示，當油平面達到時，在此過程中，油的深度沒達到探針到罐體地面的位置，所以，。 則罐體油的體積為.我們建立了積分模型求體積，首先可求得橫截面橢圓的面積.（0，-b）-(0,b)(-a,b)(a,b )圖5變位時橢圓截面的直角坐標系 可得到從而可求得化簡整理可得對其求定積分可得到這時油品的體積當時，代入數(shù)據(jù)并用matlab軟件編程可得升。這說明，在探油針測得的液體高度為0時，油罐的液體最大體積可為1.7升。5.2.2第二種情況下罐油位高度與儲油量的對應關系圖6第二種情況油罐中油品的體積在第一種情況后接著往油罐注油時，慢慢地會出現(xiàn)油品液面與地面所成的角度剛好為，在

16、這段過程中，油位高度的圍為。在臨界狀態(tài)時，即當時，罐體左邊的橫截面為同樣是小半橢圓，橢圓的面積的求法和第一種情況一樣，并且得到的截面積公式都時一樣的。從而可求得 代入數(shù)據(jù)并用matlab軟件編程同樣可得。這說明在油罐，未變位的一側（即所在地面未下陷的一側）的罐壁未接觸到液體之前，儲油罐的液體最大體積為151.2升。5.2.3第三種情況下罐油位高度與儲油量的對應關系圖7第三種況下油罐中油品的體積 繼續(xù)往油罐注油，會出現(xiàn)罐體液面高度剛好與左邊的截面橢圓的半軸相等的狀態(tài)，即最左端截面為半橢圓，在這段過程中，油位高度的變化圍為。對于臨界狀態(tài)當 時我們可以求得與其相對應的罐體中油品的體積。首先可用相似比

17、例關系求得與的關系式然后再由體積對截面積進行積分可得：代入數(shù)據(jù)并用matlab軟件編程同樣可得升5.2.4第四種情況下罐油位高度與儲油量的對應關系圖8第四種情況下油罐中油品的體積當油位高度剛好等于時，這時左邊的液面（即變位的一側）高度大于時，此時左邊的接觸液體橫截面為該罐壁的大半，右邊的為小半橢圓時， 由相似三角形的比例關系可得由橢圓的對稱性可得大半橢圓的截面積可以用整個橢圓的面積減去與它對稱的小半橢圓的面積即 其中則此時的油的體積為：則代入公式就可以求出結果為1797.2升。5.2.5 第五種情況罐油位高度與儲油量的對應關系圖9第五種情況下油罐中油品的體積當罐體左邊橫截面都為大半橢圓，右邊剛

18、好為半橢圓時此時m ，時，罐體油的體積為由matlab軟件可求得。5.2.6 第六種情況罐油位高度與儲油量的對應關系圖10第六種情況下油罐中油品的體積當罐體左邊的橫截面為一個橢圓時即時，得到的結果為升。這說明在變位的一側其罐壁在全部被液體接觸的瞬間，罐的最大油量為3956.7升。5.2.7第七種情況罐油位高度與儲油量的對應關系圖11第七種情況下油罐中油品的體積當注入罐體中油的深度大于探針在罐體的探針的長度時，探針不會再隨著體積的增大而增大了，而是體積增大時探針的深度不變，即時。儲油罐中油品的體積就要等于整個圓柱的體積減去DEF的體積，而DEF的體積又與第一種情況很相似。則此時罐液體的體積為：

19、得到的結果為升。此時，罐液體的深度已經達到了最大值，為1.2m，。但在未變位的一側還留有一些空隙。與第一種情況當h=0時有對稱性。最后總結整個過程中罐體油位高度與儲油量的對應關系(1) 當時,那么 對應積分模型為：(2)當,對應積分模型為：(3)當,對應積分模型為：(4)當,對應積分模型為：其中(5)當時,(6)當（7）當時, 根據(jù)上面的模型和公式，可以用MATLAB編程綜合各個模型畫出罐體油位高度與儲油量的對應關系圖（本圖只考慮了三種主要模型，全局圖可模仿此法計算得到）。圖12油位高度與儲油量的對應關系圖5.3罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值(1)當時，體積的標定值為1.7L.（

20、2）當m時體積的標定值為1797.2L.(3)當m時體積的標定值為3959.5L.(4)其它可用上面的模型或結合matlab軟件求解，程序見附錄，下面是多種情況綜合得到的結果.（只選取結果的一部分，為h在0,730圍與V的對應關系）。表一：當小橢圓油罐變位4.1度時的容量表油罐油的深度/cm油罐油的容量/油罐油的深度/cm油罐油的容量/00.0017370.8510.0019380.888220.0028390.926830.0046400.965740.0077411.00550.0121421.044660.0181431.084670.0258441.124880.0353451.165

21、490.0467461.2062100.0601471.2472110.0756481.2886120.0934491.3301130.1135501.3719140.137511.4139150.1579521.456160.1803531.4983170.2041541.5408180.229551.5835190.2549561.6263200.2819571.6692210.3098581.7112220.3386591.751230.3682601.796240.3986611.839250.4297621.8822260.4615631.9255270.494641.969280.

