分子擴散平均速率公式推導及模擬驗證大學物理論文

1、分子擴散平均速率公式推導及模擬驗證Allen（080102*）（東南大學 自動化學院 南京 211189）摘要1： 從單個氣體分子入手，把分子速度看為平均自由程與每次碰撞的比值，利用分子運動的速率推算分子擴散速率，將分子高頻碰撞的問題降級成為某數(shù)的指數(shù)，并且研究每上升整數(shù)次冪碰撞移動的距離與之前的關系，找到遞推公式，并且寫出時間位移公式。利用Excel軟件模擬有限次碰撞，在一定范圍內驗證遞推公式，并確定遞推公式中一個常數(shù)的大致范圍（暫命名為指數(shù)擴散速率衰減系數(shù)）。關鍵詞： 擴散速率； 單個分子； 速率衰減； Excel； 模擬驗證 Molecular Diffusion&#

2、160;Speed Equation Derivation and Simulation VerificationAllen Chen (Automation, Southeast University, Nanjing 211189Abstract: I started from a single gas molecule, saw the speed of the molecular mean as the ratio of  free path and each col

3、lision. I used the rate of molecular motion to calculate molecular diffusion rate, downgraded problem of high frequency collisions of molecular as indices of a number. And I researched the changing after rose integer power, searched for the relation

4、and found the recursive formula. And I wrote out time-shift formula. Then I used Excel software simulation of limited times of collision and tested the formula in a certain range. And I confirmed the approximate range of a constant in the formula.

5、60;key words: diffusion rate; a single molecule; decay of  rate; Excel; simulation verification由氣體動理論的相關知識，我們可以推算得到，氣體分子的平均速率很快，跟聲速是一個數(shù)量級的，但是我們打開一個酒瓶，卻不能在瞬間聞到酒香，要在相對更長的時間之后才會聞到，即氣體分子擴散速率比平均速率小得多，那么究竟擴散速率有多大呢？和平均速率滿足什么樣的什么關系？我將利用化簡模型的思想，輔以軟件進行模擬驗證。推算出氣體分子擴散滿足的位移時間關系方程，繪制單分子在二

6、維擴散中的無規(guī)則運動軌跡圖，定量地確定氣體分子擴散的情況?；卮鹨陨蟽蓚€問題。作者簡介： Allen，1992年，男，本科生 jscwl1理想氣體的平均平動速度麥克斯韋氣體分子速率分布定律： 麥克斯韋提出氣體分子的速率分布函數(shù)的數(shù)學形式為。計算積分平均值可得到氣體分子的平均平動速度為： 。由此公式計算所得的幾種氣體分子在300K溫度下的平均平動速率如下表所示：氣體v(m/s氫1774氦1266氮478水蒸氣596氧446二氧化硫316這樣的速度已經(jīng)達到聲速級別，但是我們聞到酒香的時間卻遠遠長于聽到瓶塞打開的聲音。很早以前，克勞修斯提出分子碰撞的問題解決了人們的疑惑，因為分子會和空間中分布的數(shù)密度

7、很大的其他分子發(fā)生很多次碰撞，才傳播出去，從而使分子經(jīng)歷了十分曲折的路徑，導致氣體分子平均速率很大但是擴散速度卻很小。然而克勞修斯卻沒有給出分子擴散速度與分子平均速率之間滿足什么樣的數(shù)量關系。所以我們仍然不知道平均速率和傳播擴散速率到底相差多少。2理論推理氣體分子擴散速率2.1氣體分子碰撞模型的建立與簡化由氣體分子平均碰撞次數(shù)： 計算公式可以算得到空氣中任何一個分子每秒之內都會和其他分子發(fā)生約65億次碰撞，每次碰撞都會對其運動狀態(tài)引起變化，其速度的大小和方向都是不確定的，而且碰撞次數(shù)如此眾多，難以研究。以下是我的簡化方式：因為考慮到分子眾多，先研究單個分子的運動軌跡，假設每個分子都是質量相同的

