1995真題及解析

1、1995年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上.)(1) 設(shè) f(x)=S,則 f (X)二 1+X(2) 設(shè) z = xyf (-), f (u)可導(dǎo)，則 xzxyzy =x 設(shè) f (In x) =1 x ,則 f (x)二1 0設(shè)A= 22400 , A是A的伴隨矩陣，則(A)-1 =5 設(shè)X1,X2,|l(,Xn是來(lái)自正態(tài)總體 N(j；2)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中參數(shù)和二2未知,丄 nn122記乂=丄送Xi ,Q=Z (Xi X)2,則假設(shè)Ho：4=O的t檢驗(yàn)使用統(tǒng)計(jì)量t=n i 土i 1二、選擇題(本題共5小題，每小題

2、3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符 合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1)設(shè)f (x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件lim02xf-f(1-x)_1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f (1)處的切線斜率為(A) 2(B)-1(C)(D)-2(2) 下列廣義積分發(fā)散的是(B)be 2(C)0 edx(D)設(shè)矩陣Am n的秩為r(A)=m ： n, Em為m階單位矩陣，下述結(jié)論中正確的是 ()(A) A的任意m個(gè)行向量必線性無(wú)關(guān)(B) A的任意一個(gè)m階子式不等于零(C) 若矩陣B滿足BA=0,則B =0(D) A通過(guò)初等行變換,必可以化為(Em,0)的形式 設(shè)隨機(jī)變量 X和

3、Y獨(dú)立同分布，記U二X -Y,V二X Y,則隨機(jī)變量U與V必然(A)不獨(dú)立(B)獨(dú)立(C)相關(guān)系數(shù)不為零(D) 相關(guān)系數(shù)為零 設(shè)隨即變量X服從正態(tài)分布 N(比/),則隨的增大,概率PX片ccr()(A)單調(diào)增大(B) 單調(diào)減少 (C)保持不變(D) 增減不定(本題滿分6分)p(1 _cosx),x設(shè) f (x)=；x 01,x 2 cost dt,x = 0,試討論f (x)在x = 0處的連續(xù)性和可導(dǎo)性x 0lx 0四、(本題滿分6分)已知連續(xù)函數(shù)f(x)滿足條件f(xH ；f 3 dt e2x,求f(x).五、(本題滿分6分)將函數(shù)y = |n(1 -x -2x2)展成x的幕級(jí)數(shù)，并指出其

4、收斂區(qū)間六、(本題滿分5分)&.y2)計(jì)算min x, ye4 y)dxdy .七、(本題滿分6分)設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為 Q二Q( p),收益函數(shù)為R二pQ ,其中p為產(chǎn)品價(jià)格，Q為需求量(產(chǎn)品的產(chǎn)量),Q(p)為單調(diào)減函數(shù).如果當(dāng)價(jià)格為p0,對(duì)應(yīng)產(chǎn)量為Q0時(shí)，邊際收益dRdQ Q =Qq=a 0 ,收益對(duì)價(jià)格的邊際效應(yīng)dRdpp -p。=c ： 0 ,需求對(duì)價(jià)格的彈性Ep =b 1.求P0和Q°.八、(本題滿分6分)設(shè)f (x)、g(x)在區(qū)間-a, a ( a - 0)上連續(xù)，g(x)為偶函數(shù)，且f (x)滿足條件 f (x) f ( -x A( A為常數(shù)).aa(1)

5、證明 f (x) g(x)dx = A p g(x)dx ；(2)利用 的結(jié)論計(jì)算定積分j2jsin x arctanexdx.九、(本題滿分9分)已知向量組(I )宀，2, >3 ； ( n ) >1, >2,3, >4 ；(川)>1 ,2,3,5 '如果各向量組的秩分別為 r(I) =r(ll) =3, rI) =4.證明：向量組：，：2, >3, ： 5 -二4的秩為4.十、(本題滿分10分)2 2已知二次型 f(X1,X2,X3)=4x2 -3x3 4x1X2 -4為対 8x2X3.(1) 寫出二次型f的矩陣表達(dá)式；(2) 用正交變換把二次型