22、5272652.0125290.561662.0562300.5953672.0998310.6302682.1435320.6656692.1872330.7016702.2308340.738712.27435.4問題二模型的建立與求解5.4.1 儲油罐只有橫向偏轉時模型的建立與求解：當罐體沒有橫向變位時，儲油罐可以看做臥式圓筒形容器，則儲油罐可以分成兩部分，即圓筒部分體積和封頭曲面部分體積，則儲油罐油的體積為 由圓筒油的體積與油的深度的函數(shù)關系，可建立積分模型。 液體淹沒圓筒橫截面高度為的微面積為：而 這部分液體的微體積為： 則代入字母化簡得：封頭曲面液體體積與液面高度的函數(shù)關系為： 則

23、聯(lián)立方程可得出： 將帶入上面的積分式有：又由于： 則：橫向偏轉時：圖14 油罐體橫向傾斜時截面5.4.2當罐體縱向變位時，可以考慮七種情況，分別對這七種建立模型與求解：(1) 第一種情況：罐體中的液面沒達到探針的位置，則油的體積可以分為兩部分，即罐體可以分兩部分為：在圓柱的液體的體積和在左球冠體。圓的方程與液面建立方程：則根據(jù)積分定理，可得；用積分公式解得： 則再對面積積分，可得圓柱為液體的體積，則左球冠體液體的體積可用上面求的式子算 其中（）則(2) 第二種情況，左邊的液體達到封頭曲面，而右邊沒有達到。則 圓柱為液體的體積： 則左球冠體液體的體積： 其中(3) 第三種情況，左右兩邊的液體達到

24、封頭曲面，而且兩邊都是小半圓時， 則圓柱為液體的體積： 其中 這時左邊封頭曲面的油的體積為： 其中右邊封頭曲面的油的體積為： 其中則罐體油的總體積為: (4) 第四種情況，左右兩邊的液體達到封頭曲面，且左邊達到大半圓，右邊為小半圓時：圓柱體的油的體積為：其中 這時左邊封頭曲面的油的體積為： 其中右邊封頭曲面的油的體積為： 其中則罐體油的總體積為: (5) 第五種情況，左右兩邊的液體達到封頭曲面，且兩邊都達到大半圓時：圓柱體的油的體積為：這時左邊封頭曲面的油的體積為： 其中而右邊封頭曲面的油的體積為： 其中則罐體油的總體積為: (6)第六種情況為左邊的封頭曲面被油覆蓋滿時：這時圓柱體的油的體積為

25、：左邊封頭曲面的油的體積為： 其中而右邊封頭曲面的油的體積為： 其中則罐體油的總體積為: (7) 第七種情況為注入罐體的油的體積的深度超過探針在罐體里的長度時：這時罐體油的體積為：其中 5.5 橫向和縱向的混合偏轉時，模型的建立與求解現(xiàn)在討論罐體的橫向和縱向的混合偏轉，假設罐體偏轉時首先縱向變位，再橫向變位。有上面的討論可知，縱向變位有七種情況，橫向變位有一種情況。則針對罐體的混合偏轉，可討論七種情況。我們選擇其中的一種情況來求罐儲油量與油位高度與變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉角度b）之間的一般關系。 方法一： 混合偏轉時，我們先考慮縱向偏轉，假設罐體里的油的體積為第三種情況，即兩邊都是小

26、半圓時，建立體積與油位高度與變位參數(shù)的積分數(shù)學模型。則圓柱體的油的體積為： 其中 這時左邊封頭曲面的油的體積為： 其中右邊封頭曲面的油的體積為： 其中則罐體油的總體積為: 然后，討論罐體橫向偏轉，在體積不變的情況下，求出在未進行橫向偏轉時油的深度與體積的函數(shù)關系，即 ，再用幾何關系，求出橫向偏轉后探針在油里的長度與未進行橫向偏轉時油的深度的關系式，即 聯(lián)立，可得體積與橫向偏轉后探針在油里的長度和a和b的函數(shù)關系式。方法二：假設混合偏轉時首先發(fā)生縱向變位當左右兩邊都是小半橢圓時由相似三角形的比例關系可得對與兩邊的球冠體的體積求解可做適當?shù)暮喕?，具體的做法時將液面簡化為與截面垂直。 然后分別對它們