8、小球，根據(jù)動量守恒定力，碰撞發(fā)生前后兩個分子會互換速度，那么只要將一個分子按照碰撞發(fā)生的頻率隨機改變運動狀態(tài)即可。而且為了方便研究，首先研究二維擴散。對于如此巨大的碰撞次數(shù)N，將其視為或者，即2的指數(shù)次和10的指數(shù)次。2.2氣體分子擴散距離的遞推公式推導假設分子平均自由程為，則發(fā)生一次碰撞的兩段位移在二維坐標中的表示為如圖所示的圖形。 其中，表示碰撞前的位移；表示碰撞后的位移(；到發(fā)生第二次碰撞之前的位移。記作，而將記作。以此類推，如果發(fā)生3次碰撞，即有4段自由程，則將其視為兩個兩段自由程的運動過程的疊加，將其記為，即滿足一個遞推公式=*2，為二指數(shù)衰減系數(shù)。所以，通項公式為=（注：式中的即）

9、2.3二指數(shù)衰減系數(shù)的理論推算如圖1所示，的終點落在以終點為圓心，為半徑的圓周上，所以也就落在這樣的范圍內。，=0.63662在三維坐標中也可以得到類似的結論,以下為簡單推導過程(思路和二維坐標中類似：引入和兩個參數(shù)并將自由程設為1；第一次運動到(0,0,1的位置，下一個位置在一個球面上，用和表示這些點的坐標如下：2.4氣體分子擴散位移-時間理論表達式由2.3中求得，易得=，其中，;；又；容易推得，分子量為29的空氣在300K，101kpa的近似公式：(m該公式的x-t圖像如下：圖2同理可得；按十指數(shù)遞增的擴散公式為：= ，其中；。又可以將10次自由程視為次2次自由程的累加，故的理論值為。一樣

10、可以推算我們已經(jīng)得到的計算公式。但是我們注意到，如果按照這個模型運作的話，正常的氣體在空氣中擴散的速度很慢很慢，一百秒才擴散了不到1mm的距離，下面我要通過軟件模擬及統(tǒng)計計算來對二指數(shù)衰減系數(shù)進行測定。3 Excel模擬分子擴散測3.1Excel表格數(shù)據(jù)的建立A列生成0到的隨機數(shù)，BC列記錄第一列對應的余弦正弦值作為隨機位移矢量，DE列為位移向量的疊加作為位置矢量，由DE作為橫縱坐標可以得到單分子布朗運動的折線圖；對DE列最后一組數(shù)字代表的位移進行計算可以逆推。3.2Excel運動模擬以及衰減系數(shù)的測定按照3.1中所述的方法進行模擬可得到單分子無規(guī)則運動的軌跡圖，如下為進行千次、萬次碰撞模擬的

11、軌跡圖：圖3圖4碰撞改變運動方向次的位移，可以通過該公式=計算得到指數(shù)衰減系數(shù)，再由可以推知此次模擬的二指數(shù)衰減系數(shù)，與理論值0.63662進行對比。如下面三張圖所示為千次、萬次、十萬次碰撞的一百次模擬數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖：圖5圖6圖7由上圖可以看出，隨著碰撞次數(shù)的增多，平均二指數(shù)衰減系數(shù)在0.7上下浮動，而數(shù)據(jù)統(tǒng)計的千次、萬次、十萬次碰撞所測算而得的二指數(shù)衰減系數(shù)平均值為0.68095、0.69502、0.69366；這與理論值0.63662相差較大。原因在于用一次碰撞來簡化巨大次數(shù)的碰撞時有某些情況的缺漏。如果有很多段自由程，此模型無法模擬如此龐大數(shù)據(jù)量的可能性。3.3公式的修正以及模型的改善將帶入

12、原先公式計算可以得到修正公式：（m），該修正公式的x-t圖像如下：圖8由圖可以看出，修正公式（本質是修正二指數(shù)衰減系數(shù)）之后曲線更加上揚，根據(jù)圖像反映的信息可以得出，100秒內氣體在空氣中大約可以前進3cm，這比原先的不足1mm更加接近實際情況。3.4推斷與猜想由以上公式推導和修正以及二指數(shù)衰減系數(shù)的理論推導與實際模擬測量可以展開猜想，在將模型降次簡化的時候也省略了一些可能性，所以進行越多次數(shù)的模擬越容易得到接近事實的結果。反言之，如果利用實際情況中的多次測量也會得到更加精確的指數(shù)衰減系數(shù)。4結束語利用碰撞自由程數(shù)降次將問題簡化，推導出氣體擴散速度理論公式，經(jīng)過試驗驗證有一定的缺陷，又由試驗所得數(shù)據(jù)帶入公式，對公式進行修正得到與事實吻合更好的公式，但