6、 f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出相應(yīng)的正交矩陣十一、(本題滿分8分)假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器 ,以概率0.70可以直接出廠；以概率 0.30需進(jìn)一步調(diào)試 經(jīng)調(diào)試后以概率 0.80可以出廠；以概率 0.20定為不合格品不能出廠.現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n(n _2)臺(tái)儀器(假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過(guò)程相互獨(dú)立).求：(1)全部能出廠的概率:；(2)其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率1 ;(3) 其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率二.十二、(本題滿分8分)已知隨機(jī)變量 X和Y的聯(lián)合概率密度為Ox乞1,0空y乞1,其他，l4xy,求X和Y聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).1995年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析、填空題(本題共5小題,

7、每小題3分,滿分15分.)(1)【答案】2(-1)n n!(1 x)n 1【解析】1 _x 2 1由于 f(x)1=2(1 x)1,1+x 1 +xf (x)=2(-1)(1 x)二f (x)=2 (-1)(-2)(1 x)和山所以32皿心嚴(yán)辟.【答案】2xyf f【解析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則z yf -xyr - 占；=ylx丿zy=Xf f 1所以xzx yzy =xyf 上-y2f lx丿【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：y二(f (x)的導(dǎo)數(shù)為目二(f (x) f (x).【答案】x ex C【解析】在f (In x) =1 x中令I(lǐng)n x =t,貝U f (t) =1 ef,從而f (

8、t)二 1 d dt 二t d C= f (x)二 x ex C 1【答案】1010 02 2 0(3 45A-4 AI解析】由AAAE,有閃AJ,故小帀.1 0 0A = 22 0 =10,3 4 5所以1012<30 02 04 5【答案】【解析】假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的另一個(gè)基本問(wèn)題 ，它是根據(jù)具體情況和問(wèn)題的要求，首先 提出原假設(shè)H。,再由樣本提供的信息，通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒▉?lái)判斷對(duì)總體所作的假設(shè) H。是否成 立.n(n -1)首先分析該題是屬于一個(gè)正態(tài)總體方差未知的關(guān)于期望值 的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題據(jù)此類 型應(yīng)該選取t檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量是nv (Xi -X)i 4X _經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)得q n(n-1).【相

9、關(guān)知識(shí)點(diǎn)】假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：(1) 確定所要檢驗(yàn)的基本假設(shè)H0 ；(2) 選擇檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，并要求知道其在一定條件下的分布；(3) 對(duì)確定的顯著性水平:,查相應(yīng)的概率分布，得臨界值，從而確定否定域；(4) 由樣本計(jì)算統(tǒng)計(jì)量，并判斷其是否落入否定域，從而對(duì)假設(shè)H0作出拒絕還是接受的判斷二、選擇題(1)【答案】(本題共5小題，每小題3分，滿分15分.)(D)【解析】xx limf(Vxf(1)x_0x*mf(1)f(1 x)X 0X2x= 2lim f(1)f(1X)2,x )0所以應(yīng)選(D).(2)【答案】(A)【解析】由計(jì)算知人i12dx，2 xln2x ln x2 In2:x2.二且泊松積

10、分e dx,Jo2故應(yīng)選(A).注：對(duì)于本題選項(xiàng)(A),由于當(dāng)x = 0時(shí)sinx = 0,故在積分區(qū)間中x = 0是瑕點(diǎn)，反常i 1積分dx應(yīng)分解為兩個(gè)反常積分之和 ：七in x1 10 11 1dxdxdx,J sinxsinx0 sinx1 1而且dx收斂的充要條件是兩個(gè)反常積分in x:丄/ sin xdx都收斂由于廣義積分-I1/ 1Ixdx = ln tan °sinxI2兒1 11 1即dx發(fā)散,故 dx發(fā)散0 si nxsinx1在此不可誤以為 -一 是 奇函數(shù)，于 是sin x【答案】(C)dx = 0 ,從而得出它是收斂的錯(cuò)誤結(jié)論【解析】r( A)二m表示A中有m

