角平分線的性質(zhì)與判定

1、已知已知:AOB求作：求作：AOB的平分線的平分線（1）以）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交OA于于M，交，交OB于于N。（2）分別以）分別以M、N為圓心，大于為圓心，大于12MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在AOB的內(nèi)部交的內(nèi)部交于點(diǎn)于點(diǎn)C。（3）作射線）作射線OC。射線。射線OC即為所求。即為所求。A0BMNC做法：做法：O仔細(xì)觀察步驟仔細(xì)觀察步驟ABOAOEBCPD 將AOB對(duì)折,再折出一個(gè)直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開(kāi),觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得出什么結(jié)論? 可以看一看,第一條折痕是AOB的平分線OC,第二次折疊形成的兩條折

2、痕PD,PE是角的平分線上一點(diǎn)到AOB兩邊的距離,這兩個(gè)距離相等.折一折 按照做一做做一做的順序畫(huà)AOB的折痕OC ,過(guò)點(diǎn)P的垂線段PD、PE ，并度量所畫(huà)PD、PE是否等長(zhǎng)？畫(huà)一畫(huà)畫(huà)一畫(huà)同學(xué)甲、乙誰(shuí)的畫(huà)法是正確的?角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等距離相等 議一議：由折一折和畫(huà)一畫(huà)你可得到什議一議：由折一折和畫(huà)一畫(huà)你可得到什么猜想？么猜想？能否用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)翻譯能否用符號(hào)語(yǔ)言來(lái)翻譯“角平分線上的點(diǎn)到角角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的兩邊的距離相等”這句話請(qǐng)?zhí)钕卤恚哼@句話請(qǐng)?zhí)钕卤恚篜D=PEOC平分平分AOB，PDOA, PEOB, D、E為為垂足垂足于是我們得角的

3、平分線的性質(zhì)：于是我們得角的平分線的性質(zhì)： 角的平角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：BADOPEC定理應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線；）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離。）垂直距離。定理的作用： 證明線段相等。證明線段相等。應(yīng)用定理的書(shū)寫(xiě)格式：OP 是是 的平分線的平分線AOBOAPD OBPE PD = PE （在角的平分線上的點(diǎn)在角的平分線上的點(diǎn) 到這個(gè)角的兩邊的距離相等。到這個(gè)角的兩邊的距離相等。）推理的理由有三個(gè)，推理的理由有三個(gè)，必須寫(xiě)完全，不能少必須寫(xiě)完全，不能少了任何一個(gè)

4、。了任何一個(gè)。 如圖，如圖，AD平分平分BAC（已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。個(gè)角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（） AD平分平分BAC, DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，（ ） DBDC在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。角的兩邊的距離相等。ADCB不必再證全等不必再證全等 如圖，如圖， DCAC，DBAB （已知）（已知） = ，( ) 在角的平分線上的點(diǎn)到這在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。個(gè)角的兩邊的距離相等。ADCBBD CD（）如圖， AOC= BOC,點(diǎn)點(diǎn)

5、P在在OC上，上，PD OA,PE OB,垂足分別為垂足分別為D,E,求證求證PD=PE.一般情況下，我們要證明一個(gè)幾何命題時(shí)，可以按照類(lèi)似的步驟進(jìn)行，即1.1.明確命題中的已知和求證；明確命題中的已知和求證；2.2.根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用符號(hào)表示根據(jù)題意，畫(huà)出圖形，并用符號(hào)表示已知和求證；已知和求證；3.3.經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程。論的途徑，寫(xiě)出證明過(guò)程。 反過(guò)來(lái)，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的反過(guò)來(lái)，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線上呢？點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線上呢？ 已知：如圖,QDOA，QEOB，點(diǎn)D、

6、E為垂足，QDQE求證：點(diǎn)Q在AOB的平分線上證明證明: QDOA，QEOB（已知），（已知）， QDOQEO90（垂直的定義）（垂直的定義）在在RtQDO和和RtQEO中中 QOQO（公共邊）（公共邊） QD=QE RtQDO RtQEO（HL） QODQOE 點(diǎn)Q在AOB的平分線上已知：如圖,QDOA，QEOB，點(diǎn)D、E為垂足，QDQE求證：點(diǎn)Q在AOB的平分線上這樣，我們又可以得到一個(gè)結(jié)論：這樣，我們又可以得到一個(gè)結(jié)論： 到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。分線上。例例 已知：如圖，已知：如圖，ABC的角平分線的角平分線BM、CN相交于相交于點(diǎn)點(diǎn)P.求證：

7、點(diǎn)求證：點(diǎn)P到三邊到三邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等.ABCPMNABCPMN例例 已知：如圖，已知：如圖，ABC的角平分線的角平分線BM、CN相交于相交于點(diǎn)點(diǎn)P.求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P到三邊到三邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等.證明：證明：過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P作作PD 、PE、PF分別垂直于分別垂直于AB、 BC、CA，垂足分別為，垂足分別為D、E、FFDEDE BM是是ABC的角平分線，點(diǎn)的角平分線，點(diǎn)P在在BM上上 PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊 的距離相等）的距離相等） 同理同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即點(diǎn)即點(diǎn)P到邊到邊AB、BC、 CA的

8、距離相等的距離相等想一想，點(diǎn)想一想，點(diǎn)P在在A A 的的 平分線上嗎？這平分線上嗎？這說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？說(shuō)明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？，1 1、在、在RtRtABCABC中，中，BDBD是角平分線，是角平分線，DEABDEAB，垂足為垂足為E E，DEDE與與DCDC相等嗎？為什么？相等嗎？為什么？ ABCDE 2 2 、 如 圖、 如 圖 , O C, O C 是是 A O BA O B 的 平 分 線的 平 分 線 , , 點(diǎn)點(diǎn) P P 在在 O CO C上上,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分別是垂足分別是DD、E,PD=4cm,E,PD=4cm,則則

9、PE=_cm.PE=_cm.ADOBEPC知識(shí)應(yīng)用知識(shí)應(yīng)用B 思考：思考：如圖所示如圖所示OC是是AOB 的平分線的平分線,P 是是OC上任意上任意一點(diǎn)一點(diǎn),問(wèn)問(wèn)PE=PD?為什么為什么?OAEDCPPD,PE沒(méi)有垂直沒(méi)有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角它們不是角平分線上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離平分線上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離,所以不一定相等所以不一定相等.思考：思考：要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處米，應(yīng)建在何處？（比例尺處米，應(yīng)建在何處？（比例尺 1：20 000）公路鐵路如圖，已知如圖，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分線相交于點(diǎn)的平分線相交于點(diǎn)F F，求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)F F在在DAEDAE的平分線上的平分線上 證明：過(guò)點(diǎn)F作FGAE于G，F(xiàn)HAD于H，F(xiàn)MBC于MGHM點(diǎn)F在BCE的平分線上， FGAE， FMBCFGFM又點(diǎn)F在CBD的平分線上， FHAD， FMBCFMFHFGFH 點(diǎn)F在DAE的平分線上利用結(jié)論，解決問(wèn)題練一練 1、如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村.要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處