建模思想初中數(shù)學(xué)教學(xué)的引擎

1、建模思想，初中數(shù)學(xué)教學(xué)的引擎陳蜜佇波市鄞州區(qū)古林鎮(zhèn)中學(xué)）內(nèi)容提要：隨著數(shù)學(xué)建模思想的運(yùn)用在初中數(shù)學(xué)教學(xué)和考試中越來(lái)越受到青睞，筆者在 本文中首先介紹了數(shù)學(xué)建模思想的要求和建模的基本步驟，然后結(jié)合浙教版教材中的例題和 習(xí)題具體分析了模型構(gòu)建的各種問(wèn)題。其目的不僅僅是介紹數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用，更重要的 是使教師和學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)建模思想在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用，讓教師能自覺(jué)引導(dǎo)學(xué)生 去探索、研究、創(chuàng)新，從而提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，讓教學(xué)融入生活、讓生活走近數(shù)學(xué)。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)建模思想；數(shù)學(xué)建模教學(xué)數(shù)學(xué)建模思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想之一，具體來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)建模思想是一種數(shù)學(xué) 的思考方法，是

2、運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化建立能近似刻畫并解決實(shí)際問(wèn)題的 一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。為了使描述更具科學(xué)性、邏輯性、客觀性和可重復(fù)性，人們采用一 種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語(yǔ)言來(lái)描述各種現(xiàn)象，這種語(yǔ)言就是數(shù)學(xué)，使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述的事物 就稱為數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模無(wú)處不在、日益重要，作為數(shù)學(xué)老師我們有義務(wù)盡快讓學(xué) 生學(xué)習(xí)初步掌握數(shù)學(xué)建模的思想和方法，從而更積極主動(dòng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。同時(shí)，我們也要認(rèn)真 思考，盡早讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)去解決各種實(shí)際問(wèn)題的橋梁，了解數(shù)學(xué)建模的三要 點(diǎn)是合理假設(shè)、數(shù)學(xué)問(wèn)題和解釋驗(yàn)證。F面就結(jié)合教材中的具體實(shí)例來(lái)運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想為我們的教學(xué)服務(wù)，為學(xué)生的學(xué)習(xí)做出更好的指引

3、。例1、選自浙教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)下冊(cè)第二章2.3一元一次方程的應(yīng)用（2）合作學(xué)習(xí)。ccia一輪船以30km/h的速度由西向東航行，在途 中接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)，臺(tái)風(fēng)中心正以20km/h的速度由 南向北移動(dòng)。已知距臺(tái)風(fēng)中心200km的區(qū)域（包括邊界）都屬于受臺(tái)風(fēng)影響區(qū)。當(dāng)輪船接到臺(tái)風(fēng) 警報(bào)時(shí)，測(cè)得 BC=500km，BA=300km。（1）如果輪船不改變航向，輪船會(huì)不會(huì)進(jìn)入臺(tái)風(fēng)影 響區(qū)？你采用什么方法來(lái)判斷？（2）如果你認(rèn)為輪船會(huì)進(jìn)入臺(tái)風(fēng)影響區(qū)，那么從接到警報(bào)開始，經(jīng)多少時(shí)間就進(jìn)入臺(tái)風(fēng)影響 區(qū)？1、 模型準(zhǔn)備；了解問(wèn)題的實(shí)際背景， 明確其實(shí)際意義，掌握對(duì)象的各種信息， 用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái) 描述問(wèn)題。在該問(wèn)題中

4、，從接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)開始， 船是否受到臺(tái)風(fēng)影響與船和臺(tái)風(fēng)之間的距離有關(guān)。如果該距離大于或者等于 200km，則輪船會(huì)進(jìn)入臺(tái)風(fēng)影響區(qū)，反之則不會(huì)。2、 模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。3、此題假設(shè)經(jīng)t時(shí)后，輪船和臺(tái)風(fēng)中心分別在C1、B1的位置。模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻劃各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系, 應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。(盡量用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具)數(shù)學(xué)建模的分析方法主要有圖象分析法建立相,關(guān)系分析法以及列表分析法，就此題來(lái)說(shuō)，通過(guò)圖4、5、示，由假設(shè)得 CC1=30t,BB1=20t,2 2 2B1C1 =(400-30t) (