11、個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)，有m階子式不等于零，并不是任意的，因此(A)、(B)均不正確.經(jīng)初等變換可把 A化成標(biāo)準(zhǔn)形，一般應(yīng)當(dāng)既有初等行變換也有初等列變換，只用一種不'0 1 0)一定能化為標(biāo)準(zhǔn)形.例如，只用初等行變換就不能化成(E2,0)的形式，故(D)不正2 0 1丿確.關(guān)于(C),由BA=O知r(B) r(A)空m ,又r(A) = m,從而r(B)空0,按定義又有r(B)_ 0,于是 r(B) = 0,即 B =0.故應(yīng)選(C).【答案】(D)【解析】 Cov(U,V)二Cov(X -Y,X Y).二Cov(X,X Y) -Cov(Y,X Y)二 Cov(X,X) Cov(X,Y) -

12、Cov(Y,X) -Cov(Y,Y)二 DX -DY.由于X和Y同分布,因此DX二DY,于是有Cov(U ,V) =0 .由相關(guān)系數(shù)的計(jì)算公式Cov(X,Y),VDVDy所以U與V的相關(guān)系數(shù)也為零，應(yīng)選(D).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】協(xié)方差的性質(zhì)：Cov(aX,bY)二abCov(X,Y)；Cov(X1 X2,Y) =Cov(Xj,Y) - Cov(X2,Y).【答案】(C)【解析】由于xL N(,；2)，將此正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)化,故一 N 0,1 , CTf x nx -卩pX4 “=Pv1=加-1.I J計(jì)算看出概率P |X 艸 CT 的值與CT大小無(wú)關(guān).所以本題應(yīng)選(C).三、(本題滿分6分)般要用連續(xù)

13、性與可【解析】這是一道討論分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性的問(wèn)題 導(dǎo)性的定義并借助函數(shù)在分界點(diǎn)處的左極限與右極限以及左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)lim f(xlim2(CoSX)x )0 x )0 -2 xx 2 J cost dt liq .f (x)=叫.-00x )0二 lim -x 0 -2】x2£ 1,x2cosx , lim1,x 1故 f (00) = f (0 -0) = f (0),即 f(x)在 X = 0 處連續(xù).1 x2cost dt -1x J0=lim x-°xx2cost dt - x lim0二 lx )02cosx -1 二 limx Q 2x14xl

14、im = 0,X )0 2xf (0) = lim "x®Tx _02(1 -cosx) - x-22 (1cosx) T =lim x )02 li一 =limx )0 -x2si nx-2x 2(cosx-1) 二 lim0.x)0 一 6x3x2即 f .(0) =f_(0) = 0,故 f(x)在 x = 0處可導(dǎo),且 f (0) =0.四、(本題滿分6分)【解析】首先，在變上限定積分中引入新變量 s = L,3fx f ' - 0t = 3 0 f (s)ds.0 3 0代入題設(shè)函數(shù)f(x)所滿足的關(guān)系式，得X2Xf (x) = 3 0 f (s)ds +

15、 e .2x在上式中令x = 0得f (0) = 1，將上式兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得2 xf (x) = 3f (x) 2e .由此可見(jiàn)f (x)是一階線性方程f (x) - 3f (x)二2e2x滿足初始條件f (0) =1的特解用e"x同乘方程兩端，得f(x)e'x =2e=積分即得f (x) = Ce3x - 2e2x.由f (0) = 1可確定常數(shù)C = 3,于是，所求的函數(shù)是f(X)二3e3x - 2e2x.五、(本題滿分6分)2【解析】由1-x-2x =(1-2x)(1 x)知ln (1 x2x2) =1 n(1 2x) I n(1 x).因?yàn)?3nx X . n -fr