27、構造左右兩半球都相等的與橢球體。橢球體的標準方程式為 截面積 對其積分可得到體積為又因為 由題已知條件可知 ，左邊球冠體積為當時 代入上面的數(shù)據(jù)和公式得同理可得右邊球冠體的體積為接下來球中間圓柱體的體積，首先求得截面積為對其積分可得到體積可以根據(jù)下面的公式來算這個積分那么整個的儲油罐油的體積為其中是關于，的函數(shù)當再發(fā)生橫向變位時將代入上述體積方程，可得到與，的關系式。并由此編程可近似計算出，的值。它們是：。下圖是用excel軟件對附件2中的一些數(shù)據(jù)的處理，表示的是油增量與油罐油的深度凈增量的關系。也可以用多項式擬合得出該圖像的函數(shù)。 圖15 油罐中油增量與深度增量的關系我們用附件中的部分數(shù)據(jù)，

28、擬合出油罐中油量與油位高度的函數(shù)關系，即： 根據(jù)此函數(shù)關系，我們可以近似計算出在縱向傾斜和橫向傾斜混合狀態(tài)下的罐容表，表單如下：表二 混合傾斜狀態(tài)下的罐容表：（間隔為10cm）油罐油的深度/cm油罐油的容量/油罐油的深度/cm油罐油的容量/9016.429633079.770410019.068834082.409611021.70835085.048812024.347236087.68813026.986437090.327214029.625638092.966415032.264839095.605616034.90440098.244817037.5432410100.8841804

29、0.1824420103.523219042.8216430106.162420045.4608440108.801621048.100450111.440822050.7392460114.08023053.3784470116.719224056.0176480119.358425058.6568490121.997626061.296500124.636827063.9352510127.27628066.5744520129.915229069.2136530132.554430071.8528540135.193631074.492550137.832832077.131256014

30、0.4726 模型的誤差分析和檢驗 6.1誤差分析： 由于儲油罐有探油針，輸油管，進油管等有礙于模型建立的準確性的物質的存在，所以根據(jù)建立的模型求解，難免與題中所給數(shù)據(jù)有一定誤差。 由于編程軟件的精度限制，以與題中數(shù)據(jù)量的龐大，所以計算得到的數(shù)值與實驗中所測量的實際值有一定偏差。 由于測量工具的精確性限制，附件中的數(shù)據(jù)也難免有細微的偏差，與我們建立模型求解的結果有誤差。 由于儲油罐壁有一定的厚度，而且其壁面也不一定非常光滑沒有腐蝕，這些都是影響數(shù)據(jù)精確性的原因。因此這些因素造成的誤差在所難免。6.2檢驗：6.21儲油罐未變位時的情況第一問首先在儲油罐未變位的情況下建立了一般模型并作圖與原數(shù)據(jù)對

31、比，并運用excel軟件對所給數(shù)據(jù)進行了單相式擬合。我們現(xiàn)在知道，擬合出的函數(shù)消去了一些誤差?，F(xiàn)在我們用這個模型計算油罐未變位時與在附件中未用到的出油數(shù)據(jù)的標準差。現(xiàn)在隨機取出一些未用到的數(shù)據(jù)進行分析。分析情況見下表：表三 對數(shù)據(jù)進行誤差分析累加進油/l油位高度/mm剩余容量/l擬合容量/mm差值相對誤差相對誤差平方1902.72619.082066.192049.7614416.428560.0079516.32E-051952.72607.212016.192003.8482812.341720.0061213.75E-052002.72595.351966.191957.97388.21

32、620.0041791.75E-052052.72583.481916.191912.060644.129360.0021554.64E-062102.72571.611866.191866.147480.042522.28E-055.19E-102152.72559.721816.191820.156963.966960.0021844.77E-062202.72547.821766.191774.127767.937760.0044942.02E-052252.72535.901716.191728.021211.83120.0068944.75E-052302.72523.951666.