5、300-20t),令2 2 2 2(400-30t) (300-20t) =200 ,整理得 13t -360t 2100.若這個(gè)一元 二次方程有實(shí)數(shù)解，就表示船會(huì)進(jìn)入臺(tái)風(fēng)影響區(qū)，那這個(gè)一元二次方程就是此題的數(shù)學(xué)模 型。模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對(duì)模型的所有參數(shù)做出計(jì)算(估計(jì))。就此題來(lái)說(shuō)， 運(yùn)用 公式法或配方t1=36°-251 ： 8.35,t2= 360 20 51 ： 19.34。26 26模型分析：對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。對(duì)此題來(lái)說(shuō)，主要是討論方程的解是否符合實(shí)際?？梢援嫵鋈缬沂疽鈭D， 臺(tái)風(fēng)圈的時(shí)刻，t2是船即將離開臺(tái)風(fēng)圈的時(shí)刻。所以船從接到警報(bào)開始，經(jīng)法求得t1

6、是船剛進(jìn)入8.35h進(jìn)入臺(tái)6、 模型檢驗(yàn)：將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來(lái)驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、 合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合， 則要對(duì)計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過(guò)程。對(duì)此題來(lái)說(shuō)，可將求得的 t1、t2代入原方程中，求出在該時(shí)間下 B1C1的長(zhǎng)度，若均大于 或等于200km，則求解正確，反之則錯(cuò)誤。7、模型應(yīng)用：應(yīng)用方式因問(wèn)題的性質(zhì)和建模的目的而異。就此題來(lái)說(shuō)，可引導(dǎo)學(xué)生討論：如果把航速改為10kmh，結(jié)果將怎樣？若將船速改為102 2 2 2kmh，則令(400-10t)(30020t) =200，化簡(jiǎn)得 t 40t

7、420 = 0,因?yàn)榉匠虩o(wú)實(shí)數(shù)根，所以船不會(huì)進(jìn)入臺(tái)風(fēng)影響區(qū)。點(diǎn)評(píng)：作為本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)， 若教師在教學(xué)過(guò)程中能用數(shù)學(xué)建模的基本步驟幫助學(xué)生 進(jìn)行分析，定會(huì)起到事半功倍的效果。上述問(wèn)題用到的是建立方程（組）模型，在初中數(shù) 學(xué)中，常見的數(shù)學(xué)模型還有建立不等式模型，建立函數(shù)模型，建立統(tǒng)計(jì)模型，建立幾何模 型。例2、 選自浙教版數(shù)學(xué)教材八年級(jí)上冊(cè)第七章課題學(xué)習(xí)怎樣選擇較優(yōu)方案 某家電信公司提供了兩種方案的移動(dòng)通訊服務(wù)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，如下表：A萬(wàn)案B萬(wàn)案每月基本服務(wù)費(fèi)30元50元每月免費(fèi)通話時(shí)間120元200分超出后每分收費(fèi)0.4元0.4元如果請(qǐng)你選擇其中一種方案，應(yīng)如何選擇？解：設(shè)每月通話時(shí)間為 x分鐘，A

8、、B兩種方案每月話費(fèi)分別為 y1、y2元，則y1=30(0w x w 120)30+0.4(x-120)=0.4x-18(x > 120)y2=50(0w x w 200)0.4x-30（x > 200）若 y1 v y2,則 0.4x-180v 0.4x-30 解得 Ow xv 170當(dāng)0wxv 170時(shí)，應(yīng)選擇 A方案。若 y仁y2,貝U 0.4x-180=0.4x-30，解得 x=170當(dāng)x=170時(shí)，兩種方案可任選一種。若 y1 >y2,則 0.4x-180>0.4x-30，解得 x> 170當(dāng)x> 170時(shí)，應(yīng)選擇B方案。由此可見，如果從節(jié)省費(fèi)用的