16、 x . | _In (1x)=x(-1),23n其收斂區(qū)間為(-1,1)；Inx)十2x)-旦込七(廿込川,23n,(Dn12nxnn T其收斂區(qū)間為于是有In(1-x-2x2)= (-1)n + - + 1)n+e2x)An n其收斂區(qū)間為qQ【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】收斂區(qū)間:若冪級(jí)數(shù)、:anxn的收斂半徑是正數(shù)R,則其收斂區(qū)間是開(kāi)區(qū)間n=0(_R,R)；若其收斂半徑是：，則收斂區(qū)間是(-：，：)六、(本題滿分5分)【解析】方法一：本題中二重積分的積分區(qū)域D是全平面，設(shè)a 0,Da 一(x, y)丨一a 乞 x 乞 a,-a < y < a,則當(dāng)a：:時(shí),有Da > D .從而:

17、:(x2 ,y2)(x2 ,y2)Iminx, ye)dxdy lim 11 minx, ye')dxdy.a_ 抉 d；注意當(dāng) x y 時(shí)，min x, y = x ；當(dāng) x y 時(shí)，min x, y = y.于是11 minx, ye" y )dxdyDa.X_(x24y2)a1dx ye dy = _r a . a21 e2-be 2由于e點(diǎn)dx = 、二,從而可得-odax (22、4x y )dy ,a ydy xe" y Vxdx ye-_aa.a .aaxdx e-a-4x2 y2)221 a ._(x2a2)d(x y ) a e2a1 、dx2 4

18、x2 r2)_a-e" dxa »2e-aa e*dx.-aa x -(x2 y2)1dy=0-菇mJaJ2xe-a2dx同理可得方法棗a .2 Jn2三町一2盧d_2.lim 3 dy " xe" fx：-、.： -a2*2-J.!y，：2 二設(shè)R 0,則圓域Dr二(x, y)|x2 y R2?當(dāng)R 兒時(shí)也趨于全平面，從而I =- _min x, ye4x y)dxdy=m. ' min x, yeYx y )dxdy .Dr引入極坐標(biāo)系 x=rcosn,y二rsi nr,則當(dāng) 0與2二 時(shí)，min x, y = y = r sin v ;4

19、45 _時(shí),min x, y = x = r cos v .4min x, ye"2 y2)dxdyr2e2dqf sinTdT +肚 cosTd日|【0由此可得I 一2血臥/=血堅(jiān)5(討)Dr4R 22字R 222二R 224sinvdr2e dr一4 cos rdr2e dr 亠s invdr2e dr0 0 二 -0 0442 兀IL R 2 r2+ ;rsindB = _2s/2 J。r2e dr.*2 lim re，R R r2一 e dr:2; 、，2二e dr =七22七、(本題滿分6分)【解析】本題的關(guān)鍵在于 p和Q之間存在函數(shù)關(guān)系，因此R二pQ既可看作p的函數(shù)，也可

20、看作Q的函數(shù)，由此分別求出dR及更，并將它們與彈性 Ep聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而求得dp dQp Q dp問(wèn)題的解.由Q =Q( p)是單調(diào)減函數(shù)知 血：0 ,從而需求對(duì)價(jià)格的彈性 Epp坐：0 ,這表明dpQ dp題設(shè)Ep=b>1應(yīng)理解為 Ep = Ep=b>1.又由Q=Q(p)是單調(diào)減函數(shù)知存在反函數(shù)p =p(Q)且空 -Q.由收益 R = pQ對(duì)Q求導(dǎo)，有 dQ dQdpdRdQp q-Qp dQ1=P(1 )，E pQ dp從而dR dQ Q1p°(1) = a，得 p°babb -1由收益R二pQ對(duì)p求導(dǎo),有dR二Q卩字七(1右字)七(1 Ep),dpdpQ d