33、191681.798615.60860.0093688.78E-052352.72511.971616.191635.4599619.269960.0119230.0001422402.72499.961566.191589.0052822.815280.0145670.0002122452.72487.901516.191542.357226.16720.0172590.0002982502.72475.801466.191495.554429.36440.0200280.0004012552.72463.651416.191448.558232.36820.0228560.00052226

34、02.72451.431366.191401.2912435.101240.0256930.000662652.72439.151316.191353.792237.60220.0285690.0008162702.72426.801266.191306.022439.83240.0314580.000992752.72414.361216.191257.9044841.714480.0342990.0011762802.72401.841166.191209.4771243.287120.0371180.0013782852.72389.221116.191160.6629644.47296

35、0.0398440.0015882902.72376.491066.191111.4233245.233320.0424250.0018 利用所求的誤差因子，根據(jù)標準誤差的公式：這時的誤差為2.21%，在可接受圍。所以本問的模型可以使用。6.2.2儲油罐變位時的情況在油罐發(fā)生變位時，我們以4.1度的變位為例進行分析。在上面的模型建立和求解中，我們分別建立了七個模型來覆蓋整個油罐的各種液體的深度和油量的關系。我們依然利用實際實驗值和建模型所得數(shù)據(jù)的比較來檢驗模型是否正確。第一種情況是在變位了的油罐中，油位探針所得的h=0。這時沒有參考數(shù)據(jù)來檢驗模型的正確與否，但這種情況與油罐的油位探針所得的h=

36、1.2時的油參照作用，我們結合這兩個模型知道在h=0時，最大為1.7L，和在h=1.2時，為3959.5L。我們又知道，這兩種方案是對稱的，也就是這兩種方案的值之和即為正常情況下油罐的容油量?，F(xiàn)在計算油罐的正常容油量，。所以相對誤差為：3.62%，在可接受的誤差圍。我們可以接著用這種方法研究剩余的模型，其誤差大致均在3%左右。這里不再贅述。我們直接看由各個模型總結而形成的罐容表。用excel數(shù)據(jù)擬合能力擬合出1cm階梯下的容量表與我們用模型建立的容量表作對比即可。我們用圖形來表示他們的區(qū)別和聯(lián)系，更直觀。在第二問的球冠型儲油罐中,我們用積分法求出的油罐中液體的體積與液體在油罐的高度以與橫向傾角

37、,縱向傾角的函數(shù)關系式.我們可以利用附件中給出的實驗數(shù)據(jù)進行誤差分析,來確定模型是否準確.該問題與上面我們對橢圓形儲油罐的檢驗方法一樣,先用建立的函數(shù)求解出相應數(shù)據(jù)并與原數(shù)據(jù)對比,再用多項式擬合函數(shù)法作出與原數(shù)據(jù)的對比圖.這種方法可以檢驗出所建立函數(shù)的實際應用是否與現(xiàn)實數(shù)據(jù)相符合,也即是是否與附件中的數(shù)據(jù)相吻合.7 模型的評價與改進方向 7.11模型的評價優(yōu)點：該模型對同一個問題運用多種方法求解和檢驗，得到的數(shù)據(jù)更加可靠，結果更切合實際。該模型考慮了整個油品注入儲油罐的過程，隨著油位高度的不斷升高，會出現(xiàn)七種臨界狀態(tài)，然后根據(jù)它們的臨界值分階段確定出罐油位高度與儲油量的對應關系式，具有很好的完

38、整性和全面性。缺點：盡管該模型只是研究了臥式儲油罐的變位對罐容表的影響，但仍然具有擴展性和實用性，對研究其它類型的儲油罐的變位識別和罐容表標定的研究仍然具有重要的參考價值和指導意義。7.2 模型的改進方向 由于在對小橢圓形柱油罐未變位時所建立的模型經檢驗有3.37%的誤差，為了提高模型的準確度，我們提出了修正因子（為消除或減少模型誤差，對未修正測量結果所乘的數(shù)值因子）的觀點去修正原來的模型，使之更適合實際中的應用。因為我們知道整體上建模所得數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)有3.37%的誤差，所以現(xiàn)在令，與原來的模型結合即可。即是： 這樣就可以有效的減少誤差。這種做法也可以推廣到很多其他的模型，本文中的其他積分模型

39、也同樣適用。又由于本文中建立的模型主要是題目中罐體以縱向和橫向變位從而導致罐容表發(fā)生改變，所以，進行模型的推廣時，我們可以考慮可以加入更多的不同因素從各個方向對油罐體的影響，并相應的產生罐容表的改變，可使模型更具有實用價值。本文的模型還可以推廣到罐體的封頭曲面為橢球形時，可以建立相應的數(shù)學模型，正可適用更多的數(shù)學模型。當小橢圓形柱油罐發(fā)生變位時，這里我們也可以用以下方法簡化模型的建立與求解。當罐體發(fā)生傾斜角為a=4.1度的縱向變位時，求橢圓截面面積時也可以為變量進行積分。這樣用積分法求橢圓截面面積時不用分大半橢圓和小半橢圓，那么求儲油罐中油量的體積時可分三種情況：就行了。這種方法可能要比分七種