9、角度考慮，當(dāng)每月通話時(shí)間少于170分時(shí)，應(yīng)選擇 A方案;大于170分鐘時(shí)，應(yīng)選擇 B方案；等于170分鐘時(shí)，A、B兩種方案可任選一種。點(diǎn)評(píng)：上例說(shuō)明了數(shù)學(xué)中建立函數(shù)模型、不等式模型在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，解決這類 問(wèn)題的基本方法大致有兩種：一是建立各種方案的一次函數(shù)解析式，直接將各個(gè)解析式作比 較，化歸為解一元一次不等式或方程求解；二是畫各個(gè)函數(shù)的圖像，求出各函數(shù)圖像的交點(diǎn) 坐標(biāo)，然后把自變量劃分為幾個(gè)較小范圍，通過(guò)比較各個(gè)范圍的圖像的位置，來(lái)比較各種方 案的優(yōu)劣。此例的函數(shù)在自變量的不同范圍內(nèi)有不同的解析式，而且函數(shù)的圖像簡(jiǎn)單易畫， 結(jié)合圖像是較合適的方法。例3、 選自九年級(jí)下冊(cè)第一章解直角

10、三角形目標(biāo)與評(píng)定的目標(biāo)c為了解決樓房之間的采光問(wèn)題，某市有關(guān)部門規(guī)定：兩幢樓房之間的最小距離要使中午12時(shí)不能遮光。如圖，舊樓的一樓窗臺(tái)高 1m現(xiàn)計(jì)劃在舊樓正南方 40m處再建一幢新樓。已 知該市冬天中午12時(shí)太陽(yáng)從正南方照射的光線與水平線的夾角最小為30°,問(wèn)新樓房最高可建多少m （結(jié)果精確到BC在 RM ABC中, tan N ABC= 則AC 'AC=BC tan N ABC=40 tan3040 33(m)40后AD=AC+CD=+1 ? 24(m)3新樓房最高可建約 24m點(diǎn)評(píng)：此題以解決樓房之間的采光問(wèn)題為背景來(lái)設(shè)置問(wèn)題，著重考察學(xué)生對(duì)解直角三角 形應(yīng)用的知識(shí)達(dá)成

11、情況，考察學(xué)生分析題設(shè)中相關(guān)知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的幾何模型和轉(zhuǎn)化使用題設(shè)中 的每一個(gè)條件的能力水平。首先要通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中的幾何模型。在此問(wèn)題中，能發(fā)現(xiàn) 問(wèn)題中直觀或隱含著的直角三角形模型、矩形模型。當(dāng)這些模型被發(fā)現(xiàn)后，剩下的問(wèn)題就是 應(yīng)用模型解題的問(wèn)題了，方法自然就明確，方向自然就準(zhǔn)確。例4、選自八年級(jí)上冊(cè)第四章 4.5統(tǒng)計(jì)量的選擇與應(yīng)用作業(yè)題 c組在某鬧市區(qū)禁止汽車?guó)Q笛前后，交警支隊(duì)連續(xù)10天在每天上午9時(shí)測(cè)量噪音值，結(jié)果如下(單位：分貝)：禁止鳴笛前73658071677870697672禁止鳴笛后40383641353637343736(1) 請(qǐng)分別計(jì)算禁止鳴笛前后兩次測(cè)量的樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)

12、差;(2) 通過(guò)上述測(cè)量和統(tǒng)計(jì)，分析汽車?guó)Q笛與城市噪音的關(guān)系。解：(1) X前=72.1分貝x后=37.0分貝S前"4.5分貝S后 : 2.0分貝(2)禁止汽車?guó)Q笛后，平均噪音值顯著減小，因此禁止汽車?guó)Q笛能有效控制噪音污染。 點(diǎn)評(píng)：此題以市區(qū)噪音測(cè)量為背景設(shè)計(jì)問(wèn)題，考察了學(xué)生建立統(tǒng)計(jì)模型的能力，注重 學(xué)生從事數(shù)據(jù)處理的全過(guò)程，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果做出合理的判斷，使學(xué)生體會(huì)統(tǒng)計(jì)對(duì)制定決 策的重要作用。誠(chéng)然，數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)不在于某堂課或某幾堂課，不在于一道題或幾道題，而 應(yīng)貫穿于學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力，同時(shí)訓(xùn)練學(xué)生快速 獲取信息和資料的能力，鍛煉學(xué)生快速了解和掌握新知識(shí)的能力為目的，真正將數(shù)學(xué)建 模的思想和方法運(yùn)用到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中去。參考文獻(xiàn)：1、 瞿愛國(guó)。2009年中考應(yīng)用問(wèn)題中的模型構(gòu)