21、p從而dRdp=Q(1 'b) = c,于是 QoP=Fo1 -b八、(本題滿分6分)【解析】(1)由要證的結(jié)論可知,應(yīng)將左端積分化成 0,a 1上的積分,即a0af(x)g(x)dx 二f(x)g(x)dx o f (x)g(x)dx,再將f(x)g(x)dx作適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q化為在l0,a 1上的定積分.a0a方法一：由于 f(x)g(x)dx = J f (x)g(x)dx + f (x)g(x)dx ,_a. ao0在 f (x)g(x)dx 中令 x = -t,則由 x: -a-； 0,得t:a-； 0,且_a00aaf(x)g(x)dx= f (t)g(t)d(1)=f(t)

22、g(t)dt= J。f (x)g(x)dx ,aa_a所以 f(x)g(x)dx 二 0 f (x) f(-x) lg(x)dx = A 0 g(x)dx. a- 0- 0a方法二：在 f (x)g(x)dx 中令 x - -t ,則由 x: -a > a ,得 t: a a,且aa_aaa=f(x)g(x)dx - - a f(-t)g(-t)d(-t)f(-t)g(t)dt = f (-x)g(x)dx 中化 f (x)g(x)dx + Jf (x)g(x)dxj1 aAf (x) f(-x)g(x)dxg(x)dx = A g(x)dx.2 a2 a0a所以 f(x)g(x)dx

23、二'a12 令f(x)=arctanex, g(x)=|sinx ,可以驗(yàn)證f(x)和g(x)符合(1)中條件，從而可以用(1)中結(jié)果計(jì)算題目中的定積分方法一：取 f (x) =arctanex, g(x) = sin x-a兀,* - 2由于 f(x) f(-x) =arctanex arctane"滿足arcta nexarcta ne *xe2x1 e-x=0,故arcta n ex + arcta n = A.令 x =0,得2arctan1JT亠 a=2 即 f(x)"r.于是有2xJ Lsin x arctane dx =2TE|si nxdxJIsin

24、xdx 二2方法二：取 f (x) = arctanex, g(x) = sinx , a =；,于是x1 兀f (x) f (-x)二 arctanearctan=ex21 江（這里利用了對(duì)任何x 0,有arctanx arctan）x 2以下同方法一.九、（本題滿分9分）【解析】因?yàn)閞（I）二r（ll） =3,所以：-3線性無(wú)關(guān)，而：，:七，>3, >4線性相關(guān)， 因此：4可由線性表出,設(shè)為：4 “1： 1 122 X 3.若kv1k2：2k3： 3k4（：5 -：4）=0,即（K -1水4）： 1 （k2 -叢4）： 2 （k3 -山：3 kr 5 = 0,由于r（III）

25、=4,所以1,235線性無(wú)關(guān)故必有匕-也=0,k2 -冰4 =0,k3-冰4=0,Lk4=°.解出 & =0,k3 =0,k2 =0, = 0.于是1,2,3,5-4線性無(wú)關(guān)，即其秩為4.十、（本題滿分10分）【解析】（1）因?yàn)閒 （x1, x2, x3）對(duì)應(yīng)的矩陣為，Z0 2 -2、A= 244,k-2 4-3故f （X1, X2,X3）的矩陣表示為-22-22-2九-2k4-4=-2九402-4Z + 324人1（2）由A的特征方程f (X1,X2,X3)=xAx =(Xi,X2,X3)02xj244|X2'-24-3丿3z. '4-10 0-2 一402-1)C -36)=0,得到A的特征值為q = 1/'2 =6,乜二-6.由（E -A）x =0得基礎(chǔ)解系X1= (2,0, -1)丁,即屬于 =1的特征向量. =6的特征向量.由（6E - A）x =0得基礎(chǔ)解系X2 =（1,5,2）丁，即屬于由（-6E-A）x=0得基礎(chǔ)解系X3 = （1，-1,2）T ,即屬于 -6的特征向量對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣，特征值不同特征向量已正交，故只須單位化，有13'21丄1753051Q =(也 丫 3)=0430461221 篤=計(jì)詞;,那么令經(jīng)正交變換二次型化為標(biāo)