40、情況簡單。8 參考文獻1 中庚，數(shù)學建模方法與其應用 M， ： 清華大學， 2007。2 周一倉，數(shù)學建模實驗 M ，：交通大學，2007。3 田鐵軍，傾斜臥式罐直圓筒部分的容積計算J ，中國航空油料東北公司計量測定中心，110043 ： 32-36 ，1999。4 龍利， 臥式圓筒形容器液體體積的計算公式推導過程 J，冶礦研究總院，100044： 39-40， 2006。5 云 任建平 寧彩林， 差值算法在油罐儲油量測量中的應用J，中北大學計算機與科學技術系，030051： 165-166，2006。6 于永峰 友春， 臥式容器球冠形封頭液位與相對應的液體容積計算 J, 海天設備制造， 33

41、2209 ：24-26 ，2008。7 宏達 關進波，用逼近法計算橫截面為橢圓形（圓形）儲油罐的出油體積 J,油田公司采油六廠， 163255：2931，2001。8 數(shù)學中國社區(qū)， ，2010-9-109 全國大學生數(shù)學建模競賽， ，2010-9-11 9 附件9.1 當小橢圓形油罐變位時，探油針測得h=0，油罐液體的容積的最大值的模型代碼：f=inline(1.78*(t-0.6)./0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)-1.4833*(t-0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)+0.534*asin(sqrt(0.36-(t-0.6).2)./0.6)q=q

42、uadl(f,0, 0.0287)；v=q*cot(4.1*pi/180)9.2當小橢圓形油罐變位時，未變位一側無液體接觸時，油罐液體的容量的臨界值模型代碼：f=inline(1.78*(t-0.6)./0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)-1.4833*(t-0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)+0.534*asin(sqrt(0.36-(t-0.6).2)./0.6)q=quadl(f,0, 0.1756);v=q*cot(4.1*pi/180)9.3 當小橢圓形油罐變位時9.3當儲油罐兩側均為半圓時，油罐油量和深度的關系模型clearclci=1;for

43、r=0.4244+0.0287:0.01:0.6f=inline(1.78*(t-0.6)./0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)-1.4833*(t-0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)+0.534*asin(sqrt(0.36-(t-0.6).2)./0.6);h(i)=r-0.0287;n=h(i)-0.1469;v(i)=quadl(f,n,r);v(i)=v(i)*13.9507;i=i+1;endhvplot(h,v)9.4當儲油罐的探針測得的h=0.6時，罐油量和深度的關系：clearclci=1;for r=0.453:0.01:0.6f=inl

44、ine(2.9667.*(t-0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)-1.4833.*(t-0.6).*sqrt(0.36-(t-0.36).2)+ 0.5340.*asin(sqrt(0.36-(t-0.6).2)./0.6).*13.9507);h(i)=r+0.1469;v(i)=quadl(f,r,0.6);i=i+1;endj=1;i=1;for m=0.453:0.01:0.6 f=inline(1.6776- 2.9667.*(0.6-t).*sqrt(0.36-(0.6-t).2)+1.4883.*(0.6-t).*sqrt(0.36-(0.6-t).2)-0.5

45、34.*asin(sqrt(0.36-(0.6-t).2)./0.6).*13.9507); m=h(i)+0.0287; vv(j)=quadl(f,0.6,m); vs(j)=v(i)+vv(j); j=j+1; i=i+1;end hvsplot(h,vs)9.5 當儲油罐變位的一側m=1.2時，罐油量和油深度的關系模型clearclci=1;for r=1.0244:0.01:1.2 f=inline(1.6776-2.9667.*(0.6-t).*sqrt(0.36-(0.6-t).2)+1.4883.*(0.6-t).*sqrt(0.36-(0.6-t).2)-0.534.*asin(sqrt(0.36-(0.6-t).2)./0.6).*13.9507);m=r+0.1756;h(i)=m-0.0287;v(i)=quadl(f,r,m);i=i+1;endh= h(1:3)v=v(1:3)plot(h(1:3),v(1:3)9.6當儲油罐測得的高度為1.2m時的臨界關系模型 f=inline(1.78*(t-0.6)./0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)-1.4833*(t-0.6).*sqrt(0.36-(t-0.6).2)+0.534*a